【文档说明】河南省巩义市2020届高三模拟考试（6月）数学（理）试题【精准解析】.doc，共(26)页，2.451 MB，由小赞的店铺上传

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-1-2020年高中毕业班模拟考试试卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分，考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、

选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）1.已知集合1,0,1A=−，2{1}Bxx=，则AB=（）A.1,1−B.1,0,1−C.11xx−D.1xx【答案】C【解析】集合1,0,1A=−，21{|11}Bxxxx==−所以11

ABxx=−.故选C.2.若复数z满足(1)3zii−=+（i为虚数单位），则z的虚部为（）A.3B.3iC.3−D.3i−【答案】A【解析】【分析】根据复数的四则运算，计算得到23zi=−，进而得到共轭复数z的虚部.【详解】因为3(1)31

23iziizii+−=+=+=−，所以23zi=+，所以其虚部为3.故选A.【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数的虚部概念，考查对概念的理解与应用，属于基础题.-2-3.已知角(02)终边上一点的坐标为77sin,cos66，则=（）A.56B

.76C.43D.53π【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的定义求tan，结合角的范围写出角即可.【详解】由诱导公式知，71sinsinsin6662=+=−=−，73coscoscos6662=+=−=−，所以角(02)

终边上一点的坐标为13,22−−，故角的终边在第三象限，所以tan3=，由02知，43=.故选：C.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，特殊角的三角函数，属于容易题.4.各项均不相等的等差数列na的前5项的和55S=−，且3a，4a，6a成等

比数列，则7a=（）．A.14−B.5−C.4−D.1−【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的求和公式及通项公式，解方程即可求出.【详解】因为55S=−，-3-所以154552ad+=−，即121ad+=−，因为3a，4a，6a成等比数列，所以2436()aaa=，即2(1)1(1

3)dd−+=−−+，解得1d=−或0d=（数列各项不相等，舍去），所以734145aad=+=−−=−，故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了运算能力，属于中档题.5.已知是给定的平面，

设不在内的任意两点M，N所在的直线为l，则下列命题正确的是（）A.在内存在直线与直线l异面B.在内存在直线与直线l相交C.在内存在直线与直线l平行D.存在过直线l的平面与平行【答案】A【解析】【分析】利用

M、N是不在内的任意两点，可得直线l与平面平行或相交，进而可判断直线与平面内直线的位置关系.【详解】M、N是不在内的任意两点，则直线l与平面平行或相交，若l与平面平行，则在内不存在直线与直线l相

交，所以B错误：若直线l与平面相交，则不存在过直线l的平面与平行，所以D错误：若直线l与平面相交，则在内都不存在直线与直线l平行，所以C错误；不论直线l与平面平行还是相交.在内都存在直线与直线l异面，所以A正确.故选：A.【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系，属

于基础题.6.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）-4-A.163B.3C.29D.169【答案】D【解析】【分析】根据三视图可得该几何体是圆锥的一部分，结合三视图的数据，即可求解.

【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为23的扇形，高是4的圆锥体．底面面积14433S==，所以其体积14164339V==．故选：D.【点睛】本题考

查三视图求直观图的体积，由三视图还原出直观图是解题的关键，属于基础题．7.设a、b、c依次表示函数()121fxxx=−+，()12log1gxxx=−+，()112xhxx=−+的零点，则

a、b、c的大小关系为（）．A.abcB.cbaC.acbD.bca【答案】D【解析】【分析】-5-根据题意可知，12121,log,()2xyxyxy===的图象与1yx=−的图象的交点的横坐标依次为,,abc，作图可求解.【详解】

依题意可得，12121,log,()2xyxyxy===的图象与1yx=−的图象交点的横坐标为,,abc，作出图象如图：由图象可知，bca，故选：D【点睛】本题主要考查了幂函数、指数函数、对数函数

的图象，函数零点，数形结合的思想，属于中档题.8.若数列na为等差数列，nb为等比数列，且满足：2020127aa+=，120202bb=，函数()fx满足()()2fxfx+=−且()xfxe=，0,2x，则10101011101010111aafb

b+=+（）A.eB.2eC.1e−D.9e【答案】A【解析】【分析】首先根据等差数列和等比数列的定义，可得1010101127aa+=，101010112bb=，即可求出101010111010101191aabb+=+；又()()2fxfx+=−，所以函数()fx的最小正周期为4，

由此根据题意-6-即可求出()9f，进而求出结果.【详解】因为数列na为等差数列，且2020127aa+=，所以1010101127aa+=；又nb为等比数列，且120202bb=，所以101010112bb=，所以101010111010101127913aa

bb+==+；又()()2fxfx+=−，所以()()()42fxfxfx+=−+=，所以函数()fx的最小正周期为4，又()xfxe=，0,2x所以()()()92411fffe=+==，即1

0101011101010111aafebb+=+.故选：A.【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质，同时考查了函数的周期性，属于基础题.9.有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，随机取出

3个，则取出的球的编号互不相同的概率是（）．A.47B.37C.27D.17【答案】A【解析】【分析】先求出基本事件总数3856nC==，取出的编号互不相同包含的基本事件个数1118643332cccmA==,由此能求出取出

的编号互不相同的概率.【详解】有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，随机取出3个,基本事件总数3856nC==，取出的编号互不相包含的基本事件个数1118643332cccmA==，则取出的编号互不相同的概率是3

24567mpn===，-7-故选：A【点睛】本题主要考查了概率的求法，查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题.10.设双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左、右焦点分别为1F、2F，与圆222xya+=相切的直

线1PF交双曲线C于点P（P在第一象限），且212PFFF=，则双曲线C的离心率为（）．A.103B.53C.32D.54【答案】B【解析】【分析】先设PF1与圆相切于点M,利用|PF2|=|F1F2|,及直线PF1与圆

x2+y2=a2相切，可得a，c之间的关系，从而可求双曲线的离心率的值.【详解】设PF1与圆相切于点M,如图，因为212PFFF=，所以12PFF△为等腰三角形，N为1PF的中点，所以1114FMPF=，又因为在直角1FMOV中，2222211FMFOaca=−=−，所以1114FMbPF

==①，又12222PFPFaca=+=+②，222cab=+③，-8-由①②③可得2222caca+−=，即为4()caca−=+，即35ca=，解得53cea==，故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线

的定义，双曲线的简单几何性质，属于中档题.11.已知函数()1sincos,4fxxxx=+R，若()fx的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间π,π2，则的取值范围是（）．A.15,24

B.1,22C.15,44D.1,24【答案】A【解析】【分析】化简函数为()2sin()4fxx=+，由题意利用正弦函数的图象的对称性和周期性，求得的取值范围.【详解】因为()sincos2s

in()4fxxxx=+=+1,4xR，若()fx的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间π,π2,则1222−…，即124，由42xk+=+得对称轴方程为4,kxkZ+=,-9-所以

42k+且(1)4k++，kZ，解得152,24kkkZ++,当0k=时，1524，满足124，故的取值范围是1524，故选：A【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性和周期性，属于中档题.12.对

于函数()yfx=，若存在区间,ab，当,xab时的值域为(),0kakbk，则称()yfx=为k倍值函数.若()2xfxex=+是k倍值函数，则实数k的取值范围是（）A.()1,e++B.()2,e++C.1,ee++D.,ee++

【答案】B【解析】【分析】可看出()yfx=在定义域R内单调递增，可得出,ab是方程2xexkx+=的两个不同根，从而得出2xekx=+，通过求导，求出2xex+的值域，进而可得到k的范围．【详解】解：()yfx=在定义域R内单调递增，(),()

fakafbkb==，即2,2abeakaebkb+=+=，即,ab是方程2xexkx+=的两个不同根，∴2xekx=+，-10-设2(1)()2,()xxeexgxgxxx−=+=，∴01x时，()0gx；1x时，()0gx，∴1x=是()gx的

极小值点，()gx的极小值为：(1)2ge=+，又x趋向0时，()gx趋向+；x趋向+时，()gx趋向+，2ke+时，yk=和()ygx=的图象有两个交点，方程2xekx=+有两个解，∴实数k的取值范围是()2,e++．故选B．【点睛】

本题考查了对k倍值函数的理解，根据导数符号判断函数极值点的方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、填空题：（本大题4个小题，每小题5分，共20分）13.我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有5个车次正点率为

0.97，有10个车次的正点率为0.98，有5个车次正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______.【答案】0.98【解析】【分析】先求得总车次，再利用平均正点率求解.【详解】因为总车次：5+10+5=20所以平均正点率：50.

97100.9850.990.9820++=则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98故答案为：0.98【点睛】本题主要考查了样本估计总体，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.已知函数()ln()fxax=+在()(

)0,0f处的切线方程为yx=，则满足()021fx−的x的取值范围为_________.-11-【答案】[2,1]e+【解析】【分析】因为1()fxax=+，可得1(0)1fa==，即1a=，所以()ln(1)fxx=+，()

fx是(1,)−+上的增函数，结合已知，即可求得答案.【详解】1()fxax=+，1(0)1fa==，1a\=，()ln(1)fxx=+，()fx是(1,)−+上的增函数，又()00f=，(1)ln(11)1fee−=−+=，021xe−−，21xe+

.即[2,1]e+故答案为：[2,1]e+【点睛】本题主要考查了根据切线方程求参数和解函数不等式，解题关键是掌握导数求切线方程的方法和导数判断函数单调的解法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15.焦点为F的抛物线2:4Cxy=的准线与坐标轴交于点A，点P在抛物线C上，

则PAPF的最大值为______．【答案】2【解析】【分析】根据抛物线定义转化为||||PAMP取最大值，利用三角函数知直线AP倾斜角最小时，即直线与抛物线相切时，||||PAMP取最大值，联立方程利用判别式为0即可求解

.【详解】根据题意，过P做PM与准线垂直，垂足为M，如图：-12-设PAM=则||||1|||si|nPAPAPFMP==若||||PAPF取得最大值，必有sin取得最小值，则θ取得最小值，此时AP与抛物线相切，设直线AP的

方程为1ykx=−，联立241xyykx==−，消去y得：2440xkx−+=由216160k=−=，解得：1k=或1k=−，取tan1k==来计算，0知，4=，所以||||PAPF的最大值为1222=，故答案为：2【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，直线与抛物线相切

，直线的倾斜角、斜率，属于中档题.16.已知四面体ABCD，2AD=，ABC为边长为3的等边三角形，若顶点A在平面BCD的投影是BCD的垂心，则四面体ABCD的体积为________.-13-【答案】3

4【解析】【分析】由E是BCD的垂心，可证明DBDC=，,DHBCCGDB⊥⊥，进一步证明ACDB⊥，进一步证明D在平面ABC的射影是ABC的中心，所以三棱锥DABC−是正三棱锥，其体积可求.【详解】解：作AE⊥平面BCD，垂足为E，E是BCD的垂心，连结CE交BD于G，连结DE交CB于H，则DH

BC⊥，CGBD⊥因为=ABCA，所以=EBEC，所以H是BC边的中点，HD是BC边的垂直平分线，所以DBDC=，BC平面BCD，BD平面BCD，所以AEBC⊥，AEBD⊥，DH平面ADH，AE

平面ADH，AEDHE=所以BC⊥平面ADH，AH平面ADH，所以BCAH⊥BC平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADH，在平面ADH内作DMAH⊥，垂足为M，平面ABC平面=ADHAH，所以DM⊥平面ABC，A

C平面ABC，所以DMAC⊥连结BM交AC于NCG平面ACG，AE平面ACG，CGDBG=所以BD⊥平面ACG，AC平面AGC，所以ACDB⊥，DM平面DBN，DB平面DBN，DMDBD=，所以AC⊥平面DBN，-14-BN平面DBN，所以ACBN⊥

，由等边三角形的高线、中线、角平分线合一，所以M是ABC的中心，所以三棱锥DABC−是正三棱锥，所以2DADBDC===，33sin602AH==，2321323MAAH===，2222213DMADAM=−=−=，21133(3)33344DABCABCVSDM−==

=△，故答案为：34【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及三棱锥的体积的计算，其中解答中熟记三棱锥的几何结构特征，利用体积公式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必

做题：共60分.17.已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，120C=.（1）若2ab=，求tanA的值；（2）若ACB的平分线交AB于点D，且1CD=，求ABC的面积的最小值.【答案】（1）3tan2A=（2）3【解析】【

分析】（1）解法一：根据条件2ab=、120C=及正弦定理，化为角A的等式，再由正弦差角公式，展开化简即可求得tanA的值；解法二，根据余弦定理求得b、c的等量关系，即可再由余弦定理求得cosA，结合同角三角函数关系式求得sinA，进而求得tanA的值.（2）根据+=ACDBCDABCSSS及

三角形面积公式，代入即可得等式abab+=，结合基本不等式即可求得ab的最小值，进而得ABC的面积的最小值.【详解】（1）解法一：由2ab=及正弦定理知sin2sinAB=，-15-则()sin2sin60AA=−，则sin3cossinAAA=−，得3tan2A=解法二：∵22

222212cos42272cababCbbbbb=+−=+−−=，∴7cb=，则222222742cos2277bcabbbAbcbb+−+−===，∴243sin1cos177AA=−=−=，∴sin3tancos2AAA==.

（2）ACB的平分线交AB于点D，则+=ACDBCDABCSSS，∴111sin60sin60sin120222baab=+，则abab+=，由2ababab+=，得4ab，当且仅当ab=时等号成立，则()min134=322ABCS=△.【点睛】本题考查了正弦定理与余弦

定理在解三角形中的应用，三角形面积公式及基本不等式的用法，属于基础题.18.如图，已知三棱柱111ABCABC−的所有棱长均为2，1π3BBA=．-16-（Ⅰ）证明：11BCAC⊥；（Ⅱ）若平面11ABBA⊥平面ABC，M为11AC的中点，求1

BC与平面1ABM所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）22613【解析】【分析】（Ⅰ）根据等边三角形可知1BDAB⊥，CDAB⊥，可得AB⊥平面1BCD，进而可求1BC⊥平面1ABC，即可求证11BCAC⊥；（Ⅱ）以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，1DB为z轴

建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式计算即可.【详解】证明：（Ⅰ）取AB中点D，连接1BD，CD，1BC．如图，∵三棱柱的所有棱长均为2，1π3BBA=，∴ABC和1ABB△是边长为2的等边三角形，且11BCBC⊥．∴1BDAB

⊥，CDAB⊥．∵1BD，CD平面1BCD，1=BDCDD，∴AB⊥平面1BCD．∵1BC平面1BCD，∴1ABBC⊥．∵AB，1BC平面1ABC，1ABBCB=I，∴1BC⊥平面1ABC，∴11BCAC⊥．-17-（Ⅱ）∵平面11ABBA⊥平面ABC，且交线为AB，由（Ⅰ）知1BD

AB⊥，∴1BD⊥平面ABC．则DB，1DB，DC两两垂直，则以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，1DB为z轴，建立空间直角坐标系．则()0,0,0D，()1,0,0A−，()10,0,3B，()0,3,0C，()11,3,3C−，()12,0,3A−∵M为11A

C的中点，∴33,,322M−，∴()10,3,3BC→=−，()11,0,3AB→=，13,,322AM→=−，设平面1ABM的法向量为(),,nxyz=r，则130133022ABnxzAMn

xyz=+==−++=，取1z=，得()3,3,1n→=−−．设1BC与平面1ABM所成的角为，则1143226sin13613BCnBCn→→→→===．∴1BC与平面1ABM所成角的正弦为2

2613．【点睛】本题主要考查了线线、线面垂直的判定与性质，线面角的向量求法，考查了空间想象力及运算能力，属于中档题.19.点(),Mxy与定点()1,0F的距离和它到直线4x=的距离的比是常数12．-18-（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）

过坐标原点O的直线交轨迹C于A，B两点，轨迹C上异于A，B的点P满足直线AP的斜率为32−．（ⅰ）求直线BP的斜率；（ⅱ）求ABP△面积的最大值．【答案】（Ⅰ）22143xy+=（Ⅱ）（ⅰ）12（ⅱ）23．【解析】【分析】（Ⅰ）利用已知条件可得等式，化简可得曲线

C的轨迹方程;（Ⅱ）（ⅰ）设点()11,Axy，则点()11,Bxy−−,利用点差法即可求解；（ⅱ）由题意转化为2ABPOAPSS=△△，由弦长公式及点到直线的距离求出2ABPOAPSS=△△，利用二次函数求最值即可.【详解】（Ⅰ

）由已知得()221142xyx−+=−，两边平方并化简得223412xy+=，即点M的轨迹C的方程为：22143xy+=．（Ⅱ）（ⅰ）设点()11,Axy，则点()11,Bxy−−，满足2211143xy+=，①设点()22,Pxy，满足2222143xy+=，②由①－②得：(

)()()()12121212043xxxxyyyy−+−++=，∵121232APyykxx−=−=−−，1212BPyykxx+=+，∴121212BPyykxx+==+．（ⅱ）∵A，B关于原点对称，-19-∴2ABPOAPSS=△△，设直线3:2APyx

m=−+，代入曲线22:143xyC+=化简得：223330xmxm−+−=，设()11,Axy，()22,Pxy，由得：212m，12xxm+=，21233mxx−=，()22121212999114144443mAPxxxxxx=+−=++−=+−，点O到直线AP的距

离914md=+，∴24212244233ABPOAPmmSSAPdmm===−=−△△，∴()42221461233ABPmSmm=−+=−−+△，当26m=时，∴ABPS△取到最大值23．【点睛】本题主要考查

了椭圆的轨迹方程，点差法，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积，属于难题.20.某医药开发公司实验室有()*nnN瓶溶液，其中()mmN瓶中有细菌R，现需要把含有细菌R的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验n次；方案二：混合检

验，将n瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R，则n瓶溶液全部不含有细菌R；若检验结果含有细菌R，就要对这n瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为1n+.(1)假设52nm==，，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R的概率；(2)现对n瓶溶液

进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R的概率均为(01)Pp.若采用方案一.需检验的总次数为,若采用方案二.需检验的总次数为.(i)若与的期望相等.试求P关于n的函数解析式()Pfn=;-20-(ii)若14P1e−=−,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的

期望.求n的最大值.参考数据：ln20.69,ln31.10,ln51.61,ln71.95=【答案】（1）310（2）（ⅰ）()1*11nPnn=−N（ii）8【解析】【分析】（1）对可能的情

况分类：<1>前两次检验出一瓶含有细菌第三次也检验出一瓶含有细菌，<2>前三次都没有检验出来，最后就剩下两瓶含有细菌；（2）(i)根据()()EE=，找到P与n的函数关系；(ii)根据()()EE得到关于n的不等式式，构造函数解决问题.【详解】解：（1）记所求事件为A，

“第三次含有细菌R且前2次中有一次含有细菌R”为事件B，“前三次均不含有细菌R”为事件C，则ABC=，且,BC互斥，所以111322333355113()()()51010AAAAPAPBPCAA=+=+=+=（2）()()iEn=，的取值为1,1n+，(1)(1)

,(1)1(1)nnPPPnP==−=+=−−，所以()(1)(1)1(1)1(1)nnnEPnPnnP=−++−−=+−−，由()()EE=得1(1)nnnnP=+−−，所以()1*11nPnn=−N；（ii）141Pe−=−,所以4(

)1nEnne−=+−，所以4(1)nnnen−+−，所以ln0,4nn−设()ln(0)4xfxxx=−，114()44xfxxx−=−=，-21-当(0,4)x时，()0,()fxfx在(0,4)上单调递增；当(

4,)x+时，()0,()fxfx在(4,)+上单调递减又9(8)ln820,(9)ln904ff=−=−，所以n的最大值为8【点睛】本题考查离散型随机变量的均值以及随机事件的概率计算，难

度较难.计算两个事件的和事件的概率，如果两个事件互斥，可将结果写成两个事件的概率之和；均值（或期望）的相关计算公式要熟记..21.已知函数2()2lnfxxaxx=−+．（1）求函数()fx的单调区间；（2）设函数(

)fx有两个极值点12,xx（12xx＜），若()12fxmx恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）(,3−−．【解析】【分析】（1）求出导函数()222()0xaxfxxx−+=，令()222pxxax=−+，利用判别式讨论a

的取值范围，结合导数与函数单调性的关系即可求解.（2）根据题意可得12,xx是方程2220xax−+=的两个不等正实根，由（1）知4a，利用韦达定理得121=xx，且1201xx，然后分离参数只需()12fxmx恒成立，223

1111111121()222ln22ln1fxxxxxxxxxx−−+==−−+，从而令3()22lnhttttt=−−+，利用导数求出()ht的最小值即可求解.【详解】（1）因为2()2lnfxxaxx=−+，所以()222()0xaxfxxx−+=．

令()222pxxax=−+，216a=−，-22-当0即44a−时，()0px，即()0fx，所以函数()fx单调递增区间为()0,+．当即4a<-或4a时，22121616,44aaaaxx

−−+−==．若4a<-，则120xx＜＜，所以()0px，即()0fx，所以函数()fx单调递增区间为()0,+．若4a，则210xx，由()0fx，即()0px＞得10,xx或2xx；由()0fx，即()0px＜得12xxx．所以函数()fx的单调递增区间为

()()120,,,xx+；单调递减区间为()12,xx．综上，当4a时，函数()fx单调递增区间为()0,+；当4a时，函数()fx的单调递增区间为()()120,,,xx+，单调递减区间为()1

2,xx．（2）由（1）得()222()0xaxfxxx−+=，若()fx有两个极值点12,xx，则12,xx是方程2220xax−+=的两个不等正实根，由（1）知4a．则12122,12axxxx+==，故1201xx，要使()12fxmx恒成立，只需()12fxm

x恒成立．因为222311111111111221()2ln222ln22ln1fxxaxxxxxxxxxxxx−+−−+===−−+，令3()22lnhttttt=−−+，则2()32lnhttt=−+，当01t时，()0ht＜，()ht为减函数，所以()(1)3hth=

−．由题意，要使()12fxmx恒成立，只需满足3m−．所以实数m的取值范围(,3−−．【点睛】本题考查函数和导数及其应用、不等式等基础知识；考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力与创新意识；考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想-23-等思

想；考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性、创新性．．（二）选做题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系

，曲线E的极坐标方程为24cos4sin12+−=，直线l的参数方程为1cos2sinxtyt=−+=+(t为参数).点P为曲线E上的动点，点Q为线段OP的中点.（1）求点Q的轨迹(曲线C)的直角坐标方程；

（2）若直线l交曲线C于A，B两点，点(1,2)M−恰好为线段AB的三等分点，求直线l的普通方程.【答案】（1）22223xyxy++−=；（2）30xy−+=或10xy+−=.【解析】【分析】（1）设点Q，P的极坐标分别为(,)，00(,)，由题

意可得22cos2sin3+−=，由极坐标方程与直角坐标方程的转化公式即可得解；（2）直线参数方程代入曲线C的方程得22(cos)(1sin)5tt++=，化简后利用韦达定理结合题意即可得解.【详解】（1）设点Q，P的极坐标分别为(,)，00

(,)，则2000004cos4sin12+−=且02=，0=，所以2(2)4(2)cos4(2)sin12+−=，所以点Q轨迹的极坐标方程为22cos2sin3+−=，

故Q轨迹的直角坐标方程为22223xyxy++−=；（2）由（1）得曲线C的直角坐标方程为22(1)(1)5xy++−=，将直线参数方程代入曲线C的方程得22(cos)(1sin)5tt++=，即22sin40t

t+−=，，-24-由点(1,2)M−恰好为线段AB的三等分点，不妨设方程两根为,2tt−，所以22sin24tttt−+=−−=−，即22sin2tt=−=，所以2211sincos22==，又sin与cos在一、三象限同号，二、四象限异号，所以

直线的斜率tan1k==，又直线过(1,2)M−，故直线的普通方程为30xy−+=或10xy+−=.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查了参数方程t的几何意义的应用，属于中档题.23

.已知函数()()0,0fxxaxbab=−++．（Ⅰ）当1ab==时，解不等式()2fxx+；（Ⅱ）若()fx的值域为)2,+，证明：111211abab++++．【答案】（Ⅰ）02xx．（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）分区间讨论去掉绝对值号即可求解；（Ⅱ）根据绝对值不等

式可得2ab+=，变形()()114ab+++=，利用基本不等式即可求证.【详解】（Ⅰ）当1ab==时，不等式为112xxx−+++，当1x−时，不等式化为2223xxx−+−，此时不等式无解

；当11x−时，不等式化为220xx+，故01x；当1x时，不等式化为222xxx+，故12x．综上可知，不等式的解集为02xx．（Ⅱ）()fxxaxbab=−+++，∵()fx的值域为)2,+，且0a，0b，故2ab+=．故()()111111111

11411ababababab++=+++++++++-25-11112411baabab++=+++++2111222112411baabab++++=+=+++

（当且仅当1ab==时取等号）．【点睛】本题主要考查了分类讨论解不等式，基本不等式的运用，属于中档题.-26-