【文档说明】【精准解析】2021届高考数学一轮知能训练：第七章第8讲　轨迹与方程【高考】.docx，共(7)页，96.108 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

第8讲轨迹与方程1．已知F是抛物线y＝14x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是()A．x2＝2y－1B．x2＝2y－116C．x2＝y－12D．x2＝2y－22．已知椭圆的焦点为F1，F2，P是椭圆上一个动点，延长F1P到点Q，

使|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线3．(2019年浙江杭州检测)已知F1，F2是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任意一点，从焦点F1引∠F1QF2的平分

线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹为()A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线4．(2018年吉林长春模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A.4x221－4y225＝1B.4x221＋4

y225＝1C.4x225－4y221＝1D.4x225＋4y221＝15．已知点A()3，0，若动直线x＝t(t>0且t≠3)与曲线x4＝16y2交于B，C两点，则△ABC周长的最小值为()A．2B．4C．27－2D．276．(多选)下列说法正确的是()A．方程x2＋xy＝x表示两条直线B．椭

圆x210－m＋y2m－2＝1的焦距为4，则m＝4C．曲线x225＋y29＝xy关于坐标原点对称D．双曲线x2a2－y2b2＝λ的渐近线方程为y＝±bax7．(多选)在平面直角坐标系xOy中，动点P到两个定点F

1(－1,0)和F2(1,0)的距离之积等于8，记点P的轨迹为曲线E，则()A．曲线E经过坐标原点B．曲线E关于x轴对称C．曲线E关于y轴对称D．若点(x，y)在曲线E上，则－3≤x≤38．长为3的线段AB的端点A，B分别在x，y轴上移动，动点C(x，y)满足AC

→＝2CB→，则动点C的轨迹方程为________________．9．已知A，B分别是直线y＝33x和y＝－33x上的两个动点，线段AB的长为23，P是AB的中点，则动点P的轨迹C的方程为____________．10．(2016年新课标Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于

x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．11．(2019年新课标Ⅲ)已知曲线C：y＝x22，D为直线y＝－12上的动

点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E0，52为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．12．已知椭圆C：x28＋y24＝1的左右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于

A，B两点．O为坐标原点．(1)若直线l过点F1，且|AF2|＋|BF2|＝1623，求直线l的方程；(2)若以AB为直径的圆过点O，点P是线段AB上的点，满足OP⊥AB，求点P的轨迹方程．第8讲轨迹与方程1．A解析：把抛物线方程y＝14x2化成标准形式x2＝4y，可得焦点F(0

,1)，设P(x0，y0)，PF的中点M(x，y)．由中点坐标公式得x＝x02，y＝y0＋12，∴x0＝2x，y0＝2y－1，又∵P(x0，y0)在抛物线y＝14x2上，∴2y－1＝14(2x)2，即x2＝2y－1

，故选A.2．A3．B解析：不妨设点Q在双曲线的右支上，延长F1P交直线QF2于点S，∵QP是∠F1QF2的平分线，且QP⊥F1S，∴P是F1S的中点．∵O是F1F2的中点，∴PO是△F1SF2的中位线，∴|PO|＝12|F2S|＝12(|QS|－|QF2|)＝12(|QF1|－|QF2|)＝a

(定值)，∴点P的轨迹为圆．4．D解析：∵M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹是以定点C，A为焦点的椭圆，如图D190.图D190∴a＝52，c＝1，则b2＝a2－c2＝214，∴椭圆的标准方程为4x225＋4y22

1＝1，故选D.5．A解析：曲线x4＝16y2由x2＝4y和x2＝－4y组成，设直线x＝t(t>0且t≠3)与x轴交于点D，与曲线x4＝16y2在第一象限交于B点，F(0,1)，根据对称性，得△ABC的周长为2(|AB|＋|BD|)＝2(|AB|＋|BF|－1)≥2(|

AF|－1)＝2×(2－1)＝2.6．ACD7．BCD解析：设P(x，y)，由已知，|PF1||PF2|＝8，即(x＋1)2＋y2×(x－1)2＋y2＝8，化简得(x2＋y2＋1)2－4x2＝64，原点(0,0)不满足

方程，A错误；用(x，－y)换(x，y)，方程不变，∴曲线E关于x轴对称，B正确；同理用(－x，y)换(x，y)，方程不变，∴曲线E关于y轴对称，C正确；令y＝0，得(x＋1)2(x－1)2＝64，即x2－1＝8，所以x

＝±3，故－3≤x≤3，D正确．故选BCD.8．x2＋y24＝1解析：设A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9.又C(x，y)，则由AC→＝2CB→，得(x－a，y)＝2(－x，b－y)．即x－a＝－2x，y＝2b－2y.即a＝3x，b＝32y.代入a2＋b2＝9，

并整理，得x2＋y24＝1.9.x29＋y2＝1解析：设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵P是线段AB的中点，∴x＝x1＋x22，y＝y1＋y22.①∵A，B分别是直线y＝33x和y＝－33x上的点，∴y1＝33x1，y2＝－33x2.代入①，得

x1－x2＝23y，y1－y2＝233x.②又|AB→|＝23，∴(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝12.∴12y2＋43x2＝12.∴动点P的轨迹C的方程为x29＋y2＝1.10．(1)证明：由题设知F12，0.设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，且Aa22，

a，Bb22，b.则P－12，a，Q－12，b，R－12，a＋b2.记过A，B两点的直线为l，则直线l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1

＝a－b1＋a2＝a－ba2－ab＝1a＝－aba＝－b＝k2.∴AR∥FQ.(2)解：设直线l与x轴的交点为D(x1,0)，则S△ABF＝12|b－a||FD|＝12|b－a|x1－12，S△PQF＝|a－b|2.由题设可得2×12|b－

a|x1－12＝|a－b|2，∴x1＝0(舍去)，x1＝1.方法一，设满足条件的AB的中点为E(x，y)．当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE，可得2a＋b＝yx－1(x≠1)．而a＋b2＝y，∴y2＝x－1(x≠1)．当AB与x轴垂直时，

E与D重合．故所求轨迹方程为y2＝x－1.方法二，利用点差法，设A(x1，y1)，B(x2，y2),AB的中点为E(x，y)，直线AB过点D(1,0)．由y21＝2x1，y22＝2x2两式相减得y21－y22＝(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，当AB与x轴不垂直时

，得kAB＝y1－y2x1－x2＝2y1＋y2＝22y＝1y＝kDE＝y－0x－1(x≠1)，整理，得y2＝x－1(x≠1)，当AB与x轴垂直时，E与D重合．故所求方程为y2＝x－1.11．(1)证明：设Dt，－12，A(x1，y1)，

则y1＝12x21.又∵y＝12x2，∴y′＝x.则切线DA斜率为x1，故y1＋12＝x1(x1－t)，整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理得2tx2－2y2＋1＝0.A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足

直线方程2tx－2y＋1＝0.于是直线2tx－2y＋1＝0过点A，B，而两个不同的点确定一条直线，∴直线AB方程为2tx－2y＋1＝0，即2tx＋(－2y＋1)＝0，当2x＝0，－2y＋1＝0时等式恒成立，∴直线AB恒过定点0，12.(2)解：由(1)得直线AB方程为2tx－2y＋

1＝0，和抛物线方程联立得：2tx－2y＋1＝0，y＝12x2，化简，得x2－2tx－1＝0.于是x1＋x2＝2t，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1.设M为线段AB的中点，则Mt，t2＋12.由于EM→⊥AB→，而EM→＝

(t，t2－2)，AB→与向量(1，t)平行，∴t＋t(t2－2)＝0，解得t＝0或t＝±1.当t＝0时，EM→＝(0，－2)，|EM→|＝2，所求圆的方程为x2＋y－522＝4；当t＝±1时，EM→＝(1，－1)或EM→＝(－1，－1)，|EM→|＝2，所求圆

的方程为x2＋y－522＝2.∴圆的方程为x2＋y－522＝4或x2＋y－522＝2.12．解：(1)由椭圆定义，得|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝82，则|AB|＝823.∵直线l过点F1(－2,0)，∴m＝2k即直线l的方程为y

＝k(x＋2)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立y＝k(x＋2)，x2＋2y2－8＝0，整理，得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－8＝0.∴x1＋x2＝－8k21＋2k2，x1x2＝8k2－81＋2k2.又由弦长公式，得|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4

x1x2]＝823，代入整理，得1＋k21＋2k2＝23，解得k＝±1.∴直线l的方程为y＝±(x＋2)，即x－y＋2＝0或x＋y＋2＝0.(2)设直线l方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立y＝kx＋m，x2

＋2y2－8＝0，整理，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－8＝0.∴x1＋x2＝－4km2k2＋1,x1x2＝2m2－82k2＋1.以AB为直径的圆过原点O，即OA→·OB→＝0.∴OA→·OB→＝x1x2＋y

1y2＝0.将y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m代入，整理，得(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0.将x1＋x2＝－4km2k2＋1，x1x2＝2m2－82k2＋1代入，整理，得3m2＝8k2＋8.∵点P是线段AB上的点，满足OP⊥AB，设

点O到直线AB的距离为d，∴|OP|＝d，于是|OP|2＝d2＝m2k2＋1＝83(定值)，∴点P的轨迹是以原点为圆心，83为半径的圆，且去掉圆与x轴的交点．故点P的轨迹方程为x2＋y2＝83(y≠0)．获得更多资源请扫

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