【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修二）专题8.9 空间直线、平面的平行（重难点题型精讲） Word版含解析.docx，共(27)页，1.663 MB，由小赞的店铺上传

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专题8.9空间直线、平面的平行（重难点题型精讲）1．直线与直线平行(1)基本事实4①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行.②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c.③作用：判断或证明空间中两条直线平行.(2)空间等角定理①自然语言：如果空间

中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=.2．直线与平面平行(1)判定定理①自然语言如果平面外一条直线与此平面

内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.②图形语言③符号语言.该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”.(2)性质定理①自然语言一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.②图形语言③符号语言.该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”.(3)性质定理的

作用①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行.②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行

，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线.3．平面与平面平行(1)判定定理①自然语言如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.②图形语言③符号语售.该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”.(2)判定定理的

推论①自然语言如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.②图形语言③符号语言.(3)性质定理①自然语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行

.②图形语言③符号语言.该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”.(4)两个平面平行的其他性质①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面.②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等.③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的

线段对应成比例.⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.4．平行关系的相互转化及综合应用(1)证明线线平行的常用方法①利用线线平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线.②利用基本事实4：平行

于同一条直线的两条直线平行.③利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半.④利用平行线分线段成比例定理.⑤利用线面平行的性质定理.⑥利用面面平行的性质定理.⑦利用反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而得出两条直线是平行的.(2)证明

线面平行的常用方法①利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点.②利用直线与平面平行的判定定理：a，a∥b，b，则a∥.使用定理时，一定要说明“平面外一条直线与此平面内的一条直线平行”，若不注明，则证明过程不完整.

因此，要证明a∥，则必须在平面内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的，这三个条件缺一不可.③利用面面平行的性质：若平面∥平面，直线a，则a∥.④利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在排除“直线在平面内”和“直线与

平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重视.(3)平面与平面平行的判定方法①根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难.②根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交

直线，分别证明它们平行于另一个平面，则这两个平面平行.③根据判定定理的推论：在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行，则这两个平面平行.④根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面平行.⑤利用反证法.(4)平行关系的相互转化常见的平行关系

有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的，如图所示.【题型1证明线线平行】【方法点拨】掌握线线平行的判定方法，结合题目条件，进行求解，即可证明线线平行.【例1】（2023·上海·高二专题

练习）若∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐴1𝑂1𝐵1，且𝑂𝐴∥𝑂1𝐴1，𝑂𝐴与𝑂1𝐴1方向相同，则下列结论正确的有（）A．𝑂𝐵∥𝑂1𝐵1且方向相同B．𝑂𝐵∥𝑂1𝐵1，方向可能不同C．OB与𝑂1𝐵1不平行D．OB与𝑂1𝐵1不一定平行【解

题思路】画出图形，当满足题目中的条件时，出现的情况有哪些，即可得出结论．【解答过程】解：如图，；当∠AOB=∠A1O1B1时，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，OB与O1B1是不一定平行．故选：D．【变式1-1】（2022·全国·高一专题练习）如图，在正方体𝐴

𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，直线𝑙⊂平面𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1，且直线𝑙与直线𝐵1𝐶1不平行，则下列一定不可能的是（）A．l与AD平行B．l与AD不平行C．l与AC平行D．l与BD平行

【解题思路】假设𝑙//𝐴𝐷，通过平行线的传递性推出与题中条件相反的结论来说明直线𝑙与直线𝐴𝐷一定不平行；当𝑙与𝐴1𝐶1平行时，选项C正确；当𝑙与𝐵1𝐷1平行时，选项D正确.【解答过程】假

设𝑙//𝐴𝐷，则由𝐴𝐷//𝐵𝐶//𝐵1𝐶1，知𝑙//𝐵1𝐶1，这与直线𝑙与直线𝐵1𝐶1不平行矛盾，所以直线𝑙与直线𝐴𝐷不平行.故选：A.【变式1-2】（2022·全国·高一专题练习）如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C

1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（）A．3条B．4条C．5条D．6条【解题思路】由E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，结合正方体的结构特征，即可求解.【解答过程】由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，因为与棱B1C

1平行的棱还有3条：AD,BC，A1D1，所以共有4条.故选：B.【变式1-3】（2022春·高一课时练习）如图，在三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，𝐸,𝐹,𝐺,𝐻,𝐼,𝐽分别为线段𝑃𝐴,𝑃𝐵,𝑃𝐶,𝐴𝐵,𝐵𝐶,𝐶𝐴的中点，则下列说法正确的是A．𝑃𝐻||𝐵𝐺B

．𝐼𝐸||𝐶𝑃C．𝐹𝐻||𝐺𝐽D．𝐺𝐼||𝐽𝐻【解题思路】由平行公理即可得解.【解答过程】由题意结合三角形中位线的性质可得：𝐹𝐻∥𝑃𝐴,𝐺𝐽∥𝑃𝐴，由平行公理可得：𝐹𝐻∥𝐺𝐽.故选C.【题型2直线与平面平行的判定】【方法点拨】使用直线与平面平行

的判定定理时，关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线，具体操作中，我们可以利用几何体的特征，合理利用中位线定理，或者构造平行四边形等证明两直线平行.【例2】（2023·高一课时练习）已知A、B、C、D是不共面四点，M、N分别是△�

�𝐶𝐷、△𝐵𝐶𝐷的重心．以下平面中与直线𝑀𝑁平行的是（）①平面𝐴𝐵𝐶；②平面𝐴𝐵𝐷；③平面𝐴𝐶𝐷；④平面𝐵𝐶𝐷．A．①③B．①②C．①②③D．①②③④【解题思路】由已知以及重心定理可推得𝐸𝑀𝐸𝐴=𝐸𝑁𝐸𝐵=13，进而得

到𝑀𝑁//𝐴𝐵，根据线面平行的判定定理可得①②正确；进而可判断直线𝑀𝑁与平面𝐴𝐶𝐷以及平面𝐵𝐶𝐷相交，即可得出③④错误.【解答过程】如图，取𝐶𝐷中点为𝐸，连结𝐴𝐸、𝐵𝐸.由已知以及重

心定理可得，𝐴𝑀𝑀𝐸=21，𝐵𝑁𝑁𝐸=21，则𝐸𝑀𝐸𝐴=13，𝐸𝑁𝐸𝐵=13.所以𝐸𝑀𝐸𝐴=𝐸𝑁𝐸𝐵=13，所以𝑀𝑁//𝐴𝐵.因为𝑀𝑁⊄平面𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐵⊂平面𝐴𝐵

𝐶，所以𝑀𝑁//平面𝐴𝐵𝐶，故①正确；因为𝑀𝑁⊄平面𝐴𝐵𝐷，𝐴𝐵⊂平面𝐴𝐵𝐷，所以𝑀𝑁//平面𝐴𝐵𝐷，故②正确；因为𝑀∈平面𝐴𝐶𝐷，𝑁∉平面𝐴𝐶𝐷，所以𝑀𝑁与平面𝐴𝐶𝐷不平行，故③错误；因为𝑁∈

平面𝐵𝐶𝐷，𝑀∉平面𝐵𝐶𝐷，所以𝑀𝑁与平面𝐵𝐶𝐷不平行，故④错误.故选：B.【变式2-1】（2022秋·内蒙古呼和浩特·高二期中）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个

顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）A．B．C．D．【解题思路】利用线面平行判定定理可知B，C，D均不满足题意，A选项可证明出直线AB与平面MNQ不平行，

从而可得答案.【解答过程】对于选项B，如图1，连接CD，因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CD//MQ，由于AB//CD，所以AB//MQ，因为𝐴𝐵⊄平面𝑀𝑁𝑄，𝑀𝑄⊂平面𝑀𝑁𝑄，所以AB//平面MNQ，

B选项不满足题意；对于选项C，如图2，连接CD，因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CD//MQ，由于AB//CD，所以AB//MQ，因为𝐴𝐵⊄平面𝑀𝑁𝑄，𝑀𝑄⊂平面𝑀𝑁𝑄，所以AB//平面MNQ，C选项不满足题意；对于选项D，如图3，连接C

D，因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CD//NQ，由于AB//CD，所以AB//NQ，因为𝐴𝐵⊄平面𝑀𝑁𝑄，𝑁𝑄⊂平面𝑀𝑁𝑄，所以AB//平面MNQ，可知D不满足题意；如图4，取BC的中点D，连接QD，因为Q是AC

的中点，所以QD//AB，由于QD与平面MNQ相交，故AB与平面MNQ不平行，A正确.故选：A.【变式2-2】（2022秋·广东湛江·高三统考阶段练习）如图，在长方体𝐴𝐵𝐶𝐷-𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，M是棱𝐶1𝐷1的中点，

则（）A．𝐵1𝐶//平面𝐴1𝐵𝑀B．𝐴1𝐵1//平面BDMC．𝐵𝑀//平面𝐴𝐶𝐷1D．𝐵𝐶1//平面𝐴1𝑀𝐶【解题思路】作出过点𝐴1,𝐵,𝑀的正方体的截面判断A；作出过点𝐵,𝐷,𝑀的正方体的截面判断

B；作出过点𝐴,𝐶,𝐷1的正方体的截面判断C；作出过点𝐴1,𝑀,𝐶的正方体的截面判断D作答.【解答过程】在长方体𝐴𝐵𝐶𝐷-𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，M是棱𝐶1𝐷1的中点，对于A，取𝐶𝐶1中点N，连接𝑀�

�,𝐵𝑁,𝐶𝐷1，如图，正方体𝐴𝐵𝐶𝐷-𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的对角面𝐴1𝐵𝐶𝐷1是矩形，𝐴1𝐵//𝐷1𝐶//𝑀𝑁，即𝐵𝑁⊂平面𝐴1𝐵𝑀，而𝐵1𝐶与BN相交，则𝐵1𝐶与平面𝐴1𝐵𝑀有公共点，A不正确；对于B，取�

�1𝐶1中点P，连接𝑀𝑃,𝐵𝑃,𝐷1𝐵1，如图，正方体𝐴𝐵𝐶𝐷-𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的对角面𝐵𝐷𝐷1𝐵1是矩形，𝐷𝐵//𝐷1𝐵1//𝑀𝑃，而𝐴1𝐵1∩𝐷1𝐵1=𝐵1，又𝐴1𝐵1,𝐷1𝐵1,𝑀𝑃都在平面𝐴1𝐵1𝐶1�

�1内，则𝐴1𝐵1与MP相交，因此𝐴1𝐵1与平面𝐵𝐷𝑀有公共点，B不正确；对于C，取𝐴𝐵中点Q，连接𝐷1𝑄，如图，𝐴𝐵//𝐴1𝐵1//𝐷1𝐶1,𝐴𝐵=𝐴1𝐵1=𝐷1𝐶1，则𝐵𝑄//𝐷1𝑀,𝐵𝑄=�

�1𝑀，四边形𝐵𝑄𝐷1𝑀是平行四边形，因此𝐵𝑀//𝐷1𝑄，又𝐷1𝑄∩平面𝐴𝐶𝐷1=𝐷1，则BM与平面𝐴𝐶𝐷1相交，C不正确；对于D，取𝐴𝐵中点Q，𝐴1𝐵1中点O，连接𝐴1𝑄,𝐶𝑄,𝑀𝑄,𝐶1𝑂,𝑂

𝑄，如图，正方形𝐴𝐵𝐵1𝐴1中，𝑄𝑂//𝐵𝐵1//𝐶𝐶1,𝑄𝑂=𝐵𝐵1=𝐶𝐶1，则四边形𝐶𝐶1𝑂𝑄是平行四边形，有𝐶𝑄//𝐶1𝑂，正方形𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴1𝑂//𝑀𝐶1,𝐴1𝑂=𝑀𝐶1，即四边

形𝐴1𝑀𝐶1𝑂是平行四边形，有𝐴1𝑀//𝐶1𝑂//𝐶𝑄，又𝐶1𝑀//𝐴1𝐵1//𝐵𝑄,𝐶1𝑀=12𝐴1𝐵1=𝐵𝑄，四边形𝐶1𝑀𝑄𝐵是平行四边形，则𝐵𝐶1

//𝑀𝑄，因𝑀𝑄⊂平面𝐴1𝑀𝐶，𝐵𝐶1⊄平面𝐴1𝑀𝐶，𝐵𝐶1//平面𝐴1𝑀𝐶，D正确.故选：D.【变式2-3】（2022秋·四川·高二阶段练习）如图，正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，E为𝐷𝐷1的中点，则下

列直线中与平面AEC平行的是（）A．𝐴𝐷1B．𝐴𝐴1C．𝐵𝐷1D．EO【解题思路】根据线面平行的判定定理即可得出答案.【解答过程】解：对于A，因为直线𝐴𝐷1与平面AEC交于点𝐴，故不平行；对于B，因为直线𝐴𝐴1与平面AEC交于点𝐴，故不平行；对于C

，在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，因为E为𝐷𝐷1的中点，𝑂为𝐵𝐷的中点，所以𝐸𝑂∕∕𝐵𝐷1，又𝐸𝑂⊂平面AEC，𝐵𝐷1⊄平面AEC，所以𝐵𝐷1∕∕平面AEC；对于D，因为𝐸𝑂⊂平面AEC，故不平行.故选

：C.【题型3平面与平面平行的判定】【方法点拨】第一步：在一个平面内找出两条相交直线；第二步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面；第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论.【例3】（2022·全国·高三专题练习）下列四个正方体

中，𝐴、𝐵、𝐶为所在棱的中点，则能得出平面𝐴𝐵𝐶//平面𝐷𝐸𝐹的是（）A．B．C．D．【解题思路】利用反证法可判断A选项；利用面面平行的判定定理可判断B选项；利用反证法结合面面平行的性质

可判断C选项；利用面面平行的判定和性质定理、结合反证法可判断D选项.【解答过程】对于A选项，若平面𝐴𝐵𝐶//平面𝐷𝐸𝐹，𝐴𝐶⊂平面𝐴𝐵𝐶，则𝐴𝐶//平面𝐷𝐸𝐹，由图可知𝐴𝐶与平面𝐷𝐸𝐹相交，故平面𝐴𝐵�

�与平面𝐷𝐸𝐹不平行，A不满足条件；对于B选项，如下图所示，连接𝑁𝐺，因为𝐴、𝐶分别为𝑃𝑁、𝑃𝐺的中点，则𝐴𝐶//𝑁𝐺，在正方体𝐸𝐻𝐷𝐺−𝑀𝐹𝑁𝑃中，𝐹𝑁//𝐸𝐺且𝐹𝑁=𝐸𝐺，故四

边形𝐸𝐹𝑁𝐺为平行四边形，所以，𝑁𝐺//𝐸𝐹，∴𝐴𝐶//𝐸𝐹，∵𝐴𝐶⊄平面𝐷𝐸𝐹，𝐸𝐹⊂平面𝐷𝐸𝐹，∴𝐴𝐶//平面𝐷𝐸𝐹，同理可证𝐵𝐶//平面𝐷𝐸𝐹，∵𝐴𝐶∩𝐵𝐶=𝐶，

因此，平面𝐴𝐵𝐶//平面𝐷𝐸𝐹，B满足条件；对于C选项，如下图所示：在正方体𝑃𝐻𝐷𝐺−𝑀𝑁𝐹𝐸中，若平面𝐴𝐵𝐶//平面𝐷𝐸𝐹，且平面𝐷𝐸𝐹//平面𝑀𝑁𝐻𝑃，则平面𝐴𝐵𝐶/

/平面𝑀𝑁𝐻𝑃，但这与平面𝐴𝐵𝐶与平面𝑀𝑁𝐻𝑃相交矛盾，因此，平面𝐴𝐵𝐶与平面𝐷𝐸𝐹不平行，C不满足条件；对于D选项，在正方体𝑃𝐷𝐻𝐺−𝐹𝑁𝐸𝑀中，连接𝑃𝐻、𝑃𝑀、𝑀𝐻

，如下图所示：因为𝐷𝐻//𝐹𝑀且𝐷𝐻=𝐹𝑀，则四边形𝐷𝐻𝑀𝐹为平行四边形，则𝐷𝐹//𝑀𝐻，∵𝐷𝐹⊄平面𝑃𝐻𝑀，𝑀𝐻⊂平面𝑃𝐻𝑀，所以，𝐷𝐹//平面𝑃𝐻𝑀，

同理可证𝐸𝐹//平面𝑃𝐻𝑀，∵𝐷𝐹∩𝐸𝐹=𝐹，所以，平面𝐷𝐸𝐹//平面𝑃𝐻𝑀，若平面𝐴𝐵𝐶//平面𝐷𝐸𝐹，则平面𝐴𝐵𝐶//平面𝑃𝐻𝑀，这与平面𝐴𝐵𝐶与平面𝑃𝐻𝑀相交矛盾，故平面𝐴𝐵𝐶与平面𝐷𝐸𝐹不平行，D不满足条

件.故选：B.【变式3-1】（2022秋·北京海淀·高二期中）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有（）A．BD1∥GHB．BD∥EFC．平面EFGH∥平面ABCDD．平面EFGH∥平面A1BCD1【解题

思路】根据题意，结合图形，分别判断选项中的命题是否正确即可．【解答过程】易知GH∥D1C，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD1，GH不可能互相平行，故选项A错误；易知EF∥A1B，与选项A同理，可判断选项B错误；因为EF∥A1B，而直线A1B与平面ABC

D相交，故直线EF与平面ABCD也相交，所以平面EFGH与平面ABCD相交，选项C错误；对于D，平面𝐸𝐹𝐺𝐻//平面𝐴1𝐵𝐶𝐷1，理由是：由𝐸，𝐹，𝐺，𝐻分别是棱𝐴1𝐵1，𝐵𝐵1，𝐶𝐶1，𝐶1𝐷1的中点，得出𝐸𝐹//𝐴1𝐵，�

�𝐻//𝐴1𝐷1，所以𝐸𝐹//平面𝐴1𝐵𝐶𝐷1，𝐸𝐻//平面𝐴1𝐵𝐶𝐷1，又𝐸𝐹∩𝐸𝐻=𝐸，所以平面𝐸𝐹𝐺𝐻//平面𝐴1𝐵𝐶𝐷1．故选：D．【变式3-2】（2022·浙江·高三专题练习）如图所示，在正

方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，点𝐸，𝐹，𝑀，𝑁分别为棱𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐷𝐷1，𝐷1𝐶1上的中点，下列判断正确的是（）A．直线𝐴𝐷//平面𝑀𝑁𝐸B．直线𝐹𝐶1//面𝑀𝑁𝐸C．平面�

�1𝐵𝐶//平面𝑀𝑁𝐸D．平面𝐴𝐵1𝐷1//平面𝑀𝑁𝐸【解题思路】根据平面的基本性质做出截面，如图所示，然后根据线面平行的定义否定AB,根据面面平行的定义否定C,利用面面平行的判定定理证得D.【解答过程】过点𝑀，𝑁，𝐸的截面如图所示(𝐻，𝐼，𝐽均为中点)，所以直线

𝐴𝐷与其相交于𝐻点，故A项错误；直线𝐹𝐶1与直线𝐼𝐽在平面𝐵𝐶𝐶1𝐵1必定相交，故B项错误；直线𝐴1𝐵与直线𝐸𝐼相交，故平面𝐴1𝐵𝐶与平面𝑀𝑁𝐸不平行，C项错误；易得直线𝐴𝐵1//直线𝐸�

�，直线𝐴𝐷1//直线𝑀𝐻，又∵𝐴𝐵1∩𝐴𝐷1=𝐴,所以平面𝐴𝐵1𝐷1//平面𝑀𝑁𝐸.故选:D.【变式3-3】（2022春·湖北·高二阶段练习）如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是（）

A．B．C．D．【解题思路】延拓过点𝑃,𝑄,𝑅三点的平面，再根据平面与平面的判定定理，即可容易判断选择.【解答过程】由题意可知经过P、Q、R三点的平面即为平面𝑃𝑆𝑅𝐻𝑁𝑄，如下图所示：对𝐵,𝐶选项：可知N在经过P、Q

、R三点的平面上，所以B、C错误；对𝐴：MC1与𝑄𝑁是相交直线，所以A不正确；对𝐷：因为𝐴1𝐶1//𝑅𝐻，，𝐵𝐶1//𝑄𝑁，𝐴1𝐶1∩𝐵𝐶1=𝐶1,又容易知𝑅𝐻,𝑄𝑁也相交，𝐴1𝐶1,𝐵𝐶1平面𝐴1𝐶1𝐵；𝑅𝐻,𝑄𝑁⊂平面

𝑃𝑆𝑅𝐻𝑁𝑄，故平面𝐴1𝐶1𝐵//平面𝑃𝑆𝑅𝐻𝑁𝑄故选：𝐷.【题型4线面平行性质定理的应用】【方法点拨】应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行

.还可以利用交线判断已知平面内任意一条直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内，所有与交线平行的直线都与已知直线平行，所有与交线相交的直线都与已知直线异面.【例4】（2022春·浙江·高一期中）下列命题中正确的是（）A．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行B．

平面𝛼内有不共线的三个点A，B，C到平面𝛽的距离相等，则𝛼∥𝛽C．𝑏∥𝛼，𝛼∥𝛽，则𝑏∥𝛽D．𝑎∥𝛼，𝑎∥𝑏，𝑏⊄𝛼，则𝑏∥𝛼【解题思路】根据线面平行的判断和性质理

解辨析.【解答过程】对于A：若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内的无数条直线平行，但不是任意一条，A错误；对于B：由题意可得：𝛼∥𝛽或𝛼与𝛽相交，B错误；对于C：根据题意可得：𝑏∥𝛽或𝑏⊂𝛽，C错误；对于D：∵𝑎∥𝛼，则∃𝑚⊂𝛼，使得𝑎∥𝑚，则𝑎∥𝑚，∴𝑏

∥𝑚，𝑏⊄𝛼,𝑚⊂𝛼，∴𝑏∥𝛼，D正确；故选：D.【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）已知直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的侧棱和底面边长均为1，𝑀，𝑁分别是棱𝐵𝐶，𝐴1𝐵1上的点，且𝐶𝑀=2𝐵1𝑁=𝜆，当𝑀𝑁//平面𝐴𝐴1𝐶

1𝐶时，𝜆的值为（）A．34B．23C．12D．13【解题思路】过𝑁作𝑁𝑃//𝐵1𝐶1交𝐴1𝐶1于𝑃，利用线面平行的性质可得𝑀𝑁//𝐶𝑃，进而可得四边形𝑀𝑁𝑃𝐶为平行四边形，𝑁𝑃=

1−𝜆2=𝜆=𝐶𝑀，即得.【解答过程】过𝑁作𝑁𝑃//𝐵1𝐶1交𝐴1𝐶1于𝑃，连接𝐶𝑃，因为𝑀𝐶//𝐵1𝐶1，∴𝑁𝑃//𝑀𝐶，故𝑁,𝑃,𝑀,𝐶共面,因为𝑀𝑁//平面

𝐴𝐴1𝐶1𝐶，平面𝑀𝑁𝑃𝐶∩平面𝐴𝐴1𝐶1𝐶=𝐶𝑃，𝑀𝑁⊂平面𝑀𝑁𝑃𝐶，所以𝑀𝑁//𝐶𝑃，又𝑁𝑃//𝑀𝐶,∴四边形𝑀𝑁𝑃𝐶为平行四边形，又𝐶𝑀

=2𝐵1𝑁=𝜆，∴𝑁𝑃=1−𝜆2=𝜆=𝐶𝑀，所以𝜆=23.故选：B．【变式4-2】（2022·全国·高三专题练习）若直线𝑎//平面𝛼，𝐴∉𝛼，且直线𝑎与点𝐴位于𝛼的两侧，𝐵，𝐶∈𝑎，𝐴𝐵，𝐴𝐶分别交平面𝛼

于点𝐸，𝐹，若𝐵𝐶=4，𝐶𝐹=5，𝐴𝐹=3，则𝐸𝐹的长为（）A．3B．32C．34D．23【解题思路】根据线面平行可得线线平行，从而可求𝐸𝐹=32.【解答过程】∵𝐵𝐶//𝛼，𝐵𝐶⊂平面𝐴𝐵𝐶，平面𝐴𝐵𝐶∩𝛼=𝐸𝐹，∴𝐸𝐹//𝐵𝐶，∴𝐴

𝐹𝐴𝐶=𝐸𝐹𝐵𝐶，即35+3=𝐸𝐹4，∴𝐸𝐹=32.故选：B.【变式4-3】（2022春·江西南昌·高二阶段练习）如图，在三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，点D，E分别为棱𝑃𝐵、𝐵𝐶的中点，点G为𝐶𝐷、𝑃𝐸的交点，若点F在线段𝐴𝐶上，且满足𝐴𝐷

//平面𝑃𝐸𝐹，则𝐴𝐹𝐹𝐶的值为（）A．1B．2C．12D．23【解题思路】结合线面平行的性质定理证得𝐴𝐷//𝐹𝐺，结合三角形的重心求得𝐴𝐹𝐹𝐶.【解答过程】由于𝐴𝐷//平面𝑃𝐸𝐹，𝐴𝐷⊂平面𝐴𝐶𝐷，平面𝐴�

�𝐷∩平面𝑃𝐸𝐹=𝐹𝐺，根据线面平行的性质定理可知𝐴𝐷//𝐹𝐺.由于点D，E分别为棱𝑃𝐵、𝐵𝐶的中点，点G为𝐶𝐷、𝑃𝐸的交点，所以𝐺是三角形𝑃𝐵𝐶的重心，所以𝐴𝐹𝐹𝐶=𝐷𝐺𝐺𝐶=12.故选：C.【题型5面

面平行性质定理的应用】【方法点拨】应用面面平行的性质定理时，找出一个平面中的一条直线，则该直线与另一个平面平行，据此可解题.【例5】（2022·高一课时练习）如图，在四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1//

平面𝐶𝐷𝐷1𝐶1，且𝐴𝐹//𝐸𝐶1，则四边形𝐴𝐸𝐶1𝐹的形状是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【解题思路】根据平行关系可知𝐴,𝐹,𝐶1,𝐸四点共面，由面面平行的性质可证得𝐴𝐸//𝐶1𝐹，由此可

得结论.【解答过程】∵𝐴𝐹//𝐶1𝐸，∴𝐴,𝐹,𝐶1,𝐸四点共面；∵平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1//平面𝐶𝐷𝐷1𝐶1，平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1∩平面𝐴𝐹𝐶1𝐸=𝐴𝐸，平面𝐶𝐷𝐷1𝐶1∩平面𝐴𝐹𝐶1𝐸=�

�1𝐹，∴𝐴𝐸//𝐶1𝐹，∴四边形𝐴𝐸𝐶1𝐹为平行四边形.故选：A.【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，已知平面𝛼//平面𝛽，点𝑃为𝛼，𝛽外一点，直线𝑃𝐵，𝑃𝐷分别与𝛼，𝛽相交于𝐴，𝐵和𝐶，𝐷，则�

�𝐶与𝐵𝐷的位置关系为（）A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解题思路】由题设知𝑃，𝐴，𝐵，𝐶，𝐷共面，根据面面平行的性质，可证𝐴𝐶与𝐵𝐷的位置关系.【解答过程】解：由题意知𝑃，𝐴，𝐵，𝐶，𝐷在同一平面内，且平面𝑃

𝐵𝐷∩平面𝛼=𝐴𝐶，平面𝑃𝐵𝐷∩平面𝛽=𝐵𝐷，且𝛼//𝛽，∴𝐴𝐶//𝐵𝐷，故选：A．【变式5-2】（2022春·四川成都·高二期末）若平面𝛼//平面𝛽，直线𝑚⊂𝛼，则直线𝑚与平面𝛽的位置关系

是（）A．相交B．平行C．𝑚在𝛽内D．无法判定【解题思路】由面面平行可直接得到结果.【解答过程】由面面平行的性质可知：当平面𝛼//平面𝛽，直线𝑚⊂𝛼时，𝑚//𝛽.故选：B.【变式5-3】（2022·高一课时练习）如图

，平面𝛼/⁄平面𝛽，𝐴，𝐶是𝛼内不同的两点，𝐵，𝐷是内不同的两点，𝐸，𝐹分别是线段𝐴𝐵，𝐶𝐷的中点，则下列所有正确判断的编号是（）①当𝐴𝐵，𝐶𝐷共面时，直线𝐴𝐶//𝐵𝐷②当|𝐴

𝐵|=2|𝐶𝐷|时，𝐸，𝐹两点不可能重合③当𝐴𝐵，𝐶𝐷是异面直线时，直线𝐸𝐹一定与𝛼平行④可能存在直线𝐸𝐹与𝛼垂直A．①③B．②④C．①②D．③④【解题思路】对于①，由面面平行的性质定理判断即可，对于②，如图判断，对于③④，连接

𝐴𝐷，取𝐴𝐷的中点𝑀，连接𝐸𝐹,𝐸𝑀,𝐹𝑀，则可得平面𝐸𝐹𝑀与平面𝛼,𝛽都平行，从而可进行判断【解答过程】解：对于①，当𝐴𝐵，𝐶𝐷共面时，则平面𝐴𝐵𝐷𝐶∩平面�

�=𝐴𝐶，平面𝐴𝐵𝐷𝐶∩平面𝛽=𝐵𝐷，因为平面𝛼/⁄平面𝛽，所以𝐴𝐶//𝐵𝐷，所以①正确；对于②，如图，当𝐴𝐸=2𝐶𝐸时，|𝐴𝐵|=2|𝐶𝐷|成立，而此时𝐸，𝐹两点重合，所以

②错误；对于③，如图，连接𝐴𝐷，取𝐴𝐷的中点𝑀，连接𝐸𝐹,𝐸𝑀,𝐹𝑀，因为𝐸，𝐹分别是线段𝐴𝐵，𝐶𝐷的中点，所以𝐸𝑀∥𝐵𝐷，𝐹𝑀∥𝐴𝐶，因为𝐸𝑀⊄𝛽,𝐹𝑀⊄𝛼，𝐴𝐶⊂�

�,𝐵𝐷⊂𝛽，所以𝐸𝑀∥𝛽，𝐹𝑀∥𝛼，因为平面𝛼/⁄平面𝛽，所以𝐹𝑀∥𝛽，因为𝐸𝑀∩𝐹𝑀=𝑀，所以平面𝐸𝐹𝑀∥𝛽，平面𝐸𝐹𝑀∥𝛼，因为𝐸𝐹⊂平面𝐸𝐹𝑀，所以直线𝐸𝐹一定与𝛼平行，所以③正确，对于④，由

①可知，当𝐴𝐵，𝐶𝐷共面时，𝐸𝐹∥𝐴𝐶，因为𝐸𝐹⊄𝛼,𝐴𝐶⊂𝛼，所以𝐸𝐹∥𝛼，由③可知，当𝐴𝐵，𝐶𝐷是异面直线时，直线𝐸𝐹一定与𝛼平行，综上，𝐸𝐹∥𝛼，所以④错误，

故选：A.【题型6平行问题的综合应用】【方法点拨】在立体几何中常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系，并且可以相互转化的.所以要解决平行关系的综合问题，必须要灵活运用三种平行关系的相互转化.【例

6】（2022秋·陕西渭南·高一期末）如图，在三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐷,𝐸,𝐹分别为𝐵𝐶,𝐴𝐶,𝐴1𝐶1的中点，𝐴𝐵=𝐵𝐶．求证：(1)𝐴1𝐵1//平面𝐷𝐸𝐶1；(2)平面𝐴𝐵𝐹

//平面𝐷𝐸𝐶1．【解题思路】（1）根据线面平行的判定定理证得𝐴1𝐵1//平面𝐷𝐸𝐶1；（2）根据面面平行的判定定理证得平面𝐴𝐵𝐹//平面𝐷𝐸𝐶1．【解答过程】（1）∵在三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐷,𝐸分别为𝐵𝐶,𝐴

𝐶的中点，∴𝐷𝐸//𝐴𝐵,𝐴𝐵//𝐴1𝐵1,∴𝐷𝐸//𝐴1𝐵1，∵𝐷𝐸⊂平面𝐷𝐸𝐶1,𝐴1𝐵1⊄平面𝐷𝐸𝐶1，∴𝐴1𝐵1//平面𝐷𝐸𝐶1．（2）∵𝐴𝐵//𝐷𝐸,𝐴𝐵⊄平面𝐷𝐸𝐶1，𝐷𝐸⊄

平面𝐷𝐸𝐶1，∴𝐴𝐵//平面𝐷𝐸𝐶1．∵𝐹,𝐸分别为𝐴1𝐶1,𝐴𝐶的中点，𝐴1𝐶1//𝐴𝐶，∴𝐹𝐶1//𝐴𝐸，且𝐹𝐶1=𝐴𝐸．∴四边形𝐹𝐶1𝐸

𝐴是平行四边形．∴𝐴𝐹//𝐸𝐶1．又𝐸𝐶1⊂平面𝐷𝐸𝐶1,𝐴𝐹⊄平面𝐷𝐸𝐶1，∴𝐴𝐹//平面𝐷𝐸𝐶1．又𝐴𝐵,𝐴𝐹⊂平面𝐴𝐵𝐹,𝐴𝐵∩𝐴𝐹=𝐴，∴平面𝐴𝐵𝐹//平面𝐷𝐸𝐶1．【变式6-1】（2022秋·

河北唐山·高二阶段练习）如图，在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝑆是𝐵1𝐷1的中点，𝐸,𝐹,𝐺分别是𝐵𝐶,𝐷𝐶,𝑆𝐶的中点，求证：(1)𝐸𝐺//平面𝐵𝐷𝐷1𝐵1；

(2)平面𝐸𝐹𝐺//平面𝐵𝐷𝐷1𝐵1.【解题思路】(1)利用线面平行的判定定理即可证明；(2)利用面面平行的判定定理证明.【解答过程】（1）如图，连接𝑆𝐵，∵𝐸,𝐺分别是𝐵𝐶,𝑆𝐶的中点，∴𝐸𝐺//𝑆𝐵.又∵𝑆𝐵⊆平面𝐵𝐷𝐷1𝐵1，𝐸𝐺⊄平

面𝐵𝐷𝐷1𝐵1，∴直线𝐸𝐺//平面𝐵𝐷𝐷1𝐵1.（2）连接SD，∵𝐹,𝐺分别是𝐷𝐶,𝑆𝐶的中点，∴𝐹𝐺//𝑆𝐷.又∵𝑆𝐷⊆平面𝐵𝐷𝐷1𝐵1，𝐹𝐺⊄平面𝐵𝐷𝐷1𝐵1，∴𝐹𝐺//平

面𝐵𝐷𝐷1𝐵1，由(1)知，𝐸𝐺//平面𝐵𝐷𝐷1𝐵1，且𝐸𝐺⊆平面𝐸𝐹𝐺，𝐹𝐺⊆平面𝐸𝐹𝐺，𝐸𝐺∩𝐹𝐺=𝐺，∴平面𝐸𝐹𝐺∥平面𝐵𝐷𝐷1𝐵1.【变式6-2】（2022春·山东聊城·高一期中）

如图：在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝑀为𝐷𝐷1的中点.(1)求证：𝐵𝐷1∥平面𝐴𝑀𝐶；(2)若𝑁为𝐶𝐶1的中点，求证：平面𝐴𝑀𝐶∥平面𝐵𝑁𝐷1.【解题思路】（1）设𝐴𝐶∩𝐵

𝐷=𝑂，接𝑂𝑀，证明𝑂𝑀∥𝐵𝐷1，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）证明四边形𝐶𝑁𝐷1𝑀为平行四边形，从而可得𝐷1𝑁∥𝐶𝑀，即可证得𝐷1𝑁∥平面𝐴𝑀𝐶，再根据面面平行的判定定理即可得证.【解答过程】（1）证明：设𝐴𝐶∩𝐵�

�=𝑂，接𝑂𝑀，∵在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，∴𝑂是𝐵𝐷中点，∵𝑀是𝐷𝐷1的中点，∴𝑂𝑀∥𝐵𝐷1，∵𝐵𝐷1⊄平面𝐴𝑀𝐶,𝑂�

�⊂平面𝐴𝑀𝐶,∴𝐵𝐷1∥平面𝐴𝑀𝐶；（2）证明：∵𝑁为𝐶𝐶1的中点，𝑀为𝐷𝐷1的中点，∴𝐶𝑁∥𝐷1𝑀,∴𝐶𝑁=𝐷1𝑀，∴四边形𝐶𝑁𝐷1𝑀为平行四边形，∴𝐷1𝑁∥𝐶𝑀，又∵𝑀𝐶⊂平面𝐴𝑀𝐶,∵𝐷1𝑁⊄平面𝐴𝑀𝐶,∴

𝐷1𝑁∥平面𝐴𝑀𝐶，由（1）知𝐵𝐷1∥平面𝐴𝑀𝐶,∵𝐵𝐷1∩𝐷1𝑁=𝐷1,𝐵𝐷1⊂平面𝐵𝑁𝐷1,𝐷1𝑁⊂平面𝐵𝑁𝐷1，∴平面𝐴𝑀𝐶∥平面𝐵𝑁𝐷1.【变式6-3】（2022春·山东聊城·高一期中）由四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶

1𝐷1截去三棱锥𝐶1−𝐵1𝐶𝐷1后得到的几何体如图所示，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为平行四边形，O为𝐴𝐶与𝐵𝐷的交点．(1)求证：𝐴1𝑂∥平面𝐵1𝐶𝐷1；(2)求证：平面𝐴1𝐵𝐷∥平面𝐵1𝐶𝐷1；(3)设平

面𝐵1𝐶𝐷1与底面𝐴𝐵𝐶𝐷的交线为l，求证：𝐵𝐷∥𝑙．【解题思路】（1）取𝐵1𝐷1的中点𝑂1，连接𝐶𝑂1,𝐴1𝑂1，结合四棱柱的几何性质，由线线平行证明即可；（2）由线线平行证𝐵𝐷∥平面𝐵1

𝐶𝐷1，结合𝐴1𝑂∥平面𝐵1𝐶𝐷1即可证平面𝐴1𝐵𝐷∥平面𝐵1𝐶𝐷1；（3）由线面平行证线线平行即可.【解答过程】（1）取𝐵1𝐷1的中点𝑂1，连接𝐶𝑂1,𝐴1𝑂1，∵𝐴𝐵𝐶𝐷−

𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1是四棱柱，∴𝐴1𝑂1∥𝑂𝐶，∴四边形𝐴1𝑂𝐶𝑂1为平行四边形，∴𝐴1𝑂∥𝑂1𝐶，又𝑂1𝐶⊂平面𝐵1𝐶𝐷1,𝐴1𝑂⊄平面𝐵1𝐶𝐷1，∴𝐴1𝑂∥平面𝐵1𝐶𝐷1．（2）∵𝐵𝐵1∥𝐴𝐴1∥�

�𝐷1，∴四边形𝐵𝐵1𝐷1𝐷是平行四边形，∴𝐵𝐷∥𝐵1𝐷1，∵𝐵𝐷⊄平面𝐵1𝐶𝐷1,𝐵1𝐷1⊂平面𝐵1𝐶𝐷1，∴𝐵𝐷∥平面𝐵1𝐶𝐷1，由（1）得𝐴1�

�∥平面𝐵1𝐶𝐷1且𝐵𝐷∩𝐴1𝑂=𝑂，𝐵𝐷、𝐴1𝑂⊂平面𝐴1𝐵𝐷，∴平面𝐴1𝐵𝐷∥平面𝐵1𝐶𝐷1．（3）由（2）得：𝐵𝐷∥平面𝐵1𝐶𝐷1，又𝐵𝐷⊂平面𝐴𝐵

𝐶𝐷，平面𝐵1𝐶𝐷1∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑙，∴𝐵𝐷∥𝑙．