【文档说明】《高中数学新教材人教A版必修第一册教案》5.3 诱导公式 （1） 含答案【高考】.docx，共(12)页，221.451 KB，由小赞的店铺上传

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-1-5.3诱导公式本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第一册一》（人教A版）第五章《三角函数》，本节课是第5课时。本节主要是推导诱导公式二、三、四、五、六,并利用它们解决一些求值、化简、证明三角恒等式。本小节介绍的五组诱导公式在内容上既是公式一的延续,又是后

继学习内容的基础,它们与公式一组成的六组诱导公式,用于解决求任意角的三角函数值的问题以及有关三角函数的化简、证明等问题。在诱导公式的学习中,化归思想贯穿始末,这一典型的数学思想,无论在本节中的分析导入,还是利用诱导公式

将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值,均清晰地得到体现,在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中,让学生了解化归思想,形成初步的化归意识特别是在本课时的三个转化问题引入后,为什么确定180°+a角为第一研究对象,a角为第二研

究对象,正是化归思想的运用。课本例题实际上是诱导公式的综合运用,难点在于需要把所求的角看成是一个整体的任意角,学生第一次接触到此题型,思维上有困难,要多加引导分析,另外,诱导公式中角度制亦可转化为弧度制,但必须注意同一个公式中只能采取一种制度,因此要加强角度制与弧度制

的转化的练习。课程目标学科素养A.借助单位圆，推导出正弦、余弦和正切的诱导公式；B.能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题；1.数学抽象：利用单位

圆找不同角的关系；2.逻辑推理：诱导公式的推导；3.数学运算：有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题。-2-C.了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想。1.教学重点：诱导公式的记忆、理解、运用；2.教学难点：诱导公式的推导、记忆及符号的判断。多媒体教学过程教学设

计意图-3-核心素养目标一、复习回顾，温故知新1.任意角三角函数的定义【答案】设角，是一个任意角，R它的终边与单位圆交于点),(Pyx。那么（1）;sin,sin=yy即的正弦函数。记作叫做（2）;cos,cos=xx即的余弦函数。记

作叫做;tan,tan=xyxy即的正切。记作叫做2.诱导公式一tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(=+=+=+kkk，其中，zk。终边相同的角的同一三角函数值相等二、探索新知思考1：（1）.终边相同的角的同一三角函数值有什

么关系?【答案】相等（2）.角-α与α的终边有何位置关系?【答案】终边关于x轴对称（3）.角−与α的终边有何位置关系?通过复习上节所学任意角三角函数的定义与诱导公式一，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。通过思考让学生了解角终边之间的关系，为推

导诱导公式作铺垫，提高学生的解决问题、分析问题-4-【答案】终边关于y轴对称（4）.角+与α的终边有何位置关系?【答案】终边关于原点对称思考2：已知任意角α的终边与单位圆相交于点P(x,y),请同学

们思考回答点P关于原点、x轴、y轴对称的三个点的坐标是什么?【答案】点P(x,y)关于原点对称点P1(-x,-y)点P(x,y)关于x轴对称点P2(x,-y)点P(x,y)关于y轴对称点P3(-x,y

)探究一如图，角+的三角函数值与的三角函数值之间有什么关系？角π+与角的终边关于原点O对称，xyxy===tan,cos,sin，xyxyxy=−−=+−=+−=+)tan(,)cos(,)sin(（公式二）sin(π+)=−sin，cos

(π+)=−cos，tan(π+)=tan。探究二角与−的三角函数值之间有什么关系的能力。通过探究，由图形观察角+的三角函数值与的三角函数值之间有什么关系，进而得到诱导公式二，提高学生分析问题、概括能力。通过探究，由图形观-

5-角−与角的终边关于x轴对称，有xyxy===tan,cos,sin。xyxyxy−=−=−=−−=−)tan(,)cos(,)sin(。（公式三）sin(−)=−sin，cos(−)=cos，tan(−)

=−tan。探究三根据上两组公式的推导，你能否推导出角−与角的三角函数值之间的关系？角−与角的终边关于y轴对称，故有xyxy===tan,cos,sinxyxyxy−=−=−−=−=−)tan(,)cos(,)

sin(所以，（公式二）sin(π-)=sin，察角−的三角函数值与的三角函数值之间有什么关系，进而得到诱导公式三，提高学生分析问题、概括能力。通过探究，由图形观察角−的三角函数值与的三角函

数值之间有什么关系，进而得到诱导公式三，提高学生分析问题、概括能力。-6-cos(π-)=−cos，tan(π-)=-tan。思考3：这四个诱导公式有什么规律？−+，，)(2Zkk的三角

函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号．总结为一句话：函数名不变，符号看象限。例1.求下列三角函数值(1)cos225°;(2)sin38;(3)sin(316−);(4)tan(-2040°).活动:这是

直接运用公式的题目类型,让学生熟悉公式,通过练习加深印象,逐步达到熟练、正确地应用.让学生观察题目中的角的范围,对照公式找出哪个公式适合解决这个问题.解：(1)cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=22

−;(2)sin38=sin(2π32+)=sin32=sin)3(−=sin3=23;(3)sin(316−)=-sin316=-sin(5π+3)=-(-sin3)=23;(4)tan(-2040°)=-tan2040°=-tan(6×360°-

120°)=tan120°=tan(180°-60°)=-tan60°=3−.通过思考，寻找这四个诱导公式的共同规律，提高学生分析问题、概括能力。通过例题练习诱导公式，进一步理解诱导公式的作用，提高学生解决问题的能力。-7-思考4：通过例题，你对诱导公式一、二、三、四

有什么进一步的认识？你能归纳任意角的三角函数化为锐角三角函数的步骤吗？利用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行:上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.例2.化简：)180cos()180tan()360sin()180cos(+

−−++解析见教材探究四作P（x,y)关于直线xy=的对称点P1,以OP1为终边的角与角有什么关系？角与角的三角函数值之间有什么关系？)(),2(2Zkk−+=，),(P1xy

，公式五sin()cos,2cos()sin,2−=−=探究五：作点P（x,y)关于y轴的对称点P5，又能得到什么结论？通过思考总结用诱导公式求任意角三角函数值的步骤，提高学生解决问题的能力。通过探究，由图形观察角−2和-8-轴对称的终边关于与角角y

+2。）（yx,P5−，公式六sin()cos,2cos()sin2+=+=−思考5：你能概括一下公式五、六的共同特点和规律吗？【答案】2的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号

.思考6：诱导公式可统一为)(,2Zkk的三角函数与α的三角函数之间的关系，你有什么办法记住这些公式？【答案】口诀：奇变偶不变，符号看象限口诀的意义：212kkZkk（）的三角函数值）当为偶数

时，等于的同名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号；）当为奇数时，等于的异名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号；例3.证明：sin)23cos()2(;cos)23sin(.1−=−−=−）（。解析见教材角+2的

三角函数值与的三角函数值之间有什么关系，进而得到诱导公式五、六，提高学生分析问题、概括能力。通过思考，寻找诱导公式的共同规律，提高学生分析问题、概括能力。-9-例4化简()()()()()11sin2coscos

cos229cossin3sinsin2−++−−−−−+解析见教材例5已知51)53sin(=−，且−−90270，求)37sin(+的值。解析见教材通过例题的讲解，让学生进一步理解用诱导公式化简三

角函数关系式、求任意角的三角函数值，提高学生解决与分析问题的能力。三、达标检测1．下列各式不正确的是()-10-A．sin(α＋180°)＝－sinαB．cos(－α＋β)＝－cos(α－β)C．si

n(－α－360°)＝－sinαD．cos(－α－β)＝cos(α＋β)【解析】cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B项错误．【答案】B2．sin600°的值为()A．12B．－12C．32D．－32【解析】sin600°＝sin(7

20°－120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－32.故选D．【答案】D3．cos1030°＝()A．cos50°B．－cos50°C．sin50°D．－sin50°【解析】cos1030°＝cos(3×360°－50°)＝cos

(－50°)＝cos50°.【答案】A4．若sinπ2＋θ<0，且cosπ2－θ>0，则θ是()通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。-11-A．

第一象限角B．第二象限角C．第三角限角D．第四象限角【解析】由于sinπ2＋θ＝cosθ<0，cosπ2－θ＝sinθ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B．【答案】B5．已知sinφ＝611，求cos11π2＋φ＋sin(3π－

φ)的值.【解】∵sinφ＝611，∴cos11π2＋φ＝cos6π－π2＋φ＝cos－π2＋φ＝cosπ2－φ＝sinφ＝611，∴cos11π2＋φ＋sin(3π－φ)＝611＋sin(π－φ)＝611＋sinφ＝1211

.四、小结1.诱导公式；2.诱导公式的记忆；3.利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤。五、作业习题5.34,6题通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。-12-对本节内容在进行教学设计之前,本人反复阅读了课程

标准和教材,针对教材的内容,精心编排了导学精要,让学生亲历知识发生、发展的过程,积极投入到思维活动中来,通过与学生的互动交流,关注学生的思维发展,在逐渐展开中,引导学生用己学的知识、方法予以解决,并获得知识体系的更新与拓展,收到了一定的预期效果,尤其是

练习的处理,让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动,感受“观察—一归纳—一概括一一应用”等环节,在知识的形成、发展过程中展开思维,逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力,充分发挥了学生的主体作用,也提高了学生主体的合作意识,达到了设计中所预想的

目标然而还有一些缺憾:对本节内容,难度不高,本人认为,教师的干预(讲解)还是太多。在以后的教学中,对于一些较简单的内容,应放手让学生多一些探究与合作。随着教育改革的深化,教学理念、教学模式、教学内容等

教学因素,都在不断更新,作为数学教师要更新教学观念,从学生的全面发展来设计课堂教学，关注管学生个性和潜能的发展,使教学过程更加切合《课程标准》的要求。用全新的理论来武装自己,让自己的课堂更有效。