【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题2.5 二次函数与一元二次方程、不等式-重难点题型精讲 Word版含解析.docx，共(15)页，289.787 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-80b502c73320151917b210b962fe226a.html

以下为本文档部分文字说明：

专题2.5二次函数与一元二次方程、不等式-重难点题型精讲1．一元二次不等式一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.2．二次函数的零点一般地

，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．温馨提示：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系温馨提

示：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．【题型1一元二次不等式的解法】【方法点拨】解一元二次不等式的一般步骤

(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．【例1】（202

2春•阿拉善左旗校级期末）不等式（x+2）（2x﹣1）＜0的解集为（）A．(−12，2)B．(−2，12)C．(−∞，−2)∪(12，+∞)D．(−∞，−12)∪(2，+∞)【解题思路】根据不等式的解法直接求解．【解答过程】解：方程（x+2）（2x﹣1）＝0的根，x＝﹣2或

x=12，函数y＝（x+2）（2x﹣1）的开口方向向上，∴不等式（x+2）（2x﹣1）＜0的解集为(−2，12)，故选：B．【变式1-1】（2022春•凉州区期末）不等式3x2﹣x﹣2≥0的解集是（）A．{𝑥|−23≤𝑥≤1}B．{𝑥|−1≤𝑥≤23}C．{𝑥|

𝑥≤−23或𝑥≥1}D．{𝑥|𝑥≤−1或𝑥≥23}【解题思路】根据题意，由一元二次不等式的解法分析得答案．【解答过程】解：根据题意，3x2﹣x﹣2≥0即（3x+2）（x﹣1）≥0，解可得：x≥1或x≤−23，即不等式的解集为{x|x≤−23

或x≥1}，故选：C．【变式1-2】（2022春•眉山期末）不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）B．（﹣4，1）C．（﹣1，4）D．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）【解题思路】解方程x2﹣3x﹣4＝0得x1＝﹣

1，x2＝4，由此能求出不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集．【解答过程】解：不等式x2﹣3x﹣4＜0，解方程x2﹣3x﹣4＝0得x1＝﹣1，x2＝4，∴不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集为（﹣1，4）．故选：C．【变式1-3】（202

2春•雨城区校级期中）不等式﹣2x2+x+15≤0的解集为（）A．{𝑥|−52≤𝑥≤3}B．{x|x≤−52或x≥3}C．{𝑥|−3≤𝑥≤52}D．{x|x≤﹣3或x≥52}【解题思路】利用一元二次不等式的性质、解法直接求解．【解答过程】解：∵﹣2x2+x+15≤0，∴2x2

﹣x﹣15≥0，Δ＝1+120＝121，解方程2x2﹣x﹣15＝0，得𝑥1=−52，x2＝3，∴不等式﹣2x2+x+15≤0的解集为{x|x≤−52或x≥3}．故选：B．【题型2含参的一元二次不等式的解法】【方法点拨】解含参数的一元二次不

等式时：(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．【例2】（2022

秋•兴平市校级月考）若0＜a＜1，解不等式（a﹣x）（x−1𝑎）＞0．【解题思路】根据题意，a＜1𝑎，转化不等式，求解即可．【解答过程】解：∵0＜a＜1，∴a＜1𝑎，原不等式可化为（x﹣a）（x−1𝑎）＜0，解得a＜x＜1𝑎．故不等式的解集为{x|a＜x＜1�

�}．【变式2-1】（2022春•南充期末）当a≤0时，解关于x的不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2≥0．【解题思路】对于二次项含参的一元二次不等式，需要对二次项系数a是否为零进行讨论，进而求解即可．【解答过程】解：由不等式ax

2+（1﹣2a）x﹣2≥0化简可得（ax+1）（x﹣2）≥0．由于二次项系数含参，故进行如下讨论：①当a＝0时，原不等式化简为：x﹣2≥0，解得x≥2．②当a＜0时，不等式为：（ax+1）（x﹣2）≥0．解得方程（ax+1）（x﹣2）＝0的两根分

别为为𝑥1=−1𝑎，x2＝2．则：当𝑎=−12时，解为：x＝2．当−12＜𝑎＜0时，−1𝑎＞2，解为；2≤𝑥≤−1𝑎．当𝑎＜−12时，−1𝑎＜2，解为：−1𝑎≤𝑥≤2．综上所述，当a＝0时，解集为{x|x≥2}．当𝑎

=−12时，解集为{x|x＝2}．当−12＜𝑎＜0时，解集为：{𝑥|2≤𝑥≤−1𝑎}．当𝑎＜−12时，解集为：{𝑥|−1𝑎≤𝑥≤2}．【变式2-2】（2021秋•和平区校级月考）解关于x的不等式x2﹣（a+1𝑎）x+1＜0．【解题思路】先因式分解，

再分类讨论，即可得到不等式的解．【解答过程】解：∵x2﹣（a+1𝑎）x+1＜0．∴（x﹣a）（x−1𝑎）＜0，当a＞1𝑎时，即a＞1或﹣1＜a＜0时，解得1𝑎＜x＜a，当a＜1𝑎时，即a＜﹣1或0＜a＜1时，解得a

＜x＜1𝑎，当a=1𝑎时，即a＝±1时，不等式的解集为空集．【变式2-3】（2021秋•高州市期末）解关于x的不等式：6x2+ax﹣a2＜0．【解题思路】对于含参数的不等式，先不用考虑参数，看是什么不等式，按照解这类不等式的方法去解，不等式

6x2+ax﹣a2＜0是一元二次不等式，先因式分解，在讨论两根的大小，因含参数，再按参数大小讨论，得出结果．【解答过程】解：原不等式化为；（2x+a）（3x﹣a）＜0当a＞0时，∵−𝑎2＜𝑎3，∴−𝑎2＜𝑥＜𝑎3当a＜0时，∵𝑎3＜−𝑎2，

∴𝑎3＜𝑥＜−𝑎2当a＝0时，无解．综上所述，当a＞0时，原不等式的解集为{x|−𝑎2＜𝑥＜𝑎3}当a＝0时，原不等式的解集为∅当a＜0时，原不等式的解集为（x|𝑎3＜𝑥＜−𝑎2}.【题型3三个“二次”关系的应用】【方法点拨】(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a

≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成

的，三者之间相互依存、相互转化．【例3】（2022秋•哈尔滨月考）已知不等式ax2+bx﹣2＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式ax2+（b﹣1）x﹣3＞0的解集为（）A．RB．∅C．{x|﹣1＜x＜3}D．{x|x＜﹣1或x

＞3}【解题思路】由题意得x＝﹣1，x＝2是方程ax2+bx﹣2＝0的两根，结合方程根与系数关系可求a，b，进而可求不等式．【解答过程】解：因为不等式ax2+bx﹣2＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，所以

x＝﹣1，x＝2是方程ax2+bx﹣2＝0的两根，故{−1+2=−𝑏𝑎−1×2=−2𝑎，解得a＝1，b＝﹣1，则不等式ax2+（b﹣1）x﹣3＝x2﹣2x﹣3＞0的解集为{x|x＞3或x＜﹣1}，故选：D．【变式3-1】（2022春•赤峰期末）二

次不等式ax2+bx+c＜0的解集是（2，3），则𝑐𝑏的值为（）A．65B．−65C．56D．−56【解题思路】由一元二次不等式的性质得2和3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，利用韦达定理求出b＝﹣5a，c＝6a，由此能求出𝑐𝑏的值

．【解答过程】解：∵不等式ax2+bx+c＜0的解集是（2，3），∴2和3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，∴{2+3=−𝑏𝑎2×3=𝑐𝑎，解得b＝﹣5a，c＝6a，∴𝑐𝑏=6𝑎−5𝑎=−65．故选：B．【变式3-2】（20

22春•让胡路区校级期末）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{𝑥|−12＜𝑥＜13}，则ax+b＞0的解集为（）A．(−∞，−16)B．(−∞，16)C．(−16，+∞)D．(16，+∞)【解题思路】利用根于系数的关系先求出a，b，再解不等式即可．【解答过程】解：不等式ax2+

bx+2＞0的解集是{𝑥|−12＜𝑥＜13}．则根据对应方程的韦达定理得到：{(−12)+13=−𝑏𝑎(−12)×13=2𝑎．解得{𝑎=−12𝑏=−2，则解集为（﹣∞，−16）．故选：A．【

变式3-3】（2021秋•三门峡期末）二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两根为2，﹣3，那么关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（）A．{x|x＞3或x＜﹣2}B．{x|x＞2或x＜﹣3}C．{x|﹣2＜x＜3}D．{x|

﹣3＜x＜2}【解题思路】设二次函数y＝ax2+bx+c＝0（a＞0），根据二次函数与对应的方程和不等式的关系，即可求出不等式的解集．【解答过程】解：设二次函数y＝ax2+bx+c＝0（a＞0），因为二次函数对应

的方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两根为2，﹣3，所以二次函数图象开口向上，且与x轴交点坐标为（﹣3，0）和（2，0），所以关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＜﹣3或x＞2}．故选：B．【题型4解简单的分式不等式】【方法点拨】(1)

对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．【例4】（202

2春•临夏县校级期中）求不等式的解集：（1）﹣x2+4x+5＜0；（2）2x2﹣5x+2≤0；（3）𝑥+1𝑥−3≥0；（4）5𝑥+1𝑥+1＜3．【解题思路】（1）不等式化为x2﹣4x﹣5＞0，求出解集即可；（2）不等式化为（2x﹣1）（x﹣2）≤0，再求解集

；（3）不等式化为{(𝑥+1)(𝑥−3)≥0𝑥−3≠0，再求解集；（4）不等式化为（x﹣1）（x+1）＜0，即可求出解集．【解答过程】解：（1）由﹣x2+4x+5＜0，得x2﹣4x﹣5＞0，解得x＜﹣1或x＞5，所以不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞5}；（2）由2x2﹣5x+2≤0，得（2

x﹣1）（x﹣2）≤0，解得12≤𝑥≤2，所以不等式的解集为{𝑥|12≤𝑥≤2}；（3）由𝑥+1𝑥−3≥0，可得{(𝑥+1)(𝑥−3)≥0𝑥−3≠0，解得x≤﹣1或x＞3，所以不等式的解集为{x|x≤﹣1或

x＞3}；（4）由5𝑥+1𝑥+1＜3，可得2𝑥−2𝑥+1＜0，等价于（x﹣1）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜1，所以不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}．【变式4-1】（2021秋•李沧区校级月考）解下列不等式并写出解集．（1

）﹣2x2+3x+9＞0；（2）8−𝑥5+𝑥≥1．【解题思路】（1）利用一元二次不等式的解法即可求解；（2）利用一元二次不等式的解法即可求解．【解答过程】解：（1）因为﹣2x2+3x+9＞0，所以2x2﹣3x﹣9＜0，可得（2x+3）（x﹣3）＜0，可得−32＜

x＜3，所以解集为{x|−32＜x＜3}．（2）因为8−𝑥5+𝑥≥1，可得8−𝑥5+𝑥−1≥0，可得3−2𝑥5+𝑥≥0，所以（3﹣2x）（5+x）≥0，且5+x≠0，解得﹣5＜x≤32，所以解集为{x|﹣5＜x≤32}．【变式4-2】（2021秋•海淀区校级期末）求下列关于

x的不等式的解集：（1）5𝑥−7≥−1；（2）2a2x2﹣3ax﹣2＞0．【解题思路】（1）将其转化为一元二次不等式，解之即可．（2）分a＝0，a＞0和a＜0三种情况，结合二次函数的图象与性质，解之即可．【解答过程】解：（1）5𝑥−7≥−1，∴𝑥−2𝑥−7

≥0，∴{(𝑥−2)(𝑥−7)≥0𝑥−7≠0，∴x＞7或x≤2，∴不等式的解集（﹣∞，2]∪（7，+∞）．（2）①当a＝0时，则﹣2＝0不成立，x∈∅，②当a≠0，即a2＞0时，令2a2x2﹣3ax﹣2＝0，则x=2𝑎或x=−12𝑎，若a＞0时，2𝑎＞−12𝑎，

∴x＞2𝑎或x＜−12𝑎，若a＜0时，2𝑎＜−12𝑎，∴x＜2𝑎或x＞−12𝑎，综上，当a＝0时，不等式的解集为∅，若a＞0时，不等式的解集为{x|x＞2𝑎或x＜−12𝑎}，若a＜0时，不等式的解集为{

x|x＞−12𝑎或x＜2𝑎}．【变式4-3】（2022春•广安区校级月考）解不等式：（1）4x2﹣15x+9＞0；（2）2−𝑥𝑥+4＞1．【解题思路】（1）解方程4x2﹣15x+9＝0，得x1=34，x2＝3，由此能求出4x2﹣15x+9＞0的解集；（2）推导出2𝑥+2𝑥+

4＜0，由此能求出2−𝑥𝑥+4＞1的解集．【解答过程】解：（1）4x2﹣15x+9＞0，Δ＝（﹣15）2﹣4×4×9＝81，解方程4x2﹣15x+9＝0，得x1=34，x2＝3，∴4x2﹣15x+9＞0的解集为(−∞，34)∪(3

，+∞)；（2）∵2−𝑥𝑥+4＞1，∴2−𝑥𝑥+4−1=−2𝑥−2𝑥+4＞0，∴2𝑥+2𝑥+4＜0，解得﹣4＜x＜﹣1．∴2−𝑥𝑥+4＞1的解集为（﹣4，﹣1）．【题型5一元二次不等式恒成立、存在性问题】【方法点拨】不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解

集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为a>0，Δ＝b2－4ac<0；一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为a>0，Δ＝b2－4ac≤0；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为a<0，Δ≤0.【例5】

（2021•西青区模拟）已知关于x的不等式kx2﹣6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是（）A．0≤k≤1B．0＜k≤1C．k＜0或k＞1D．k≤0或k≥1【解题思路】对k进行分类讨论，当k＝0时恒成立，k＜0时不等式不能恒成立，当k＞0时，只需△≤0求

得k的范围，最后综合得到答案．【解答过程】解：当k＝0时，不等式kx2﹣6kx+k+8≥0化为8≥0恒成立，当k＜0时，不等式kx2﹣6kx+k+8≥0不能恒成立，当k＞0时，要使不等式kx2﹣6kx+k+8≥

0恒成立，需Δ＝36k2﹣4（k2+8k）≤0，解得0≤k≤1，故选：A．【变式5-1】（2021秋•南阳期末）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）B．（﹣2，2）C．（﹣2，2]D．（﹣∞，2）【解题思路】由题意问

题等价于（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，讨论a的取值，从而求得实数a的取值范围．【解答过程】解：关于x的不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4≥0的解集为∅，即（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣

4＜0恒成立．当a﹣2＝0时，即a＝2时，不等式即﹣4＜0，显然满足条件．当a﹣2≠0时，应满足{𝑎−2＜0𝛥=4(𝑎−2)2+16(𝑎−2)＜0，解得﹣2＜a＜2．综上知，实数a的取值范围是（﹣2，2]

．故选：C．【变式5-2】（2022春•双流区校级期末）关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【解题思路】关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间

[1，4]上有解，等价于a＜(2𝑥−𝑥)𝑚𝑎𝑥，x∈[1，4]，求出f（x）=2𝑥−x在x∈[1，4]的最大值即可．【解答过程】解：关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，等价于a＜(2𝑥−𝑥)𝑚𝑎𝑥，x∈[1，4]；设f（x）=2𝑥−x，x∈[1，

4]，则函数f（x）在x∈[1，4]单调递减，且当x＝1时，函数f（x）取得最大值f（1）＝1；所以实数a的取值范围是（﹣∞，1）．故选：A．【变式5-3】（2022春•石泉县校级期末）对任意实数x，不等式（a﹣2）x2+2（

a﹣2）x﹣4＜0恒成立，则a的取值范围是（）A．（﹣2，2]B．[﹣2，2]C．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪（2，+∞）【解题思路】结合二次函数的图象与性质解决，注意对二次项系数分类讨论．【解答过程】解：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0当a﹣2＝0

，即a＝2时，﹣4＜0恒成立，合题意．当a﹣2≠0时，要使不等式恒成立，需a﹣2＜0，且Δ＜0解得﹣2＜a＜2．所以a的取值范围为（﹣2，2]．故选：A．【题型6一元二次不等式的实际应用】【方法点拨】一元二次不等式应用题常以二次函数

为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．【例6】（2021秋•丰台区期中）汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我

们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个主要因素．在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了．事后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超10m．已知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与

车速x（km/h）之间分别有如下关系：s甲＝0.1x+0.01x2，s乙＝0.05x+0.005x2．则交通事故的主要责任方是乙（填“甲”或“乙”）．【解题思路】先由题意列出不等式组，分别求解甲、乙两种车型的事发前的车速，

看它们是不是超速行驶，谁超速谁应负主要责任．【解答过程】解：由题意，解0.1x+0.01x2＞12得，x＜﹣40或x＞30，∵x＞0，∴x甲＞30km/h，解0.05x+0.005x2＞10得，x＜﹣50或x＞40，∵x＞0，∴x乙＞40km/h，∴乙车超过限速，应负主要责任．故答案

为：乙．【变式6-1】（2021秋•峨山县校级期中）某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y＝3000+20x﹣0.1x2（0＜x＜240，x∈N+），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是150台．【解题思路】首先应该仔细审题分析成本

y与产量x的关系以及以及获利与产量的关系，再结合企业不亏本即收入要大于等于支出即可得到关于x的一元二次不等式解之．【解答过程】解：由题意可知：要使企业不亏本则有总收入要大于等于总支出，又因为总收入为：25x，总支出为：3000+20x

﹣0.1x2∴25x≥3000+20x﹣0.1•x2解得：x≥150或x≤﹣200又x∈（0，240）∴x≥150故答案为：150．【变式6-2】某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油

量）为15(𝑥−𝑘+4500𝑥)𝐿，其中k为常数．若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L，则k＝100，欲使每小时的油耗不超过9L，则速度x的取值范围为[60，100]．【解题思路】（1）将x＝120代入每小时的油耗，解方程可得k＝100，（2

）由题意可得15(𝑥−100+4500𝑥)≤9，解不等式可得x的范围．【解答过程】解：记每小时的油耗为y，则根据题意：y=15(𝑥−𝑘+4500𝑥)，则当x＝120时，y=15(120−𝑘+4500120)=11.5，解得k

＝100，所以y=15(𝑥−100+4500𝑥)当y≤9时，即15(𝑥−100+4500𝑥)≤9，解得45≤x≤100，又因为60≤x≤120，则x的取值范围为[60，100]，故答案为100；[60，100]．【变式6-3】某农贸公司按每担200元的价格收购某

农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低x（x＞0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．（1）写出税收y（万元）与x的函

数关系式；（2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．【解题思路】（1）降低税率后的税率为（10﹣x）\%，农产品的收购量为a（1+2x\%）万担，收购总金额为200a（1+2x\%）万元，然后直接列出税收y（万元）与x的函数关系式；（2

）由题意可得原计划税收为200a×10%＝20a万元，则125𝑎（50+x）•（10﹣x）≥20a×83.2%，求解不等式得答案．【解答过程】解：（1）降低税率后的税率为（10﹣x）%，农产品的收购量为a（1+2x%）万担，收购总金额

为200a（1+2x%）万元．依题意有y＝200a（1+2x%）•（10﹣x）%=125𝑎(50+𝑥)⋅(10−𝑥)（0＜x＜10）；（2）原计划税收为200a×10%＝20a万元，依题意有125𝑎（50+x）•（10﹣x）≥20a×83

.2%，化简得x2+40x﹣84≤0，解得﹣42≤x≤2，又0＜x＜10，∴0＜x≤2．∴x的取范围是{x|0＜x≤2}．