【文档说明】四川省成都市第七中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题 Word版含答案.docx，共(10)页，737.354 KB，由小赞的店铺上传

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2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试（考试时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合22,21xAxyxxByy==−==+，则AB=（）A．(0,1B．(1,2C．1,2

D．0,22．已知复数z满足23izz+=+，则3iz+=（）A．12i+B．12i−C．2i+D．2i−3．已知向量,ab满足222abab−=−=，且1b=，则ab=（）A．14B．14−C．12D．12

−4．如图为函数()yfx=在6,6−上的图象，则()fx的解析式只可能是（）A．()()2ln1cosfxxxx=++B．()()2ln1sinfxxxx=++C．()()2ln1cosfxxxx=+−D．()()2ln1

sinfxxxx=+−5．已知()()cosfxxax=+为奇函数，则曲线()yfx=在点()()π,πf处的切线方程为（）A．ππ0xy+−=B．ππ0xy−+=C．π0xy−+=D．0xy+=6．在体积为12的三棱锥ABCD−中，,ACADBCBD⊥⊥，平面AC

D⊥平面ππ,,34BCDACDBCD==，若点,,,ABCD都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．12πB．16πC．32πD．48π7．若()()sincos2sin+=−，则()tan+的最大值为（）A．62B．64C．22D．

248．设202420230.2024log2023,log2022,log0.2023abc===，则（）A．cabB．bcaC．bacD．abc二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．设等比数列na的公比为q，其前n项和为nS，前n项积为nT，

并满足条件：2024120242025202511,1,01aaaaa−−，下列结论正确的是（）A．20242025SSB．202420261aaC．2024T是数列nT中的最大值D．数列nT无最大值10．透明的盒子中装有

大小和质地都相同的编号分别为1,2,3,4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件1A=“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件2A=“摸出的两个球的编号都大于2”，事件3A=“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（）A．事件1A与事件2A是互斥事件B

．事件1A与事件3A是对立事件C．事件1A与事件3A是相互独立事件D．事件23AA与事件13AA是互斥事件11．已知6ln,6enmmana=+=+，其中enm，则enm+的取值可以是（）A．eB．2eC．23eD．24e第Ⅱ卷（非选

择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，第14题第一个空3分，第二个空2分．12．若1sin3=−，则()cosπ2−=______．13．设nS是数列na的前n项和，点()()*,nnanN在直线2y

x=上，则数列1nS的前n项和为______．14．已知点()()2,0,1,4,ABMN、是y轴上的动点，且满足4,MNAMN=△的外心P在y轴上的射影为Q，则点P的轨迹方程为______，PQPB+的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．15．

（13分）设ABC△的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且()()()sinsinsinsinbaABCBACcABCC+−=−，,BCAC边上的两条中线,ADBE相交于点P．（1）求BAC；（2）若77,2,cos14ADBEDPE===，求ABC△的面积

．16．（15分）如图，在三棱锥DABC−中，ABC△是以AB为斜边的等腰直角三角形，ABD△是边长为2的正三角形，E为AD的中点，F为DC上一点，且平面BEF⊥平面ABD．（1）求证：AD⊥平面BEF；（2）若平面ABC⊥平面ABD，求平面BEF与平面BCD夹角的

余弦值．17．（15分）为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：近视情况每天看电子产品的时间合计超过一小时一小时内近视10人5人15人不近视10人25人35

人合计20人30人50人附表：0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828()()()()22()nadbcabcdacbd−=++++．（1）根据小概率值

0.05=的2独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；（2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？（3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为X，每天看电子产品超过一小时的人数为Y，求()PXY=的值．18．（1

7分）已知函数()()ln1fxx=+．（1）求曲线()yfx=在3x=处的切线方程；（2）讨论函数()()()Fxaxfxa=−R的单调性；（3）设函数()()1111gxxffxx=+−+．证明：存在实数m，使得曲线()ygx=关于直线xm=对称．19．

（17分）已知椭圆C的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点()3,1和62,3−．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点()2,0M作不与坐标轴平行的直线l交曲线C于,AB两点，过点,AB分别向x轴作垂

线，垂足分别为点D，E，直线AE与直线BD相交于P点．①求证：点P在定直线上；②求PAB△面积的最大值．2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试（参考答案）一、单项选择题：BAACDDDC8．【解】由对数函数的性质知0.20240

.2024log0.2023log0.20241c==，2024202420242023202320230log1log2023log20241,0log1log2022log20231====，所以1,01,01cab

；当2n时，()()ln1lnln10nnn+−，所以()()()()222ln1ln1ln1ln1(ln)(ln)2nnnnnn++−+−−−()()()2222222222l

n1ln11ln(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)0222nnnnnnnnn−+−=−=−−=−=，取2023n=，则2lg2022lg2024(lg2023)0−，所以220232024lg2022lg

2023lg2022lg2024(lg2023)log2022log20230lg2023lg2024lg2023lg2024ba−−=−=−=，即ba，综上，bac．二、多项选择题：ABCAC

DCD．11．【解】令()6lnfxxx=−，则()661xfxxx−=−=，故当()0,6x时，()()0,fxfx单调递增，当()6,x+时，()()0,fxfx单调递减，()()6ln,

66lnee,ennnmmanafmf=+==+=，又enm，不妨设06enm，解法一：记12,enxmx==，设()()()()12,0,6gxfxfxx=−−，则()()()()2662(6)1201212xxxgxfxfxxxxx−−−=−−−=−=−−

在()0,6上恒成立，所以()gx在()0,6上单调递减，所以()()()()()1260,0,6gxfxfxgx=−−=，则()()()11212fxfxfx−=，又因为()1212,6,xx−+，且()fx在

()6,+上单调递减，所以1212xx−，则1212xx+，所以e12nm+．解法二：由6ln,66lneennmmana=+==+，两式相减，可得e6lnennmm=−，令e(1)nttm=，则()()61ln6ln6ln6ln1,,e,e111nnttttttmtmmtmtt

t+=−===+=−−−；令()()()1ln21,1gttttt=+−−，则()11ln2ln1tgttttt+=+−=+−，令1ln1(1)yttt=+−，则221110tyttt−=−=在()

1,+上恒成立，所以()gt在()1,+上单调递增，因为()()10gtg=在()1,+上恒成立，所以()gt在()1,+上单调递增，则()()10gtg=，即()1ln21ttt+−，所以()61lne121nt

tmt++=−．解法三：6ln,66lneennmmana=+==+，两式相减得e6lnelnnnmm−=−，由对数均值不等式21212121lnln2xxxxxxxx−+−，可得e12nm+，三、填空题：79−1nn+2

4yx=；314．【解】设点()0,Mt，则()0,4)Nt−根据点P是AMN的外心，(),2Pxt−，而22||PMPA=，则2224(2)(2)xxt+=−+−，所以2(2),24txyt−==−从而得到点P的轨迹为24yx=，焦点为()1,0F由抛物线的定义可知1P

FPQ=+，因为4,14PFPBBFPFPBPQPB+=+=++，即3PQPB+，当点P在线段BF上时等号成立．四、解答题：15．【解】（1）因为()()()sinsinsinsinbaABCBACcABCC+−=−，所以由正弦定理得222bcabc+−=，由余弦定理

得2221cos22bcaBACbc+−==，又0πBAC，所以π3BAC=．（2）因为P是,BCAC边上的两条中线AD与BE的交点，所以点P是ABC△的重心．又7,2,ADBEAPBDPE===，所以在ABP△中，由余弦定理22222coscABPAPBPAPBAP

B==+−22274274724333314=+−=，所以2c=，又π2,3BEBAC==，所以2AEBE==，所以24bAE==，所以ABC△的面积为1π42sin2323=．16．【解】（1）ABD△是边长为2的正三角形

，E为AD的中点，则BEAD⊥．且平面BEF⊥平面ABD，平面BEF平面,ABDBEAD=平面ABD，则AD⊥平面BEF．（2）由于底面ABC△为等腰直角三角形，ABD△是边长为2正三角形，可取AB中点O，连接OD，则,ODABOCAB⊥⊥．且平面ABC⊥平面ABD，且平面ABC平面ABD

AB=，则OD⊥平面ABC．因此,,OCOAOD两两垂直，可以建立空间直角坐标系Oxyz−．ABD△是边长为2的正三角形，则可求得高3OD=．底面ABC△为等腰直角三角形，求得1OCOAOB===．可以得到关键点的坐标

()()()()0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,3ABCD−由第（1）问知道平面BEF的法向量可取()0,1,3AD=−．设平面BCD的法向量为(),,mxyz=，且()()1,1,0,1,0,3BCCD==−，则00mBCmC

D==，则030xyxz+=−+=，解得()3,3,1m=−．则2321cos,727mADmADmAD===．则平面BEF与平面BCD夹角的余弦值为217．17．【

解】（1）零假设0H为：学生患近视与长时间使用电子产品无关．计算可得，220.0550(1025105)4006.3493.8411535203063x−===，根据小概率值0.05=的2独

立性检验，推断0H不成立，即患近视与长时间使用电子产品的习惯有关．（2）每天看电子产品超过一小时的人数为，则()()()21310510331515CCC45512069223CC45591PPP+==+==+==，所以在该班近视的同学中随机抽取3

人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是6991．（3）依题意，()()1111110,22245525PXYPXY========，事件1XY==包含两种情况：①其中一人每天看电子产品超过一小时且近视，另一人既不近视，每

天看电子产品也没超过一小时；②其中一人每天看电子产品超过一小时且不近视，另一人近视且每天看电子产品没超过一小时，于是()1122111161CC2551025PXY===+=，所以()()()()1165301242525100PXYPXYPXYPXY====

+==+===++=．18．【解】（1）切点为()3,ln4．因为()11fxx=+，所以切线的斜率为()134kf==，所以曲线()yfx=在3x=处的切线方程为()1ln434yx−=−，化简得48ln230xy−+−=；（2）由题意可知()()ln1Fxaxx=−+

，则()Fx的定义域为()1,−+，()()11,1,,11axaFxaxxx+−=−=−+++当0a时，()101Fxax=−+，则()Fx在()1,−+上单调递减；当0a时，令()0Fx=，即10axa+−=，解得11xa=−，若()11111,01aaxaxFx

aax−+−−=−=+；若()111,01axaxFxax+−−=+，则()Fx在11,1a−−上单调递减，在11,a−+上单调递增．综上所述，当0a时，()Fx在()1,−+上单调递减；当0a时

，()Fx在11,1a−−上单调递减，在11,a−+上单调递增；（3）证明：函数()()111ln1ln2gxxxx=++−+，函数()gx的定义域为()(),10,−−+．若存在m，使得曲线()ygx=关于直线x

m=对称，则()(),10,−−+关于直线xm=对称，所以12m=−由()()111ln1ln211gxxxx−−=−+−+−−−−21121lnlnlnln111xxxxxxxxxx+++=−

−=−+++()()()11211211lnlnln1lnln1xxxxxxxgxxxxxx+++++=+−−=+−=+．可知曲线()ygx=关于直线12x=−对称．19．【解】（1）设椭圆C的方程为221(0,0,)mxnymnmn+=，代入已知点的坐标，得：312413mnmn

+=+=，解得1612mn==，所以椭圆C的标准方程为22162xy+=．（2）如图：①设直线l的方程为()20xmym=+，并记点()()()112200,,,,,AxyBxyPxy，由222,162x

myxy=++=消去x，得()223420mymy++−=，易知()()222Δ16832410mmm=++=+，则12122242,33myyyymm−−+==++．由条件，()()12,0,,0DxEx，直线A

E的方程为()1212yyxxxx=−−，直线BD的方程为()2121yyxxxx=−−，联立解得()()2112211212012121222223myymyyxyxymyyxyyyyyy++++====++++，所以点P在定直线3x=上．②0212121121111312222P

ABSADxxyxymyymyy=−=−=−=−△，而121212myyyy=+，所以()121212myyyy=+，则()()221211212122611114224426PABmyySyyy

yyyym++=−=−=+−=+△，令21tm=+，则1t，所以266161322222422PABtSttt===++△，当且仅当2t=时，等号成立，所以PAB△面积的最大值为34．