【文档说明】《中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练》（18）（解析版）.doc，共(36)页，2.647 MB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-809712a2020ebfea045941f20d463d92.html

以下为本文档部分文字说明：

1中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练（18）1．已知抛物线224yaxaxa=++−的顶点为点P，与x轴分别交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C．（1）直接写出点P的坐标为________；（2）如图，若A、B两点在原点的两侧，且3OA

OB=，四边形MNEF为正方形，其中顶点E、F在x轴上，M、N位于抛物线上，求点E的坐标；（3）若线段2AB=，点Q为反比例函数kyx=与抛物线224yaxaxa=++−在第一象限内的交点，设Q的横坐标为m，当13m时，求k的取值范围．【答案】（1）(1,4)−−；（2）(

52,0)−；（3）12180k【分析】（1）把函数变形为顶点式即可求解；（2）设A（x1，0），B（x2，0），易得x1＋x2＝−2，又OA＝3OB得到−x1＝3x2，求出x1，x2，得到A，B坐标，将B（1，0）代入

抛物线求出a，设E（m，0），则22EFm=+，EN＝−（m2＋2m−3），根据题意，得2m＋2＝−（m2＋2m−3），解得m的值即可求解；（3）由线段AB＝2，得A（−2，0），B（0，0），a＝4，y＝4x2＋8x，当1＜m＜3时，对于抛物线y＝4x2＋8x，y随x的增大而增大，对于反比

例函数kyx=，y随x的增大而减小，当x＝1时，双曲线在抛物线上方，即1k＞4×12＋8×1，解得k＞12，当x＝3时，双曲线在抛物线下方，即3k＜4×32＋8×3，解得k＜180，所以k的取值范围12＜k＜180．【详解】（1）∵y＝ax2＋2ax＋a−4＝a（x＋1）2−4，∴P（−1，−4）

；故答案为：（−1，−4）；（2）设点()1,0Ax，()2,0Bx2∵抛物线的对称轴为1x=−∴21(1)(1)xx−−=−−则122xx+=−又3OAOB=∴123xx−=∴121223xxxx+=−−=得11x=，

23x=−∴A（−3，0），B（1，0），把点(1,0)B代入224yaxaxa=++−得240aaa++−=解得1a=∴223yxx=+−设点E坐标为(,0)m，F（n,0）∴12mn+=−，∴n=-m-2∴22EFm=+，()22

3ENmm=−+−根据题意得()22223mmm+=−+−解得152m=−，252m=−−（舍去）∴点E的坐标为(52,0)−；（3）∵2AB=，抛物线的对称轴为1x=−所以(2,0)A−，(0,0)B，把（0，0）代入得202040aaa++−=，解之得，4a=，∴248yxx=

+，当13m，对于抛物线248yxx=+来说，y随x增大而增大；3对于kyx=，y随x增大而减小，所以当1x=时，双曲线在抛物线的上方，即241811k+，解之得，12k当3x=时，双曲线位于抛物线的下方，即243833k+，解之得，180k所以k的取值范围为

12180k．【点评】本题是函数综合题，熟练运用二次函数的图像与性质及反比例函数的性质是解题的关键．2．如图，已知二次函数223yxx=+−的图象与x轴相交于CD、两点（点C在点D的左边），与y轴交于点B，点A在二次函数的图像上，且AB∥x轴．问线段BC上是否存在点

P，使△POC为等腰三角形；如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】存在，点33(,)22P−−或(0,3)P−或3232(3,)22P−+−．【分析】由抛物线解析式可得出C、B坐标，利用待定系数法可得直线B

C的解析式为y=-x-3，分三个情况讨论：当PCPO=时，点P在OC的垂直平分线上，根据O、C坐标可得OC中点坐标，把OC中点的横坐标代入BC解析式即可得P点坐标；当POCO=时，设P（x，-x-3），利用两点间距离公式即可得P点坐标；当PCCO=时，利用利用两点间距离公式即可得P点坐标．

【详解】当0y=时，2230xx+−=，解得：123,1xx=−=，∵点C在点D的左边，∴(3,0)C−当x=0时，y=-3，∴B（0，-3），设直线BC的函数解析式为ykxn=+4∴0330knn=−+−=+，解得13kn=−

=−，∴直线BC的解析式为y=-x-3，①当PCPO=时，点P在OC的垂直平分线上，∵点C（-3，0），O（0，0），∴OC中点坐标为（32−，0），把x=32−代入y=-x-3得：y=32-3=32−，∴点33(,)22P−−②当POCO=时，设P（x，-x-3），∴22(3)xx+−−

=3，解得：x1=0，x2=-3（舍去），∴-x-3=-3，∴点(0,3)P−，③当PCCO=时，设点(,3)Pxx−−，∴22(3)(3)3xx++−−=，解得13332x=−+，23232x=−−（不合题意，舍去）∴33(32,2)22P−+−∴存在，点3

3(,)22P−−或(0,3)P−或3232(3,)22P−+−．【点评】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式及等腰三角形的判定，注意分类讨论思想的运用是解题关键．3．如图，抛物线2yaxbxc=++过坐标

原点和()5,0A，()1,4B两点．（1）求该抛物线的表达式；5（2）在线段AB右侧的抛物线上是否存在一点M，使得AB分OMAV的面积为1:2两部分？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）25yxx=−

+；（2）存在，点M的坐标为16696,22M+−，26696,22M−+．【分析】（1）将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）先求AB直线的解析式，再证明ODCMQC△△∽，设点M坐标为()2,5mmm−+，表示出Q点坐标，分①

当2OCMC=时，②当2OCMC=时，求出M的坐标.【详解】解：（1）将点O，A，B的坐标代入抛物线表达式得，025504cabcabc=++=++=，解得：150abc=−==，抛物线的表达式为：25yxx=−+；（2）存在，理由如下：设直线AB的表达式为

：()0ykxnk=+，()5,0AQ，()1,4B，504knkn+=+=，解得：15kn=−=．直线AB的表达式为：5yx=−+，令0x=，则5y=，6直线AB交y轴于点()0,

5D，如图设AB交OM于点C，当2OCMC=或2OCMC=时，AB分OMAV的面积为1:2，过点M作//MQy轴交AB于点Q，MQCODC=，MCQOCD=Q，ODCMQC△△∽，OCODMCMQ=，由点M在抛物线上，可设点M坐标为()2,5mmm−+，由点Q在直线AB

上，则点Q坐标为(),5mm−+，①当2OCMC=时，则有：25MCMCMQ=，解得：52MQ=，由()()225565MQmmmmm=−+−−+=−+−，即25652mm−+−=，解得：662m=

，即16696,22M+−，26696,22M−+，②当2OCMC=时，则有：52OCOCMQ=，解得：10MQ=，7由()()22556510MQmmmmm=−+−−+=−+−=，所得方程无解，综上所述，点M的坐标为16696,22M+−

，26696,22M−+．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似、三角形的面积计算等，其中（2）要注意分类求解，避免遗漏，难度较大，是中考的常考题型.4．如图，抛物线22ya

xbx=++与x轴交于两点(1,0)A和(4,0)B，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，过点D作x轴的垂线，与直线BC相交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在直线BC下方的抛物线上运动时，线段DE的长度是

否存在最大值？存在的话，求出其最大值和此时点D的坐标；（3）若以O，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形，求点D的所有坐标．【答案】（1）215222yxx=−+；（2）存在，DE取最大值2，D（2，﹣1）；（3）点D的坐标是（2，﹣1）

或(222,32)+−或(222,32)−+．【分析】(1)利用待定系数法求解可得；(2)设点D坐标为(m，215222mm−+)，则E点的坐标为(m，122m−+)，求得DE关于m的函数关系式()21222m−−+，根据二次函数的性质即可求解；(3)分点D在DE上方和下方两种情况，

用m的代数式表示出DE的长度，依据DE=2得出关于m的方程，解之可得【详解】(1)把点A(1，0)、B(4，0)代入22yaxbx=++，得：8201642abab++=++，解得1252ab==，∴抛物线的解析式是215222yxx=−+；(2)存在．对于二次函

数215222yxx=−+，令0x=，则2y=，∴点C的坐标为(0，2)，设直线BC的解析式为y＝kx+t，把点B(4，0)，C(0，2)代入y＝kx+t，得：402ktt+==，解得1k2t2=−=

，∴122yx=−+；设点D的坐标为215222mmm−+，，则点E的坐标为122mm−+，，∴22211511222(2)222222DEmmmmmm=−+−−+=−+=

−−+，∴当m＝2时，DE取最大值2，此时2152122mm−+=−，∴点D的坐标为(2，﹣1)；(3)①当D在E下方时，由(2)得：2122DEmm=−+，9∵点C的坐标为(0，2)，

∴OC＝2，∵OC∥DE，∴当DE＝OC时，四边形OCED为平行四边形，则21222mm−+=，解得m＝2，此时点D的坐标为(2，﹣1)；②当D在E上方时，2215112222222DEmmmmm

=−+−−+=−，同理，当DE＝OC时，四边形OCED为平行四边形，即21222mm−=，解得222m=，∴此时(222,32)D+−或(222,32)−+，综上所述，点D的坐标是(2，﹣1)或(222,32)+−或(222,32)−+时，

都可以使O，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形．【点评】本题是二次函数的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及平行四边形的判定与性质等知识点，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．5

．如图，二次函数22yaxxc=−+的图像与x轴交于()()1030AB−，，，两点，与y轴交于点C，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式及顶点E的坐标；(2)如图，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F

恰好在线段BE上，求点F的坐标．10【答案】(1)223yxx=−−+，(-1，4)；(2)()0,2F【分析】(1)将点()1,0A、()3,0B−代入22yaxxc=−+即可求得抛物线的解析式，继而求得顶点E的坐标；(2)利用

待定系数法求得直线BE的解析式，设点()0,Fm，利用对称性得到点F的坐标为()2,m−，将F()2,m−代入直线BE的解析式，即可求解．【详解】(1)把点()1,0A，()3,0B−代入22yaxxc=−+，得20960acac−+=++=，解之得13ac=−=．∴抛物线的

解析式为223yxx=−−+．当()21221bxa−=−=−=−−时，1234y=−++=，∴顶点E的坐标为(-1，4)；(2)设直线BE的解析式为ykxm=+，把()3,0B−，()1,4E−代入得，430kmkm−+=−+=，解得26km==．11∴直线BE的解析式

为26yx=+．设点F的坐标为()0m，，∵抛物线223yxx=−−+的对称轴为1x=−，∴点‘F的坐标为()2m−，，把()‘2Fm−，代入26yx=+得：2(2)6m=−+，解得：2m=，∴点F的坐标为()02，．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、一次函数、二次

函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．6．已知：如图，抛物线26yaxbx=++与x轴交于点()6,0B，()2,0C−，与y轴交于点A．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点，连结PA、PB．设PAB△的面积

为S．点P的横坐标为m．①试求S关于m的函数关系式；②请说明当点P运动到什么位置时，PAB△的面积有最大值？③过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做//PEx轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使PDE△为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的

坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2162yxbx=−++；（2）①()2327322Sm=−−+，②当m=3时，S有最大值，③点P的坐标为（4,6）或（517−，3175−）．【分析】（1）由(

)2(6)(2)412yaxxaxx=−+=−−，则-12a=6，求得a即可；12（2）①过点P作x轴的垂线交AB于点D，先求出AB的表达式y=-x+6，设点21,262Pmmm−++，则点D（m，-m+6），然后再表示()2221133273326693222

22SPDOBPDmmmmmm===−+++−=−+=−−+即可；②由在()2327322Sm=−−+中，32−＜0，故S有最大值；③△PDE为等腰直角三角形，则PE=PD，然后再确定函数的对称轴、E点的横坐标，进一步可得|PE|=2m-4，即

21266242mmmm−+++−=−求得m即可确定P的坐标．【详解】解：（1）由抛物线的表达式可化为()22(6)6=(2)412yaxxaxaxbxx=+−++−=−，则-12a=6，解得：a=12−，故抛物线的表达式为：2162yxbx=−++；（2）①过点

P作x轴的垂线交AB于点D，由点A(0,6)、B的坐标可得直线AB的表达式为：y=-x+6，设点21,262Pmmm−++，则点D（m，-m+6），∴()222113327332669=322222SPDOBPDmmmmm

m===−+++−=−+−−+；②∵()2327322Sm=−−+，32−＜0∴当m=3时，S有最大值；③∵△PDE为等腰直角三角形，13∴PE=PD，∵点21,262Pmmm−++，函数的对称轴为：x=2，则点E的横坐标为：4-m，则|P

E|=2m-4，即21266242mmmm−+++−=−，解得：m=4或-2或517+或517−（舍去-2和517−）当m=4时，21262mm−++=6；当m=517−时，21262mm−++=3175−．故点P的坐标为（4,6）或（517−，3

175−）．【点评】本题属于二次函数综合应用题，主要考查了一次函数、等腰三角形的性质、图形的面积计算等知识点，掌握并灵活应用所学知识是解答本题的关键．7．如图，抛物线C1的图象与x轴交A（−3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点D为抛物线的

顶点．（1）求抛物线C1的解析式和D点坐标；（2）将抛物线C1关于点B对称后的抛物线记为C2，点E为抛物线C2的顶点，求抛物线C2的解析式和E点坐标；（3）是否在抛物线C2上存在一点P，在x轴上存在一点Q，使得以D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，

若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）抛物线C1的解析式为-x2-2x+3；点D的坐标为（-1,4）；（2）抛物线C2的解析式为y=（x－3）2－4；E点坐标（3，-4）；（3）存在，点P的坐标为（3＋23，8）或（3－2

3，8）或（5,0）14【分析】（1）设抛物线C1的解析式为y=a（x＋3）（x－1），将点C的坐标代入即可求出抛物线C1的解析式，化为顶点式即可求出点D的坐标；（2）根据点的对称性求出点E的坐标，从而求出抛物线C2的解析式；（3）根据DE为平行四边形

的边和对角线分类讨论，分别画出对应的图形，根据平行四边形的性质和点的平移规律即可求出结论．【详解】解：（1）∵抛物线C1的图象与x轴交A（−3，0），B（1，0）两点可设抛物线C1的解析式为y=a（x＋3）（x－1）将点C的坐标代入，

得3=a（0＋3）（0－1）解得：a=-1∴抛物线C1的解析式为y=-（x＋3）（x－1）=-x2-2x+3=-（x＋1）2+4∴抛物线C1的顶点D的坐标为（-1,4）；（2）将抛物线C1关于点B对称后的抛物线记为C2，点E为抛物线C2的顶点，设

C2与x轴的另一交点为K，如下图所示∴抛物线C2的二次项系数为1∵点D（-1,4），B（1,0）∴抛物线C2的顶点E的坐标为（3，-4）∴抛物线C2的解析式为y=（x－3）2－4；（3）存在，由对称性可知：BK=AB=1－（-3）

=415∴点K的坐标为（5,0）①当DE为平行四边形的边时，∴DP∥EQ，DP=EQ，即EQ可看作DP平移得到∵点D（-1,4）到点E（3，-4）的平移方式为：先向右平移4个单位，再向下平移8个单位∴点P到点Q的平移方式

为：先向右平移4个单位，再向下平移8个单位∵点Q在x轴上∴点P的纵坐标为8将y=8代入C2的解析式中，解得：x=3±23∴此时点P的坐标为（3＋23，8）或（3－23，8）；②当DE为平行四边形的对角线时，由DE的中点为点B，∴PQ的中点也为点B，由点

Q在x轴上，点B也在x轴上∴点P也在x轴上，即此时点P与点K重合∴此时点P的坐标为（5,0）；综上：点P的坐标为（3＋23，8）或（3－23，8）或（5,0）．【点评】此题考查的是二次函数的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数

解析式、旋转的性质、点的平移规律和平行四边形的性质是解题关键．8．如图，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线C1：y＝13x2＋73x上，点A的坐标为(﹣4，m)，点B的坐标为(n，﹣2)．（点A在点B的左侧）16（1）则m＝，

n＝．（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A′OB′，抛物线C2：y＝ax2＋bx＋4经过A′、B′两点，延长OB′交抛物线C2于点C，连接A′C．设△OA′C的外接圆为⊙M．①求圆心M的坐标；②试直接写出△OA′

C的外接圆⊙M与抛物线C2的交点坐标（A′、C除外）．【答案】（1）﹣4；﹣1；（2）①(6，2)；②(0，4)或(12，4)【分析】（1）把x＝﹣4代入抛物线C1解析式求得y即得到点A坐标；把y＝﹣2代入抛物线C1解析式，解方程并判断大于﹣4的解为点B横坐标；（2）①根据旋转90°的性质特点可

求点A′、B′坐标（过点作x轴垂线，构造全等得到对应边相等）及OA的长，用待定系数法求抛物线C2的解析式，求出直线OC的解析式，构建方程组确定点C的坐标，求出线段OA′，线段A′C的垂直平分线的解析式，构建方程组解决问题即可．②设⊙M与抛物线C2的

交点为P(m，14m2﹣3m＋4)．根据PM＝OM，构建方程求解即可．【详解】解：解：（1）当x＝﹣4时，y＝13×（﹣4）2＋73×（﹣4）＝﹣4，∴点A坐标为(﹣4，﹣4)，当y＝﹣2时，13x2＋73x＝﹣2，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6，∵点A在点B的左侧，∴点B坐标为(﹣1，﹣2)

，∴m＝﹣4，n＝﹣1．故答案为﹣4；﹣1；（2）①如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B′作B′G⊥x轴于点G．17∴∠BEO＝∠OGB′＝90°，OE＝1，BE＝2，∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°

得到△A′OB，∴OB＝OB′，∠BOB′＝90°，∴∠BOE＋∠B′OG＝∠BOE＋∠OBE＝90°，∴∠B′OG＝∠OBE，在△B′OG与△OBE中，OGBBEOBOGOBEBOOB===，∴△B′OG≌△OBE（AAS）

，∴OG＝BE＝2，B′G＝OE＝1，∵点B′在第四象限，∴B′(2，﹣1)，同理可求得：A′(4，﹣4)，∴OA＝OA′＝2244+＝42＝4，∵抛物线C2：y＝ax2＋bx＋4经过点A′、B′，∴1

64444241abab++=−++=−，解得：143ab==−，∴抛物线C2解析式为：y＝14x2﹣3x＋4，∵直线OB′的解析式为y＝﹣12x，18由2121344yxyxx==−+，解得21xy=

=−或84xy==−，∴点C(8，﹣4)，∵A′(4，﹣4)，∴A′C∥x轴，∵线段OA′的垂直平分线的解析式为y＝x﹣4，线段A′C的垂直平分线为x＝6，∴直线y＝x﹣42与x＝6的交点为(6，2)，∴△OA′C的外接圆的圆心M的坐标为(6，2)．②设⊙M与抛物线C2的交点为P(m，

14m2﹣3m＋4)．则有（m﹣6）2＋（14m2﹣3m＋2）2＝62＋22，解得m＝0或12或4或8，∵A′、C除外，∴P(0，4)或(12，4)．【点评】此题考查的是二次函数与几何图形的综合大题，难度较大，掌握全等三角形的判定及性质、利用待定系数法求二次函数、一次函数解析式

、三角形外接圆的性质是解题关键．9．如图，抛物线L：y2=x25−x﹣12与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标；（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PC⊥x

轴，垂足为C，PC交AB于点D，求PD+BD的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线L：y2=x25−x﹣12向右平移得到抛物线L，直线AB与抛物线L交于M，N两点，若点A是线段MN的中点，求抛物线L的解析式．19【答案】（1）直线A

B解析式为y＝3x－12，抛物线顶点坐标为（54，－1218）；（2）PD＋BD的最大值为378104+，此时点P的坐标为（8104+，310514−）；（3）抛物线L的解析式为y＝2x2－13x＋6．【分析】（1）先求出点A，点B坐标，

利用待定系数法可求解析式，通过配方法可求顶点坐标；（2）设点P（x，2x2－5x－12）（54＜x＜4），则点D（x，3x－12），由两点距离公式可求PD，BD的长，可得PD＋BD＝－2x2＋8x＋10x＝－2（x－8

104+）2＋378104+，由二次函数的性质可求解；（3）设平移后的抛物线L'解析式为y＝2（x－m）2－1218，联立方程组可得x2－2（m＋34）x＋m2－2516＝0，设点M（x1，y1），点N（x2，y2），可得x1＋x

2＝2（m＋34），由中点坐标公式可得x1＋x2＝8，可求m的值，即可求解．【详解】解：（1）∵抛物线L：y＝2x2－5x－12与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，∴点A（4，0），点B（0，－12），设直线AB解析式为：y

＝kx－12，∴0＝4k－12，∴k＝3，∴直线AB解析式为：y＝3x－12，∵y＝2x2－5x－12＝2（x－54）2－1218，∴抛物线顶点坐标为（54，－1218）；（2）∵点A（4，0），点B（0，－12）

，20∴OA＝4，OB＝12，∴AB＝22OAOB+＝22412+＝410，设点P（x，2x2－5x－12）（54＜x＜4），则点D（x，3x－12），∴BD＝22(0)(31212)xx−+−+＝10

x，PD＝（3x－12）－（2x2－5x－12）＝－2x2＋8x，∴PD＋BD＝－2x2＋8x＋10x＝－2（x－8104+）2＋378104+，∵54＜x＜4，－2＜0，∴当x＝8104+时，PD＋BD有最大值为378104+，此时，点P（810

4+，310514−）；（3）设平移后的抛物线L解析式为y＝2（x－m）2－1218，联立方程可得：2（x－m）2－1218＝3x－12，∴x2－2（m＋34）x＋m2－2516＝0，设点M（x1，y1），点N（x2，y2），∵直线A

B与抛物线L'交于M，N两点，∴x1，x2是方程x2－2（m＋34）x＋m2－2516＝0的两根，∴x1＋x2＝2（m＋34），∵点A是MN的中点，∴x1＋x2＝8，∴2（m＋34）＝8，∴m＝134，∴平移后的抛物线L解析式为y＝2（x－13

4）2－121821即：y＝2x2－13x＋6．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，平移的性质，根与系数关系，中点坐标公式等知识，利用参数m列出方程是本题的关键．10．如图，在平面直角坐标系中，直线3yx=−+交x轴于点B，交y轴于C，抛物线2yxbxc=

−++经过点B、C，且与x轴交于另一点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作PHx⊥轴于点H，交直线BC于点G，设点P的横坐标为m．①过点P作PEBC⊥于点E，设PE的长度为h，请用含m的式子表示h，并求出当h取得最大值时，点P的坐标．②在①的

条件下，当直线l到直线BC的距离等于PE时，请直接写出符合要求的直线l的解析式．【答案】（1）2yx2x3=−++；（2）①223222hmm=−+，点P坐标为315,24，②214yx=−+或34yx=−+．【分析】（1）根据直线BC求出点B、C的坐标，用待定

系数法即可求出抛物线解析式；（2）①过点E作EMPG⊥于点M，推出22PEPG=，再设点()2,23Pmmm−++，(,3)Gmm−+，得出PE后即可得出答案；②根据①z中得出的h值，代入两直线的距离公式即可．【详解】解：（1）在直线3yx=−+中，令0

x=，得3y=；令0y=，得3x=，∴(0,3)C、(3,0)B22把点B，C的坐标代入抛物线解析式中，得9303bcc−++==解得23.bc==∴抛物线解析式为2yx2x3=−++（2）①如解图，过点E作EMPG⊥于点M.∴//EMAB∵3OBOC==，∴45OBC=∴

45MEG=又∵EMPG⊥∴45EGM=∵PEBC⊥∴PEG是等腰直角三角形∴22PEPG=设点()2,23Pmmm−++，(,3)Gmm−+∴223(3)PGmmm=−++−−+2239324mmm=−+=−−

+则2223922228PEPGm==−−+(03)m23即：22232222hPGmm==−+22392228m=−−+.∴当32m=时，h取得最大值此时点P坐标为315,24

②直线BC的解析式为：3yx=−+直线l的解析式为：yxb=−+由题意可得，两直线间的距离为：928根据两直线间的距离公式可得：2233928211bb−−==+解得：12213,44bb==直线l的解析式为：214y

x=−+或34yx=−+．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和轴对称的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键

．11．如图，二次函数2yxbxc=++的图象与x轴交于()3,0A，()1,0B−，与y轴交于点C．（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；（2）如图1，点P为抛物线AC段一动点，PQAC⊥于点Q，PGx⊥轴交AC于点G，当PQ的长度最大时，求

点P的坐标．（3）点M为抛物线上一点，过M作//MNx轴交直线AC于点N，点E为x轴上一点，点F为坐标系内一点，当以点M，N，E，F为顶点的四边形是正方形时，直接写出点M的坐标．24【答案】（1）223yxx=−−

，()0,3C−；（2）315,24P−；（3）17(,)24−−，211(,)39−−，(2,5)−【分析】（1）先求出二次函数的解析式，即可得到结果；（2）设PGx⊥轴于点H，()2,23Pmmm−−，求出OAOC=，根据直角三角形性质得到22P

QPG=，求出直线AC的解析式，得到(),3Gmm−，求出PG，即可得到结果；（3）由题意可得：MN∥EF，设M点的坐标为()2,23xxx−−，即可得到N的点，再根据正方形的性质，分类讨论即可；【详解】解：（1）∵2yxbxc=++的图象与x轴交于()3,0A，()1,0B−∴09301b

cbc=++=−+∴23bc=−=−∴223yxx=−−当0x=时，3y=−∴()0,3C−（2）设PGx⊥轴于点H，()2,23Pmmm−−∵()3,0A，()0,3C−∴OAOC=在RtAOC△中，45OCAOAC==25∵45HGAPGQ==，PQAC⊥

∴2sin2PGQPQPG==∴22PQPG=设直线AC的解析式为：111ykxb=+∴11033kbb=+−=∴13yx=−∴(),3Gmm−∴()22239323324PGmmmmmm=−−−−=−+=−−+即当32m=时PG最大．∴315,24P

−．（3）设M点的坐标为()2,23xxx−−，则点N的坐标为()222,23xxxx−−−，∴MN的长度为23xx−26①当MN为直角边时，可知MN∥EF，∴E，F均在x轴上，∴M，N点到x轴的距离为223xx−−，即2=23NExx−−∵MNEF为正方

形，∴MNNE=，即2223=3xxxx−−−，解得13x=，212x=−当x=3时，M点为A点，应舍去∴M点可为17(,)24−−②当MN是对角线时，得到23MNxx=−，此时E点为MN的垂直平分线与x轴的交点且△ENM为直角等腰

三角形，故MN的长度应该为M到x轴的距离的2倍得到22332=2xxxx−−−解得13x=，223x=−，32x=−同理x=3时应舍去故M点可为211(,)39−−，(2,5)−故综上M点坐标可为17(,)24−−，211(,)39−−，(2,5)−【点评】本题主要考查

了二次函数的综合应用，结合正方形的性质是解题的关键．12．如图，直线2yx=+与抛物线()260yaxbxa=++相交于15,22A和()4,Bm，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PCx⊥轴于点D，交抛物线于点C（1）求抛物线的解析式；（2）是

否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求PAC△为直角三角形时点P的坐标27【答案】（1）2286yxx=−+；（2）存在，498；（3）()3,5或711,22

【分析】（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，通过待定系数法即可求得解析式；（2）设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，可得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，再化成顶点式即可；（3）当△PAC为直角三角形时，

根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解即可．【详解】（1）∵()4,Bm在直线2yx=+上，∴426m=+=，∴()4,6B，∵15,22A、()4,6B在抛物线26yaxbx=++上，∴2511622261646bab=++=++，解得28ab=

=−，∴抛物线的解析式为2286yxx=−+．（2）设动点P得坐标为(),2nn+，则C点得坐标为()2,286nnn−+，∴()()2229492286294248PCnnnnnn=+−−+=−+−=−−+

，28∵0PC＞，∴当9n4=时，线段PC最大且为498．（3）∵PAC△为直角三角形，①若点A为直角顶点，90APC=．由题意易知，//PCy轴，45APC=，因为此种情形不存在；②若点A为直角顶点，则90PAC=．如图1，过点15,22A作ANx⊥轴

于点N，则12ON=，52AN=．过点A作AMAB⊥直线，交x轴于点M，则由题意易知，AMNV为等腰直角三角形，∴52MNAN==，∴150322OMNMN=+=+=，∴()3,0M．设直线AM得解析式为ykxb=+，则：152230kbkb+=+=，解得13kb=−=，所以直线A

M得解析式为：3yx=−+又抛物线得解析式为：2286yxx=−+②联立①②式，解得：3x=或12x=（与点A重合，舍去）∴()3,0C，即点C、M点重合．当3x=时，25yx=+=，∴()13,5P；③若点C为直角顶点，则90A

CP=．∵()22286222yxxx=−+=−−，∴抛物线的对称轴为直线2x=．如图2，作点15,22A关于对称轴2x=得对称点C，则点C在抛物线上，且75,22C，当72x=时，1122yx=+=．∵点()13,5P、271

1,22P均在线段AB上，29∴综上所述，PAC△为直角三角形时，点P得坐标为()3,5或711,22．【点评】考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交

点坐标的求法等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题．13．抛物线2432yaxaxa=−+−（a为常数，且0a）的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点C．（1）当1a=时，求A、B两点坐

标；（2）若点A的纵坐标比点B的纵坐标大4．①求抛物线的解析式；②将①中抛物线向上平移5个单位长度，得到新的抛物线，在新得到的抛物线上有两点11(,)Mxy，22(,)Nxy，当25x=时，有12yy，求x1的取值范围；（3）如

图1，已知(2,3)D、(6,)Em在反比例函数(0)kyxx=图象上，若抛物线与线段DE有公共点，直接写出a的取值范围30【答案】（1）3(2,)A−，(0,1)B（2）①245yxx=−−−；②1

15x−（3）a≥15或a≤-5【分析】（1）把a=1代入抛物线解析式，再化成顶点式即可得到答案；（2）①化抛物线解析式为2(2)2yaxa=−−−，求出A点坐标，根据x=0，求出B点坐标，再根据“点A的纵坐标比点B的纵坐标大4

”列出方程求出a的值即可得到抛物线的解析式；②二次函数的性质可知，若12yy，则115x−；（3）分a＞0和a＜0两种情况讨论即可解答．【详解】解：（1）当1a=时，2241(2)3yxxx=−+=−

−当0x=时，1y=(2,3)A−，(0,1)B（2）①22243(44)2(2)2yaxaxaaaxxaaxa=−+−=−+−−=−−−(2,2)Aa−−当0x=时，32ya=−(0,32)Ba−根据题意得2(32)4aa−−−−=解得1a=−抛物线的解析式为245

yxx=−−−；②新抛物线解析式为224(2)4yxxx=−−=−−+10a−Q，对称轴为直线2x=，2(5,)y关于对称轴对称的对称点2(1,)y−根据二次函数的性质可知，若12yy，则115x−；（3）∵D（2，3）在反比例函数(0)kyxx=图象上，∴k=2×3=6∴6yx

=31∵(6,m)在反比例函数6yx=上，∴E(6,1)分a＞0和a＜0两种情况讨论：①当a＞0时，如图①，当x=6时，y=36a-24a+3a-2=15a-2≥1解得，a≥15；②当a＜0时，如图②，∵22243(44)2(2)

2yaxaxaaaxxaaxa=−+−=−+−−=−−−∴233624321aaaa−−−+−解得，a≤-5，综上所述，a的取值范围为a≥15或a≤-5．【点评】本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征；会利用待定系数法求二次函数解析式；会利用分类

讨论的思想解决数学问题；本题难度较大，综合性较强．14．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=﹣x2+（k﹣1）x+k（k＞0）交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，交y轴的正半轴于点C，且AB=4．（1）如图1，求k的值；（2）如图2，点D在第一象限的抛物线上，点E在线

段BC上，DE//y轴，若DE=2BE，求点D的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，F为抛物线顶点，点P在第四象限的抛物线上，FP交直线DE于点Q，点G与点D关于y轴对称，若GQ=DP，求点P的坐标．32【答案】（1）3；（2）D（2，3）；（3）P（1+5，﹣1）．【分析】（

1）令y=0，求得A、B两点的坐标，根据AB=4列出k的方程，便可求得k的值；（2）用待定系数法求出直线BC的解析式，再设D点的横坐标为m，用m表示DE与BE，再由DE=2BE，列出m的方程，便可求得结果；（3）由点F、P的坐

标得，直线PF的表达式为()13ynxn=−++，求出点Q（2，5n−），由GQ=DP，列出n的方程，即可求解．【详解】（1）令y=0，得()210yxkxk=−++=﹣，解得，1x=−，或xk=，∴A（1−，0），B（k，0），∵AB=4，∴14k+=，∴3k=；（2）

由（1）知，抛物线的解析式为：223yxx=−++，B（3，0），令0x=，得2233yxx=−++=，∴C（0，3），设直线BC的解析式为3ykx=+（k≠0），则把B（3，0）代入得：033k=+，解得，1k=−，∴直线BC的解析式为3yx=−+，设D点的坐标为（m，223mm−++），则

E（m，3m−+），33∴DE=()2233mmm−++−−+=23mm−+，BE=()()()223323mmm−++−=−，∵DE=2BE，∴23mm−+()23m=−，解得，2m=或3m=（舍），∴D（2，3）；（3）点G与点D关于

y轴对称，则点G（-2，3），()222314yxxx=−++=−−+，∴抛物线的顶点F的坐标为（1，4），设点P（n，223nn−++），由点F、P的坐标，同理求得直线PF的表达式为()13ynxn=−++，当2

x=时，()1235ynnn=−++=−，故点Q（2，5n−），则2DP=222(2)(233)nnn−+−++−，2GQ=22(22)(53)n++−−，∵GQ=DP，∴22222(2)(233)(22)(

53)nnnn−+−++−=++−−，解得15n=（舍去负值），故点P（15+，1−）．【点评】本题是二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式和一次函数的解析式．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示

线段的长度，从而求出线段之间的关系．15．如图，抛物线2yxbxc=−++与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为()3,0，点C的坐标为()0,3，直线1经过B，C两点．34（1）求抛物线的解析式；（2）过点

C作//CDx轴交抛物线于点D，过线段CD上方的抛物线上一动点E作EFCD⊥交线段BC于点F，求四边形ECFD的面积的最大值及此时点E的坐标；（3）点P是在直线l上方的抛物线上一动点，点M是坐标平面内一动点，是否存在动点P，M，使得以C，B，P，M为顶点的四边形是矩形？

若存在，请直线写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2yx2x3=−++；（2）94，315,24E；（3）存在，152+或1．【分析】（1）将点()3,0B，点()0,3C代入2yxbxc=−++中

，即可求解析式；（2）求出BC的直线解析式为3yx=−+，设()2,23Emmm−++，则(),3Fmm−+，所以23CDECDFECFDSSSmm=+=−+VV四，即可求面积的最大值；（3）设()2,23Pnnn−++，①当CPCB⊥时，22nnn=−+，可求P点横坐标；②当C

PCB⊥时，()()()21313nnnnnn−+−=−−，可求P点横坐标．【详解】解：（1）将点()3,0B，点()0,3C代入2yxbxc=−++中，则有9303bcc−++==，23bc==，223yxx=−++；（2）223yxx=−++Q

，对称轴为1x=，35//CDxQ轴，()2,3D，2CD=，Q点()3,0B，点()0,3C，BC的直线解析式为3yx=−+，设()2,23Emmm−++，EFCD⊥Q交线段BC于点F，(),3Fmm−+，()2211222322CDECDFECFDSSSmmmmm=+=−++

=−+VV四边形，当32m=时，四边形ECFD的面积最大，最大值为94；此时315,24E；（3）设()2,23Pnnn−++，①当CPCB⊥时，45CBO=Q，45PCD=，22

nnn=−+，1n=，P点横坐标为1；②当CPCB⊥时，()()()21313nnnnnn−+−=−−，()()211nn−+=−，152n+=或152n−=（舍），36P点横坐标为152+．综上所述：P点横坐标为152+或1．【点评】本题考查二次函数的性质；熟练掌握

二次函数的图象及性质，掌握矩形的性质是解题的关键．