【文档说明】四川省成都石室中学高2021届三诊模拟考试理科数学试卷 含解析.doc，共(22)页，1.214 MB，由小赞的店铺上传

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2021年四川省成都市石室中学高考数学三诊试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．集合A＝{y|y＝2x，x≤0}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{1}B．{0}C．{1，2}D．{﹣1，0}2．设i为虚数单位，若复数z满足（2+i）z

＝5，则|z|＝（）A．5B．C．D．23．若实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为（）A．﹣1B．1C．3D．54．下列说法错误的是（）A．“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件B．在回归直线＝0.5x﹣85中，变量x＝200时，变量y的值一定是15C．命题p

：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0D．若α∩β＝1，m⊂α，n⊂β，α⊥β，m⊥l，则m⊥n5．多项式（x﹣）（1﹣x）4的展开式中含x2项的系数为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．46．已知函数f

（x）＝aex+x2的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y＝（2e+2）x+b，那么ab＝（）A．2B．1C．﹣1D．﹣27．已知函数f（x）＝xsinx，则其大致图象是下列图中的（）A．B．C．D．8．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是关于整除的问

题（如7被3除余1：1被2除余1）．现有这样一个整除问题：将1到100这100个正整数中能被2除余1且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则数列{an}各项的和为（）A．736B．816C．833D．298009．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（|φ|＜）的图象

如图所示，为了得到g（x）＝sin3x的图象，只需将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度10．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为

鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝BC＝4，AB＝3，AB⊥BC，若三棱锥P﹣ABC有一个内切球O，则球O的体积为（）A．AB．C．D．9π11．已知函数y＝f（x﹣1）的图象关于x＝1对称，满足f（2﹣x）＝f（x），且f（x）在（﹣1，0）上递减．若a＝f（5），b

＝f（﹣ln2），c＝f（log318），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜bB．c＜b＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c12．已知F1，F2是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，过点F1作斜率为的

直线l与双曲线的左，右两支分别交于M，N两点，以F2为圆心的圆过M，N，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案直接填在答题卡上．13．记Sn为递增等比数

列{an}的前n项和，若a1a2a3＝8，a4＝a3+4，则S10的值为．14．已知向量，满足||＝1，||＝2，且与的夹角为，则向量﹣与的夹角为．15．已知直线经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，并交抛物线于A，B两点，则|AF|＝4，且在抛物线的准线上的一点C满足＝2，则

p＝．16．函数f（x）的定义域为D，若满足：（1）f（x）在D内是单调函数；（2）存在，使得f（x）在上的值域为[m，n]，那么就称函数f（x）为“梦想函数”．若函数是“梦想函数”，则t的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每

个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．已知△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足．（I）求角A的大小；（Ⅱ）若c＝2，△ABC的面积为，D为边BC的中点，求AD的长度．18．在如图所示的圆柱O1O2中，AB为圆O1的直径，C，D是的两个三等分点

，EA，FC，GB都是圆柱O1O2的母线．（1）求证：FO1∥平面ADE；（2）若BC＝FC＝2，求二面角B﹣AF﹣C的余弦值．19．2021年3•15期间，某家具城举办了一次家具有奖促销活动，消费每超过1万元（含1万元），均可抽奖一次，抽奖方案有两

种，顾客只能选择其中的一种．方案一：从装有10个形状与大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，则打5折；若摸出2个红球和1个黑球则打7折；若摸出1个白球2个黑球，则打9折：其余情况不打折．方案二：

从装有10个形状与大小完全相同的小球（其中红球2个，黑球8个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减2000元．（1）若一位顾客消费了1万元，且选择抽奖方案一，试求该顾客享受7折优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1万元，试从数

学期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？20．已知椭圆M：＝1（a＞b＞0）离心率为，点P（）在椭圆M上．（1）求椭圆M的方程；（2）设O为坐标原点，A，B，C是椭圆M上不同的三点，且O为△ABC的重心，探究△ABC面积是否为定值

，若是求出这个定值；若不是，说明理由．21．已知函数f（x）＝2x﹣alnx+4a，（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）令g（x）＝f（x）﹣sinx，若存在x1，x2∈（0，+∞），且x1

≠x2时，g（x1）＝g（x2），证明：．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．直线l：，圆C：ρ＝2sinθ．以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建

立直角坐标系xOy．（1）求直线l的直角坐标方程和圆C的参数方程；（2）已知点P在圆C上，点P到直线l和x轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|3x﹣1|+|2x+2|的最小值M．（1）求M

；（2）已知a、b、c均为正实数，且a+b+c＝9M，求证：（）（）（）≥8．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．集合A＝{y|y＝2x，x≤0}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．

{1}B．{0}C．{1，2}D．{﹣1，0}解：∵A＝{y|y＝2x，x≤0}＝{y|0＜y≤1}，B＝{﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{y|0＜y≤1}∩{﹣1，0，1，2}＝{1}．故选：A．2．设i为虚数单位，若复数z满足（2+i）z＝5，则

|z|＝（）A．5B．C．D．2解：∵复数z满足（2+i）z＝5，∴z＝＝＝＝2﹣i．∴|z|＝＝．故选：C．3．若实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为（）A．﹣1B．1C．3D．5解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），由z＝x+2y，化为y＝﹣，由图

可知，当直线y＝﹣过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为5．故选：D．4．下列说法错误的是（）A．“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件B．在回归直线＝0.5x﹣85中，变量x＝200时，变量y的值一定是15C．

命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0D．若α∩β＝1，m⊂α，n⊂β，α⊥β，m⊥l，则m⊥n解：当a＞1，可得，即为充分条件，当时，可得a＞1或a＜0，即为不必要条件，

故A选项正确，当变量x＝200时，回归直线＝0.5x﹣85＝0.5×100﹣85＝15，说明y的值在15附近波动，故B选项错误，特称命题的否定为全称命题，故C选项正确，∵α∩β＝1，m⊂α，m⊥l，∴m⊥β，∵n⊂β，∴m⊥n，故D选项正

确．故选：B．5．多项式（x﹣）（1﹣x）4的展开式中含x2项的系数为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．4解：多项式（x﹣）（1﹣x）4的展开式中含x2项的系数为•（﹣1）﹣2•（﹣1）3＝﹣4+8＝4，故选：D．6．已知函数f（x）

＝aex+x2的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y＝（2e+2）x+b，那么ab＝（）A．2B．1C．﹣1D．﹣2解：f（x）＝aex+x2图象在（1，f（1））切线方程为y＝（2e+2）x+b，由

f（x）＝aex+x2，f′（x）＝aex+2x，f′（1）＝ae+2＝2e+2⇒a＝2，f（1）＝ae+1＝2e+2+b⇒b＝﹣1，ab＝﹣2，故选：D．7．已知函数f（x）＝xsinx，则其大致图象是下列

图中的（）A．B．C．D．解：∵f（﹣x）＝﹣xsin（﹣x）＝xsinx＝f（x），∴该函数为偶函数，故排除答案A，D，又∵f（）＝0而B选项中显然f（）＜0，因此排除B．故选：C．8．“中国剩余定理”又称“孙子定

理”，讲的是关于整除的问题（如7被3除余1：1被2除余1）．现有这样一个整除问题：将1到100这100个正整数中能被2除余1且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则数列{an}各项的和为（）A．736B．816C．833D．29800解：“能被2除余1且被3除余1

的数”即“被6除余1”，所有项为等差数列，通项为“an＝6n﹣5”，由题意知6n﹣5≤100，得n≤，∴n≤17，a17＝6×17﹣5＝97，a1＝1，∴S17＝＝＝833．故选：C．9．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）＝sin3x的图象，

只需将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度解：由图象知函数的周期T＝4（﹣）＝4×＝，即＝，得ω＝3，则f（x）＝sin（3x+φ），由f（）＝sin（3×+φ）＝﹣1，得

sin（+φ）＝﹣1，即+φ＝2kπ+，得φ＝2kπ+，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k＝0时，φ＝，即f（x）＝sin（3x+）＝sin3（x+），为了得到g（x）＝sin3x的图象，只需将f（x）的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin3（x﹣

+）＝sin3x，故选：C．10．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝BC＝4，AB＝3，AB⊥BC，若三棱锥P﹣ABC有一个内切球O，则球O的体积为（）A．AB．C．

D．9π解：由题意，将鳖臑补形为长方体，如图根据PA＝BC＝4，AB＝3，AB⊥BC，可得△PAC的面积为10，△BAC的面积为6，△BPC的面积为10，，△BAP的面积为6，三棱锥P﹣ABC有一个内切球半径为r，可得VP﹣ABC＝即＝解得r＝，∴球O的体积＝．故选：C．11．已知函数y＝

f（x﹣1）的图象关于x＝1对称，满足f（2﹣x）＝f（x），且f（x）在（﹣1，0）上递减．若a＝f（5），b＝f（﹣ln2），c＝f（log318），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜bB．c＜b＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c解：由y＝f（x﹣1）的图象关于x＝1对称

，可得f（x）是偶函数，即f（﹣x）＝f（x）；∵f（2﹣x）＝f（x），即f（x+2）＝f（﹣x）＝f（x），可得f（x）的周期T＝2；f（x）在（﹣1，0）上递减，在（0，1）上递增．a＝f（5）＝f（）≈f（0.

404），b＝f（﹣ln2）＝f（ln2）≈f（0.69），c＝f（log318）＝f（2+log32）＝f（log32）≈f（0.63），注：log32＝，则a＜c＜b．故选：A．12．已知F1，F2是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，过点F1作斜率为的直线l与双曲线的左，右两支

分别交于M，N两点，以F2为圆心的圆过M，N，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2D．解：取MN的中点P，因为以F2为圆心的圆过M，N，则MF2＝NF2，连结F2P，则F2P⊥MN，设MF2＝NF2＝x，因为MF2﹣MF1＝2a，则MF1

＝x﹣2a，又因为NF1﹣NF2＝2a，则NF1＝x+2a，所以MN＝NF1﹣MF1＝4a，则MP＝NP＝2a，故PF1＝x，在Rt△F1F2P中，PF2＝，在Rt△MF2P中，PF2＝，所以＝，解得x2＝2a2+2c2，又直线的斜率为，则ta

n∠PF1F2＝，所以，即c2＝3a2，所以离心率．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案直接填在答题卡上．13．记Sn为递增等比数列{an}的前n项和，若a1a2a3＝8，a4＝a3+4，则S10的值为1023．解：∵{an}为等比

数列，又∵a1a2a3＝8，∴，a2＝2，设等比数列{an}的公比为q，∵a4＝a3+4，∴，即2q2＝2q+4，解得q＝﹣1，q＝2，∵{an}为递增的等比数列，∴q＝﹣1（舍去），q＝2，∵a2＝2a1，∴，运用等比数列前n项和公式．故答案为：1023．14．已知向

量，满足||＝1，||＝2，且与的夹角为，则向量﹣与的夹角为150°．解：向量，满足||＝1，||＝2，且与的夹角为，∴cos＜（），＞＝＝＝＝＝﹣．∴向量﹣与的夹角为150°．故答案为：150°．15．已知直线经过抛物线y2

＝2px（p＞0）的焦点F，并交抛物线于A，B两点，则|AF|＝4，且在抛物线的准线上的一点C满足＝2，则p＝2．解：过A作AD垂直于准线于D，过B作BE垂直于准线于E点设准线与x轴交于P，由抛物线的性质可得|AF|＝|AD|＝4，＝2，

可得|BC|＝2|BF|＝|BE|，所以∠DCA＝30°，所以|AC|＝2|AD|＝8，|CF|＝|AC|﹣|AF|＝8﹣4＝4，所以|PF|＝|CF|＝2＝p，故答案为：2．16．函数f（x）的定义域为D，若满足：（1）f（x）在D内是单调函数；（

2）存在，使得f（x）在上的值域为[m，n]，那么就称函数f（x）为“梦想函数”．若函数是“梦想函数”，则t的取值范围是（﹣，0）．解：（1）设u（x）＝ax+t，则y＝logau，当a＞1时，u（x）＝ax+t为增函数，y＝log

au也是增函数，则y＝loga（ax+t）为增函数，当0＜a＜1时，u（x）＝ax+t为减函数，y＝logau也是减函数，则y＝loga（ax+t）为增函数，综上可得：y＝loga（ax+t）为增函数，即f（x）在D内是单调函数．

（2）∵f（x）是单调递增函数，∴若f（x）＝loga（ax+t）为“梦想函数”，则有，即方程a+t＝ax有两个不同的正数解，即可得（a）2﹣a﹣t＝0有两个不同的正数解，则有，即，可得﹣＜t＜0，即t的取值范围为（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．三、解答题：共70

分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．已知△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足．（I）求角A的大小；（Ⅱ）若c＝2，△AB

C的面积为，D为边BC的中点，求AD的长度．解：（I）因为．由正弦定理可得，sinC＝sinAcosB﹣sinBsinA，即sin（A+B）＝sinAcosB+sinBcosA＝sinAcosB﹣sinBsinA，因为sinB≠0，所以tanA＝﹣，因为A∈（0，π

），所以A＝，（II）因为S△ABC＝＝＝，故b＝1，由题意可得，＝，∴||2＝＝＝，故AD＝．18．在如图所示的圆柱O1O2中，AB为圆O1的直径，C，D是的两个三等分点，EA，FC，GB都是圆柱O1O2的母线．（1）求证：FO1∥平面ADE；（2）若BC＝FC＝2，求二面角B﹣AF

﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：连接O1C，因为EA，FC，都是圆柱O1O2的母线，所以AE∥CF，因为C，D是的两个三等分点，AB为圆O1的直径，所以AD∥O1C，又因为AD∩AE＝A，CF∩O1F＝F，所以平面AED∥平面O1CF，

又因为O1F⊂平面O1CF，所以FO1∥平面ADE．（2）解：连接AC，因为AB为圆O1的直径，所以AC⊥BC，又因为CF⊥平面ABC，所以CF⊥CB，CF⊥AC，所以CA、CB、CF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意

得各点坐标如下：C（0，0，0），B（0，2，0），F（0，0，2），A（2，0，0），＝（﹣2，2，0），（﹣2，0，2），设平面ABF的法向量为＝（x，y，z），，令x＝1，则＝（1，，），平面ACF的法向量为＝（0，

1，0），所以二面角B﹣AF﹣C的余弦值为＝＝．19．2021年3•15期间，某家具城举办了一次家具有奖促销活动，消费每超过1万元（含1万元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．方案一：从装有10个形状与大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，

黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，则打5折；若摸出2个红球和1个黑球则打7折；若摸出1个白球2个黑球，则打9折：其余情况不打折．方案二：从装有10个形状与大小完全相同的小球（其中红球2个，黑球8个

）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减2000元．（1）若一位顾客消费了1万元，且选择抽奖方案一，试求该顾客享受7折优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1万元，试从数学期望的角度比较该顾客

选择哪一种抽奖方案更合算？解：（1）选择方案一，若享受到7折，则需要摸出2个红球和1个黑球，故该顾客享受7折优惠的概率为＝；（2）若选择方案一，设付款金额为X元，则X的可能取值为5000，7000，9000，10000，所以P（X＝5000）＝＝，P（X＝7000）＝＝，P（X＝9000）＝＝，

P（X＝10000）＝1﹣﹣﹣＝，故E（X）＝5000×+7000×+9000×+10000×＝元；若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z，则Z＝10000﹣2000Y，由已知可得Y～B（3，），所以E（Y）＝3×＝，故E（Z）＝E（10000﹣2000Y）＝10000﹣2000E（Y）

＝8800元．因为E（X）＞E（Z），故该顾客选择第二种抽奖方案更合算．20．已知椭圆M：＝1（a＞b＞0）离心率为，点P（）在椭圆M上．（1）求椭圆M的方程；（2）设O为坐标原点，A，B，C是椭圆M上不同的三点，且O为△ABC的重心，探究△ABC面积是否为定值，若是求出这个定值

；若不是，说明理由．解：（1）因为点P（）在椭圆M上，则，又离心率为，则，结合a2＝b2+c2，解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆M的方程为；（2）当直线AB的斜率不存在时，则AB⊥x轴，点C在x轴上，|AB|＝，点C到A

B的距离为3，故S△ABC＝＝；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx+m，联立方程组，可得（4k2+1）x2+8kmy+4（m2﹣1）＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则△＝16（4k2+1﹣m2）＞0，且，故，因为O为△A

BC的重心，则，故点在椭圆上，则有，整理可得4m2＝4k2+1，所以＝，又点O到直线AB的距离为，所以S△ABC＝3S△ABO＝＝．综上所述，△ABC面积为定值．21．已知函数f（x）＝2x﹣alnx+4a，（a

∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）令g（x）＝f（x）﹣sinx，若存在x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2时，g（x1）＝g（x2），证明：．解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，当a≤0

时，f'（x）＞0当a＞0时，由f'（x）＞0得，由f'（x）＜0得，∴当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，f（x）在上单调递减，在单调递增．（2）证明：g（x）＝2x﹣alnx﹣sinx+4a，∵g（x1

）＝g（x2），∴2x1﹣alnx1﹣sinx1＝2x2﹣alnx2﹣sinx2，∴a（lnx1﹣lnx2）＝2（x1﹣x2）﹣（sinx1﹣sinx2），令h（x）＝x﹣sinx，则h'（x）＝1﹣cosx≥0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，不妨设x1＞x2＞0，∵h（x1）＞h（x

2），∴x1﹣sinx1＞x2﹣sinx2∴﹣（sinx1﹣sinx2）＞x2﹣x1，∴2（x1﹣x2）﹣（sinx1﹣sinx2）＞2（x1﹣x2）+（x2﹣x1）＝x1﹣x2，∴a（lnx1﹣lnx2）＞x1﹣x2，∴，下面证明，令，只

需证，只需证，设，则，∴m（t）在（1，+∞）递增，∴m（t）＞m（1）＝0，即成立，∴，即．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．直线l：，圆C：ρ＝2sinθ．以极点O为原点，极轴为

x轴正半轴建立直角坐标系xOy．（1）求直线l的直角坐标方程和圆C的参数方程；（2）已知点P在圆C上，点P到直线l和x轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值．解：（1）由，得，又，代入可得直线l的直角坐标方程为：，

即为；由圆C：ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2+y2，∴圆C直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2＝1；由x2+（y﹣1）2＝1得，圆C的参数方程为（α为参数）；（2）设点P坐标为

（cosα，1+sinα），则＝，又d2＝1+sinα，那么，当时，d1+d2取得最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|3x﹣1|+|2x+2|的最小值M．（1）求M；（2）已知a、b、c均为正实数

，且a+b+c＝9M，求证：（）（）（）≥8．【解答】（1）解：f（x）＝|3x﹣1|+|2x+2|＝，f（x）在（﹣∞，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，则f（x）的最小值为f（）＝，故M＝；（2）证明：a+b+c＝9M＝24，（）（）（）＝（）（）（）＝（）（

）（）．当且仅当a＝b＝c＝8时等号成立．