【文档说明】吉林省长春市东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第二次摸底考试数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，1.168 MB，由envi的店铺上传

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2024-2025学年上学期东北师大附中（数学）科试卷高三年级第二次摸底考试注意事项：1.答题前，考生需将自己的姓名､班级､考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸､本试题卷上书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄皱､弄破，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.本试卷分第Ⅰ卷（选择题

）和第五卷（非选择题）两部分.总分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共58分）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合21Axx=−N，()lg21Bxx=+，则AB=（）

A.1,0,1−B.0,1C.1,1−D.1−【答案】B【解析】【分析】求出集合A、B，利用交集的定义可求得集合AB.【详解】因为210,1Axx=−=N，()lg210

21028Bxxxxxx=+=+=−，所以0,1AB=.故选：B.2.已知()yfx=是()yfx=的导函数，则“()00fx=”是“0x是函数()yfx=的一个极值点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【

答案】B【解析】【分析】根据极值点定义或举例判断()00fx=和0x为函数()fx的极值点之间的逻辑关系，即可得答案.【详解】根据极值点的定义，0x是函数()yfx=的一个极值点可得()00fx=，但是()00fx=时，0x不一定

是函数()yfx=的一个极值点，比如()3fxx=，()23fxx=，满足()00f=，但()3fxx=在R上单调递增，即0x=不是函数极值点，故“()00fx=”是“0x是函数()yfx=的一个极值点”的必要不充分条件，故选：B3.函数()0,0sin,0ln

xfxxxxx==−的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再利用函数值的正负排除一个，然后可得正确选项.【详解】当0x时，()()sinlnxxf

xfxx−+−==−，又()00f=，则()fx为奇函数，排除AB，由()sinlnxxfxx−=可知CD图中的虚线为1x=，的当π16x=时，πππ1sin06662−=−，所以()ππsin660πln6fx−=，排除C.故选：D.4.“碳达峰”，是

指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值a（亿吨）后开始

下降，其二氧化碳的排放量S（亿吨）与时间t（年）满足函数关系式tSab=，若经过5年，二氧化碳的排放量为45a（亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自产生的二氧化碳排放量为4a（亿吨），则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年？

（参考数据：lg20.3）（）A.28B.29C.30D.31【答案】C【解析】【分析】根据题设条件可得545aSab==，令4taab=，代入50.8b=，等式两边取lg，结合lg20.3估算即可.【详

解】由题意，545aSab==，即5540.85bb==，令4taab=，即14tb=，故51(0.8)4t=，即51lg(0.8)lg4t=，可得1(3lg21)2lg25t−=−，即10lg233013l

g20.1t==−.故选：C5.已知π,π2，且3cos2sin2−=，则（）A.2cos(π)3−=B.2tan(π)4−=C.sinπ523−=D.π5cos24−=【答案】B【解析】【分

析】利用余弦的二倍角公式结合的范围求出1sin3=，进而得到余弦值和正切值，结合诱导公式求出答案.【详解】由题意得23(12sin)sin2−−=，解得1sin2=−或1sin3=．又π,π2，所以1sin3=，则222cos1sin3=−−=−，4sints

2anco=−=，所以22cos(π)cos3−=−=，2tan(π)tan4−=−=，π22sincos23−==−，π1cossin23−==，故ACD错误、B正

确．故选：B6.已知向量()()1,0,1,23ab==，则向量ab+在向量a上的投影向量为（）A.()2,23B.2C.aD.2a【答案】D【解析】【分析】根据题中条件及投影向量的定义计算即可求解.【详解】由向量()()1,0,1,23ab==，则()2,2

3ab+=，()120232aba+=+=，1=a，则向量ab+在a上的投影向量为：()2abaaaaa+=.故选：D.7.已知定义在R上的可导函数()fx，对xR，都有()()2xfxefx−=，当0x时()()0fxfx

+，若()()211211aaefaefa−+−+，则实数a的取值范围是（）A.0,2B.(),12,−−+C.(),02,−+D.1,2−【答案】C【解析】【分析】令()()xgxefx=，由已知得()()xgxefx=在区间()0,

+单调递减，()gx为偶函数，且在区间(),0−单调递增，由此可将不等式等价转化为211aa−+，求解即可.【详解】解：令()()xgxefx=，则当0x时，()()()0xgxefxfx=+，所以()()xgxefx=在区间()0,+单调递减，又()()

()()()()2xxxxgxefxeefxefxgx−−−=−===，所以()gx为偶函数，且在区间(),0−单调递增，又()()211211aaefaefa−+−+，即()()211gaga−+，所以211aa−+，即()()22211a

a−+，得0a或2a，故选：C.8.在ABCV中，角,,ABC的对边分别为,,,abcABC的面积为S，则24Sabc+的最大值为（）A.216B.28C.91516D.91532【答案】A【解析】【分析】由面积公式和余弦定理，基本不等式

对24Sabc+进行变形，得到关于t的关系式，结合三角函数的有界性，列出关于t的不等式，求出最大值.【详解】因为1sin2SbcA=，2222cosabcbcA=+−，则设22211sinsin2242cos422cos4bcAbcASabcbcbcAbcbcb

cAbc=++−+−+11sinsin2262cos62cosbcAAtbcbcAA===−−，当且仅当bc=时，等号成立，所以1sin62cos2AttA=−，即211sin2cos6424AtAtt+=

+，216t.故选：A.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.（多选）若1xy，则下列不等式

一定成立的是（）A.11xy−−B.11xy−−C1xyy−−D.1xyx−−【答案】BCD【解析】【分析】对于选项A，可用赋值法，取2x=，1y=−，否定选项A，对于选项BC,D利用作差法结合1xy即可比较大小.【详解】解：对选项A可用特殊值法.令2x=，1y=−，则()12

1111xy−=−−−=−，故选项A中不等式不成立；()110xyxy−−−=−，故选项B中不等式成立；()110xyyx−−−=−，故选项C中不等式成立；()110xyxy−−−=−，故选项中不等式成立，故选BCD.【点睛】本题考查了用特殊值法判断

两个量的大小关系及利用作差法比较两个量的大小关系，重点考查了作差法比较大小，属基础题.10.已知函数()32sinsin2fxxx=+−，则下列结论正确的有（）A.函数()fx的最小正周期为B.函数()fx在,−上有2个零点C.函数()fx的图象关于(),3对称D.函数

()fx的最小值为3−【答案】BC.【解析】【分析】根据正弦函数的周期性可判断A错误；利用数形结合思想，画出2sinyx=和函数sin23yx=−的图象，可判断()fx在,−上有2个零点；验证()()223fxfx−+=恒成立，可判断出函数

()fx的图象关于(),3对称；求导，判断函数()fx的单调性及最值，判断D选项是否正确.【详解】对于A选项，函数()()()(2)32sin2sin2432sinsin2fxxxxxfx+=++−

+=+−=，故2为()fx的一个周期，又sinyx=的最小正周期为2，sin2yx=的最小正周期为，故函数()fx的最小正周期为2，故A错误；对于B选项，令()32sinsin20fxxx=+−=得，2sinsin23xx=−，在同一坐标

系中作出函数2sinyx=和函数sin23yx=−的图象可知，当,x−时，两图象有两个交点，故B正确；对于C选项，()()(2)32sin2sin2232sinsin2fxxxxx−=+−−−=−+，所以(

)(2)23fxfx−+=，故()fx的图象关于点(),3中心对称；对于D选项，()22()2cos2cos22cos4cos24cos2cos2fxxxxxxx=−=−−=−++()()22cos1cos1xx=−+−，当()0fx时，2cos10x

+，得1cos2x−，得222233kxk−++，Zk；当()0fx时，1cos2x−，得242233kxk++，Zk；故函数()fx在222,233xkk−++上递增，在242,

233xkk++上递减；又242233fkfk−+=+所以当223xk=−+处取得最小值，故()min22332sin2sin22332fxkk=+−+−−+=−

，故D错误；故选：BC【点睛】本题考查三角函数图象性质的运用，考查利用导数分析函数的最值，难度较大，解答本题的主要思路如下：①判断函数的零点个数问题时，可采用数形结合思想，将问题转化为两个函数图象的交点个数问题；②若函数

()fx满足()()22faxfxb−+=，则函数()fx关于点(),ab中心对称；③对于函数()fx最值问题，可运用导数，分析清楚函数()fx的单调区间是关键，然后得出()fx的最值.11.已知1x是函数()()1ln2fxxx=+−+的零点，2x是函数()2244gxxaxa

=−++的零点，且满足121xx−，则实数a的取值可能是（）A.1−B.2−C.222−D.442−【答案】AC【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性可证明函数()fx存在唯一零点，即11x=−，可得()gx在2,0−有零点，再分0=和0两种情况讨论求解即可.【详解】

由()()1ln2fxxx=+−+，2x−，()11122xfxxx+=−=++，当2<<1x−−时，()()0,fxfx单调递减，当1x−时，()()0,fxfx单调递增，又()10f−=，.则函数()fx存在唯一零点，即11x=−，2211,20xx−−

−，即()gx在2,0−有零点，①若()244440aa=−+=，即222a=，此时()gx的零点为a，显然222a=−符合题意；②（i）若()244440aa=−+，即222a−或222a+，

若()gx在2,0−只有一个零点，则()()200,1gga−=−；（ii）若()gx在2,0−有两个零点，则()()200020222222ggaaa−−−+或，解得1222a−−，综上所述，实数a的取值范围为1222−−

，.故选：AC.【点睛】方法点睛：对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答（本题属于这种类型）；二是未知量在区间上(),mn的题型，一般

采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、()(),fmfn的符号）的方法解答.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.复数z满足51izzz−=−=+，则z=________.【答案】32【解析】【分析

】设()i,Rzxyxy=+，结合复数的几何意义，列出方程组即可求解.【详解】设复数()i,Rzxyxy=+，由51zz−=−，可得复数z对应的点在以()5,0和()1,0为端点的线段的垂直平分线上，所以3x=，由1i

zz−=+可得复数z对应的点在以()1,0和()0,1−为端点的线段的垂直平分线上，所以yx=−，联立3xyx==−，解得33xy==−，所以33iz=−，经检验，33iz=−满足51izzz−=−=+，则()223332z=+−=.故答案为：32.1

3.已知函数()fx的定义域为R，()exyfx=+是偶函数，()3exyfx=−是奇函数，则()fx的最小值为_____________．【答案】22【解析】【分析】由题意可得()e2exxfx−=+，再结合基本不等式即可得答案.【详解】解：因为函数()

exyfx=+为偶函数，则()()eexxfxfx−−+=+，即()()eexxfxfx−−−=−，①又因为函数()3exyfx=−为奇函数，则()()3e3exxfxfx−−−=−+，即()()3e3exxfxfx−+−=+，②联立①②可得()e2exxfx−=+，由基本不等式可得()

e2e2e2e22xxxxfx−−=+=，当且仅当e2exx−=时，即当1ln22x=时，等号成立，故函数()fx的最小值为22．故答案为：2214.莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心

，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知,AB两点间的距离为2，点P为AB上的一点，则()PAPBPC+的最小值为______．【答案】1047−【解析】【分析】利用平面向量的线性运算及向量数

量积的运算将所求式子表示为2322PE−，再利用三角形的几何意义求解即可.【详解】设D为BC的中点，E为AD的中点，如图所示，则()()22()PAPBPCPAPDPEEAPEED+=+=+()()()2222PEEAPEEAPEEA=−=

−+，在正三角形ABC中，2222213ADABBD=−=−=，所以32AEDE==，所以()222()3222PAPBPCPEEAPE−==+−，因为222237122CECDDE=+=+=，所以min7222PECE=−=−，所以()

PAPBPC+的最小值为：223732221047222PE−=−−=−.故答案为：1047−.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在ABCV中，角,,ABC

的对边分别为,,abc，若()()2sin2sinsin2sinsinaABCbCBc=+++．（1）求A的大小；（2）若()()1,sin,sin,1mBnC==，求mn的最大值．【答案】（1）23A=（2）1【解析】【分析】（1）由题意利用正弦定理角化边，然后结合余弦

定理可得∠A的大小；（2）由题意结合(1)的结论和三角函数的性质可得sinsinBC+的最大值.【小问1详解】由已知，根据正弦定理得()()2222abcbcbc=+++即222abcbc=++由余弦定理得2222cosabcbcA=+−故1

cos2A=−，因为()0,A，所以23A=.【小问2详解】sinsinmnBC=+，由（1）得：31sinsinsinsincossinsin3223BCBBBBB+=+−=+=+，因为0,3B，则2,333B+

，故当32B+=，即6B=时，sinsinBC+取得最大值1.16.已知数列na的首项145a=，且满足143nnnaaa+=+，设11nnba=−．（1）求证：数列nb为等比数列；（2）若12311112024

naaaa++++，求满足条件的最小正整数n．【答案】（1）证明见解析（2）2024【解析】【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；（2）利用分组求和方法得到1231111314nnnaaaa++++=+−，然后利用314nn+−的增减性解不等式

12311112024naaaa++++即可.【小问1详解】11311141111nnnnnnnabaabaa+++−−==−−()()313414nnaa−==−，111114ba=−=，所以数列nb为首项为114b=，公比为34等比数列.【小问2详解】由（1）可得123111111

11naaaa−+−+−++−13144314n−=−314n=−，即1231111314nnnaaaa++++−=−，∴1231111314nnnaaa

a++++=+−，而因为31,4xyxy=+=−在()0,+上均单调递增，则314nn+−随着n的增大而增大，要使12311112024naaaa++++，即3120244nn+−，则2024n，∴n的最小值为2024.的17.记ABCV的内

角,,ABC的对边分别为,,abc，已知5π6A=，D是边BC上的一点，且sinsin32BADCADbca+=.（1）证明：13ADa=；（2）若2CDBD=，求cosADC.【答案】（1）证明见解析（2）1314【解析】【分析】（1）分别在

ABD△和ACD中利用正弦定理表示出sin,sinBADDAC，代入已知等式化简整理即可得到结果；（2）根据coscosADBADC=−，在ABD△和ACD利用余弦定理可整理得到2222abc−=；在ABCV中，利用余弦定理可得

3=cb，进而得到7=ab，代入cosADC中即可求得结果.【小问1详解】证明：在ABD△中，由正弦定理得：sinsinsinsinBADBBDBBADBDADAD==，在ACD中，由正弦定理得：sinsins

insinDACCCDCDACCDADAD==，在ABCV中，sinsinsinabcBACBC==，所以sinsinsinsinsinsinBADCADBDBCDCBDBACCDBACbcbADcADaADaAD+=+=+

，()11132222BDCDaADaADaADa+====，所以13ADa=.【小问2详解】由2CDBD=，得21,33CDaBDa==，在ABD△中，由余弦定理得：22222229cos22BDADABacADBBDADa+−−==，在ACD中，由余弦定理得：22

222259cos24ADCDACabADCADCDa+−−==，180ADBADC+=，coscosADBADC=−，即222222295924acabaa−−=−，整理可得：2222abc−=；在ABCV中，由余弦定理得：2223c

os22bcaAbc+−==−，则23222ccbcb−=−=−，3cb=，2226abb−=，即7=ab，2222225935913cos42814abbbADCab−−===.18.已知函数()()esincos2xfxxxxa

xa=++−−R.（1）若2a=，求曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程；（2）若()0fx对任意的)0,x+恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）yx=−（2）(,1−【解析】【分析】（1）根据导数几何意义可求

得切线斜率()0f，结合()00f=可求得切线方程；（2）求导后，设()()hxfx=；令()()e10xuxxx=−−，利用导数可求得()ux单调性，得到()0ux，采用放缩法可确定()0hx，知()fx在)0,+上单调递增；当1a时，由

()0fx恒成立可确定()()00fxf=，满足题意；当1a时，令()()e21agaaa=−，利用导数可说明()0ga，得到()0fa，结合零点存在定理可说明()00,xa，使得()00fx=，由

此可说明当()00,xx时，()0fx，不合题意；综合两种情况可得结论.【小问1详解】当2a=时，()esincos22xfxxxxx=++−−，则()ecos2xfxxx=+−，()01f=−，又()00f=，(

)fx\在()()0,0f处的切线方程为：yx=−.【小问2详解】()ecosxfxxxa=+−，令()()hxfx=，则()ecossinxhxxxx=+−，令()()e10xuxxx=−−，则()e10xux=−，()ux在)0,+上单

调递增，()()00uxu=，即()e10xx−+；当0x时，cos1x−，sin1x，sinxxx−−，()cossin1xxxx−−+，()ecossine10xxxxxx+−−+，即()0hx，()hx在)0,+上单调递增，即()fx在)0,+上

单调递增；()()01fxfa=−；①当10a−，即1a时，()()00fxf，()fx\在)0,+上单调递增，()()00fxf=，满足题意；②当10a−，即1a时，()ecose2aafaaaaa=+−−；令()()e21agaaa=

−，则()e2e20aga=−−，()ga在()1,+上单调递增，()()1e20gag=−，即()0fa，又()00f，()00,xa，使得()00fx=，当()00,xx时，()0fx，则()fx在()00,x上单调递减，此时()()00fxf=，不

合题意；综上所述：实数a的取值范围为(,1−.【点睛】关键点点睛：本题考查根据导数几何意义求解切线方程、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够根据端点效应，说明当1a时，()fx单调递增；当1a时，结合零点存在定理说明存在()0fx的区间，由此可得参

数范围.19.置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合1,2,,,Ann+=N的函数称为n次置换.满足对任意(),iAfii=的置换称作恒等置换.所有n次置换组成的集合记作nS.对于()nfiS，我们可用列表法表示此置换：()()()()1212nfifffn=，记

()()()()()()()()()()()12231,,,,,,kkfififfififfififfifiiAk−+====N.（1）若()()41234,4213fiSfi=，计算()3fi；

（2）证明：对任意()4fiS，存在k+N，使得()kfi为恒等置换；（3）对编号从1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第27张变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，

......，依次类推.这样操作最少重复几次就能恢复原来的牌型？请说明理由.【答案】（1）()312341234fi=（2）证明见解析（3）最少8次就能恢复原来的牌型，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意，得到()()231

2341234,32411234fifi==；（2）解法一：分类列举出所有情况，得到结论；解法二：()()()()1234,,,1,2,3,4fifififi，故至少有一个满足()kfii=，当i分别取1,2,3,4时，记使得()kfii=的k

值分别为1234,,,kkkk，取k为1234,,,kkkk的最小公倍数即可得到答案；（3）设原始牌型从上到下依次编号为1到52，故(),21,26,2,kikfikik=−=+=，列举出各编号在置换中的变化情况，得到连续置换中只有三种循环：一阶循环2个，二阶

循环2个，八阶循环48个，从而得到最少8次这样的置换即为恒等置换.【小问1详解】()12344213fi=，由题意可知()()2312341234,32411234fifi==；【小问2详解】解法一：①若()12341

234fi=，则()1fi恒等置换；②若存在两个不同的i，使得()fii=，不妨设1,2i=，则()12341243fi=.为所以()212341234fi=，即()2fi为恒等置换；③若存在唯一的i，使得()fii=，不妨设2i=，则

()12343241fi=或()12344213fi=.当()12344213fi=时，由（1）可知()3fi为恒等置换；同理可知，当()12343241fi=时，()3fi也是恒等置换；④若对任意的(),ifii，则

情形一：()12342143fi=或()12343412fi=或()12344321fi=；情形二：()12342341fi=或()12342413fi=

或()12343142fi=或()12343421fi=或()12344123fi=或()12344312fi=；对于情形一：()2fi为恒等置换；对于情形二：()4fi为恒等置换；综上，对任意()4fiS，存在

k+N，使得()kfi为恒等置换；解法二：对于任意1,2,3,4i，都有()()()()1234,,,1,2,3,4fifififi，所以()()()()1234,,,fifififi中，

至少有一个满足()kfii=，即使得()kfii=的k的取值可能为1,2,3,4.当i分别取1,2,3,4时，记使得()kfii=的k值分别为1234,,,kkkk，只需取k为1234,,,kkkk的最小公倍数即可.所

以对任意()4fiS，存在k+N，使得()kfi为恒等置换；【小问3详解】不妨设原始牌型从上到下依次编号为1到52，则洗牌一次相当于对1,2,,52作一次如下置换：()1234552127228352fi=，即(),21,26,2,kikfikik=−

=+=其中1,2,,26k=.注意到各编号在置换中的如下变化：11f→，2271433179532ffffffff→→→→→→→→，428404649251374ffffffff→→→→→→→→，6

62915830412111ffffffff→→→→→→→→，103116344322371910ffffffff→→→→→→→→，123242472438452312ffffffff→→→→→→→→，183518ff→→，203644485051

263920ffffffff→→→→→→→→，5252f→，所有编号在连续置换中只有三种循环：一阶循环2个，二阶循环2个，八阶循环48个，注意到1,2,8的最小公倍数为8，由此可见，最少8次这样的置换即为恒等置换，故这样洗牌最少8次就能恢复原来的牌型.【点睛】新定义问题的方法和技巧：（1）

可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的

本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.