【文档说明】高中数学人教A版《必修第二册》全书课件8.6.2.ppt，共(39)页，1.453 MB，由小赞的店铺上传

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8.6.2直线与平面垂直最新课标从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面垂直的关系，归纳出判定定理和性质定理；能用已获得的结论证明直线与平面垂直的简单命题.要点一直线与平面垂直

直线与平面垂直定义如果直线l与平面α内的________直线都______，就说直线l与平面α互相垂直，记作______．直线l叫做平面α的______，平面α叫做直线l的______．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做___

___画法通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图任意一条垂直l⊥α垂线垂面垂足文字表述：一条直线与一个平面内的____________都垂直，则该直线与此平面垂直．判定定理符号表述：l⊥al⊥b⇒l⊥α

两条相交直线a∩b＝Aa⊂αb⊂α状元随笔1.直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．2．注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．3．判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．要点

二直线与平面所成的角直线和平面所成的角定义平面的一条斜线和它在平面上的________所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角．当直线与平面垂直时，它们所成的角是________．当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是________范围0°≤

θ≤90°画法如图，________就是斜线AP与平面α所成的角射影角90°0°∠PAO状元随笔把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．要点三直线与平面垂直的性质文字语言垂直于

同一个平面的两条直线________符号语言a⊥αb⊥α⇒________图形语言作用①线面垂直⇒线线平行；②作平行线平行a∥b状元随笔1.直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．2．定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关

系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．要点四点到面的距离1．过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．2．过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．[教

材答疑]1．教材P149思考在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条，为什么？提示：有且只有一条．2．教材P151思考两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也可以确定一个平

面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？你能从向量的角度解释原因吗？如果改为“无数条直线呢”．提示：不能[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)直线l垂直于平面α内的两条直线，则直线l垂直

于平面．()(2)如果一条直线与平面的垂线垂直，则该直线与这个平面平行．()(3)直线l垂直于平面α内的无数条直线，则直线l垂直于平面α.()(4)平面的斜线与平面所成的角的范围是0°≤θ≤90°.()××××2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与BC1垂直的平面是()A．平

面DD1C1CB．平面A1B1CDC．平面A1B1C1D1D．平面A1DB解析：由于易证BC1⊥B1C，又CD⊥平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.因为B1C∩CD＝C，所以BC1⊥平面A1B1CD.答案：B3．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则

直线OA垂直于()A．平面OABB．平面OACC．平面OBCD．平面ABC解析：∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，∴OA⊥平面OBC.答案：C4．直线n⊥平面α，n∥l，直线m⊂α，则l，m的位置关系是________．解析：由题意可知l⊥α，所以l⊥m.答

案：l⊥m题型一线面垂直判定定理的应用——微点探究微点1证明线面垂直例1如图所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC＝BC，N是AB的中点．求证：CN⊥平面ABB1A1.证明：AA1⊥底面ABCCN⊂底面AB

C⇒AA1⊥CN，AC＝BCN是AB的中点⇒AB⊥CN，又AA1⊂平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，AA1∩AB＝A，所以CN⊥平面ABB1A1.方法归纳要抓住基本的平面图形的几何性质来实现垂直的探索，第一类是图形本

身具备的垂直性质，如矩形、正方形、直角三角形、直角梯形等，第二类是由图形的伴随性质提供的垂直关系，如等腰三角形底边的三线合一、菱形的对角线等．微点2证明线线垂直例2如图，在四面体P-ABC中，已知BC＝6，PC＝10，PB＝234.F是线段PB上一点，CF＝151734，点E在线段AB上，且

EF⊥PB.求证：PB⊥CE.证明：在△PCB中，∵PC＝10，BC＝6，PB＝234，CF＝151734，∴PC2＋BC2＝PB2，∴△PCB为直角三角形，PC⊥BC，又PC·BC＝PB·CF，∴PB⊥CF

.又EF⊥PB，EF∩CF＝F，∴PB⊥平面CEF.∵CE⊂平面CEF∴PB⊥CE.状元随笔已知条件中对线面关系的描绘不多，但是给出了大量的数据信息，解题的关键是从这些数据中发现隐含的垂直关系，判断的工具一般是勾股定理的逆定理．方法归纳利用直线与平面

垂直的判定定理判定线面垂直的步骤(1)在这个平面内找两条直线，使要证直线和这两条直线垂直；(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；(3)根据判定定理得出结论．说明：证明垂直关系时，一般是本题型中三种垂直关系的综合应用，注意根据题目特点灵活选择．

跟踪训练1如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.证明：(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥B

M.又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面

ANQ.又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.题型二直线与平面所成的角——师生共研例3在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值．作线面角是解题的关键.取DC的中点F，证明EF∥B1C，因为B1C⊥平面ABC1D

1，所以EF⊥平面ABC1D1，从而作出线面角.解析：如图，取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于O，连接AO，B1C.由ABCD-A1B1C1D1为正方体，易得B1C⊥BC1，B1C⊥D1C1，BC1∩D1C1＝C1，BC1⊂平面ABC1D1，D1C1

⊂平面ABC1D1，∴B1C⊥平面ABC1D1，∵E，F分别为A1B1，CD的中点，∴EF∥B1C，∴EF⊥平面AC1，即∠EAO为直线AE与平面ABC1D1所成的角．在Rt△EOA中，EO＝12EF＝12B1C＝22，AE＝A1E2＋AA21＝122＋1

2＝52，∴sin∠EAO＝EOAE＝105.∴直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为105.方法归纳求直线与平面所成的角的步骤(1)作：在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键；(2)证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，证明的主要依

据为直线与平面所成的角的定义；(3)求：一般来说是借助三角形的相关知识求角．跟踪训练2如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝2a.(1)求证：PD⊥平面ABCD.(2)求出直线PB与平面ABCD所成的角的正切值．解

析：(1)证明：∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC.同理可证PD⊥AD.∵AD，DC⊂平面ABCD，且AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，∴BD是PB在平面ABCD上的射影，∴∠PBD是直线PB与平面A

BCD所成的角．∵BD＝2a，∴tan∠PBD＝PDBD＝a2a＝22.题型三线面垂直的性质定理的应用——师生共研例4在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，EF⊥A1D，EF⊥AC

，求证：EF∥BD1.证明：如图所示，连接A1C1，C1D，B1D1，BD.∵AC∥A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1，∴EF⊥平面A1C1D①.∵BB1⊥平

面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1.∵四边形A1B1C1D1为正方形，∴A1C1⊥B1D1，又B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，而BD1⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1.同理

DC1⊥BD1.又DC1∩A1C1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D②.由①②可知EF∥BD1.方法归纳线面垂直的性质定理是证明两直线平行的重要依据，证明两直线平行的常用方法：(1)a∥b，b∥c⇒a∥c.(2)a∥α，a⊂β，β∩α＝b⇒a∥b.(3)α∥β

，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.(4)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.跟踪训练3如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，AD⊥平面ABC，D为FG的中点，且AF＝AG，EF＝EG.求证：BC∥FG.证明：连接DE，AE，因为AD⊥平面AB

C，所以AD⊥BC.因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC，又AD∩AE＝A，所以BC⊥平面ADE.因为AF＝AG，D为FG的中点，所以AD⊥FG，同理ED⊥FG，又ED∩AD＝D，所以FG⊥平面ADE，所以BC∥FG.易错

辨析使用直线与平面垂直的判定定理时忽略条件致错例5如图，a∥b，点P在a，b所确定的平面γ外，PA⊥a，垂足为点A，AB⊥b，垂足为点B.求证：PB⊥b.解析：因为PA⊥a，a∥b，所以PA⊥b.又AB⊥b，PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以b⊥平面PAB.因为PB⊂平

面PAB，所以PB⊥b.易错警示易错原因纠错心得没有正确使用直线与平面垂直的判定定理，忽略了“垂直于平面的两条相交直线”这一条件致错.应用直线与平面垂直的判定定理时，要熟记定理的应用条件，不能忽略“两条相交直线”这一关键条

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