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永泰一中2020-2021学年第二学期月考高中一年数学科试卷2021.03考试日期：2021年03月26日完卷时间：120分钟满分：150分祝你考试顺利第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．已知向量(4

,2),(1,)abm==−，若ab⊥，那么实数m的值为（）A．2B．2−C．12D．12−2．已知复数z满足(1)2izi−=（i为虚数单位），则z（z为z的共轭复数）在复平面内对应的点位于（）A．第一限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在锐

角ABC中，若5sin3A=，2b=，3c=，则a=（）A．23B．5C．3D．224．如图在梯形ABCD中，2,BCADDEEC==，设,BAaBCb==，则BE=（）A．1124ab+B．1536ab+C．2233ab+D．1324ab+5．一质点受到平面上的三个力123,,FFF（单

位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知12,FF成60角，且12,FF的大小分别为2和4，则3F的大小为（）A．27B．2C．8D．66．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则ABC的面积222221()22abcSab

+−=−．根据此公式，若cos(2)cos0aBbcA+−=，且2224bca+−=，则ABC的面积为（）A．6B．23C．3D．327．ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若::7:5:3abc

=，则下列结论不正确．．．的是（）A．sin:sin:sin7:5:3ABC=B．0ABACC．若6c=，则ABC的面积是153D．ABC是钝角三角形8．已知ABC中，11,3,cos4ABACA

===，点E在直线BC上，且满足：2()BEABACR=+，则||AE=（）A．34B．36C．3D．6二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．设i为虚数单位，复数()(12)zaii=++，则下列命题正确的是（）A．若z为纯虚数，则实数a的值为2B．若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是1,22−C．实数12a=−是zz=（z为的共轭复数）的充要条

件D．若||5()zzxixR+=+，则实数a的值为210．已知,,abc是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（）A．若0ab，则||||abab+−B．若abcb=且0b，则ac=C．已知(1,2),(2,1)ab==，且ab−与ab+的夹角为锐角，则实数的取值范围是

(,1)−D．两个非零向量,ab，若||||abab−=+，则ab⊥11．在ABC中，2,30ABACB==，则下列叙述正确的是（）A．ABC的外接圆的直径为4B．若4AC=，则满足条件的ABC有且

只有1个C．若满足条件的ABC有且只有1个，则4AC=D．若满足条件的ABC有两个，则24AC12．如图所示，点A、B、C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若,3APABOCOAOB==+，则（）A．当P为线段OC中点时，12=

B．当P为线段OC中点时，13=C．无论取何值，恒有34=D．存在1,2R=第Ⅱ卷三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置上）13．已知复数122,12zizi=+=−+，则1

22zzz+=_______．14．若||3,(1,3),|2|37abab==−=，则a与b的夹角为________．15．如图，无人机在离地面高200m的A处，观测到山顶M处的仰角为15、山脚C处的俯角为45，已知60MCN=，则山的高度MN为__________m．16．如图

，在ABC中，3,2,60ABACBAC===，D，E分别边,ABAC上的点，1AE=且12AEAD=，则||AD=________，若P是线段DE上的一个动点，则BPCP的最小值为_________（第一空2分，第二空3分）四、解答题（本大题共6小题

，共70分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤）17．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点(1,2),(2,3),(2,1)ABC−−−−．（1）以线段,ABAC为邻边作平行四边形ABDC，求

向量AD的坐标和||AD；（2）是否存在实数t使得()ABtOCOC−⊥，若存在，求t的值；若不存在，说明理由．18．（本小题满分12分）已知复数z满足||2z=，z的实部大于0，2z的虚部为2；（1）求复数z；（2）设得数z，2z，2zz−在复平面上对应的点分别为A，

B，C，求()OAOBOC+的值．19．（本小题满分12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4cos(coscos)0bAaCcA++=．（1）求cosA的值；（2）若34,2aABAC==−，求ABC的周长．20．（本小题满分12分）在

ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(sincos)baCC=+．（1）求A；（2）在①2a=，②3B=，③2cb=这三个条件中，选出两个使ABC唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题，若_________，_________

，求ABC的面积．21．（本小题满分12分）如图，设,OxOy是平面内相交成60角的两条数轴，12,ee分别是x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量12OPyeex=+，则把有序数对(,)xy叫做向量OP在坐标系xOy中的坐标，假设1232OPee=+．（

1）计算||OP的大小；（2）设向量(,1)am=−，若a与OP共线，求实数m的值；（3）是否存在实数n，使得OP与向量(1,)bn=垂直，若存在求出n的值，若不存在请说明理由．22．（本小题满分12分）由于2020年1月份国内

疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响．3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常．李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高

大上”一样，是中国的生机．某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意，已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中120APB=，且在该区域内点R处有一个路灯，经测量点R到区域边界PA、PB的距离分别为4m,6mRSRT==，（m为长度单位

）．陈某准备过点R修建一条长椅MN（点M，N分别落在,PAPB上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息．（1）求点P到点R的距离；（2）为优化经营面积，当PM等于多少时，该三角形PMN区域面积最小？并求出面积的最小值．永泰

一中2020-2021学年第二学期月考高中一年数学科参考答案一、单项选择题题号12345678答案ACBDACBD二、多项选择题题号9101112答案ACDADABDAC三、填空题13．214．2315．3001

6．（1）1（2）116−四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）【详解】（1）由题意，(1,1)AC=−，1分(3,5)AB=，2分所以(2,6)ADACAB=+=，4分即||210AD=．5分

（2）由题设知：(2,1),(32,5)OCABtOCtt=−−−=++．7分假设存在实数t使得()ABtOCOC−⊥则()0ABtOCOC−=所以(32,5)(2,1)0tt++−−=，9分所以511t=−，解得115t=−．10分18．（本小题满分12分）【详解】（1）设

复数,zxyixyR=+、；由||2z=，得222xy+=；2分又z的实部0x，2222zxyxyi=−+的虚部为22xy=，所以1xy=；4分解得1,1xy==；所以复数1zi=+6分（2）复数2221,(1)2,(1)21ziziizziii=

+=+=−=+−=−；8分则(1,1),(0,2),(1,1)ABC−；10分所以()(1,3)(1,1)113(1)2OAOBOC+−=+−=−．12分19．（本小题满分12分）【详解】（1）由正弦定理，得sin4cos(sincossincos)0BAACCA++=．2分∴s

in4cossin()0BAAC++=，4分即sin4cossin0BAB+=又sin0B，∴1cos4A=−．6分（2）∵13cos42ABACbcAbc==−=−∴6bc=8分由余弦定理，得

22222cos()2(1cos)abcbcAbcbcA=+−=+−+9分即223316()()622bcbcbc=+−=+−解得5bc+=．11分∴ABC的周长为459abc++=+=．12分20．（本小

题满分12分）【详解】（1）∵(sincos)baCC=+，又由正弦定理sinsinsinabcABC==得sinsin(sincos)BACC=+，1分又sinsin()BAC=+，∴sin()sin(sincos)ACACC+=+，3分即sincoscossinsin(sin

cos)ACACACC+=+整理得cossinAA=，即tan1A=，5分又0A，∴4A=；6分（2）方案一：选条件①和②，由正弦定理sinsinabAB=，得2sinsin36sinsin3aBbA===8分由余弦定理2222c

osbacacB=+−，得226222cos3cc=+−9分解得31c=+，10分所以ABC的面11333sin2(31)2222SacB+==+=．12分方案二：选条件①和③，由余弦定理2222cosabcbcA=+−，得22242222bbbb=+−，8分即24b=，解得

2b=．9分∴22c=，∴222abc+=，ABC为直角三角形，11分所以ABC的面积12222S==．12分21．（本小题满分12分）【详解】（1）12111cos602ee==，1分所

以()()()22212121122||2323122OPeeeeeeee=+=+=++2211229124eeee=++19=；3分（2）12(,1)ammee=−=−若a与1232OPee=+共线，则存在实数使得aOP=即()1212123232meeeeee

−=+=+，5分由平面向量基本定理得：312m=−=，解得32m=−所以实数m的值32−7分（3）假设存在实数n，使得OP与向量(1,)bn=垂直，则有：0OPb=8分即()()()()2212121122:323(32)2OPbeeeneeneene=++=++

+22112213(32)23(32)202eneenenn=+++=+++=，10分得87n=−所以，存在实数87n=−，使得OP与向量(1,)bn=垂直．12分22．（本小题满分12分）【详解】（1）连接ST、P

R，在RST中，60SRT=，由余弦定理可得22246246cos6028ST=+−=，∴27ST=．1分在RST中，由余弦定理可得，22227cos27STRTSRSTRSTRT+−==．3分在PS

T中，27sincos7PTSSTR==，4分由正弦定理可得sinsin120SPSTPTS=，解得sin83sin1203STPTSSP==．5分在直角SPR中，2222283112433PRRSSP=+=+=，∴4213PR=；6分（2）13sin120

24PMNSPMPNPMPN==，7分11462322PMNPRMPRNSSSPMPNPMPN=+=+=+．9分323264PMPNPMPNPMPN=+．10分∴128PMPN，当

且仅当23128PMPNPMPN==时，即当83PM=时，等号成立，因此，33234PMNSPMPN=．12分