【文档说明】立体几何 04探索性问题的处理 突破专项训练-2022届高三数学解答题.docx，共(10)页，1.027 MB，由管理员店铺上传

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临澧一中2022届高三数学解答题突破专项训练立体几何04（探索性问题的处理）1．如图所示，在三棱柱111ABCABC−中，平面11ACCA⊥平面ABC，1AAAC⊥，12AAABBC===，D，1D分别为AC，11AC的中点，且30BAC=

．（1）在棱1AA上是否存在点M，使得1//DM平面1DBC？若存在，请找出点M的位置；若不存在，请说明理由；（2）求三棱锥1CDBC−的体积．2．如图，在底面是菱形的四棱锥中，60ABC=，PAACa==，2PBPDa==，点E在PD上，且:3:1PEED=

．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）在棱PC上是否存在一点F，使//BF平面AEC？证明你的结论．3．如图，在三棱锥ABCD−中，ABAD⊥，BCBD⊥，平面ABD⊥平面BCD．（1）求证：ADAC⊥；（2）已知2DEEA=，2DFFC=，则棱BD上是否存在点G，使得平面//EFG平面ABC

？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由．4．如图，在四棱锥PABCD−中，四边形ABCD为直角梯形，//ABCD，ABBC⊥，24ABBCCD===，2PA=，25PB=，E为BC的中点，且PEBD⊥

．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）线段PB上是否存在一点M，使得三棱锥ADEM−的体积为43？若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由．5．如图，在正四棱锥PABCD−中，点E，F分别在棱PB，PD上，

且13PEPFPBPD==．（1）证明：EF⊥平面PAC．（2）在棱PC上是否存在点M，使得//PA平面MEF？若存在，求出PMMC的值；若不存在，说明理由．6．如图，在三棱锥PABC−中，PC⊥平面ABC，（1）若CDPB⊥，ABBC⊥．求证：CDPA⊥；（2）

若E，F分别在棱AC，PA上，且AEEC=，3PFAF=，问在棱PB上是否存在一点D，使得//CD平面BEF．若存在，则求出PDDB的值；若不存在，请说明理由．7．如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为平行四边形，O，M分别为BD，PC的中点．设平面

PAD与平面PBC的交线为l．（1）求证：//OM平面PAD；（2）求证：//BCl；（3）在棱PC上是否存在点N（异于点)C，使得//BN平面PAD？若存在，求出PNPC的值；若不存在，说明理由．8．如图，在四棱锥PABCD−中，四边形AB

CD为直角梯形，//ABCD，ABBC⊥，24ABBCCD===，2PA=，25PB=，E为BC的中点，且PEBD⊥．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）线段PB上是否存在一点M，使得二面角MDEA−−的余弦值为539？若存在，试确定点M的位

置；若不存在，请说明理由．9．如图，点O是正方形ABCD两对角线的交点，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，2ABBFDE==，M是线段EF上点，且2MFME=．（1）证明：三棱锥MACF−是正三棱锥；（

2）试问在线段DF（不含端点）上是否存在一点N，使得//CN平面ABF．若存在，请指出点N的位置；若不存在，请说明理由．参考答案1．（1）存在，当点M与点A重合时1//DM平面1DBC．证明如下：连接1DA，D，1D分别

为AC，11AC的中点，11//DCDA，且11DCDA=，可得四边形11DCDA为平行四边形，则11//DACD，1CD平面1DBC，1DA平面1DBC，1//DA平面1DBC，即1//DM平面1DBC；（2）平面11ACCA⊥平面ABC，且平面11A

CCA平面ABCAC=，又1AAAC⊥，1AA⊥平面ABC，则1CC为三棱锥1CDBC−的高，在ABC中，2ABBC==，30BAC=，则120ABC=，D为AC的中点，111332222222BDCABCSS===，1111

13323323CDBCCDBCBDCVVSCC−−====．即三棱锥1CDBC−的体积为33．2．（1）证明：60ABC=，ABBC=，ACa=，可得ABC为a的等边三角形，由2PBPDa==，AB

ADPAa===，222ABPAPB+=，222ADPAPD+=，可得PAAB⊥，PAAD⊥，而ABADA=，可得PA⊥平面ABC；（2）在棱PC上存在一点F，且:1:3CFCP=，使//BF平面AEC．证明如下：连接D

F，交CE于G，连接BD，交AC于O，连接OG，过F作//FHPD，交CE于H，由于14CFFHEDCPPEEP===，所以FHEP=，FGHDGE，所以G为DF的中点，又O为BD的中点，所以//OGBF，又OG平面ACE，BF平面

ACE，所以//BF平面AEC．3．（1）证明：平面ABD⊥平面BCD，平面ABD平面BCDBD=，BC平面BCD，BCBD⊥，BC⊥平面ABD，又AD平面ABD，BCAD⊥，又ABAD⊥，而ABBCB=，

AB平面ABC，BC平面ABC，AD⊥平面ABC．又AC平面ABC，ADAC⊥．（2）存在点G，满足2DGGB=时，使得平面//EFG平面ABC．理由如下：在平面ABD内，因为2DEEA=，2DGGB=，即DGDEGBEA=，所以//

EGAB．又因为EG平面ABC，AB平面ABC，所以//EG平面ABC，同理可得//FG平面ABC．又EGFGG=，EG平面EFG，又FG平面EFG，故平面//EFG平面ABC．故存在点G，满足2DGGB=时，使得平面//EFG平面AB

C．4．（1）证明：如图，连接AE，且AE与BD的交点为F，因为ABBC=，112BEBCCD===，90ABEBCD==，所以ABEBCD，故BAECBD=，因为90ABDCBD+=，

则90ABDBAE+=，故90AFB=，即BDAE⊥，又BDPE⊥，且PEAEE=，PE，AE平面PAE，所以BD⊥平面PAE，因为PA平面PAE，则BDPA⊥，在PAB中，222PAAB

PB+=，则PAAB⊥，又BDABBA=，BD，AB平面ABCD，故PA⊥平面ABCD；（2）线段PB上存在一点M，点M为靠近点B的三等分点，使得三棱锥ADEM−的体积为43．证明如下：如图，过点M作MHAB⊥于点H，取AB的中点为G，连接DG，因为直

角梯形ABCD中，有//ABCD，ABBC⊥，且4ABBC==，2CD=，所以DGAB⊥且4DGBC==，2AG=，则2225ADAGDG=+=，因为2222DECDCE=+=且25AE=，故222211()22(25)(2)6222ADEDESDEAD=−=−

=，由（1）可知，PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PAAB⊥，因为MHAB⊥，且MH，PA，AB平面PAB，所以//MHPA，则MH⊥平面ABCD，即MH⊥平面ADE，所以线段MH的长即为三棱锥MADE−的高，由14233ADEMMADEADEVVSMHMH−−===

=，解得23MH=，所以21323BMMHBPPA===，故线段PB上存在一点M，点M为靠近点B的三等分点，使得三棱锥ADEM−的体积为43．5．（1）证明：如图，连接BD，记ACBDO=，连接PO，由题意可得四边形ABCD是正

方形，PBPD=，则O为AC的中点，且ACBD⊥，因为PBPD=，所以POBD⊥，因为AC平面PAC，PO平面PAC，且ACPOO=，所以BD⊥平面PAC，因为PEPFPBPD=，所以//EFBD，则EF⊥平面PAC．（2）设存在点M满足条件，连接ME，M

F，记POEFN=，连接MN，取PC的中点Q，连接OQ，因为O，Q分别是AC，PC的中点，所以//OQPA，因为//PA平面MEF，所以//OQ平面MEF，因为平面POQ平面MEFMN=，所以//OQMN，则PMPNPQPO=，由（1）可知//E

FBD，所以13PNPEPOPB==，所以13PMPNPQPO==，因为Q为PC的中点，所以12PQPC=，所以15PMMC=，故存在满足条件的点M，此时15PMMC=．6．（1）证明：PC⊥平面ABC，AB平面ABC，PCAB⊥，又ABB

C⊥，PCBCC=，AB⊥平面PBC，又CD平面PBC，ABCD⊥，CDPB⊥，ABPBB=，CD⊥平面PAB，又PA平面PAB，CDPA⊥．（2）存在，且2PDDB=．理由如下：如图，作PA的中点M，连接CM，DM，由3PFAF=，得2PMFM=，又2PDDB=，//DMB

F，DM平面BEF，BF平面BEF，//DM平面BEF，又E，F分别为AC，AM的中点，//EFCM，CM平面BEF，EF平面BEF，//CM平面BEF，CMDMM=，CM平面CDM，DM平面CDM，平面//BEF平面CDM，又C

D平面CDM，//CD平面BEF．7．（1）证明：因为底面ABCD为平行四边形，所以O为AC中点，又M为PC中点，所以//OMPA，又OM平面PAD，PA平面PAD，所以//OM平面PAD．（2

）证明：因为底面ABCD为平行四边形，所以//ADBC，因为AD平面PAD，BC平面PAD，所以//BC平面PAD，又BC平面PBC，且平面PAD平面PBCl=，所以//BCl．（3）假设存在PC上存在点N（异于点)C，使得//BN平面PAD，在平行四

边形ABCD中，//BCAD，因为AD平面PAD，BC平面PAD，所以//BC平面PAD，又因为//BN平面PAD，且BC平面PBC，BN平面PBC，BCBNB=，所以平面//PAD平面PBC，与平面PAD

与平面PBC的交线为l，矛盾，所以在棱PC上不存在点N（异于点)C，使得//BN平面PAD．8．（1）证明：如图，连接AE，AE与BD的交点记为点O，ABBC=，112BEBCCD===，90ABEBCD==，所以ABEBCD

，所以BAECBD=，因为90ABDCBD+=，所以90ABDBAE+=，所以90AOB=，即BDAE⊥，又因为BDPE⊥，且PEAEE=，所以BD⊥平面PAE，因为PA平面PAE，所以BDPA⊥，又在PAB中，22

2PAABPB+=，所以PAAB⊥，又因为BDABB=，所以PA⊥平面ABCD；（2）存在，点M为靠近点B的三等分点，理由如下：如图，以B为原点，BA、BC所在直线分别为x、y轴建立空间直角坐标系，则(4A，0，0)、(0B，0，0)、(0C，4，0)、(4P，0，2)、(0E，2，0

)、(2D，4，0)，(4,0,2)BP=，设(01)BMBP=剟，即点(4M=，0，2)，则(4,2,2)EM=−，(2,2,0)ED=，设平面DEM的法向量1(,,)nxyz=，则由1100nEDnEM==即2204220xy

xyz+=−+=，取x=，则1(,,21)n=−−−，易知，平面ABCD的一个法向量为2(0n=，0，1)，又二面角MDEA−−的余弦值为539，即12122212|||21|53|

cos,|9||||2(21)nnnnnn+===++，整理可得221410−−=，解得17=−（舍)或13=，故线段PB上存在一点M，使得二面角MDEA−−的余弦值为539，此时点M为靠近点B的三等分点．9．（1）证明：设22ABB

FDEa===，则22AFFCACa===，AFC是正三角形，连接FO，EO，因为2ODOBa==，3OEa=，6OFa=，3EFa=，在OEF中，由222OEOFEF+=，知OEOF⊥．又DE⊥平面ABCD，所以DEAC⊥．又ACBD⊥，BDDED=，AC⊥平面D

OE，ACOE⊥．又AC，OF平面ACF，ACOFO=，OE⊥平面ACF，在线段OF上取点G，使得:1:2OGGF=，则点G是AFC的重心，也就是AFC的中心，连接MG，则//MGOE，MG⊥平面ACF，三棱锥MACF−是正三棱锥．（2）平面CDF与平面

ABF有公共点F，平面CDF与平面ABF是相交平面，//CDAB，CD平面ABF，AB平面ABF，//CD平面ABF，假设存在这样的点N，使得//GN平面ABF，点N与点D不重合，CD与CN是相交直

线，又//CD平面ABF，//CN平面ABF，且CD平面CDF，CN平面CDF，平面//CDF平面ABF．这与平面CDF和平面ABF是相交平面矛盾．不存在一点N，使得//CN平面ABF．