【文档说明】河北省强基名校联盟2023-2024学年高二下学期开学联考试题 数学 含解析.docx，共(16)页，1.227 MB，由管理员店铺上传

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河北省强基名校联盟高二年级第二学期开学联考数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后

，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一、二册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线10axya++

−=与直线0xay+=平行，则实数a的值为（）A.1或1−B.1−C.1D.02.等差数列na的前n项和为nS，且1155S=，则369aaa++=（）A.15B.10C.25D.203.已知1F，2F为椭圆22110036xy+=的两个焦点，过1F的直线交椭

圆于,AB两点，若2224FAFB+=，则AB=（）A.4B.16C.12D.84.若函数()yfx=在0xx=处的导数等于a，则()()00022limxfxxfxxx→+−−的值为（）A.aB.2aC.3aD.4a5.已知直线与抛物线C：22xpy=

（0p）交于A，B两点，O为坐标原点，且OAOB⊥，ODAB⊥交AB于点D，点D的坐标为()1,1，则抛物线C的焦点坐标为（）A.10,2B.10,4C.1,02D.()0,26.给出下列命题，其中正确的命题是（）A

.若向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面B.已知OPxOAyOBzOC=++，若P，A，B，C四点共面，则1xyz++=C.()1,1,1a=为单位向量D.已知向量()9,4,4a=−，()1,2,2b=，则a在b上的投影向

量为()1,2,27.已知数列na满足11a=，132nnnaaa+=+（*nN），则满足1125na的n的最小取值为（）A.5B.6C.7D.88.已知双曲线C：22221xyab−=（0a，0b）的左、右焦点分别为1F，2F，A是双曲线C的左顶点，P，Q（Q

在第一象限）是双曲线C上关于y轴对称的两个点，若直线AP与直线AQ的斜率之积为19−，直线2QF与双曲线C的右支交于另一点M，且4MQ=，1MQF△的周长为20，则该双曲线的标准方程为（）A.221819xy−=B.22193xy−=

C.2219xy−=D.221364xy−=二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列求导运算正确的是（）A.若()1lnyxx=+，则1ln1yxx=+

+B.()cossin=−C.()2122ln211xxxxx−=−++D.()1ln22xx=10.已知圆1C：221xy+=，圆2C：226490xyxy+−++=，则（）A.两个圆

心所在直线的斜率为23−B.两个圆公共弦所在直线的方程为3250xy−−=C.过点1C作直线l使圆2C上有且只有一个点到l的距离为1，则直线l的方程为5120xy−=D.过点2C作圆1C的两条切线，切点为A，B

，则直线AB的方程为3210xy−−=11.如图，该形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法・商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……设第n层有na个球，从上往下n层球的总数为nS，则下列结论正确的是（）A.6

56S=B.11nnaan−−=−（2n）C.12311112naaaa++++D.数列()21cosnnna+的前100项和为200101−12.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，4AD=，E，F分别为11AB，BC的中

点，点P满足1APADAA=+，0,1，0,1.下列说法正确的是（）A.若0=，则AP与1CD的夹角为3B.若12=，14=，则1CP⊥平面1EFDC.若1=，0=，则四面体1PCFD的外接球的表面积

为36D.若1=，12=，则三棱锥1PEFD−的体积为83三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.过点()2,1且横截距是纵截距2倍的直线方程为______.（写成一般式方程）14.已知函数()222xxfx=+，

若()()12404702202420242024Sfffff=+++++，则S=______.15.已知抛物线C：22ypx=（0p）的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于A，B两点（点A在第一象限），与

l交于点D，若2DBBF=，4AF=，则AB=______.16.已知定义在R上的连续偶函数()fx，其导函数为()fx，当0x时，不等式()()3xfxfx−−成立，若对任意的xR，不等式()()6233ee0xxfaxfax−恒成立，则正整数a

的最大值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知圆C：2224200xyxy+−−−=，直线l：()()11420mxmym++−−−=.（1

）证明：直线l恒过定点.（2）设直线l交圆C于A，B两点，求弦长AB的最小值及相应m的值.18.（12分）已知函数()32fxxaxb=−+（a，bR）的图象过点()2,4，且()11f=.（1）求a，b的值；（

2）求曲线()yfx=过点()0,1−的切线方程.19.（12分）已知函数()lnafxxx=+（aR）.（1）讨论()fx的极值；（2）求()fx在1,e上的最小值()ga.20.（12分）若数列na满足12a=，121231nnaaaan+=++++

（*nN）.（1）求na的通项公式；（2）求数列13nna+的前n项和nT.21.（12分）如图，在四棱锥PABCD−中，DACB∥，且120PAB=，2DAPA==，1ABCB==，2CD=，22PC=，E为PA的中点.（1）证明：BE∥平面PDC.（2）在线

段PD（不含端点）上是否存在点K，使得平面KEB与平面PDC的夹角的余弦值为7210？若存在，求出PKKD的值；若不存在，说明理由.22.（12分）已知椭圆C：22221xyab+=（0ab）的离心率为22，左、右焦点分别为1F，

2F，上、下顶点分别为1A，2A，且四边形1122AFAF的面积为4.（1）求椭圆C的方程.（2）平行于x轴的直线l与椭圆C的一个交点为P，与以12FF为直径的圆的一个交点为Q，且P，Q位于y轴两侧，M，N分

别是椭圆C的左、右顶点，直线MP，NP分别与y轴交于点E，F.证明：EQF为定值.河北省强基名校联盟高二年级第二学期开学联考数学试卷参考答案1.B【详解】若直线10axya++−=与直线0xay+=平行，则需满足

21a=，解得1a=，当1a=时，两直线重合，因此1a=−.故选B.2.A【详解】因为等差数列na的前n项和为nS，且()1111161111552aaSa+===，则65a=，则3696315aaaa++==.故选A.3.B【详解】由22110036xy+=，可得10

a=，根据椭圆的定义得1212440FAFAFBFBa+++==，所以1116ABFAFB=+=.故选B.4.D【详解】由已知得()()()()0000002222lim4lim4xxfxxfxxfxxfxxxx→→+−

−+−−=()044fxa==.故选D.5.A【详解】()1,1D，1CDk=.ODAB⊥，1ABk=−，直线AB的方程为2yx=−+.设()11,Axy，()22,Bxy，由22,2,yxxpy=−+=得2240xpxp+−

=，124xxp=−，221212422xxyypp==.OAOB⊥，1212440xxyyp+=−+=，1p=，焦点坐标为10,2.故选A.6.D【详解】对于A，直线可以是异面直线；对于

B，若O与P，A，B，C共面，则系数和不确定；对于C，2221113a=++=，a不是单位向量；对于D，a在b上的投影向量为()()29881,2,21,2,29abbabababbb+−===.

故选D.7.C【详解】因为132nnnaaa+=+，所以1123nnaa+=+，所以111323nnaa++=+，又1134a+=，所以数列13na+是以4为首项，2为公比的等比数列，所以1132nna++=，所以1123nna+=−.由1125na，

得11123125n+−，即123125n+−，解得6n.因为n为正整数，所以n的最小值为7.故选C.8.C【详解】设双曲线C：22221xyab−=（0a，0b）的右顶点为A，则2219APAQAQAQbkkkka

=−=−=−，所以2219ba=，所以13ba=.因为直线2QF与双曲线C的右支交于另一点M，所以122QFQFa−=，122MFMFa−=，即122MFMFa=+，122QFQFa=+，则1MQF△的周长为11424820MFQFMQa

MQa++=+=+=，所以3a=，则1b=，所以该双曲线的标准方程为2219xy−=.故选C.9.AC【详解】对于A，若()1lnyxx=+，则11lnln1xyxxxx+=+=++，故A正确；对于B，()()cos10=−=，故

B错误；对于C，()2122ln22ln2111xxxxxxxx−=−=−+++，故C正确；对于D，()21ln22xxx==，故D错误.故选AC.10.AD【详解】根据题意，圆1C：221xy+=，其圆心为()10,0C，半径

1R=.圆2C：226490xyxy+−++=，即()()22324xy−++=，其圆心为()23,2C−，半径2r=，则两个圆心所在直线的斜率202303k−−==−−，故A正确；圆心距1294133CCRr=+=+=，两圆外离，不存在公共弦，故B不正确；因为圆2C上有且只有一个点到

l的距离为1，所以点2C到l的距离为3，当直线斜率不存在时，l的方程为0x=，满足题意，故C不正确；连接1CA，1CB（图略），则1C，A，2C，B四点共圆，该圆的方程为22320xyxy+−+=，而圆1C：221xy+=，且AB为圆22320xyxy+−+=与圆1C的

公共弦，两式相减得直线AB的方程为3210xy−−=，故D正确.故选AD.11.ACD【详解】对于A，410a=，515a=，621a=，612656Saaa=+++=，A正确.对于B，由每层球数变化规律可知1nnaan−−=（2n），B错误.对于C，当2n时，()(

)()12111212nnnnnaaaaaan−+=−++−+=+++=，当1n=时，11a=满足()12nnna+=，()12nnna+=（*nN）.()1211211nannnn==−++，1231111111111212122

2311naaaannn++++=−+−++−=−++，C正确.对于D，()()21cos11211nnnnann+=−++，则其前100项和为1111111120021212239910010010

1101101−+++−−+++=−+=−，D正确.故选ACD.12.BC【详解】对于A，若0=，则P在线段1AD（不含A）上，1AD与1CD的夹角为3，向量AP与1CD的夹角为23，故A错误；对于B，如图1

，以A为坐标原点，分别以AB，AD，1AA所线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，图1则()0,0,0A，()0,4,0D，()10,0,4A，()14,4,4C，()10,4,4D，()2,0,4E，()4,2,0F，

则()0,4,0AD=，()10,0,4AA=，()14,4,4CA=−−−，则()1110,2,124APADAA=+=，()114,2,3CPCAAP=+=−−−，又()12,4,0DE=−，()2,2,4EF=−，所以11

0CPDE=，10CPEF=，则1CP是平面1EFD的一个法向量，所以1CP⊥平面1EFD，故B正确；对于C，若1=，0=，则点P即点D，连接DF，由正方体的性质可知几何体1DDCF−是侧棱1DD垂直于底面DCF的三棱锥，而底面DCF是直角三角形，易得22224225DFCDCF=+=+

=，所以DCF△外接圆的半径152rDF==，设其外接球的半径为R，则222115492RrDD=+=+=，所以四面体1PCFD即三棱锥1DDCF−的外接球的表面积为2436R=，故C正确；对于D，若1=，12=，则P为1DD的中点，如图2，取点H，满足14CHCD=，

连接FH，易知1FHED∥，故11114PEFDFEPDHEPDEPHDVVVV−−−====，也可以将三棱锥的高转化为点面距，用空间向量求解，故D错误.故选BC.图213.20xy−=或240xy+−=【详解】当直线过原点时，直线的斜率为101202k−==−，此

时直线的方程为12yx=，即20xy−=；当直线不过原点时，设所求直线的方程为12xybb+=（0b），即22xyb+=，将点()2,1的坐标代入直线方程可得2224b=+=，解得2b=，此时直线的方程为2

40xy+−=.因此，所求直线方程为20xy−=或240xy+−=.14.40492【详解】由()()21fxfx+−=，倒序相加可得240491S=，则40492S=.15.163【详解】如图，设准线与x轴的交点为K，作1AAl⊥，

1BBl⊥，垂足分别为1A，1B，所以11BBFKAA∥∥.又2DBBF=，所以112BBBFDB==.设1DBB=，则11cos2BBDB==.因为11BBAA∥，所以11FAADBB==，所以11cos2FAA=，所以114222KFAAAF=−=−=，即2

p=.（或由41cospAF==−，得2p=）故抛物线C的方程为24yx=，焦点为()1,0F，准线为l：1x=−，所以直线AF的方程为()31yx=−.联立方程()231,4,yxyx=−=得231030

xx−+=，解得3Ax=，13Bx=，所以1163233ABABxxp=++=++=.（或2216sin3pAB==）16.5【详解】令()()3gxxfx=，因为当0x时，不等式()()3xfxfx−−成立，所以()()3230xfxxfx+，所以()'30x

fx，所以函数()gx在()0,+上单调递减.由题意得()()()()()33gxxfxxfxgx−=−−=−=−，且()00g=，所以()gx是奇函数，所以()gx在R上单调递减.因为对任意的xR，

不等式()()6233ee0xxfaxfax−恒成立，所以()()6233eexxfaxfax，所以()()2exggax，所以2exax.因为0a，所以当0x时，上式显然成立.当0x时，2exax，令()2

exhxx=（0x），所以()()2221exxhxx−=，所以函数()hx在10,2上单调递减，在1,2+上单调递增，所以()min12e2hxh==，所以2ea，所以正整

数a的最大值为5.17.【详解】（1）直线l的方程可化为()()420xymxy+−+−−=，…………2分联立40,20,xyxy+−=−−=解得3,1,xy==故直线l恒过定点()3,1P.…………4分（2）2224200xyxy+−−−

=可化为()()221225xy−+−=，则圆心为()1,2C，5r=.设圆心C到直线l的距离为d，要使直线l被圆C截得的线段长度最小，则需d最大，当直线CP垂直于直线l时，d取得最大值，最大值为CP的线段长度.因为121312PCk−==−−，所以11121mm+

−−=−−，解得13m=.…………6分由两点间距离公式可得()()2231125CP=−+−=，…………7分所以直线l被圆C截得的最短弦长为225545−=.…………8分综上，弦长AB的最小值为45，

对应m的值为13.…………10分18.【详解】（1）因为函数()32fxxaxb=−+的图象过点()2,4，所以44ba=−①.又()232fxxax=−，()11f=，所以()21312321faa=−

=−=②，…………3分由①②解得1a=，0b=.…………5分（2）由（1）知()32fxxx=−，设所求切线在曲线()yfx=上的切点为()32,mmm−，则()232fmmm=−，…………7分所以切线方程为()()32232ymmmmxm−+=−−，…………8分又切线过点()0,1−，所

以32210mm−−=，解得1m=，…………10分所以切点为()1,0，切线方程为10xy−−=.故曲线()yfx=过点()0,1−的切线方程为10xy−−=.…………12分19.【详解】（1）由题意得()fx的定义

域为()0,+，且()2xafxx−=.…………1分①若0a，则()0fx，所以()fx在()0,+上单调递增，所以()fx无极值；…………2分②若0a，则当0xa时，()0fx，当xa时，()0fx，…………4分所以()

fx在()0,a上单调递减，在(),a+上单调递增，所以()fx的极小值为()1lnfaa=+，无极大值.…………5分（2）当1a时，()fx在1,e上单调递增，所以()()min1fxfa==；…………7分当1ea时，()fx在1,a上单调递减，在,ea上单调递

增，所以()()min1lnfxfaa==+；…………9分当ea时，()fx在1,e上单调递减，所以()()mine1eafxf==+.…………11分综上，(),1,1ln,1e,1,e.eaagaaaaa=++…………12分2

0.【详解】（1）由121231nnaaaan+=++++，知11223nnaaaan−=+++（2n），两式相减得11nnnaaan+−=+（2n），…………2分则121nnaann+=++，故当2n时，1nan+为常数列.…………4分当1n

=时，1212aa==，则当2n时，21133naan==+，即13nna+=.又12a=不适合上式，所以2,1,1,2.3nnann==+…………6分（2）当1n=时，118T=，当2n时，()1313nnnan+=+，…………7分()231183343313nn

nTnn−=++++++，()3413543343313nnnTnn+=++++++，两式相减得()()3412933313nnnTn+−=−++++−+()()32131391

313nnn−+−=−+−+−，…………10分()12134522nn++=−−…………11分所以()1452134nnnT+++=，又118T=符合式子，所以()1452134nnnT+++=（*nN）.…………12分21.【详解】（1）如图

1，取PD的中点M，连接ME，CM.图1因为M，E分别为PD，PA的中点，所以MEDA∥.又DACB∥，所以MECB∥，又12MEDABC==，所以四边形CMEB为平行四边形，…………2分则BECM∥，又BE平面PDC，CM平面PD

C，…………3分所以BE∥平面PDC.…………4分（2）如图2，取DA的中点N，连接CN.图2由NACB∥且NACB=，得四边形NABC是平行四边形，所以1NCAB==，又1ND=，2CD=，所以222NCNDCD+=，所以DNCN⊥.由NCAB∥，

得DAAB⊥.在PAB△中，2PA=，1AB=，120PAB=，由余弦定理得22212cos120412272PBPAABPAAB=+−=++=，则7PB=，又1CB=，22PC=，所以222PBCBPC+=，所以CBBP⊥，则DABP⊥，又DAAB⊥，所以DA⊥平面PAB.………

…6分在平面PAB内作AFAB⊥交BP于F.以AF，AB，AD的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则()0,0,0A，()0,0,2D，()0,1,0B，()3,1,0P−，()0,1,1C，31

,,022E−，所以()3,1,2PD=−，33,,022BE=−，()0,1,1DC=−，31,,022EP=−.假设存在点K满足题意，设PKPD=（01），则()3,,

2PK=−，()32112,,222EKEPPK−=+=−.…………8分设平面KEB的法向量为()1,,nxyz=，则()113211220,22330,22nEKxyznBExy−=−++==

−=令1y=，则1213,1,2n−=.…………9分设平面PDC的法向量为()2,,nabc=，则22320,0,nPDabcnDCbc=−++==−=令1c=，则()23,1,1n=，…………10分

所以1212212214722cos,1021542nnnnnn−+===−+，整理得2204390−−=，解得32=或1310−，与01矛盾，所以假设不成立，即不存在K，使得平面KEB与平面PDC的夹角的余弦值为7210.…

………12分22.【详解】（1）由题意知22cea==，222ab=，22bc=.…………2分又112221222242AFAFSbcbcb====四边形，22b=，24a=，椭圆C的方程为22142xy+=.…………4分（2）如图，设()00

,Pxy，则MP的方程为()2ykx=+（0k），令0x=，得()0,2Ek，由()221,422,xyykx+==+得()2222218840kxkxk+++−=，20284221kxk−−=+，2022421kxk−=+，02421

kyk=+，即222244,2121kkPkk−++.又()0,2N，22240121242221NPkkkkkk−+==−−−+，…………8分NP的方程为()122yxk=−−，令0x=，得10,Fk.设()

0,QQxy，则2202Qxy+=，()0,2QQExky=−−，01,QQFxyk=−−，()222000011222QQQEQFxkyyxyykkk=+−−=++−+20214kyk+=−，…………10分代入02421kyk=+，化简得0QEQF=

，即QEQF⊥，2EQF=，得证.…………12分