【文档说明】山东省莱西一中、高密一中、枣庄三中2020届高三数学模拟试题含解析【精准解析】.doc，共(26)页，2.482 MB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

2020年高考数学模拟试卷一、选择题.1.集合2|2,xxxxR=的非空真子集的个数为（）A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】【分析】画出函数2xy=和2yx=的图象，根据图象知集合有3个元素，得到答

案.【详解】画出函数2xy=和2yx=的图象，根据图象知集合2|2,xxxxR=有3个元素，故集合2|2,xxxxR=的非空真子集的个数为3226−=.故选：C.【点睛】本题考查了真子集个数

，方程的解，画出函数图象是解题的关键.2.复数z满足2,,0zzczcazCac−++=，则z对应点的轨迹为（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】B【解析】【分析】设复数zxyi=+，根据椭圆定义直接得到答案.【详解】设复数zxyi=+，则

()()2222zczcxcyxcyac−++=−++++=，根据椭圆定义知z对应点的轨迹为椭圆.故选：B.【点睛】本题考查了椭圆的轨迹方程，意在考查学生对于椭圆基础知识的理解.3.()6211xxx−

−展开式中的常数项为（）A.35−B.5−C.5D.35【答案】A【解析】【分析】将二项式()6211xxx−−表示为()666221111xxxxxxxx−−=−−−，得出其通项，令x的指数为零，求出参数的值，再将参数的值代

入通项可得出展开式中的常数项.【详解】()666221111xxxxxxxx−−=−−−Q，展开式通项为()()626628266661111krkrkkrrkkrrCxxCxCxCxxx−−−−−−−=−−−，令620

820kr−=−=，得34kr==，因此，二项式()6211xxx−−展开式中的常数项为346635CC−−=−，故选A.【点睛】本题考查二项式展开式中指定项系数的计算，解题的关键就是写出二项展开式的通项，根据指数求出参数的值，进而求解，考查计算能力，属

于中等题.4.1943年，我国病毒学家黄祯祥在美国发表了对病毒学研究有重大影响的论文“西方马脑炎病毒在组织培养上滴定和中和作用的进一步研究”，这一研究成果，使病毒在试管内繁殖成为现实，从此摆脱了人工繁殖病

毒靠动物、鸡胚培养的原始落后的方法.若试管内某种病毒细胞的总数y和天数t的函数关系为：12ty−=，且该种病毒细胞的个数超过810时会发生变异，则该种病毒细胞实验最多进行的天数为（）天（lg20.3010）A.25B.26C.27D.28【答案】C【解析】【分析】计算18120ty−==，得

到27.6t，得到答案.【详解】取18120ty−==，故8221log108log10t−==，即218log1018127.6lg2t=+=+，故该种病毒细胞实验最多进行的天数为27.故选：C.【点睛】本题考查了指数函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.5.

著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f（x）()21xxxeex−

−=−的图象大致是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先根据奇偶性的判断可知f（x）()21xxxeex−−=−为偶函数，排除A，再通过x1进行特值判断即可得解.【详解】函数的定义域为{x|x±

1}，f（﹣x）()()2211xxxxxeexeexx−−−−−===−−f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，当x1时，f（x）0恒成立，排除B，D，故选：C.【点睛】本题考查了函数图像的判断，有如下几个方法：（1）根据奇偶性判断；（2）根

据特值判断；（3）根据单调性和趋势判断.6.当0a时，关于x的不等式22430xaxa−+的解集是()12,xx，则1212abxxxx=++取得最值的充分条件是（）A.有最大值，1b−B.有最小值，43b

−C.有最大值，5b−D.有最小值，433b−【答案】C【解析】【分析】计算得到124xxa+=，2123xxa=，计算433b−，根据充分条件的定义得到答案.【详解】不等式22430xaxa−+的解集是()1

2,xx，故124xxa+=，2123xxa=.1212114434423333abxxaaxxaa=++=+=−−+−=−−，当143aa−=−，即36a=−时等号成立，根据充分条件的定义知C满足.故选：C.【点睛】本题考查了充分条件，不等式的解，均值不等式

，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.7.若()sin6fxx=−()[0,],0x有零点，值域为2,2M−+，则的取值范围是（）A.14,23B.4,23C.11,63D.117,612【答案

】D【解析】【分析】根据函数零点和值域得到5064−，解得答案.【详解】[0,]x，则,666x−−−，()fx有零点，值域为2,2M−+，故5064−，解得117612

.故选：D.【点睛】本题考查了三角函数值域和零点问题，意在考查学生对于三角函数性质的灵活运用.8.已知数列na的首项11a=，函数()31cos3nnfnxaxa+=+−−为奇函数，记nS为数列na的前n项之

和，则2020S的值是（）A.20232B.1011C.1008D.336【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性得到1cos3nnnaa+−=，计算知na以6为周期循环，计算得到答案.【详解】函数()3

1cos3nnfnxaxa+=+−−为奇函数，则()1c0os03nnnfaa+=−−=，即1cos3nnnaa+−=，cos3n周期为6.2112aa−=，3212aa−=−，431aa−=−，5412aa−=−，6512

aa−=，761aa−=.解得11a=，232a=，31a=，40a=，512a=−，60a=，71a=，na以6为周期循环.故()2020123456123420232336Saaaaaaaaaa=+++++++++=.故选：A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，数列求和，确定na以

6为周期循环是解题的关键.二、多项选择题本题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列结论正确的有（）A.若随机变量()2~1,N，()

40.79P=，则()20.21P−=B.若1~10,3XB，则()3222DX+=C.已知回归直线方程为ˆ10.8ybx=+，且4x=，50y=，则ˆ9.8b=D.已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个

数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为22【答案】AC【解析】【分析】根据正态分布对称性知A正确，计算()()32920DXDX+==，B错误，将(),

xy代入回归直线，计算得到C正确，讨论三种情况得到可能数据的和为12，D错误，得到答案.【详解】随机变量()2~1,N，()40.79P=，则()()2140.21PP−=−=，A正确；1~10,3XB，则()1220103

39DX==，故()()32920DXDX+==，B错误；将(),xy代入回归直线，计算得到ˆ9.8b=，C正确；设丢失的数据为x，则平均数为317x+，众数为3，当3x时，中位数为3，故313237x+=+，10x=−；当35x时

，中位数为x，则31237xx+=+，4x=；当5x≥时，中位数为5，故312537x+=+，18x=；故可能数据的和为12，D错误；故选：AC.【点睛】本题考查了正态分布，二项分布，回归方程，中位数，平均数，众数，意在考查学生的综合应用能

力.10.设抛物线22(0)ypxp=的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到(2,)t时，4PF=，直线l与抛物线相交于,AB两点，点()4,1M，下列结论正确的是（）A.抛物线的方程为24yx=B.P

MPF+的最小值为6C.存在直线l，使得A、B两点关于60xy+−=对称D.当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切【答案】BD【解析】【分析】根据242pPF=+=得到故28yx=，A错误，6PMPFPMPE+=+，B正确，计算AB中点(

)2,4D在抛物线上，C错误，计算12DGAF=，D正确，得到答案.【详解】22(0)ypxp=，故242pPF=+=，4p=，故28yx=，A错误；过P作PE垂直于准线于E，则6PMPFPMPE+=+，当PEM共线时等号成立，故B正确

；设()11,Axy，()22,Bxy，设AB中点()00,Dxy则2118yx=，2228yx=，相减得到()()()1212128yyyyxx+−=−，即028AByk=，故04y=，故02x=，点()2,4在抛物线上，不成立，故不存在，C错误；如图所示

：G为AF中点，故()111222DGOFAQACAF=+==，故AF为直径的圆与y轴相切，故D正确；故选：BD.【点睛】本题考查了抛物线方程，最值，对称，直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力，转化能力，综合应用能力.11.在长方体1111ABCDABC

D−中，23AB=，12ADAA==，,,PQR分别是11,,ABBBAC上的动点，下列结论正确的是（）A.对于任意给定的点P，存在点Q使得1DPCQ⊥B.对于任意给定的点Q，存在点R使得1DRCQ⊥C.当1ARAC⊥时，1ARDR⊥D.当113ACAR=时，1//DR平面1BDC【答案

】ABD【解析】【分析】如图所示建立空间直角坐标系，计算142DPCQb=−，()12222DRCQb=−−，134ARDR=−，10DRn=，得到答案.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设()2

,,0Pa，0,23a，()2,23,Qb，0,2b，设11ARAC=，得到()22,23,22R−−，0,1.()12,,2PaD−=，()2,0,CQb=，142DPCQb=−，当2b=时，1DPCQ⊥，

A正确；()122,23,2DR=−−，()12222DRCQb=−−，取22b=+时，1DRCQ⊥，B正确；1ARAC⊥，则()()12,23,222,23,2212440ARAC=−−−−=−+−+=，14=，此时11333313,,,,022

22224ARDR=−−=−，C错误；113ACAR=，则4234,,333R，14232,,333DR=−，设平面1BDC的法向

量为(),,nxyz=，则100nBDnDC==，解得()3,1,3n=−，故10DRn=，故1//DR平面1BDC，D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查了空间中的线线垂直，线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力

，推断能力.12.新型冠状病毒属于属的冠状病毒，有包膜，颗粒常为多形性，其中包含着结构为数学模型的cosyB=，ykb=+，人体肺部结构中包含sinyA=，lny=的结构，新型冠状病毒肺炎是由它们复合而成的，表现为()f.

则下列结论正确的是（）A.若()()()()2102fffaa+−=+，则()f为周期函数B.对于0,2，sin的最小值为2C.若()()sin1lnaf=−+在区间(0,1)上是增函数，则0aD.若()()()sin2cosf=

+−+，0，满足()()11ff+=−，则4sin25=−【答案】ABD【解析】【分析】计算得到()()2faf+=或()()4faf+=A正确，设()sing=，()g在()00,上单调递增，在0,2上单调递减，计算得到B正确，化简即(

)1cos1a−恒成立，计算故1a，C错误，三角恒等变换知D正确，得到答案.【详解】()()()212fffa+−=+，则()()()()2214fffafa−=−+++，()()()()221224fafafafa+−+=−+++，代换整理得到：()(

)()()2120faffaf++−+−=，若()()2faf+=，则()f为周期函数；若()()210faf++−=，则()()410faf++−=，()()42fafa+=+，则()f为周期函数，A正确；设()sing

=，故()2cossin'g−=，设()cossinh=−，故()'sin0,0,2h=−，故()h单调递减，且()00h=，102h=−，故存在0使()00h=.()g在()00,上单调递增，

在0,2上单调递减，22g=，当0→时，()1g→，故()min22gg==，B正确；()()sin1lnaf=−+在区间(0,1)上增函数，则()()1cos10'af=−−+，即()1cos1a−恒成立

，设()()cos1k=−，则()()()'cos1sin10k=−+−，故()k在(0,1)上单调递增，故()()1cos1p=−在(0,1)上单调递减，()11p=，故1a，C错误；D.若()()()sin2cosf=+−+，0

，满足()()11ff+=−，则4sin25=−()()()()sin2cos5sinf=+−+=+−，其中tan2,0,2=.()()11ff+=−，即函数关于1=对称，故,2kkZ+−=+，即222,k

kZ=−++，()4sin2sin22sin22sincos5k=−++=−=−=−，故D正确；故选：ABD.【点睛】本题考查了函数周期，最值，对称，单调性，意在考查学生对于函数性质的综合应用.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20

分.13.已知椭圆22221(0)xyabab+=的左右焦点分别为1(,0)Fc−，2(,0)Fc且bc，若在椭圆上存在点P，使得过点P可作以12FF为直径的圆的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的范围为______.【答案】32,32【解析】【分

析】如图所示，根据题意知PAOB为正方形，2POc=，故bPOa，解得答案.【详解】如图所示，根据题意知：PAOB为正方形，故2POc=，故bPOa，故2222bca，解得3232e，又bc，故22e，故32,32e.故答案为：32,32

.【点睛】本题考查了椭圆离心率的范围，意在考查学生的计算能力和转化能力.14.已知O是ABC的外心，且3A=，5AB=，3AC=，若AOmABnAC=+，则mn+=______.【答案】2645【解析】【分析】计算252AOAB=，92AOA

C=，152ABAC=，得到方程组15252522mn+=，159922mn+=，解得答案.【详解】225cos222ABABAOABAOABBAOAOABAO====，同理92AOAC=.15cos2ABACABAC

A==，故()15252522AOABmABnACABmn=+=+=，()159922AOACmABnACACmn=+=+=，解得715m=，19n=，故2645mn+=.故答案为：2645.【点睛】本题考查了向量的应用，计算252AOAB=，92AOAC=是解题

的关键，意在考查学生的计算能力和应用能力.15.已知三棱锥SABC−的顶点都在球O的球面上，且该三棱锥的体积为23，SA⊥平面ABC，4SA=，120ABC=，则球O的体积的最小值为______.【答案】40103【解析】【分析】根据体

积公式得到6BABC=，根据余弦定理得到32AC，根据正弦定理得到6r，根据2222SARr=+得到10R，计算得到答案.【详解】11134233322SCCABABVSSABABC−===，故6B

ABC=.根据余弦定理：222222cos3ACBABCBABCBBABCBABCBABC=+−=++，即32AC，当BABC=时等号成立.设外接圆半径为r，故226sinbrB=，即6r.设球

O的半径为R，球心O在平面ABC的投影1O为ABC外心，则22264102SARr=++=，10R，34401033VR=.故答案为：40103.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力

.16.设双曲线222116xyb−=的左右两个焦点分别为1F、2F，P是双曲线上任意一点，过1F的直线与12FPF的平分线垂直，垂足为Q，则点Q的轨迹曲线E的方程________；M在曲线E上，点(8,0)A

，(5,6)B，则12AMBM+的最小值________.【答案】(1).2216xy+=(2).35【解析】【分析】延长1FQ与2PF的延长线交于点M，计算12142OQPFPF=−=得到轨迹方程，取点()2,0C，12AMBMM

CBMBC+=+，解得答案.【详解】如图所示：延长1FQ与2PF的延长线交于点M，则()22121114222OQMFPMPFPFPFa==−=−==，故轨迹方程为2216xy+=.取点()2,0C，则12OCOMOMOA==，MOCMOA，故12

MCPA=，1352AMBMMCBMBC+=+=，当BMC共线时等号成立.故答案为：2216xy+=；35【点睛】本题考查了轨迹方程，长度的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，取点()2,0C证明相似是解题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.17.已知ABC的内角,,ABC的对应边分别为,,abc，在①()3coscoscossinCaBbAcC+=②sinsin2ABacA+=③()22sinsinsinsinsinBACBA−=−这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，当_______时，求si

nsinAB的最大值.【答案】见解析【解析】【分析】根据正弦定理或余弦定理计算得到3C=，再计算11sinsin2s264inABA=−+，得到最值.【详解】若选①，则由正弦定理()3cossincossincossinsinCA

BBACC+=，()3cossinsinsinCABCC+=，3tanC=，3C=若选②，则由正弦定理知：sinsinsinsin2CACA−=，cossin2sincos222CCCC==，1sin22C=，3C=若选③，则有正弦定理知()22bacbc−=−，222bacbc+−

=，由余弦定理知：1cos2C=，3C=，23AB+=，2sinsinsinsin3ABAA=−31sincossin22AAA=+()23131sincossinsin21c

os22244AAAAA=+=+−11sin2264A=−+20,3A，72,666A−−，所以当3A=时，sinsinAB的最大值是34.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角恒等变

换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18.数列na的前n项和为nS，且满足()111nnnSann−+=++，1,2,3n=（1）设()11nnbann=++，求证：数列nb是等比数列；（2）设112nnnca−=−，求nc的最

小值.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）整理化简得到()()112nnann+=++()111nnnaann+−−−++，()11nnbann=++，化简得到12nnbb+=，得到证明.（2）计算()11121nnann−=−+

，()121nncnn−=+，根据题意11nnnncccc+−，解得答案.【详解】（1）()111nnnSann−=−++，()()11112nnnSann++=−+++，当1n=时，易知112a=，()()1112nnnnaSSnn++=−=++()111nnn

aann+−−−++()()()1221121211nnnnaannnnn++−−=−+=++++()()()2111211nannnnn−++++++，()()11212nann++++()11nann=++，令()11nnbann=++，则()()11112nnba

nn++=+++，上式可化为12nnbb+=nb是以11b=为首项，公比为12的等比数列，112nnb−=（2）()11121nnann−=−+()121nncnn−=+

，设第n项最小，11nnnncccc+−()()()()()112221122211nnnnnnnnnnnn−−−++++−，1222111nnnn++−23n.所以当2n=或3n=时，最小值为2313nccc===.【点睛】本题考查了等比

数列的证明，数列的最值，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.19.在三棱锥，SABC−中，AB⊥平面SAC，ASSC⊥，1AB=，2AC=，E为AB的中点，M为CE的中点.（1）证明：平面SCE⊥平面SAB；（2）在线段SB上

是否存在一点N，使//MN平面SAC？若存在，指出点N的位置并给出证明，若不存在，说明理由；（3）若30SCA=，求二面角SCEB−−的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点N为SB上的靠近S的四等分点；

（3）120.【解析】【分析】（1）先证明SC⊥平面SAB，再利用面面垂直的判定定理得到结论；（2）取点N为SB上的靠近S的四等分点即14SNSB=，//MN平面SAC，利用面面平行，判断出线面平行，判断出结论成立；（3）根据题意，作SOAC⊥于O

，过O作AB的平行线为x轴，OC为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，平面BEC的法向量为(0,0,1)n=，求出平面SEC的法向量，利用夹角公式求出二面角的余弦值，求出角．【详解】解：（1）由AB⊥平面SAC，SC平面SAC，故ABSC⊥

，由ASAC⊥，ABASA=，,ABAS平面SAB，所以SC⊥平面SAB，SC平面SCE，故平面SCE⊥平面SAB；（2）存在点N为SB上的靠近S的四等分点即14SNSB=，//MN平面SAC，证明如下：取AE的中点F，连接FN，FM，则//MFAC，因

为AC平面SAC，MF平面SAC，所以//MF平面SAC，又MFMNN=，,MFMN平面MNF，所以平面//MNF平面SAC，又MN平面MNF，所以//MN平面SAC；（3）作SOAC⊥于O，过O作AB的平行线为x轴，OC为y轴，OS为z轴，

建立空间直角坐标系，由30SCA=，ASSC⊥，得22AS=，24AO=，362cos30222SC===，64OS=，324OC=，12AE=，故2,1,04B，21,,042E，32,0,04C−

，60,0,4S，12,,02CE=uuur，326,0,44SC=−−uuur，设平面SEC的法向量为(),,mxyz=，由1202326044mCExymSCxz=+==−−=

，得()1,22,3m=−−，平面BEC的法向量为()0,0,1n=，由31cos,212mn−==−，因为二面角SCEB−−为钝角，故所求二面角为120.【点睛】考查线面，面面平行于垂直的判定定理与性质定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力和数学运算能力，属于中档题．20

.“未来肯定是非接触的，无感支付的方式将成为主流，这有助于降低交互门槛”.云从科技联合创始人姚志强告诉南方日报记者.相对于主流支付方式二维码支付，刷脸支付更加便利，以前出门一部手机解决所有，而现在连手机都不需要了，毕竟，手机支付还需要携带手机，打开二维码也需要时间和手机信号.刷

脸支付将会替代手机，成为新的支付方式.某地从大型超市门口随机抽取50名顾客进行了调查，得到了如表列联表：（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为使用刷脸支付与性别有关？（2）从参加调查且使用刷脸支付的顾客中随机抽取2人参加抽奖活动，抽奖活动规则如下：“一等奖”中奖概率为0

.25，奖品为10元购物券m张（3m，且*mN），“二等奖”中奖概率0.25，奖品为10元购物券两张，“三等奖”中奖概率0.5，奖品为10元购物券一张，每位顾客是否中奖相互独立，记参与抽奖的两位顾客中奖购物券金额总和为X元，若

要使X的均值不低于50元，求m的最小值.附：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.【答案】（1）列联表见解析，没有把握；（2）6.【解析】【分析】（1）由列联表求出22(1813127)5033.84130202525k−==，没

有95%的把握认为使用刷脸支付与性别有关．（2）由题意知X的可能取值为20m，1020m+，1010m+，40，30，20，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列、数学期望，进而能求出m的最小值．【详解】解：（1）补充列联表，男性女性总计刷脸支付18725非刷

脸支付121325总计302050所以22(1813127)5033.84130202525k−==，∴没有95%的把握认为使用刷脸支付与性别有关.（2）由题意知X的可能取值为20m，1020m+，1010m+，40，3

0，20，()111204416PXm===，()11110202448PXm=+==，()11110102424PXm=+==，()111404416PX===，()111302424PX===，()11120224P

X===，∴X的分布列为：X20m1020m+1010m+403020P11618141161414∴()()()111111201020101040302052016841644EXmmmm=+++++

++=+，由52050m+，解得6m，∴m的最小值为6.【点睛】本题考查独立性检验的应用，考查实数值的最小值的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知动圆与y轴相切于点(0,2)M，过点(0,1)E

−，(0,1)F分别作动圆异于y轴的两切线，设两切线相交于Q，点Q的轨迹为曲线.（1）求曲线的轨迹方程；（2）过(2,0)的直线l与曲线相交于不同两点,AB，若曲线上存在点P，使得OPOAOB=+uuuruuuruuur成立，求实

数的范围.【答案】（1）221(0)43yxx+=（2）474747472,,,27777−−−【解析】【分析】（1）设过点E、F与动圆相切的

切点分别为,CD，计算得到4QEQFEF+=，得到答案.（2）设直线l的方程为(2)(1)ykxk=−，联立方程得到21221234kxxk+=+，()212212134kxxk−=+，计算20211234

kxk=+，0211634kyk−=+，代入椭圆方程计算得到答案.【详解】（1）设过点E、F与动圆相切的切点分别为,CD，则QCQD=，FDFM=，ECEM=，故QEQFQEQDDF+=++QEQCFM=++=CEFMEMFM+=+，由E、F、M的坐标可知3EM=，1FM=，4QEQFEF

+=，由椭圆的定义可知，点Q是以E、F为焦点，长轴长为4的椭圆（不包括长轴端点）.设曲线的方程为：22221yxab+=(0,0)abx，即2a=，1c=，23b=，故曲线的轨迹方程为221(0)43yxx+=（2）由题可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为(2)(1)

ykxk=−，由22143(2)yxykx+==−消y得()()222234121210kxkxk+−+−=，()()422144483410kkk=−+−，204k且21k，设()11,Axy，()

22,Bxy，()00,Pxy，则21221234kxxk+=+，()212212134kxxk−=+，()12124yykxx+=+−222121643434kkkkk−=−=++，OPOAOB=+u

uuruuuruuurQ，()()001212,,xyxxyy=++，201221234kxxxk=+=+，021634kyk−=+当0=时，0k=，直线l为x轴，满足OPOAOB=+uuuruuuruuur.当0，0k

时，()20122111234kxxxk=+=+，()0122111634kyyyk−=+=+，代入椭圆方程得()()()()22222222212161434334kkkk−+=++，化简得222216164343kkk==++，204kQ，且21k，204，且2

167，474747472,,00,,27777−−−综上可得的取值范围为：474747472,,,27777−−−.【点睛】本题

考查了轨迹方程，根据直线和椭圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22.函数()1xxefex−=，()1hxxx=+（1）判断0x时，()()fxhx−的零点个数，并加以说明；（2

）正项数列na满足11a=，()1nannaefa+−=，①判断数列na的单调性并加以证明.②证明：11122nniia+=−【答案】（1）0个，说明见解析（2）①数列na为减数列，证明见解析②证明见解析【解析】【分析】（

1）计算()()()11xxeexfxxxh−−=+−，设()1xxex=−−，确定函数单调递增，得到零点个数.（2）化简得到11lnnanneaa−+−=−，则只需证1xxexe−−−，根据（1）知成立；只要证12nnaa+，即证即1ln2xe

xx−−−，设()()220xxmxeexx−=−−，求导得到单调性得到证明.【详解】（1）当0x时()()11111xfxhexx−−−+=−()11xxexex−−=+，()1xxex=−−，()10x

xe=−，()1xxex=−−在(0,)+是增函数.()()00x=，()()0fxhx−，()()fxhx−零点个数为0个（2）①数列na为减数列，证明如下：11a=，()1nannaefa+−=，11lnnanneaa−+−=−，要证na

为减数列，只需证1nnaa+，1lnnanneaa−−−，只需证1lnxexx−−−，()0x，1xxexe−−−，由()11xxxeeefx−−==−，()111xxxexexe−−−−=−−即()11xxxeeefx−−==−()1xhxx

=+，由（1）可知成立，②要证明：11122nniia+=−，由11a=，只需证112nna+，只要证12nnaa+，由于11a=，此时11222nnnaaa−+1122nna=LL成立.所以即证1ln2nannae

a−−−，即1ln2xexx−−−，即21xxeex−−−，22(0)xxeexx−−，令()()220xxmxeexx−=−−，()221102xxmxee−=+−，故(

)mx在(0,)+递增，()()00mxm=，于是()220xxeexx−−成立，所以原不等式成立.【点睛】本题考查了函数零点问题，数列的单调性，证明数列不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.