【文档说明】【精准解析】北师大版必修2一课三测：2.1.5平面直角坐标系中的距离公式【高考】.docx，共(11)页，174.782 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1．5平面直角坐标系中的距离公式填一填1.两点间的距离公式(1)数轴上：一般地，数轴上两点A，B对应的实数分别是xA，xB，则|AB|＝|xB－xA|.(2)平面直角坐标系中：一般地，若两点A，B对应的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)

2.2．点到直线的距离点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离记为d，则d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.3．两平行线间的距离两条平行直线的方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，两条直线间的距离记为d，即d＝|C2－C1|A2＋B2.判一判1.

原点O到点P(x，y)的距离为|OP|＝x2＋y2.(√)2．平面内两点间的距离公式与坐标顺序有关．(×)3．平面内任意两点间的距离均可使用两点间的距离公式．(√)4．直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离是|C1－C2|.(×)5．原点到直

线Ax＋By＋C＝0的距离公式是|C|A2＋B2.(√)6．平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值．(√)7．连接两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离．(×)8．点到直线的距离是直线上的点与直线外一点连线的长度中的最小值．(√)想一想1.在使用点到直线的距离公式时，对直线

方程的形式有什么要求？提示：点到直线的距离公式只适用直线方程的一般式．2．两条平行直线间的距离公式写成d＝|C1－C2|A2＋B2时对两条直线应有什么要求？提示：两条平行直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别

对应相等．3．两条平行直线间距离有哪几种求法？提示：(1)直接利用两平行线间的距离公式．(2)在一条直线上任意选取一点利用点到直线的距离公式求解(一般要选特殊的点，如直线与坐标轴的交点、坐标为整数的点)．(3)

当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．①当两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；②当两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.4．距离公式综合应用的常见类型有哪些？提示：(1)最值问题

．①利用对称转化为两点之间的距离问题．②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值．(2)求参数问题．利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值．(3)求方程的问题．立足确定直线的

几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．思考感悟：练一练1.已知A(3,7)，B(2,5)，则A，B两

点间的距离为()A．5B.5C．3D．29答案：B2．已知直线上两点A(a，b)，B(c，d)，且a2＋b2－c2＋d2＝0，则()A．原点一定是线段AB的中点B．A，B一定都与原点重合C．原点一定在线段AB上，但不是线段AB的中点D．原点一定在线段AB的垂直平分线上答案：D

3．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是()A．32B.22C．3D.322答案：D4．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于()A．7B．5C．3D．2答案：A5．直线l1：x＋y＝0与直线l2：2x＋2y＋1＝0间的距离是________．答案：

24知识点一两点间距离公式的应用1.已知点A(2，m)与点B(m,1)间的距离是13，则实数m＝()A．－1B．4C．－1或4D．－4或1解析：∵|AB|＝(m－2)2＋(1－m)2＝13，∴m2－3m－4＝0，解得m＝－1或m＝4

.答案：C2．已知点A(2,1)，B(－2,3)，C(0,1)，则△ABC中，BC边上的中线长为________．解析：BC中点为(－1,2)，所以BC边上中线长为(2＋1)2＋(1－2)2＝10.答案：10知识点二求点到直线的距离3.已知点(

a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为()A．1B．－1C.2D．±2解析：由题意，得|a－1＋1|12＋(－1)2＝1，即|a|＝2，所以a＝±2.故选D.答案：D4．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是原点，则|OP|的最小值是()A.10B．22C.6

D．2解析：由题意可知|OP|的最小值即原点(0,0)到直线x＋y－4＝0的距离d＝|－4|2＝22.答案：B知识点三两条平行直线间的距离5.已知两条平行直线l1：3x＋4y＋5＝0，l2：6x＋by＋c＝0间的距离为3，则b＋c等于()A．－12B．48C．36D．－12或48解析：

将l1：3x＋4y＋5＝0改写为6x＋8y＋10＝0，因为两条直线平行，所以b＝8.由|10－c|62＋82＝3，解得c＝－20或c＝40.所以b＋c＝－12或48.故选D.答案：D6．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们

之间的距离是()A．4B.21313C.51326D.71326解析：由两直线平行可知36＝2m≠－31，故m＝4.又方程6x＋4y＋1＝0可化简为3x＋2y＋12＝0，∴平行线间的距离为|12－(－3)|22＋32＝71326.故选D.答案：D知

识点四对称问题7.直线y＝3x－4关于点P(2，－1)对称的直线l的方程是()A．y＝3x－10B．y＝3x－18C．y＝3x＋4D．y＝4x＋3解析：在直线上任取两点A(1，－1)，B(0，－4)，则其关于点P的对称点A′，B′可由中点坐标公式求得为A′(3，－1)，B′(4,2)，由两点式可

求得方程为y＝3x－10.答案：A8．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线的方程是()A．3x－2y＋2＝0B．2x＋3y＋7＝0C．3x－2y－12＝0D．2x＋3y＋8＝0解析：由平面几何知识易知所求直线与已知

直线2x＋3y－6＝0平行，则可设所求直线的方程为2x＋3y＋C＝0(C≠－6)．在直线2x＋3y－6＝0上任取一点(3,0)，其关于点(1，－1)对称的点为(－1，－2)，则点(－1，－2)必在所求直线上，∴2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，解得C＝8.故所求

直线的方程为2x＋3y＋8＝0.答案：D综合知识距离公式的综合应用9.已知△ABC中，A(2，－1)，B(4,3)，C(3，－2)．(1)求BC边上的高所在直线方程的一般式；(2)求△ABC的面积．解析：(1)因为kBC＝3－(－2)4－3＝5

，所以BC边上的高AD所在直线斜率k＝－15.所以AD所在直线方程为y＋1＝－15(x－2)．即x＋5y＋3＝0.(2)BC的直线方程为：y＋2＝5(x－3)．即5x－y－17＝0，点A到直线BC的距离为|2×5－(－1)－17|52＋(－1)2＝626

.又因为|BC|＝(3－4)2＋(－2－3)2＝26，所以△ABC的面积S＝12×626×26＝3.10．已知直线l1经过点A(0,1)，直线l2经过点B(5,0)，且直线l1∥l2，l1与l2间的距离为5，求直线l1，l

2的方程．解析：∵直线l1∥l2，∴当直线l1，l2垂直于x轴时，直线l1的方程为x＝0，直线l2的方程为x＝5，这时直线l1，l2之间的距离等于5，符合题意．当直线l1，l2不垂直于x轴时，可设其斜率为k，依题意得，直线l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，直线l2的方程为y＝

k(x－5)，即kx－y－5k＝0.由两条平行直线间的距离公式，得|1＋5k|1＋k2＝5，解得k＝125.∴直线l1的方程为12x－5y＋5＝0，直线l2的方程为12x－5y－60＝0.综上，符合题意的直线l1，l2的方程有两组：l1：x＝0，l2：x＝5或l1：12x－5

y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0.基础达标一、选择题1．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是()A．3B.53C．1D.22解析：点P(1，－1)到直线l的距离d＝|3×(－1)－2|02＋32＝53，选B.答案：B2．已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m

＝()A．0B.34C．3D．0或34解析：点M到直线l的距离d＝|m＋4－1|m2＋1＝|m＋3|m2＋1，所以|m＋3|m2＋1＝3，解得m＝0或m＝34，选D.答案：D3．两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0间的距离为()A.1310B.

135C.72D.235解析：直线3x＋4y－12＝0，即直线6x＋8y－24＝0，根据直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0平行，可得a＝6，故两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0间的距离为|－24－11|36＋64＝72.答案：C4．已知点A(1

,3)，B(3,1)，C(－1,0)，则△ABC的面积等于()A．3B．4C．5D．6解析：设AB边上的高为h，则S△ABC＝12|AB|·h.|AB|＝(3－1)2＋(1－3)2＝22，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为y－31－3＝x

－13－1，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为|－1＋0－4|2＝52，因此，S△ABC＝12×22×52＝5.答案：C5．直线l垂直于直线y＝x＋1，原点O到l的距离为1，且l与y轴正半轴有交点．则直线l的

方程是()A．x＋y－2＝0B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋2＝0解析：因为直线l与直线y＝x＋1垂直，所以设直线l的方程为y＝－x＋b.又l与y轴正半轴有交点，知b>0，即x＋y－b＝0(b>0)，原点O(0,0)到直线x＋y－b＝0(b>0)

的距离为|0＋0－b|12＋12＝1，解得b＝2(b＝－2舍去)，所以所求直线l的方程为x＋y－2＝0.答案：A6．已知△ABC的三个顶点是A(－a,0)，B(a,0)和Ca2，32a，则△ABC的形状是()A．等腰三角

形B．等边三角形C．直角三角形D．斜三角形解析：因为kAC＝32aa2＋a＝33，kBC＝32aa2－a＝－3，kAC·kBC＝－1，所以AC⊥BC，又|AC|＝a2＋a2＋32a2＝3|a|.|BC|＝

a2－a2＋32a－02＝|a|，|AC|≠|BC|.所以△ABC为直角三角形．答案：C7．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB

的中点M到原点距离的最小值为()A．32B．2C.2D．4解析：由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x＋y＋c＝0，则|c＋7|2＝|c＋5|2，即c＝－6，∴点M在直线x

＋y－6＝0上，∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，即|－6|2＝32.答案：A二、填空题8．已知点A(－1,2)，B(3，b)的距离是5，则b＝________.解析：根据两点间的距

离公式，可得(3＋1)2＋(b－2)2＝5，解得b＝5或b＝－1.答案：5或－19．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．解析：∵|5×2－12k＋6|52＋122＝4，∴|16－12k|＝52，∴k＝－3，或

k＝173.答案：－3或17310．两直线3x＋y－3＝0与6x＋my＋n＝0平行且距离为10，则m＋n＝________.解析：因为两直线平行，所以m＝2，由两平行线的距离公式知－3－n232＋12＝10，解得n＝14或n＝－26.所以m＋n＝16或m＋n＝－24.

答案：16或－2411．已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________________________________________________________________________．解析：显然直线

l的斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，由已知，得|－2k－2＋4－3k|1＋k2＝|4k＋2＋4－3k|1＋k2，所以k＝2或k＝－23.所以所求

直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.答案：2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝012．已知实数x，y满足2x＋y＋5＝0，那么x2＋y2的最小值为________．解析：求x2＋y2的最小值，就是求2x＋y＋5＝0上的点到原点的距离

的最小值，转化为坐标原点到直线2x＋y＋5＝0的距离d＝522＋12＝5.答案：5三、解答题13．已知点P(2，－1)．(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在

过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解析：(1)过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，－1)，可见，过P点垂直于x轴的直线满足条件，此时直线l的斜率不存在，其方程为x＝2.若直线l的斜率存在，设其方程为y＋1＝k(x－2

)，即kx－y－2k－1＝0.由已知，得|－2k－1|k2＋1＝2，解得k＝34，此时l的方程为3x－4y－10＝0.综上，直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.(2)过P点且与原点O距离最大的直线是过P点且与OP垂直的直线．由l⊥

OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－1kOP＝2.由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝5.(3)由(2)可知，存在过点P且到原点距离最大

为5的直线，因此不存在过点P到原点距离为6的直线．14．已知直线l1：x＋3y－3m2＝0和直线l2：2x＋y－m2－5m＝0相交于点P(m∈R)．(1)用m表示直线l1与l2的交点P的坐标；(2)当m为何值时，点P到直线x＋y＋3＝0的距离最短？并求出

最短距离．解析：(1)解方程组x＋3y－3m2＝0，2x＋y－m2－5m＝0，得x＝3m，y＝m2－m，∴直线l1与l2的交点P的坐标为(3m，m2－m)．(2)设点P到直线x＋y＋3＝0的距离为d，d＝|3m＋m2

－m＋3|2＝|m2＋2m＋3|2＝|(m＋1)2＋2|2＝(m＋1)2＋22，∴当m＝－1时，即P点坐标为(－3,2)时，点P到直线x＋y＋3＝0的距离最短，最短距离为2.能力提升15.已知两点A(2,3)，B(4,1)，直线l：x＋2y－2＝0，在直线l上求一点P.(1)使|PA

|＋|PB|最小；(2)使||PA|－|PB||最大．解析：(1)可判断A，B在直线l的同侧，设A点关于l的对称点A1的坐标为(x1，y1)，则有x1＋22＋2·y1＋32－2＝0，y1－3x1－2·－1

2＝－1，解得x1＝－25，y1＝－95.由直线的两点式方程得直线A1B的方程为y－1－95－1＝x－4－25－4，即y＝711(x－4)＋1，由x＋2y－2＝0，y＝711(x－4)＋1得直

线A1B与l的交点为P5625，－325，由平面几何知识可知，此时|PA|＋|PB|最小．(2)由直线的两点式方程求得直线AB的方程为y－31－3＝x－24－2，即x＋y－5＝0.由x＋2y－2＝0，x＋y－5＝0得直线AB与l

的交点为P(8，－3)，此时||PA|－|PB||最大．16．已知三条直线l1：mx－y＋m＝0，l2：x＋my－m(m＋1)＝0，l3：(m＋1)x－y＋(m＋1)＝0，它们围成△ABC.(1)求证：不论m取何值时，△ABC中总有一个顶点为定点；(2)当m取何值时，△ABC的面积

取最值？并求出最值．解析：(1)证明：设直线l1与直线l3的交点为A.由mx－y＋m＝0，(m＋1)x－y＋(m＋1)＝0，解得x＝－1，y＝0，∴点A的坐标为(－1,0)，∴不论m取

何值，△ABC中总有一个顶点A(－1,0)为定点．(2)由x＋my－m(m＋1)＝0，(m＋1)x－y＋(m＋1)＝0，解得x＝0，y＝m＋1，即l2与l3交点为B(0，m＋1)．再由mx－y＋m＝0，x＋m

y－m(m＋1)＝0，解得x＝mm2＋1，y＝m3＋m2＋mm2＋1，即l1与l2交点为Cmm2＋1，m3＋m2＋mm2＋1.设边AB上的高为h，∴S△ABC＝12|AB|·h＝12·1＋(m＋1)2·m

(m＋1)m2＋1－m3＋m2＋mm2＋1＋m＋1(m＋1)2＋1＝12·|m2＋m＋1|m2＋1＝12·m2＋m＋1m2＋1＝121＋mm2＋1.当m＝0时，S＝12；当m≠0时，S＝121＋1m＋1m.∵函数f(x)＝x＋1x的值域为[2，＋∞)∪(－∞，－2]．∴－

12≤1m＋1m<0或0<1m＋1m≤12，∴14≤S<12或12<S≤34.当m＝1时，△ABC的面积的最大值为34，当m＝－1时，△ABC的面积的最小值为14.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com