广东实验中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学答案

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以下为本文档部分文字说明:

1广东实验中学2019-2020学年(下)高二级期中(模块)考试·数学答案及说明一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.B解:∵�={�|0<�<2},�={�|�=√�−1}={�|�≥1},∴�∩�={�|1≤�<2}.2.B解:∵�=log�3<

1,�=log�4>1,而�=log���log�9=2,�=log����log�16=2,所以�>�>�.3.D解:根据题意,设���⃗与��⃗夹角为�,若两个非零向量���⃗,��⃗满足(���⃗+��⃗)⋅(���⃗−��⃗)=0,则有�⃗�−��

⃗�=0,即|���⃗|=|��⃗|,又由|���⃗+��⃗|=2|���⃗−��⃗|,则(�⃗+��⃗)�=4(�⃗−��⃗)�,变形可得:10�⃗⋅��⃗=3(�⃗�+��⃗�),则有����=��;4.A解:�=��

��+(1+�)�=�(���)(���)(���)+2�=1−�+2�=1+�,则|�|=√2.5.B解:若�=��,则�(�)=����(��+��)⇒�(�)=−����(��)(�>0,�>0,�∈�)是奇函数;若�(�)是奇函数,⇒�(0)=0,∴�(0)=����(�

×0+�)=�����=0.∴�=��+��,�∈�,不一定有�=��.故“�(�)是奇函数”是“�=��”必要不充分条件.6.B解:因为数列{��}为等比数列,所以��=����=6,又��=3,所以�

�=2,所以��+��+��=��+����+����=6+12+24=42.7.C解:���=������������������≈95.17,���=75×0.2+85×0.3+95×0.5=88,由于场外有数万人观众,则���<��<����

����<���.8.B解:设黑球分别为1、2、3,白球为a、b、c、d,则基本事件有(1,�),(1,�),(1,�),(1,�),(2,�),(2,�),(2,�),(2,�),(3,�),(3,�),(3,�),

(3,�),(1,2),(1,3),(2,3),(�,�),(�,�),(�,�),(�,�),(�,�),(�,�),共21种,其中符合条件的有(1,2),(1,3),(2,3)3种,∴两个球都是黑球的概率是���=��,

29.A解:函数的定义域为(−∞,+∞),排除B,�(0)=��4−��>0.排除C,当�→+∞,�(�)→−∞,排除D,10.C解:由题意,不妨设A在渐近线�=−���上,则���的方程为�=��(�+�),与�=

−���联立解得�(−���,���),与�=���联立解得�(−��������,−��������),∵��的中点为�(1,8),∴�−���−�����−��=2①���−�����−��=16②,结合��+��=��,由①×8=②化简得�=2

�,∴��=4��,则��−��=4��,解得�=��=√5.11.A解:�′(�)=��+��+2�,∵�,�是�(�)的极值点,所以�,�是��+��+2�=0的两个根,∴�+�=−�,��=2�,∵�∈(0,1),�∈(1,2),∴1<�+�<

3,0<��<2,∴1<−�<3,0<2�<2,令�=��,�=�,∴�−��<�<−��0<�<1作出不等式组�−��<�<−��0<�<1的可行域,则���+��表示可行域中的点(�,�)与(0,0)的距离平方�

�+��,结合图形可得���=���,���=��,则���+��的取值范围是���,����.12.B解:由�(�)=��(�)+��=0,得��(�)=−��,设�(�)=��(�),则�′(�)=�(�)+��′(�),∵�≠0时,有�′(�)+�(�)�

>0,3∴�≠0时,�(�)����(�)�>0,即当�>0时,�′(�)=�(�)+��′(�)>0,此时函数�(�)单调递增,此时�(�)>�(0)=0,当�<0时,�′(�)=�(�)+��′(�)<0,此时函数�(�)单调递减,此时�(�)>�(0)=

0,作出函数�(�)和函数�=−��的图象,(直线只代表单调性和取值范围),由图象可知函数�(�)=��(�)+��的零点个数为1个.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.7解:由变量x,y满足约束条件��≤2�+12�+�≤4�+2≥0作出可行域如图

,由�=�−2�,得�=��−��,由图可知,当直线�=��−��过可行域内点A时直线在y轴上的截距最小,z最大.联立��+2=02�+�=4,解得�(3,−2).∴目标函数�=�−2�的最大值为3−2×(−2)=7.故

答案为:7.14.���解:∵三棱锥�−���中,��⊥平面SBC,∠���=90°,∴��⊥平面SAC,��⊥平面SBA,设��=�,��=�,��=�,△���边AC上的高为ℎ�,△���边BC上的高为ℎ�,

∵二面�−��−�为45°,二面角�−��−�为60°,∴ℎ�=��√�����=√���,ℎ�=��√�����=�,∵�=1,∴�=√��,�=1,4∴三棱锥�−���外接球的直径为√��+��+��=√���,∴三棱

锥�−���外接球的表面积为���.故答案为���.15.32解:若角排在一或五,则有���������=24种,若角排在二或四,则有2������=8,根据分类计数原理可得,共有24+8=32种,故答案为:32.16.解:设�

=kx+�与�=lnx+2和�=ln(�+1)的切点分别为(��,���+�)、(��,���+�),由导数的几何意义可得�=���=���+�,得��=��+1,再由切点也在各自的曲线上,可得����+�=ln�

�+2���+�=ln(��+1),联立上述式子解得��=2��=����=-��;从而得出.故答案为.三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.解:(1)由����=2+��①,可得��=2+����(�⩾2)②.①−②得,����−��=��−����=

��,即������=2(�⩾2,�∈�∗).∵��=2+��=4,����=2,所以{��}是首项为2,公比为2的等比数列,所以��=2�(�∈�∗).(2)由(1)得:��=1+����(2�)�=2�+1,所以�������=�(����)(����)=��(�����−�����),所

以��=��(��−��+��−��+⋯+�����−�����)=��(��−�����)=�����.518.解:(�)∵向量���⃗=(����,√3����),��⃗=(����,����),∴�(�)=���⃗⋅��⃗=sin��+√3��������=��−�����2�+√�

����2�=sin(2�−��)+��,∵�∈[−��,��],∴2�−��∈[−���,��],当2�−��=−��,即�=−��时,函数�(�)取最小值−��,(��)∵�(�)+�(−�)=��,∴sin(2�−��)+sin(−2�−��)+1=��,化简得:���2�=−��,∵

�为锐角,∴2�=���,即�=��,∵△���的面积为2√3=��������=√����,∴��=8,∵�+�=7,∴��=��+��−2������=(�+�)�−2��(1+����)=25,∴�=519.解:(Ⅰ)��=��×(��×�����

×��)���×��×��×��=3.75<6.635.∴没有99%的把握认为学生是否了解“中国近代发展史”与性别有关;(Ⅱ)(�)根据分层抽样方法得,男生��×16=12人,女生��×16=4人.∴选取的16人中,男生有12人,女生有4人;(��)由题意可知

,X的可能取值有0,1,2,3.�(�=0)=∁��∁���=����=����,�(�=1)=∁���⋅∁��∁���=�����=���,�(�=2)=∁��⋅∁���∁���=������=����,�(�=3)=∁���∁���=������=����.X的分布列为:X0123P1140

97033701128∴�(�)=0×����+1×�����+2×������+3×������=��.620.(Ⅰ)证明:过点D作��⊥��,垂足为O,连接OB,BD,在��△���中,由∠���=45°,��=2,得��=��=√2,在△���中

,由余弦定理得���=���+���−2��·��·���45°=2,即��=√2,同理,在△���中,���=���+���−2��·��·���60°=4,所以���+���=���,即��⊥��,又��∩��=�,所以��⊥平面ABE,又��⊂平面ADE

,所以平面���⊥平面ABE.(Ⅱ)由(Ⅰ)可验证,���+���=���,即��⊥��,所以OA,OB,OD两两垂直,以O为原点,建立空间直角坐标系�−���如图所示,由(Ⅰ)知,∠���为直线DE与底面ABE所成角,则∠���=30°,所以,则�(0,−√2,0),�(0,0

,√2),��√2,0,0�,��0,√6,0�,所以�������⃗=(√2,√2,0),�������⃗=(0,√6,−√2),由于��//��,��=��,所以�������⃗=�������⃗=(√2,√2,0),设平面DCE的法向量为���⃗=(�,�,�),则���⃗·������

�⃗=0��⃗·�������⃗=0,即�√6�−√2�=0√2�+√2�=0,令�=1,得��⃗=(−1,1,√3),显然平面ABE的一个法向量��������⃗=(0,0,√2),所以,即平面DCE与平面ABE所成锐二面角的余弦值为√���.21.(1)解:由题意可得��=2���+���

=1,解得��=4,��=��,∴椭圆方程为���+����=1;(2)证明:由已知可得,PA,PB的斜率存在,且均不为0,设直线PA的方程为�=�(�+2),PB直线方程为�=−��(�+2),联立��=�(�+2)��+3��=4,7得(1

+3��)��+12���+12��−4=0,解得:��=����������,��=�������,同理可得:��=���������,��=−������,当��=��时,解得�=±1,此时可得AB的方程为:�=−1;当�

≠±1时,直线AB的斜率存在,所以���=����������=���(����),则直线AB的方程为:�−�������=���(����)��−�����������,整理可得,�=���(����)(�+1),此时,直线AB过定点(−1,0),综上所述,直线AB经过定点(−1,0

).22.解:(1)当�=0时,�(�)=�����−����,定义域为(0,+∞),∴�′(�)=�(�����)��,令�′(�)=0,得�=�,�∈(0,�),�′(�)>0,�(�)单调递增,�∈(�,+∞),�′(�)<0,�(�)单调递减,∴当�=�时,�(�)的极大值为�

���,无极小值.(2)证明:当�=−1时,�(�)=���(���)�,�′(�)=����������(���)�,令ℎ(�)=�−1−2����,�∈(0,1),则ℎ′(�)=1−2(���+1)=−2���−1,令ℎ′(�)=0,得�=����,①当����≤�<1时,ℎ′(�)≤0

,则ℎ(�)=�−1−2����单调递减,∴ℎ(�)∈(0,2����−1],�′(�)<0恒成立,�(�)单调递减,�(�)无极值点.②当0<�<����时,ℎ′(�)>0,ℎ(�)单调递增,其中ℎ(��)=��−1−2×��×ln��=ln���>0,

又ℎ(���)=���−1−2��������=���−1<0,∴存在唯一��∈(���,��),使得ℎ(��)=0,8∴�′(��)=0,当0<�<��,�′(�)>0,�(�)单调递增;当��<�<����时,�′(�)<0,�(�)单调递减;∴

由①和②知,�(�)在(0,��)上单调递增,�(�)在(��,1)上单调递减,∴当�=��时,�(�)取极大值.∵ℎ(��)=��−1−2������=0,∴����=�������,∴�(��)=����(����)�=����(����)=��(�����)�

���,又��∈(���,��).∴−��<2��(��−1)<2���(���−1)<0,∴�(��)=��(�����)����<−2,故�(��)<−2.

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