【文档说明】湖北省荆门市龙泉中学、荆州中学、宜昌一中三校2022-2023学年高三下学期5月联考数学试题含答案.docx，共(10)页，850.790 KB，由小赞的店铺上传

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2023年高三下学期5月三校联考高三数学试卷命题学校：宜昌一中命题教师：高三数学备课组审题学校：荆州中学、龙泉中学考试时间：2023年5月18日下午15:00—17:00试卷满分：150分★祝考试顺利★一、选择题：本大题共8

小题，每一小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|2,}Axaxx=Z，{1,0,1,2}B=−，若AB中恰有两个元素，则实数a的取值范围为A．[1,0)−B．[1,0]−

C．[0,1)D．[0,1]2．已知复数2i+是关于x的方程20xaxb−−=（,abR）的一个解，则复数izab=+在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知平面向量a，b，c

满足()2,1=a，()1,2=b，且⊥ac．若32=bc，则||=cA．10B．25C．52D．354．由经验可知，某种质地的沙子堆放成圆锥的形状，若要使沙堆上的沙子不滑落，其母线与底面的最大夹角为π6．现有一堆该质地的沙子堆成的沙堆，该沙堆的底面半径为3m，高为1m．现

在为了节省该沙堆的占地，需要用一个无盖的圆柱形容器盛放这些沙子，沙子可以超出该容器，且超出部分呈圆锥形．已知该容器的底面半径为3m，则该容器的高至少为A．1mB．2m3C．3m3D．3m25．若(0,)2π，22πcos()2cos4cosco

s55π−+=，则等于A．2π5B．3π10C．π5D．π106．某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为13．若该同学上午不去打球，则下午一定去游泳；若上午去打球，则下午去游泳的概率为14．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为A．34B．23C．13

D．127．已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，过2F的直线与E交于点A，B．直线l为E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M．由椭圆的光学性质知，1F，A，M三点共线

．若||ABa=，1157BFMF=，则21BFAF=A．12B．27C．14D．178．设函数3()22fxxx=−，若正实数a使得存在三个两两不同的实数b，c，d满足(,())afa，(,())bfb，(,())c

fc，(,())dfd恰好为一个矩形的四个顶点，则a的取值范围为A．1(0,]2B．1[,1]2C．3(0,]3D．3[,1]3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知正

四棱锥PABCD−的所有棱长相等，M，N分别是棱PD，BC的中点，则A．MNPB∥B．MN∥面PABC．MNPA⊥D．MN⊥面PAD10．某学校一同学研究温差()xC与本校当天新增感冒人数y(人)的关系，该同学记录了5天的数据：x568912

y1720252835经过拟合，发现基本符合经验回归方程ˆˆ2.6yxa=+，则A．样本中心点为(8,25)B．ˆ4.2a=C．5x=时，残差为0.2−D．若去掉样本点(8,25)，则样本的相关系数r增大11．已知函数()sin(2)π(0)2fxx=+在(0,)2上有最大值，则

A．的取值范围为(π,4π)2B．()fx在区间(0,)上有零点C．()fx在区间(,)2上单调递减D．存在两个，使得()1f−=12．在平面直角坐标系xOy中，已知点()111,(0)Pxyy是圆()22:21Mxy−+=上的一个动点，直线OP与圆M交于另一点Q，

过点O作直线OP的一条垂线，与圆()22:24Nxy++=交于点()22,Exy，则下列说法正确的是A．21x−B．14yOPOE=C．若PQOE=，则3NOEMPQSS=D．PEQ的最大正切值为22121三、填空题：本大题共4小题，每小题5分

，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．已知31(2)nxx+的展开式的第7项为常数项，则正整数n的值为________．14．若函数1()exafxx−+=−在区间(0,)+上单调递增，则a的取值范围为___

_____．15．科拉茨是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即2n）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即31n+），不断重复这样的运算，经过有限步

后，一定可以得到1．这是一个很有趣的猜想，但目前还没有证明或否定．如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则满足条件的n的所有不同值的和为________．16．在

平面直角坐标系xOy中，已知抛物线2:4Cyx=的焦点为F，A，B是其准线上的两个动点，且FAFB⊥，线段FA，FB分别与抛物线C交于P，Q两点．记PQF△的面积为1S，ABF△的面积为2S．当1219SS=时，AB=________．四、解答题：本大题共6小

题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{}na的各项均不为0，其前n项和nS满足141nnnaaS+=−，*nN，且11a=．（1）求{}na的通项公式；（2）求数

列11{}nnnaSS++的前n项和nT．18．（12分）在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，已知6()Sbac=+．（1）若2sin3A=，求cosB；（2）若3b=，π3B=，求ABC△的面积S．19．

（12分）如图，在三棱柱111ABCABC−中，1BC⊥平面ABC，点D为棱AC的中点，DA=2DB=．（1）求证：1ABCC⊥；（2）若2BC=，求直线1BB与平面1BDC所成角的正弦的最大值．20．（12

分）某手机APP公司对喜欢使用该APP的用户年龄情况进行调查，随机抽取了100名喜欢使用该APP的用户，年龄均在[15,65]周岁内，按照年龄分组得到如下所示的样本频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计使用

该视频APP用户的平均年龄的第85%分位数（小数点后保留2位）；（2）若所有用户年龄X近似服从正态分布2(,)N，其中为样本平均数的估计值，10.5，试估计喜欢使用该APP且年龄大于61周岁的人数占所有喜欢使用该APP的比例；（3）用样本的频率估计概率，从所有喜欢使用该A

PP的用户中随机抽取8名用户，用()PXk=表示这8名用户中恰有k名用户的年龄在区间[25,35)岁的概率，求()PXk=取最大值时对应的k值．附：若随机变量X服从正态分布()2,N，则：()0.6827PX−+，(22)0.9545PX

−+，(33)0.9973PX−+．21．（12分）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，直线:1lx=，l与x轴交于点H，l与双曲线C的一条渐近线交于点T，且123HFHF+=0，122

TFTF=−．（1）求双曲线C的方程；（2）设过点H与x轴不重合的直线交双曲线C于A，B两点，直线2AF，2BF分别交l于点M，N，求证：||||HMHN=．22．（12分）设函数()esinxfxbx=+，

(π,)x−+．（1）若函数()fx在(0,(0))f处的切线的斜率为2．①求实数b的值；②求证：()fx存在唯一极小值点0x且()01fx−．（2）当0b时，若()fx在(π,)x−+上存在零点，求实数b

的取值范围．2023年高三下学期5月三校联考高三数学试卷参考答案一、选择题：题号12345678答案ADABDCCD二、选择题：题号9101112答案BCACDABCABD三、填空题：13．814．(,1]−15．19016

．649四、解答题：17．【解析】（1）因为141nnnaaS+=−，所以12141nnnaaS+++=−．两式相减，得()1214nnnnaaaa+++−=．因为10na+，所以24nnaa+−=．2分所以21na−是以1为首项，4为公差的等差数列，

2na是以3为首项，4为公差的等差数列．所以211(1)443nann−=+−=−，23(1)441nann=+−=−．4分故21nan=−．5分（2）因为1111111nnnnnnnnnaSSSSS

SSS+++++−==−，6分所以122311111111111nnnnTSSSSSSSS++=−+−++−=−．8分因为2(121)2nnnSn+−==，所以211(1)nTn=−+．10分18．【解析】（1）因为6()Sbac=+，所以16si

n()2bcAbac=+，1分因为2sin3A=，代入上式可解得233cac=+，即ac=，3分所以2sinsin3CA==，5coscos3CA==，4分所以1coscos()9BAC=−+=−．6分（2）因为6()Sbac=+，所以16sin()2bcAbac

=+，即3sin()bcAbac=+，因为3b=，π3B=，所以32acac=+，8分由余弦定理知2222cosbacacB=+−，所以222239()3()34acacacacacac=+−=+−=−，解得6ac=，10分所以133sin22SacB==.12分19．【解析】（1）因

为点D为棱AC的中点，DADB=，所以BCAB⊥．1分因为1BC⊥平面ABC，AB平面ABC，所以1BCAB⊥．又因为1BCBCC=，1,BCBC平面11BCCB，所以AB⊥平面11BCCB．3分因为1CC平面11BC

CB，所以1ABCC⊥．4分（2）设1(0)CBtt=．以CA为x轴，1CB为z轴，过点C与CA垂直的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(0,0,0),(4,0,0),(2,0,0),(1,3,0),(0,0,)CADB

Bt．5分所以1(1,3,),(1,3,0),(1,3,0)BBtBCBD=−−=−−=−，6分设平面1BDC的法向量为(,,)nxyz=，所以130,2230.nBDxynBCxytz=−==−−+=

令3xt=，则yt=，43z=．所以(3,,43)ntt=．8分所以1122122233cos,48||444816BBtBBBBtttt===++++nnn10分333342238316−==++„（

当且仅当2248tt=，即423t=时，等号成立）．所以直线1BB与平面1BDC所成角的正弦的最大值为334−．12分20．【解析】（1）第85%分位数=0.850.65451051.670.3−+=（岁）．3分（2）因为(200

.01300.02400.035+500.03+600.005)1040x=++=，5分所以40=，所以10.9545(61)(2)0.022752PXPX−=+==，所以使用该APP且年龄大于61周岁的人数占左右喜欢使用该APP的2.2

75%．7分（3）根据题意~(8,0.2)XB，要使()PXk=取得最大值，则()(1),()(1),PXkPXkPXkPXk==+==−≥≥9分所以811788811988C0.20.8C0.20.8,C0.20.8C0

.20.8,kkkkkkkkkkkk−++−−−−−≥≥解得4955k≤≤，因为kN，所以1k=．12分21．【解析】（1）设双曲线C的焦距为2c，其中222cab=+，则12(,0),(,0),(1,0)FcFcH−．所以1(1,0)HFc

=−−，2(1,0)HFc=−．1分由123HFHF+=0，有13(1)0cc−−+−=，得2c=．所以1(2,0)F−，2(2,0)F．2分因为双曲线C的渐近线方程为byxa=，有(1,)bTa，所以1(3,)bTFa=−−

，2(1,)bTFa=−．由122TFTF=−，有2232ba−+=−，即22432aa−−+=−，得22a=．4分所以2222bca=−=．所以C的方程为22122xy−=．5分（2）设AB的方程为(1)ykx=−，11(,)Axy，22(,)Bxy．联立方程组22(1),1.22ykxxy=

−−=得2222(1)220kxkxk−+−−=．所以210k−，42244(1)(2)0kkk=−−−−，212221kxxk+=−，212221kxxk+=−．7分所以2212121212121212(1)(1

)23()42222(2)(2)AFBFyykxkxxxxxkkkxxxxxx−−−+++=+=+=−−−−−−22221222[234]0(2)(2)11kkkxxkk+=−+=−−−−．10分所以22BFAFkk=−，即22MFHNFH=．因为2MNHF⊥，所以HMHN=．12分

22．【解析】（1）①因为()esinxfxbx=+，所以()ecosxfxbx=+．所以切线的斜率(0)1kfb==+．又因为切线的斜率为2，所以12b+=．解得1b=．2分②由①得1b=，所以()esin,(π,)xfxxx=+−+，()ecosxf

xx=+．因为()esin0xfxx=−恒成立，所以()fx单调递增．3分又π2eπ()02f−−=，π(π)e10f−−=−，所以存在0(π,)2πx−−，使()0fx=00ecos0xx+=．x()0π,x−0x()0,x+()fx-

+()fx极小值所以()fx存在唯一的极小值点0x，()000000esinsincos2sin()π4xfxxxxx=+=−=−．5分因为0(π,)2πx−−，所以05π3π(,)4π44x−−−．所以02sin()(1,1)π4x−−．所

以()01fx−．6分（2）()esin,(π,)xfxbxx=+−+．令()0fx=，即esin0xbx+=，所以1sinexxb−=．令sin(),(π,)exxgxx=−+，则2sin(

)cossin4)π(eexxxxxgx−−==−．令()0gx=，得π,1,4xkkk=+−Z…．7分所以当5π(2π,2π)4π4xkk++时，sin()0π4x−，()gx单调递减；当5π9π

(2π,2π)44xkk++时，sin()0π4x−，()gx单调递增．所以当5π2π,1,4xkkk=+−Z…时，()gx取得极小值．即当3π5π,,44x=−时，()gx取得极小值．9分又因为3π5π2sin()sin

442−===−，3π5π()44−，所以3π5π()()44gg−．又因为在3π(π,)4−−上()gx单调递减，所以3π43π2()()e42gxg−=−…．10分当,,π2π04xkkk=+Z…时，()gx取得极大值，即当9,ππ,44x=时，()gx

取得极大值．又因为9π2sinsin442π===，9ππ44ee，所以9π()()44πgg．所以4π2()()e4π2gxg−=„．11分当(π,)−+时，π4π3422e()e22gx−−剟．所以π3π44212ee22b−−−−剟．因为0b，所以3π42eb−…时，()fx在(

π,)−+上有零点．所以实数b的取值范围为3π4[2e,)−+．12分获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com