【文档说明】专题02解三角形-练案【教师版】（理科）第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）.docx，共(15)页，706.024 KB，由管理员店铺上传

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专题02解三角形（练）（理）1．【2021·全国高考真题（理）】魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为

“表目距的差”则海岛的高（）A．表高B．表高C．表距D．表距【答案】A【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．【详解】如图所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故选：A.【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．EHGACDEFGEG

GCEHGCEHAB=+表高表距表目距的差−表高表距表目距的差+表高表距表目距的差表高表距-表目距的差,DEEHFGCGABAHABAC==DEFG=DEEHCGCGEHCGEHABAHACACAHCH−−==

==−CHCEEHCGEHEG=−=−+CGEHEGEGDEABDEDECGEHCGEH−+==+−−+表高表距表高表目距的差2．【2021·全国高考真题（理）】2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m）

，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差

约为（）（）A．346B．373C．446D．473【答案】B【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案．【详解】过作，过作，故，由题，易知为等腰直角三角形，所以．所以．因为，所以,,ABC45

ACB=60ABC=15BBCC45ABCAACC−31.732''ABC'CHBB⊥B'BDAA⊥()''''''100100AACCAABBBHAABBAD−=−−=−+=+ADB△ADDB='

'100''100AACCDBAB−=+=+15BCH=100''tan15CHCB==在中，由正弦定理得：，而，所以，所以．故选：B．【点睛】本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转

化为．3.【2020年高考全国III卷理数】在△ABC中，cosC=23，AC=4，BC=3，则cosB=A．19B．13C．12D．23【答案】A【解析】在ABC中，2cos3C=，4AC=，3BC=，根据

余弦定理：2222cosABACBCACBCC=+−，2224322433AB=+−，可得29AB=，即3AB=，由22299161cos22339ABBCACBABBC+−+−===，故1cos9B=.故

选：A．4．【2021·全国高考真题（理）】记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，60B=，223acac+=，则b=________．'''ABC''''100100sin45sin75tan15cos

15sin15ABCB===62sin15sin(4530)sin45cos30cos45sin304−=−=−=210042''100(31)27362AB==+−''''100373AACCAB−=+

''AACC−''100AB+【答案】22【分析】由三角形面积公式可得4ac=，再结合余弦定理即可得解.【详解】由题意，13sin324ABCSacBac===，所以224,12acac=+=，所以22212cos122482

bacacB=+−=−=，解得22b=（负值舍去）.故答案为：22.5．【2021·浙江高考真题】我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)

.若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为1S，小正方形的面积为2S，则12SS=___________.【答案】25【分析】分别求得大正方形的面积和小正方形的面积，然后计算其比值即可.【详解】由题意可得，大正方形的边长为：2

3345a=+=，则其面积为：21525S==，小正方形的面积：212543412S=−=，从而1225251SS==.故答案为：25.6．【2021·浙江高考真题】在ABC中，60,2BAB==，M是BC的中点，23AM=，则AC=___

________，cosMAC=___________.【答案】21323913【分析】由题意结合余弦定理可得=8BC，进而可得AC，再由余弦定理可得cosMAC.【详解】由题意作出图形，如图，在ABM中，由余弦定理得2222cosAMABBMBMBAB=+−，即211

24222BMBM=+−，解得=4BM（负值舍去），所以=2=2=8BCBMCM，在ABC中，由余弦定理得22212cos464228522ACABBCABBCB=+−=+−=，所以213AC=；在AMC中，由余弦定理得222521216239cos213223213ACAMMC

MACAMAC+−+−===.故答案为：213；23913.7．【2021·全国高考真题】记ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2bac=，点D在边AC上，sinsinBDABCaC=.（1）证明：

BDb=；（2）若2ADDC=，求cosABC.【答案】（1）证明见解析；（2）7cos12ABC=.【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有acBDb=，结合已知即可证结论.（2）由题设2,,33bbBDbADDC

===，应用余弦定理求cosADB、cosCDB，又ADBCDB=−，可得42221123bbaa+=，结合已知及余弦定理即可求cosABC.【详解】（1）由题设，sinsinaCBDABC=，由正弦定理知：sinsincbCABC=，即sinsinCcABCb=，∴

acBDb=，又2bac=，∴BDb=，得证.（2）由题意知：2,,33bbBDbADDC===，∴22222241399cos24233bbbccADBbbb+−−==，同理2222221099cos2233bbbaaCDBbbb+−−==，∵ADBCDB=−，∴222222

1310994233bbcabb−−=，整理得2221123bac+=，又2bac=，∴42221123bbaa+=，整理得422461130aabb−+=，解得2213ab=或2232ab=，由余弦定理知：222224cos

232acbaABCacb+−==−，当2213ab=时，7cos16ABC=不合题意；当2232ab=时，7cos12ABC=；综上，7cos12ABC=.【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及ADBCDB=−得到,,a

bc的数量关系，结合已知条件及余弦定理求cosABC.8．【2021·全国高考真题】在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，1ba=+，2ca=+.．（1）若2sin3sinCA=，求ABC的面积；（2）是否存在正整数a，使得ABC为

钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1574；（2）存在，且2a=.【分析】（1）由正弦定理可得出23ca=，结合已知条件求出a的值，进一步可求得b、c的值，利用余弦定理以及同角三

角函数的基本关系求出sinB，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角C为钝角，由cos0C结合三角形三边关系可求得整数a的值.【详解】（1）因为2sin3sinCA=，则()2223caa=+=，则4a=，故5b=，6c=，

2221cos28abcCab+-==，所以，C为锐角，则237sin1cos8CC=−=，因此，1137157sin452284ABCSabC===△；（2）显然cba，若ABC为钝角三角形，则C为钝角，由余弦定理可得()()()()22222221223

cos022121aaaabcaaCabaaaa++−++−−−===++，解得13a−，则0<<3a，由三角形三边关系可得12aaa+++，可得1a，aZ，故2a=.9．【2021·北京高

考真题】已知在ABC中，2coscbB=，23C=．（1）求B的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．①2cb=；②周长为423+；③面积为334ABCS=.【答案】（1）6；（2）答案不唯一，具体见

解析．【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.【详解

】（1）2coscbB=，则由正弦定理可得sin2sincosCBB=，23sin2sin32B==，23C=，0,3B，220,3B，23B=，解得6B=；（2）若选择①：由正

弦定理结合（1）可得3sin231sin2cCbB===，与2cb=矛盾，故这样的ABC不存在；若选择②：由（1）可得6A=，设ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2sin6abRR===，22sin33c

RR==，则周长23423abcRR++=+=+，解得2R=，则2,23ac==，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：()222312231cos76+−=；若选择③：由（1）可得6A=，即ab=，则211333sin2224ABCSabCa===，解得3a=

，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：22233212cos33223422aabb+−=++=.1.在△ABC中，B＝120°，AB＝2，A的角平分线AD＝3，则AC＝________.【解析

】如图，在△ABD中，由正弦定理，得ADsinB＝ABsin∠ADB，∴sin∠ADB＝22.∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝180°－45°－120°＝15°.∴∠BAC＝30°，∠C＝30°，∴BC＝AB＝2.在△ABC中，由正弦定理，得ACsinB＝BCsin∠BA

C，∴AC＝6.2.在△ABC中，∠A＝3π4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．(2)设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝

(32)2＋62－2×32×6×cos3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝310.又由正弦定理得sinB＝bsin∠BACa＝3310＝1010，由题设知0<B<π4，所以cosB＝1－sin2B＝1

－110＝31010.在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得AD＝AB·sinBsin（π－2B）＝6sinB2sinBcosB＝3cosB＝103.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别

是a，b，c.已知b－c＝14a，2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．【解析】由2sinB＝3sinC得2b＝3c，即b＝32c，代入b－c＝14a，整理得a＝2c，故cosA＝b2＋c2－a22bc＝94c2＋c2－4c22·32c·c＝－14.【答案】－14,

4.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【解析】由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即si

n(π－A)＝sin2A，sinA＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sinA>0，∴sinA＝1，即A＝π2，故选B.5.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是()A．等腰直角三角形B．直

角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形方法一：由余弦定理可得a＝2b·a2＋b2－c22ab，因此a2＝a2＋b2－c2，得b2＝c2，于是b＝c，从而△ABC为等腰三角形．方法二：由正弦定理可得sinA＝2sinBcosC，因此sin(B＋C)＝

2sinBcosC，即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，于是sin(B－C)＝0，因此B－C＝0，即B＝C，故△ABC为等腰三角形．6.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△A

BC面积的最大值为________．【解析】(1)∵a＝2，(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，∴(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC.由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c，

∴a2－b2＝c2－bc.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，∴A＝60°且b2＋c2－4＝bc，∴b2＋c2－4＝bc≥2bc－4，当且仅当b＝c时等号成立．∴bc≤4，∴S△ABC

＝12bcsinA≤3，∴△ABC面积的最大值为3.7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝3，cos2A－cos2B＝3sinAcosA－3sinBcosB.①求角C的大小；②若sinA＝45，求△ABC的面积．(2)①由题意得1＋cos2A2－1＋cos2

B2＝32sin2A－32sin2B，即32sin2A－12cos2A＝32sin2B－12cos2B，sin2A－π6＝sin2B－π6.由a≠b，得A≠B，又A＋B∈(0，π)，得2A－π6＋2B－π6＝π，即A＋B＝2π3，所以C＝π3.②

由c＝3，sinA＝45，asinA＝csinC，得a＝85.由a<c，得A<C，从而cosA＝35，故sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝4＋3310，所以△ABC的面积为S＝12acsinB＝

83＋1825.1.（2021·合肥调研）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且csin2B＝3bsinC.（1）若cos2A＋3cosA－2sinB＝0，求角A的大小；（2）若a＝23，b＝2，求△ABC的面积

.解（1）∵csin2B＝3bsinC，即2csinBcosB＝3bsinC.由正弦定理，得2bccosB＝3bc，∴cosB＝32.又B∈（0，π），所以B＝π6.由cos2A＋3cosA－2sinB

＝0，得2cos2A＋3cosA－2＝0，∴cosA＝12或cosA＝－2（舍）.由A∈（0，π），知A＝π3.（2）由（1）知，B＝π6，又a＝23，b＝2，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，即4＝12＋c2－2×23×c×32，

解得c＝2或4.当c＝2时，S△ABC＝12acsinB＝12×23×2×12＝3；当c＝4时，S△ABC＝12acsinB＝12×23×4×12＝23.所以△ABC的面积为3或23.2（2021·海南高三一模）在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，且的面积为.（1）求；（

2）求的值.【答案】（1）；（2）.ABCABCabc2a=π3B=ABC332csinsinAC3c=914【分析】（1）由，得，又，可知.（2）结合（1）及余弦定理得，求出，再利用正弦定理可求得.【解析】（1），，又，得，又，所以.（2）由余弦定理得，即，解得.由正弦定理可得

，故.3.（2021·衡水质检）如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD＝60°，BD＝7，cos∠ABD＝22.（1）求AB的长；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，BC＝1，求四边形ABCD的面积.解（1）在△ABD中，由cos∠ABD＝22，得∠ABD＝45

°.又∠BAD＝60°，所以∠ADB＝75°，所以sin∠ADB＝sin75°＝sin（45°＋30°）＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝2＋64，由正弦定理得ABsin∠ADB＝BDsin∠BAD，得AB＝BDsin∠ADBsin∠B

AD＝42＋3146.（2）由∠BAD＋∠BCD＝180°，可知∠BCD＝120°，设CD＝x，所以在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD，则7＝1＋x2－2x·cos120°，化简x2＋x－6＝0，133sin22ABCSacB=

=6ac=2a=3c=222222cosbacacBacac=+−=+−bsinsinACπ3B=Q3sin2B=133sin22ABCSacB==6ac=2a=3c=222222cosbacacBacac=+−=+−249237b=+−=7b=sins

insin327ACBacb===3339sinsin2328142727ACac===解得x＝2或x＝－3（舍）.∴S△BCD＝12BC·CDsin120°＝12×1×2×32＝32，S△ABD＝12AB·BDsin∠ABD＝12·42＋3146×7×22＝73＋2112.所以S＝S△AB

D＋S△BCD＝73＋2112＋32＝133＋2112.