【文档说明】上海市杨浦高级中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学试卷 含解析【精准解析】.doc，共(16)页，594.500 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年上海市杨浦高级中学高二（下）期末数学试卷一、填空题1．函数f（x）＝lg（1﹣3x）的定义域为．2．函数的值域是．3．若函数f（x）＝loga（x+b）的图象过点（1，2），则1f−（x）﹣1的图象经过点．4．圆锥底面半径为1cm，母线长为2cm，则其侧面展开图扇形的圆心角

θ＝．5．若“x＜2”是“x＜a”的充分非必要条件，则实数a的取值范围是．6．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为．7．方程的解为x＝．8．不等式()()1133312aa−+的解集为．9．设f（x）是定义在（0，

+∞）上的增函数，且f（2）＝1，对于任意正数x、y满足等式f（xy）＝f（x）+f（y），不等式f（x）+f（x﹣3）≤2的解集为．10．已知函数f（x）＝lg（+ax）的定义域为R，则实数a的取值范围是．11．已知a＞b＞0，那么当代数式取最小值时，

点P（a，b）的坐标为．12．关于函数，给出以下四个命题：①当x＞0时，y＝f（x）单调递减且没有最值：②方程f（x）＝kx+b（k≠0）一定有实数解：③如果方程f（x）＝m（m为常数）有解，则解的个数一定是偶数；④y＝f（x）是偶函数且有最小

值．其中假命题的序号是．二.选择题13．已知直线a、b是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A．若a⊥α，a⊥β，则α∥βB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊥b，b⊥α，a∥β，则α∥βD．若α∥β，a与α所成角和b与

β所成角相等，则a∥b14．设[x]表示不超过x的最大整数，如[4.1]＝4，则不等式[x]2﹣5[x]+6≤0的解集是（）A．[2，3]B．[2，4]C．[2，4）D．[3，4）15．设集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，Q1＝{x|x2

+x+b＞0}，Q2＝{x|x2+2x+b＞0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A．对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B．对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C

．存在a，P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D．存在a，P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P是棱CC1的中点，设直线AB为a，直线A1D1为b，对于下列两个命题：①过点P有

且只有一条直线l与a、b都相交；②过点P有且只有一条直线l与a、b都成45°角，以下判断正确的是（）A．①为真命题，②为真命题B．①为真命题，②为假命题C．①为假命题，②为真命题D．①为假命题，②为假命题三.解

答题17．已知全集U＝R，A＝{m|关于x的方程有正负相异的实数根x2﹣2x+4﹣|m﹣1|＝0}，非空集合B＝{x|（x﹣2a）（x﹣1）＜0}．（1）求集合B；（2）求集合∁UA；（3）若x∈∁UA是x∈B的必要非充分条

件，求实数a的取值范围；18．某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形（如图）．现把半径为10cm的圆形蛋皮分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积（精确到0.01）．19．如图所

示，在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝2，AC⊥BC，D、E分别为线段AB、BC上的点，且，CE＝2EB＝2．（1）证明：DE⊥平面PCD；（2）已知，求锐二面角A﹣PD﹣C的余弦值．20．近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了

节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能

和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）＝（x≥0，k为常数）．记F为该村安装这种太阳能供电

设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．（1）试解释C（0）的实际意义，并建立F关于x的函数关系式；（2）当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？21．已知．（1）s＞0，t＞0，s≠t，比较f2（s）+f2（t）+1与f（s）+f（t）+f（s）f（t）的大小；（2）设k和

m均为实数，满足以下两个条件：①当x∈（﹣∞，m]时，f（x）的最大值为1，此时m的取值集合记为A；②对任意m∈A且x∈（﹣∞，m]，不等式f（x）≤m2﹣（k﹣2）m+3k﹣10恒成立；求k的取值范围：（3）设t为实数，若关于x的方程f[f（x）]﹣lo

g2（t﹣x）＝0恰有两个不相等的实数根x1、x2且x1＜x2，试将表示为关于t的函数，并写出此函数的定义域．参考答案一.填空题1．函数f（x）＝lg（1﹣3x）的定义域为（﹣∞，0）．解：由题意得：1﹣3x＞0，解得：x＜0，故函数f（x）的定义域是（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．2．

函数的值域是（0，]．解：由，得，∵x∈R∴，解之得0＜y；故答案为：（0，]．3．若函数f（x）＝loga（x+b）的图象过点（1，2），则1f−（x）﹣1的图象经过点（2，0）．解：因为函数f（x）的图象过点（1，2），所以f（1）＝2，所以1f−（2）＝1，所以1f−（2）﹣1＝0，即函数

1f−（x）﹣1经过点（2，0）．故答案为：（2，0）．4．圆锥底面半径为1cm，母线长为2cm，则其侧面展开图扇形的圆心角θ＝π．解：圆锥底面半径为1cm，母线长为2cm，则它的侧面展开图扇形的圆心角所对的弧长为2π×1＝2

π（cm）；所以扇形的圆心角为θ＝＝π．故答案为：π．5．若“x＜2”是“x＜a”的充分非必要条件，则实数a的取值范围是（2，+∞）．解：∵“x＜2”是“x＜a”的充分非必要条件，∴{x|x＜2}⫋{x|x＜a}∴a＞2；故实数a的取值范围是（2，+

∞）．故答案为：（2，+∞）．6．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为．解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分，长方体的棱长为：2，1，2，四棱锥的体积为：×1×2×2＝．故答案为：．7．方程的解为x＝2．解：∵，∴，解得x＝2．故答案为：2．8．不等式()()11333

12aa−+的解集为（﹣4，+∞）．解：∵幂函数y＝在（﹣∞，+∞）上单调递增，()()1133312aa−+，∴a﹣3＜1+2a，∴a＞﹣4，∴不等式()()1133312aa−+的解集为（﹣4，+∞）．故答案为

：（﹣4，+∞）．9．设f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（2）＝1，对于任意正数x、y满足等式f（xy）＝f（x）+f（y），不等式f（x）+f（x﹣3）≤2的解集为{x|3＜x≤4}．解：由于f（2）＝1，对于一切x，y∈R+，都有f（xy）＝f（x）+f（y），令x＝y＝2，则f（

4）＝2f（2）＝2，不等式f（x）+f（x﹣3）≤2，∴f（x）+f（x﹣3）≤f（4），∴f[x（x﹣3）]≤f（4），∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，∴，∴，∴3＜x≤4，∴不等式的解集为{x|3＜x≤4}．故答案为：{x|3＜x≤4}

．10．已知函数f（x）＝lg（+ax）的定义域为R，则实数a的取值范围是[﹣1，1]．解：函数f（x）＝lg（+ax）的定义域为R，∴+ax＞0恒成立，∴＞﹣ax恒成立，设y＝，x∈R，y2﹣x2＝1，y≥1；它表示焦点在y轴上的双曲线的一只，且渐近线方程为y＝±x；令y＝﹣ax，x∈R；它

表示过原点的直线；由题意知，直线y＝﹣ax的图象应在y＝的下方，画出图形如图所示；∴0≤﹣a≤1或﹣1≤﹣a≤0，解得﹣1≤a≤1；∴实数a的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．11．已知a＞b＞0，那么当代数式取最小值时，点P（a，b）的坐标为（2，1）．解：由a＞b＞0，得a﹣b＞

0，所以b（a﹣b）≤（）2＝，当且仅当b＝a﹣b，即a＝2b时等号成立．所以a2+≥a2+≥16，其中第一个不等式的等号当且仅当a＝2b时成立，第二个不等式的等号当且仅当a2＝时成立．所以当a2+取最小值时，有，即．所以点P（a

，b）的坐标为（2，1）．故答案为：（2，1）．12．关于函数，给出以下四个命题：①当x＞0时，y＝f（x）单调递减且没有最值：②方程f（x）＝kx+b（k≠0）一定有实数解：③如果方程f（x）＝m（m为常数）有解，则解的个数一定是偶数；④y＝f（x）是

偶函数且有最小值．其中假命题的序号是①③④．解：①当x＞1时，y＝f（x）＝＝1+在区间（1，+∞）上是单调递减的函数，0＜x＜1时，y＝f（x）＝﹣＝﹣1﹣在区间（0，1）上是单调递增的函数且无最值；∴命题①错误；②函数f（x）＝，是偶函数，当x

＞0时，y＝f（x）在区间（0，1）上是单调递增的函数，（1，+∞）上是单调递减的函数；当k＞0时，函数y＝f（x）与y＝kx在第一象限内一定有交点；由对称性知，当x＜0且k＞0时，函数y＝f（x）与y＝kx在第二象限内一定有交点；∴方程f（x）＝kx+b（k≠0）一

定有解；∴命题②正确；③∵函数，是偶函数，且f（x）＝0，当k＝0时，函数y＝f（x）与y＝k的图象只有一个交点，∴方程f（x）＝k的解的个数是奇数；∴命题③错误；④∵函数，是偶函数，x≠±1，当x＞0时，y＝f（x）在区间（0，1）上是单调递增的函数，（1，+∞）上是单调递减的函数；由

对称性知，函数f（x）无最小值，命题④错误．故答案为：①③④．二.选择题13．已知直线a、b是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A．若a⊥α，a⊥β，则α∥βB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊥b，b⊥α，a∥β，则α∥βD．若α∥β，a与α所成角和

b与β所成角相等，则a∥b解：若a⊥α，a⊥β，由直线与平面垂直的性质可得α∥β，故A正确；若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b或a与b相交或a与b异面，故B错误；若a⊥b，b⊥α，则a∥α或a⊂α，又a∥β，则α∥

β或α与β相交，故C错误；若α∥β，a与α所成的角和b与β所成的角相等，可得a与α所成的角和b与α所成的角相等，则a与b的位置关系可能平行、可能相交、也可能异面，故D错误．故选：A．14．设[x]表示

不超过x的最大整数，如[4.1]＝4，则不等式[x]2﹣5[x]+6≤0的解集是（）A．[2，3]B．[2，4]C．[2，4）D．[3，4）解：由[x]2﹣5[x]+6≤0，得（[x]﹣2）（[x]﹣3）≤0．解得2≤[x]

≤3．因为[x]表示不超过x的最大整数，所以2≤x＜4．所以原不等式的解集为[2，4）．故选：C．15．设集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，Q1＝{x|x2+x+b＞0}，Q2＝{x|

x2+2x+b＞0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A．对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B．对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C．存在a，P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D．存在a，P

1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集解：对于集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，可得当m∈P1，即m2+am+1＞0，可得m2+am+2＞0，即有m∈P2，可得

对任意a，P1是P2的子集；当b＝5时，Q1＝{x|x2+x+5＞0}＝R，Q2＝{x|x2+2x+5＞0}＝R，可得Q1是Q2的子集；当b＝1时，Q1＝{x|x2+x+1＞0}＝R，Q2＝{x|x2+2x+1＞0}＝{x|x≠﹣1且x∈R}，可得Q1不是Q2的子集．综上可得，

对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集．故选：B．16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P是棱CC1的中点，设直线AB为a，直线A1D1为b，对于下列两个命题：①过点P有且只有一条直线l与a、b都

相交；②过点P有且只有一条直线l与a、b都成45°角，以下判断正确的是（）A．①为真命题，②为真命题B．①为真命题，②为假命题C．①为假命题，②为真命题D．①为假命题，②为假命题解：直线AB与A1D1是两条互相垂

直的异面直线，点P不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取BB1的中点Q，则PQ∥A1D1，且PQ＝A1D1，设A1Q与AB交于E，则点A1、D1、Q、E、P共面，直线EP必与A1D1相交于某点F，则过P点有且只有

一条直线EF与a、b都相交，故①为真命题；分别平移a，b，使a与b均经过P，则有两条互相垂直的直线与a，b都成45°角，故②为假命题．∴①为真命题，②为假命题．故选：B．三.解答题17．已知全集U＝R，A＝{m|关于x的方程有正负相异的

实数根x2﹣2x+4﹣|m﹣1|＝0}，非空集合B＝{x|（x﹣2a）（x﹣1）＜0}．（1）求集合B；（2）求集合∁UA；（3）若x∈∁UA是x∈B的必要非充分条件，求实数a的取值范围；解：（1）由B≠∅，可得a≠，分a＞

和a＜两种情况，当a＜，即2a＜1时，集合B＝{x|2a＜x＜1}．当a＞，即2a＞1时，集合B＝{x|1＜x＜2a}．综上，当a＜时，集合B＝{x|2a＜x＜1}．当a＞时，集合B＝{x|1＜x＜2a}．（2）

因关于x的方程有正负相异的实数根x2﹣2x+4﹣|m﹣1|＝0，∴x1•x2＝4﹣|m﹣1|＜0，且△＝4﹣4（4﹣|m﹣1|）＞0，∴|m﹣1|＞4，∴m＜﹣3或m＞5，∴A＝{m|m＜﹣3或m＞5}；故集合∁UA＝{m|﹣3≤m

≤5}．（3）若x∈∁UA是x∈B的必要非充分条件，则B⫋∁UA，由（1）、（2）可得：当a＜时，集合B＝{x|2a＜x＜1}，则2a≥﹣3，∴≤a＜；当a＞时，集合B＝{x|1＜x＜2a}，则2a≤5，

∴＜a≤．综上，实数a的取值范围为[，）∪（，]．18．某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形（如图）．现把半径为10cm的圆形蛋皮分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积（精确到0.01）．解：设圆锥的底面半径为r，高为h

．因为，所以r＝2．则．则圆锥的表面积S＝．体积V＝．故该蛋筒冰淇淋的表面积约为87.96cm2，体积约为57.80cm3．19．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝2，AC⊥BC，D、E分别为线段AB、BC上的点，且，CE＝

2EB＝2．（1）证明：DE⊥平面PCD；（2）已知，求锐二面角A﹣PD﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：因为PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，所以PC⊥DE，因为，CE＝2，所以DE2+CD2＝CE2，所以DE⊥CD，又因为PC

∩CD＝C，所以DE⊥平面PCD，（2）解：因为PC⊥平面ABC，所以PC⊥CA、PC⊥AB，又因为，所以CA、CB、CP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，由己知得，B（0，3，0），P（0，0，2），D（1，1，0），E（0，2，0

），，，设平面PDA的法向量为，令x＝4，，平面PCD的一个法向量为，．所以锐二面角A﹣PD﹣C的余弦值为．20．近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太

阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是

C（x）＝（x≥0，k为常数）．记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．（1）试解释C（0）的实际意义，并建立F关于x的函数关系式；（2）当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？解：（1）C（

0）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，即未安装太阳能供电设备时全村每年消耗的电费…由C（0）＝＝24，得k＝2400…所以F＝15×+0.5x＝+0.5x，x≥0…（2）因为+0.5（x+5）﹣2.5≥2﹣2.5＝57.5，…当且仅当＝0.5（x+5），即x＝55时取

等号…所以当x为55平方米时，F取得最小值为57.5万元…21．已知．（1）s＞0，t＞0，s≠t，比较f2（s）+f2（t）+1与f（s）+f（t）+f（s）f（t）的大小；（2）设k和m均为实数，满足以下两个条件：①当x∈（

﹣∞，m]时，f（x）的最大值为1，此时m的取值集合记为A；②对任意m∈A且x∈（﹣∞，m]，不等式f（x）≤m2﹣（k﹣2）m+3k﹣10恒成立；求k的取值范围：（3）设t为实数，若关于x的方程f[f（x）]﹣log2（t﹣x）＝0恰有两个不相等

的实数根x1、x2且x1＜x2，试将表示为关于t的函数，并写出此函数的定义域．解：（1）设f（s）＝x，f（t）＝y，x≠y，由题意可得，x2+y2+1﹣（x+y+xy）＝+＝，∴f2（s）+f2（t）+

1＞f（s）+f（t）+f（s）f（t）．（2）①令log2x＝1，得x＝2，令2x＝1得x＝1，∴0≤m≤2，即m＝{m|0≤m≤2}．②∵不等式f（x）≤m2﹣（k﹣2）m+3k﹣10恒成立，∴m2﹣（k﹣2）m+

3k﹣10≥f（x）max＝1，∴m2﹣（k﹣2）m+3k﹣11≥0对任意m∈[0，2]都成立，∵1≤3﹣m≤3，∴，∵，∴，当且仅当m﹣3＝，即m＝1时等号成立，∴k≥4，∴k得取值范围为[4，+∞）．（3）∵，∴，①当x≤1时，方程f[f（x）]﹣log2（t﹣x）＝0变为x

＝log2（t﹣x），即2x＝t﹣x，1＜t≤3，②当x＞1时，方程f[f（x）]﹣log2（t﹣x）＝0变为log2（log2x）＝log2（t﹣x），即log2x＝t﹣x，t＞1，∴x1，x2分别是方程2x＝t﹣x，log2x＝t﹣x的两个根且x1≤1＜x2＜t，∴，得，将其代入t＝，可得

x1+x2＝t，∵2﹣|x1﹣1|+|x2﹣1|＝（t﹣x1）+（t﹣x2）+2﹣（1﹣x1）+（x2﹣1）＝2t，∴函数得定义域为（1，3]．