【文档说明】湖北省武汉市2020届高三下学期3月质量检测数学（理）试题【精准解析】【武汉专题】.docx，共(24)页，792.917 KB，由小赞的店铺上传

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武汉市2020届高中毕业生学习质量检测理科数学武汉市教育科学研究院命制本试卷共5页，23题（含选考题），全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．选择题的作答：每小题选出答案后，请用黑色签字笔填写在答题卡上

对应的表格中．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．4．选考题的作答：先把所选题目的题号用黑色签字笔填写在答题卡上指定的位置，答案写在答题卡上对应的答题区域内．5．请学生自行打印答题卡．不能打印的，可在A

4白纸上答题，选择题请标明题号，写清答案；非选择题请标明题号，自行画定答题区域，并在相应区域内答题，需要制图的请自行制图．6．答题完毕，请将答案用手机拍照并上传给学校，原则上一张A4拍成一张照片，要注意照片的清晰，不要多拍、漏拍．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，则实数a＝（）A.12B.12−C.2D.﹣2【答案】D【解析】【分析】化简z＝（1+2i）（1+ai）=()()122aai−++，再根据z∈R求解

.【详解】因为z＝（1+2i）（1+ai）=()()122aai−++，又因为z∈R，所以20a+=，解得a＝-2.故选：D【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.已知集合M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|x（x+3）≤0}，则M∩N＝（）A

.[﹣3，2）B.（﹣3，2）C.（﹣1，0]D.（﹣1，0）【答案】C【解析】【分析】先化简N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根据M＝{x|﹣1＜x＜2}，求两集合的交集.【详解】因为N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，又因为M

＝{x|﹣1＜x＜2}，所以M∩N＝{x|﹣1＜x≤0}.故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为（）A.16B.518C.19D.512【答案】A【解析】【分析】直接计算概率得到答案.【详解】

共有66=36种情况，满足条件的有()()()()()()1,11,21,32,1,2,2,3,1，，，6种情况，故61366p==.故选：A.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.4.在正项等比数列{an}中，a5-a1=15，a4-a2=6，则a3=（

）A.2B.4C.12D.8【答案】B【解析】【分析】根据题意得到4511115aaaqa−=−=，342116aaaqaq−=−=，解得答案.【详解】4511115aaaqa−=−=，342116aaaqaq−=−=，解得

112aq==或11612aq=−=（舍去）.故2314aaq==.故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.5.执行如图所示的程序框图，输出的s的值为（）A.53B.8

5C.138D.2113【答案】C【解析】【分析】根据循环结构依次进行，直至不符合4i，终止循环，输出s.【详解】第一次循环，2,1si==，第二次循环，3,22si==，第三次循环，5,33si==，第四次循环，8

,45si==，第四次循环，13,58si==，此时不满足4i，输出138s=.故选：C【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题.6.已知等边△ABC内接于圆：x2+y2=1，且P是圆τ上一点，则(

)PAPBPC+的最大值是（）A.2B.1C.3D.2【答案】D【解析】【分析】如图所示建立直角坐标系，设()cos,sinPθθ，则(1)cosPAPBPC+=−，计算得到答案.【详解】如图所示建立直角坐标系，则()

1,0A，13,22−B，13,22C−−，设()cos,sinPθθ，则(1cos,sin)(12cos,2si(n))PAPBPC=−−−−+−222(1cos)(12cos)2sin2cos

cos12sin1cos2=−−−+=−−+=−.当=−，即()1,0P−时等号成立.故选：D.【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.7.已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x3+），则f（x）的最小值为（）A.12B.14C.34D.2

2【答案】A【解析】【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos223fxx=−+，再求最值.【详解】已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x3+），=21cos21cos2322xx−+−+，=1cos23sin2111cos

222223xxx−−=−+，因为cos21,13x+−，所以f（x）的最小值为12.故选：A【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8.

已知数列{an}满足a1=1，(an+an+1-1)2=4anan+1，且an+1>an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an=（）A.2nB.n2C.n+2D.3n-2【答案】B【解析】【分析】化简得到11nnaa+−=，故na为首项是1，

公差为1的等差数列，得到答案.【详解】()21114nnnnaaaa+++−=，故1112nnnnaaaa+++−=，即()211nnaa+−=，即11nnaa+−=，11a=，故na为首项是1，公差为1的等

差数列.故nan=，2nan=.故选：B.【点睛】本题考查了数列的通项公式，化简得到11nnaa+−=是解题的关键.9.已知a=0.80.4，b=0.40.8，c=log84，则（）A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a【答案】D【解析】【分析】计算得到555bca，得到答案.【详解】5254582320.80.64,0.40.0256,log4,0.13173243abcc=======，故555bca.即bca.故选：D.【点睛】

本题考查了数值的大小比较，计算其五次方是解题的关键.10.青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人

，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为（）A.25B.35C.15D.215【答案】A【解析】【分析】计算所有情况共有150种，满足条件的共有60种，得到答案.【详解】所有情况共有2133535322150CCCAA+=

种.满足条件的共有22253260CCA=种，故6021505p==.故选：A.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.11.已知点P在椭圆τ：2222xyab+=1(a>b>0)上，点P在第一

象限，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设34PDPQ=，直线AD与椭圆τ的另一个交点为B，若PA⊥PB，则椭圆τ的离心率e=（）A.12B.22C.32D.33【答案】C【解析】【分析】设()11,Pxy，则()11,Axy−

−，()11,Qxy−，11,2yDx−，设()22,Bxy，根据PAPB⊥化简得到2234ac=，得到答案.【详解】设()11,Pxy，则()11,Axy−−，()11,Qxy−，34PDPQ=，则11,2yDx−，设()22,Bxy，则22112222222211xya

bxyab+=+=，两式相减得到：()()()()1212121222xxxxyyyyab+−+−=−，2121221212PByyxxbkxxayy−+==−−+，ADABkk=，即1121124yyyxxx+=+，()1

211124PAyyykxxx+==+，PAPB⊥，故1PAPBkk=−，即2241ba−=−，故2234ac=，故32e=.故选：C.【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.12.已知关于x的不等式3xex-x-alnx≥1对于任意x∈(l，+∞)恒

成立，则实数a的取值范围为（）A.（-∞，1-e]B.（-∞，-3]C.（-∞，-2]D.（-∞，2-e2]【答案】B【解析】【分析】化简得到3ln1lnxxexax−−−，根据1xex+化简得到答案.【详

解】根据题意：33ln3ln31111lnlnlnlnxxxxxxexxexeexexxaxxxx−−−−−−−−−−−===.设()1xfxex=−−，则()'1xfxe=−，则函数在(),0−上单调递减，在)0,+上单调递增，故()()min00

fxf==，故1xex+.根据1xex+，3ln13ln113lnlnxxexxxxxx−−−−+−−=−，故3a−.故选：B.【点睛】本题考查了根据不等式恒成立求参数，利用不等式1xex+化简是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2

0分．13.已知以x±2y=0为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为________.【答案】221123yx−=【解析】【分析】设双曲线方程为224xy−=，代入点(4,1)，计算得到答案.【详

解】双曲线渐近线为20xy=，则设双曲线方程为：224xy−=，代入点(4,1)，则12=.故双曲线方程为：221123yx−=.故答案为：221123yx−=.【点睛】本题考查了根据渐近线求双曲线，设双曲线方程为224xy−=是解题的关键.

14.若函数f（x）cosxasinx+=在（0，2）上单调递减，则实数a的取值范围为___．【答案】a≥﹣1．【解析】【分析】将函数f（x）cosxasinx+=在（0，2）上单调递减，转化()21cos0s

inaxfxx−−=在（0，2）上恒成立即1cosax−在（0，2）上恒成立再求1cosx−最大值即可.【详解】因为函数f（x）cosxasinx+=在（0，2）上单调递减，所以()21cos0sinaxfxx−−=在（0，2）上恒成立，即1cosax−在（0，2

）上恒成立，因为0,2x，所以()cos0,1x，所以1(,1]cosx−−−，所以1a−.故答案为：1a−【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.15.根据气象部门预报，在距离某个码头A南偏东4

5°方向的600km处的热带风暴中心B正以30km/h的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km以内的地区都将受到影响，从现在起经过___小时后该码头A将受到热带风暴的影响（精确到0.01）．【答案】9.

14h.【解析】【分析】先建立坐标系，设风暴中心最初在B处，经th后到达C处．自B向x轴作垂线，垂足为D．若在点C处受到热带风暴的影响，则AC＝450，则有22ADDC+=450，即22(60045)(6004530)cossint+−=450；两边平方并化简、整理求解.【详解】建立如

图所示直角坐标系：设风暴中心最初在B处，经th后到达C处．自B向x轴作垂线，垂足为D．若在点C处受到热带风暴的影响，则OC＝450，即22ADDC+=450，即22(60045)(6004530)cossint+−=450；两边平方并化简、整理得t2﹣202t+175＝0∴t1025=+或1

025−，1024159.−所以9.14时后码头将受到热带风暴的影响．【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16.在三棱锥S-ABC中，底面△ABC是边长为3的等边三角形，SA=3，SB=23，若此

三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S-AB-C的余弦值为____．【答案】12−【解析】【分析】证明CDAB⊥，2ODAB⊥，得到2CDO为二面角SABC−−的平面角，计算故13ODO=，23ODO=，得到1223ODO=，得到答案.【详解】球的表面积为2421R=，故

212R=，222SASBAB+=，故2SAB=.SAB的外接圆圆心为SB中点2O，23r=；ABC的外接圆圆心为三角形中心1O，133322r==.设球心为O，则2OO⊥平面SAB，1OO⊥平面ABC，1CO与AB交于点D，易知D为AB中点，连接DO，2DO

，易知CDAB⊥，2ODAB⊥，故2CDO为二面角SABC−−的平面角.故221132OORr=−=，222232OORr=−=，11332DOCD==，21322DOSA==.1tan3ODO=，故13ODO=，2tan3O

DO=，故23ODO=.故1223ODO=，121cos2ODO=−.故答案为：12−.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=4，tantantantanABcbABc−−=+.（1）求

A的余弦值；（2）求△ABC面积的最大值．【答案】（1）12；（2）43【解析】【分析】（1）根据正弦定理化简得到()()sinsinsinABABB−=+−，故sin2sincosBBA=，得到答案.（2）计算16bc，再利

用面积公式计算得到答案.【详解】（1）tantantantanABcbABc−−=+，则sincoscossinsinsinsincoscossinsinABABCBABABC−−=+，即()()sinsinsinABABB−=+−，故sin2sincosB

BA=，sin0B，故1cos2A=.（2）2222cosabcbcA=+−，故22162bcbcbcbc+−=−，故16bc.当4bc==时等号成立.1cos2A=，故3sin2A=，1sin432S

bcA=，故△ABC面积的最大值为43.【点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.18.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，L分别为棱A1D1，C1D1，BC的中点．（1）求证：AC⊥QL；（2）求点A到

平面PQL的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）36a【解析】【分析】（1）作QMCD⊥于M，证明AC⊥平面QML得到答案.（2）取AB中点N，连接,PNLN，利用等体积法PANLAPNLVV−−=计算得到答案.【详解】（1）如图所示：作Q

MCD⊥于M，易知M为CD中点，L为BC中点，故ACML⊥.QMCD⊥，故QM⊥平面ABCD，AC平面ABCD，故QMAC⊥.QMMLM=，故AC⊥平面QML，QL平面QML，故ACQL⊥.（2）取AB中点N，连接,PNLN，易

知//PQLN，ACQL⊥，故PQLN为矩形.故A到平面PQL的距离等于A到平面PNL的距离.故31113322224PANLaaaVSha−===.222112322224PNLaSNLNPaaa==+=，PANLAPNLVV−−=，即32133424aad

=，故36da=.【点睛】本题考查了线线垂直，点面距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19.已知抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足FP=（2，23）（1）求抛物线Γ的方

程；（2）已知经过点A（3，﹣2）的直线交抛物线Γ于M，N两点，经过定点B（3，﹣6）和M的直线与抛物线Γ交于另一点L，问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．【答案】（1）y2＝4x；；（2）直线NL

恒过定点（﹣3，0），理由见解析.【解析】【分析】（1）根据抛物线的方程，求得焦点F（2p，0），利用FP=（2，23），表示点P的坐标，再代入抛物线方程求解.（2）设M（x0，y0），N（x1，y1），L（x2，y2），表示出MN的方程y01014xy

yyy+=+和ML的方程y02024xyyyy+=+，因为A（3，﹣2），B（3，﹣6）在这两条直线上，分别代入两直线的方程可得y1y2＝12，然后表示直线NL的方程为：y﹣y1124yy=+（x214y−），代入化简求解.【详解】（1）由抛物线的方程可得焦点F（2p，0

），满足FP=（2，23）的P的坐标为（22p+，23），P在抛物线上，所以（23）2＝2p（22p+），即p2+4p﹣12＝0，p＞0，解得p＝2，所以抛物线的方程为：y2＝4x；（2）设M（x0，y0），N（x1，y1），L（x2，

y2），则y12＝4x1，y22＝4x2，直线MN的斜率kMN10102210101044yyyyyyxxyy−−===−−+，则直线MN的方程为：y﹣y0104yy=+（x204y−），即y01014xyyyy+=+①，同理可得直线ML的方程整理可得y02024xyyyy+=

+②，将A（3，﹣2），B（3，﹣6）分别代入①，②的方程可得01010202122126yyyyyyyy+−=++−=+，消y0可得y1y2＝12，易知直线kNL124yy=+，则直线NL的方程为：y

﹣y1124yy=+（x214y−），即y124yy=+x1212yyyy++，故y124yy=+x1212yy++，所以y124yy=+（x+3），因此直线NL恒过定点（﹣3，0）．【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及直线与抛物线

的位置关系，直线过定点问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20.有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与某种商品的销售额的相关数据：且已知101iix==380.0（1）求第10年的年收入x10；（2）收入x与该种商品的销售额y之

间满足线性回归方程y363254x=+ˆa.（i）10年的销售额y10；（ii）居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到0.01）附加：（1）回归方程ˆˆˆybxa=+中，11221ˆniiniixynxybxnx==−=−

，ˆˆaybx=−.（2）1022110254.0iixx=−=，9112875.0iiixy==，921340.0iiy==【答案】（1）46；（2）1051y=，41.96y=【解析】【分析】（1）直接

根据101380iix==计算得到答案.（2）利用公式计算1011022110363ˆ25410iiiiixyxybxx==−==−得到1051y=，得到中心点()38,39.1，代入计算得到答案.【详解

】（1）10101323133363738394345380iixx==+++++++++=，故1046x=.（2）1011022110363ˆ25410iiiiixyxybxx==−==−，即1010340128754610383631025

4254yy++−=，解得1051y=，故38x=，2530343739+41+42+44+485139.110y+++++==.将点()38,39.1代入回归方程363254yxa=+得到：15.21a−.故36315.2125

4yx=−，当40x=时，41.96y=.【点睛】.本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.21.（1）证明函数2sin2cosxyexxx=−−在区间(,)2−−上单调递增；（2）证明函数()2sinxefx

xx=−在(-π，0)上有且仅有一个极大值点0,x且00()2.fx【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）求出函数导数，根据导数正负性判断单调性即可证明.（2）根据（1）已有信息，对函数进行二次求导，判断单调性及函数的零点，综合分析，再利用定义域计算函数值的取值范围，即可得证

.【详解】（1）对函数求导，得，'2cos2cos2sin4cos2sin,xxyexxxxexxx=−−+=−+因为任意的xR,有0xe，且在区间(,)2−−上，1sin0,1cos0,xx−−所以(,),2sin0,4cos0,2xxxx−−−即'4co

s2sin0xyexxx=−+，即函数2sin2cosxyexxx=−−在区间(,)2−−上单调递增.（2）对函数求导，得()()2212cos'xxexxfxx−−=，令()()212cosxgxexxx=−−，则()()'2

sin4cosxgxxexxx=+−当,2x−−时，由（1）知，4cos2sin0xexxx−+，则()'0gx故()gx在,2−−上单调递减而()()2210,1

2022gege−−−=−−−=−++由零点存在定理知：存在唯一的0,2x−−，使得()00gx=，即()()02000012cosxgxexxx=−−当()0,xx−时，()00gx，即()'0fx，()fx为增函

数；当0,2xx−时，()00gx，即()'0fx，()fx为减函数.又当,02x−时，()()2212cos'0xxexxfxx−−=所以()fx在()0,0x上恒为减函数，因此()fx有唯一的极大值点0x由()fx在0,2x−上单调递减，故(

)20212sin202222efxfe−−=−−=−+−即()00fx又()00002sin,xefxxx=−当0,2x−−时，00010,02si

n2xexx−−故()02fx综上，函数()2sinxefxxx=−在(-π，0)上有且仅有一个极大值点0,x且00()2.fx【点睛】导数题是高考中的重难点，通常涉及根据导数分析函数单调性、极值点等，此类证明题多涉及二次求导步骤，根据定义域分析函数值范围等.（二）

选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为54xcosysin==（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：ρ2﹣

4ρcosθ+3＝0．（1）求曲线C1的一般方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若点P在曲线C1上，点Q曲线C2上，求|PQ|的最小值．【答案】（1）2212516xy+=，（x﹣2）2+y2＝1；（2）2.【解析】【分析】（1）由C1的参数方程为5(4xcosysin=

=为参数），消去参数即可转换为直角坐标方程，根据曲线C2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．利用cos,sinxy==转换为直角坐标方程.（2）设点P（5cosθ，4sinθ），根据点Q在圆上，先求点P到圆心的距离，然后减去半径即为最小值.【详解】（1）曲线

C1的参数方程为5(4xcosysin==为参数），两式平方相加整理得2212516xy+=．将cos,sinxy==代入ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．得x2+y2﹣4x+3＝0，整理得（x﹣2）2+y2＝1．（2）设点P（5co

sθ，4sinθ）在曲线C1上，圆心O（2，0），所以：22221080(52)(4)92020999POcossincoscoscos=−+=−+=−+，当cosθ＝1时，|PO|min＝3，所以|PQ|的最

小值3﹣1＝2．【点睛】本题主要考查了参数方程，普通方程，极坐标方程间的互化及点与圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣a+1|．（1）当a＝4时，求解不等式f（x）≥8

；（2）已知关于x的不等式f（x）22a在R上恒成立，求参数a的取值范围．【答案】（1）[5，+∞）∪（∞，13−]；（2）[﹣2，1].【解析】【分析】（1）根据a＝4时，有f（x）＝|2x﹣4|+|x﹣3|，然后利用绝对值的几何意义，去绝对值求解.（2

）根据绝对值的零点有a﹣1和12a，分a﹣112a=，a﹣112a＞和a﹣112a＜时三种情况分类讨论求解.【详解】（1）当a＝4时，f（x）＝|2x﹣4|+|x﹣3|，（i）当x≥3时，原不等式可化为3x﹣7≥8，解可得x≥5，此时不等式的解集[5，+∞）；（ii）当2＜x＜

3时，原不等式可化为2x﹣4+3﹣x≥8，解可得x≥9此时不等式的解集∅；（iii）当x≤2时，原不等式可化为﹣3x+7≥8，解可得x13−，此时不等式的解集（∞，13−]，综上可得，不等式的解集[5，+∞）∪（∞，13−]，（2）（i）

当a﹣112a=即a＝2时，f（x）＝3|x﹣1|22a=2显然不恒成立，（ii）当a﹣112a＞即a＞2时，()1321211123211xaxafxxaxaxaxa−+−=−−−+−，，＜

＜，，结合函数的单调性可知，当x12a=时，函数取得最小值f（12a）112a=−，若f（x）22a在R上恒成立，则211122aa−，此时a不存在，（iii）当a﹣112a＜即a＜2时，f（x）3211111

213212xaxaxaxaxaxa−+−−=−+−−+，，＜＜，若f（x）22a在R上恒成立，则121122aa−，解得﹣2≤a≤1，此时a的范围[﹣2，1]，综上可得，a的范围围[﹣2，1]．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及含有绝对值的不等式恒成立问题，还考

查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com