【文档说明】湖南省长郡十五校联盟2021届高三下学期第一次联考（全国卷）（3月） 数学（理） 含答案.doc，共(11)页，1.786 MB，由小赞的店铺上传

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2021届长郡十五校联盟高三第一次联考(全国卷)数学(理科)本试卷共4页。时量120分钟。满分150分。第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集

U，集合M，N是U的子集，且MN，则下列结论中一定正确的是A(∁UM)∪(∁UN)＝UB.M∩(∁UN)＝C.M∪(∁UN)＝UD.(∁UM)∩N＝2.在复平面内，若复数z与112ii−+表示的点关于虚轴对称，则复数z＝A.1355i−B.1355i−−C.1355i+D.13

55i−+3.关于x的方程x2－ax＋b＝0，有下列四个命题：甲：x＝1是方程的一个根；乙：x＝4是方程的一个根；丙：该方程两根之和为3；丁：该方程两根异号。如果只有一个假命题，则假命题是A.甲B.乙C.丙D.丁4.在平面直角坐标系中定义点P(x，y)的

“准奇函数点”为P'(2a－x，2b－y)，若函数C上所有点的“准奇函数点”都在函数C上，则称函数C为“准奇函数”下列函数不是“准奇函数”的是A.f(x)＝cos(x＋1)B.f(x)＝2x1x1−+C.f(x)＝e|x|D.f(x)＝x5.已知空间中不重合的直线a，b和不重合的平面α

，β，下列判断正确的是A.若a//α，b//α，则a//bB.若a//b，bα，则a//αC.若a⊥b，a⊥α，则b//αD.若a⊥α，a⊥β，则α//β6.已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝5a＋3b，则sin<a，c>＝A.104B.64C.58D.5987.

已知x，y满足约束条件xy0xy40y1−+−，则z＝－2x＋y的最大值是A.－1B.－2C.－5D.－78.下列函数中，同时满足以下两个条件①“∀x∈R，f(－6＋x)＋f(－6－x)＝0”；②“将图象向左平移12个单位长度后得到的图象对应函数为g(x)＝cos2x

”的一个函数是A.sin(2x＋56)B.cos(2x＋3)C.cos(2x＋56)D.sin(2x＋3)9.在平面直角坐标系xOy中，A(3，0)，B(0，－3)，点M满足OMxOAyOB=+，x＋y＝1，点N为曲线y＝2x2x−−

上的动点，则|MN|的最小值为A.22－1B.22C.322D.3212−10.已知双曲线T的焦点在x轴上，对称中心为原点，△ABC为等边三角形。若点A在x轴上，点B，C在双曲线T上，且双曲线T的虚轴为△A

BC的中位线，则双曲线T的渐近线方程为A.153yx=B.53yx=C.33yx=D.55yx=11.已知正方体棱长为6，如图，有一球的球心是AC1的中点，半径为2，平面B1D1C截此球所得的截面面积是A.πB.7πC.4πD.3π12.数列{an}各项均是正数，a1＝12，a2＝32，

函数y＝13x3在点(an，13an3)处的切线过点(an＋2－2an＋1，73an3)，则下列命题正确的个数是①a3＋a4＝18；②数列{an＋an＋1}是等比数列；③数列{an＋1－3an}是等比数列；④an＝3n－1。A.1B.2C.3D.4第I

I卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.函数f(x)＝3x－cosx在(0，f(0))处的切线与直线2x－my＋1＝0垂直，则实数m的值为。14.已知二项式(1＋x)n展开式中只有第7项的二项式系数最大，则(1－x)(1＋x)n展开式中一次项系数为。15

.已知等比数列{an}满足a1－a3＝－827，a2－a4＝－89，则使得a1a2…an取得最小值的n为。16.已知过点A(2，2)作直线AB，AC与圆x2＋(y－2)2＝1相切，且交抛物线x2＝2y于B，C两点，则BC的直线方程为。三、解答题：本大题共

70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。17.(本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，AD＝7，点

D在BC上，且cos∠ADC＝17。(1)求BD；(2)若cos∠CAD＝32，求△ABC的面积。18.(本小题满分12分)甲、乙、丙三人组成“梦之队”参加市知识竞答比赛，每轮活动由甲、乙、丙各完成一道问题，在每一轮活动中，如果三人都答对，则“梦之队”得

3分；如果只有两个人答对，则“梦之队”得2分；如果三人只有一个人答对，则“梦之队”得1分，如果三个人都没有答对，则“梦之队”得0分。已知甲每轮答对的概率是34，乙每轮答对的概率是23，丙每轮答对的概率是12；每轮活动中甲、乙、丙答对与否互不影响，各轮结果亦互不影响。假设“梦之队”参加三轮活动，求：

(1)“梦之队”第一轮得分X的分布列和数学期望；(2)“梦之队”三轮得分之和为4分的概率。19.(本小题满分12分)图1是由正方形ABCD，Rt△ABE，Rt△CDF组成的一个平面图形，其中AB＝AE＝DF＝1，将其沿AB、CD折起使得点E与点F重合，如图2。(1)

证明：图2中的平面ABE与平面ECD的交线平行于底面ABCD；(2)求二面角B－EC－D的余弦值。20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知椭圆C：23x＋y2＝1。如图所示，斜率为k(k>0)且过点(－1，0)的直线l交椭圆C于A，

B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x＝－3于点D(－3，m)。(1)求证：mk＝1；(2)若F在射线OE上，且|OG|2＝|OE|·|OF|，求证：点F在定直线上。21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝3x－2sinx＋3－

1(x>0)，g(x)＝(3－1)·3xe−＋(3－1)x＋(3－2)sinx。(1)求f(x)在[0，π]上的最小值；(2)证明：f(x)>g(x)。(二)选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系

与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x23cosy2323sin==+(α为参数且α∈[－2，2]，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ。(1)说明C1是哪种曲线，并将C1的方程

化为极坐标方程；(2)设点A的极坐标为(43，2)，射线θ＝γ(0<γ<2)与C1的交点为M(异于极点)，与C2的交点为N(异于极点)，若|MN|＝3|MA|，求tanγ的值。23.(本小题满分10分)[选

修4－5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|2x|－|x＋2|。(1)求不等式f(x)≤1的解集；(2)若∀x∈R，使得f(x)≥cosx＋a成立，求实数a的取值范围。