【文档说明】【精准解析】山东省青岛市2020届高三第三次模拟数学试题.doc，共(27)页，2.260 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-7d1e0513d5bcf593269ddef2d49b9845.html

以下为本文档部分文字说明：

青岛市2020年高三自主检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.若复数321izi=+（i为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【

答案】B【解析】【分析】先利用复数的四则运算得到1zi=−+，从而得到复数对应的点，故可得正确的选项.【详解】()()321221111(1)iiiiziiiii+====−++−−+，复数z在复平面上对应的点为()

1,1−，该点在第二象限，故复数z在复平面上对应的点所在的象限为第二象限，故选：B.【点睛】本题考查复数的四则运算以及复数的几何意义，注意复数的除法是分子分母同乘以分母的共轭复数，本题属于基础题.2.已知全集U=R，集合20MxRxx=−，集合cos,NyRyxx

R==，则()UMN=ð（）A.)1,0−B.()0,1C.(),0−D.【答案】A【解析】【分析】化简集合M，N，根据集合的交集、补集运算求解即可.【详解】20[0,1]MxRxx=−=,cos,[1,1]NyRyxxR===−,(,

0)(1,)UM=−+Uð,())1,0UMN=−ð,故选：A【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，考查了一元二次不等式，余弦函数，属于容易题.3.如图是一个22列联表，则表中a、b处的值分别为（）1y2y总计1xb21e2xc2

533总计ad106A.96，94B.60，52C.52，54D.50，52【答案】B【解析】【分析】根据表格中的数据可先求出d、c的值，再结合总数为106可分别求得a和b的值.【详解】由表格中的数据可得33258c=−=，212546d=+=，1064660a=−=，60

852b=−=.故选：B.【点睛】本题考查列联表的完善，考查计算能力，属于基础题.4.若直线21:320laxy−+=，2:250laxya+−=．:0pa=，1:ql与2l平行，则下列选项中正确的（）A.p是q的必要非充分条件B.q是p的充分非必要条件C.p是q

的充分非必要条件D.q是p的非充分也非必要条件【答案】C【解析】【分析】根据1l与2l平行，得到0a=或65a=−，再根据集合的关系判断充分性和必要性得解.【详解】因为1l与2l平行，所以25(3)20,0aaa−−==或65a=−.

经检验，当0a=或65a=−时，两直线平行.设{|0}Aaa==，{|0Baa==或6}5a=−，因为AB,所以p是q的充分非必要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查两直线平行的应用，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5.在ABC中，如果()cos2co

s0BCC++，那么ABC的形状为（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形【答案】A【解析】【分析】结合ABC++=以及两角和与差的余弦公式，可将原不等式化简为2coscos0BA−，即c

oscos0BA，又A，(0,)B，所以cosB与cosA一正一负，故而得解.【详解】解：ABC++=，cos(2)cosBCC++()coscos[()]BBCBA=+++−+cos[()]cos[()]BABA=+−+−+cos[()]cos[()]B

ABA=+−+−+cos()cos()BABA=−−−+coscossinsincoscossinsinBABABABA=−−−+2coscos0BA=−，coscos0BA，即cosB与cosA异号，又A，(0,)B，cosB与cosA

一正一负，ABC为钝角三角形．故选：A.【点睛】本题考查三角形形状的判断，涉及到三角形内角和、两角和与差的余弦公式，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.6.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种

．现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（）A.50种B.60种C.80种D.90种【答案】C【解析】【分析】根据题意，按甲的选择不同分

成2种情况讨论，求出确定乙，丙的选择方法，即可得每种情况的选法数目，由分类加法计数原理，即可求出答案.【详解】解：根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论：若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有1

0种，此时有21020=种不同的选法；若甲选择马或猴，此时甲的选法有2种，乙的选择有3种，丙的选择有10种，此时有231060=种不同的选法；则一共有206080+=种选法.故选：C.【点睛】本题考查分步乘法和分类加法的计数原

理的应用，属于基础题.7.在三棱柱111ABCABC−中，ABBCAC==，侧棱1AA⊥底面ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的表面积的最小值为4，则该三棱柱的侧面积为（）A.63B.33C.3

2D.3【答案】B【解析】【分析】设三棱柱的上、下底面中心分别为1O、2O，则12OO的中点为O，设球O的半径为R，则OAR=，设ABBCAC==a=，1AAh=，在Rt△2OOA中，根据勾股定理和基本不等式求出2R的最小值

为33ah，结合已知可得3ah=，从而可得侧面积.【详解】如图：设三棱柱上、下底面中心分别为1O、2O，则12OO的中点为O，设球O的半径为R，则OAR=，设ABBCAC==a=，1AAh=，则212OOh=，2233323OA

ABa==，则在Rt△2OOA中，222222221143ROAOOOAha==+=+13223ha33ah=，当且仅当33ha=时，等号成立，所以23443SRah=球，所以433ah=4，所以3ah=，所以该三棱柱的侧面积为333ah=.故选：B.【点睛】本题

考查了球的表面积公式，基本不等式求最值，考查了求三棱柱的侧面积，属于基础题.8.已知函数()()26,75(2),5xxfxfxx+−−=−−，若函数()()()1gxfxkx=−+有13个零点，则实数k的取值范围为（）A.11,86B.11,8

6C.1111,,6886−−D.1111,,6886−−【答案】D【解析】【分析】由题可知，设()|||1|hxkx=+，且()hx恒过定点()1,0−，转化为函数()yfx=与函数()||

|1|hxkx=+的图象有13个交点，画出函数()ygx=与函数()|||1|hxkx=+的图象，利用数形结合法，即可求出k的取值范围.【详解】解：由题可知，函数()()|(1)|gxfxkx=−+有13个零点，令()0gx

=，有()|||1|fxkx=+，设()|||1|hxkx=+，可知()hx恒过定点()1,0−，画出函数()fx，()hx的图象，如图所示：则函数()yfx=与函数()|||1|hxkx=+的图象有13个交点，由图象可得：()()()517171hhh

−，则·(51)1·(71)1·711kkk++−+，即11||86k，解得：1(6k−，11)(88−，1)6.故选：D.【点睛】本题考查将函数零点的个数转化为函数图象交点问题，从而求参数的范围，考查转化思想和数形结合思想，属于中档

题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多页符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.将函数()()sin0fxx=的图象向右平移12个单位长度得到函数()y

gx=的图象，若函数()gx在区间0,2上是单调增函数，则实数可能的取值为（）A.23B.1C.56D.2【答案】ABC【解析】【分析】根据图象平移求得函数()ygx=的解析式，再利用函数的单调性列出不等式求得w的取值范

围，即可求解.【详解】由题意，将函数()()sin0fxx=的图象向右平移12个单位长度，得到函数()sin()12wygxwx==−的图象，若函数()gx在区间0,2上是单调增函数，则满足1222122www−−−，解得605w，所以实

数w的可能的取值为25,1,36.故选：ABC【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换求函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的综合应用，着重考查推理与运算能力，属于基础题.10.在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇

葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“有一女子擅长织布，

织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知1匹4=丈，1丈10=尺，若这一个月有30天，记该女

子这一个月中的第n天所织布的尺数为na，2nanb=，对于数列na、nb，下列选项中正确的为（）A.1058bb=B.nb是等比数列C.130105ab=D.357246209193aaaaaa++=++【答案】B

D【解析】【分析】由题意可知，数列na为等差数列，求出数列na的公差，可得出数列na的通项公式，利用等比数列的定义判断出数列nb是等比数列，然后利用数列na的通项公式即可判断出各选项的正误.【详解】由题意可知，数

列na为等差数列，设数列na的公差为d，15a=，由题意可得13029303902da+=，解得1629d=，()116129129nnaand+=+−=，2nanb=Q，1112222nnnnaaadnanbb++−+===（非零常数），则数列nb是等比数列，B选项正确；16

805532929d==，()553105222ddbb==，1058bb，A选项错误；3012951621aad=+=+=，2113052105ab=，C选项错误；41161933532929aad=+=+=，511620945

42929aad=+=+=，所以，357552464432093193aaaaaaaaaa++===++，D选项正确.故选：BD.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合问题，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.11.已知曲线()32213fxxxax=−+

−上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a可能的取值（）A.196B.3C.103D.92【答案】AC【解析】【分析】根据题意，得出()fx的导数，可令切点的横坐标为m，求得切线的斜率，由题意可得关于m的方程22230mma−+−=有两个不等的正根，考虑

判别式大于0，且两根之和大于0，两根之积大于0，计算可得a的范围，即可得答案.【详解】解：由题可知，322()13fxxxax=−+−，则2()22fxxxa=−+，可令切点的横坐标为m，且0m，可得切线斜率2223

kmma=−+=，由题意，可得关于m的方程22230mma−+−=有两个不等的正根，且可知1210mm+=，则1200mm，即48(3)0302aa−−−，解得：732a，a的取值可能为196

，103.故选：AC.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，以及根据一元二次方程根的分布求参数范围，考查转化思想和运算能力.12.在如图所示的棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，点P在侧面11BCC

B所在的平面上运动，则下列命题中正确的（）A.若点P总满足1PABD⊥，则动点P的轨迹是一条直线B.若点P到点A的距离为2，则动点P的轨迹是一个周长为2的圆C.若点P到直线AB的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆D.

若点P到直线AD与直线1CC的距离相等，则动点P的轨迹是双曲线【答案】ABD【解析】【分析】A.根据1BD⊥平面1ABC，判断点P的轨迹；B.根据平面与球相交的性质，判断选项；C.由条件可转化为1PBPC+=，根据椭圆的定义判断；D.由条件建立坐标系，

求点P的轨迹方程，判断轨迹是否是双曲线.【详解】A.在正方体1AC中，1,ACBDBB⊥⊥平面ABCD，所以11,BBACBBBDB⊥=，所以AC⊥平面11BBDD，1BD平面11BBDD，所以1ACBD⊥，同理111,A

BBDABACA⊥=，所以1BD⊥平面1ABC，而点P在侧面11BCCB所在的平面上运动，且1PABD⊥，所以点P的轨迹就是直线1BC，故A正确；B.点P的轨迹是以A为球心，半径为2的球面与平面11BCCB的交线，即点P的轨迹为小圆，设小圆的半径为r，球

心A到平面11BCCB的距离为1，则()2211r=−=，所以小圆周长22lr==，故B正确；C.点P到直线AB的距离就是点P到点B的距离，即平面11BCCB内的点P满足1PBPCBC+==，即满足条件的点P的轨迹就是线段BC，不是椭圆，故C不正确；D.如图，过P分别做PMBC⊥于点M，

1PECC⊥于点E，则PM⊥平面ABCD，所以PMAD⊥，过M做MNAD⊥，连结PN，PMMNM=，所以AD⊥平面PMN，所以PNAD^，如图建立平面直角坐标系，设(),Pxy，PMy=，则221PNy=+，()221PE

x=−，即()2211yx+=−，整理为：()2211xy−−=，则动点P的轨迹是双曲线，故D正确.故选：ABD【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹问题，截面的形状判断，重点考查空间想象能力，逻辑推理，计

算能力，属于中档题型.三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13.若方程2211xymm+=−表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为________．【答案】1(0,)2【解析】【分析】根据题意，由椭圆的标准方程

的特点，结合已知条件列出不等式，求解即可得出实数m的取值范围.【详解】解：由题可知，方程2211xymm+=−表示焦点在y轴上的椭圆，可得10mm−，解得：102m，所以实数m的取值范围为：1(0,)2.故答案为：1(0,)2.【点睛

】本题考查椭圆的标准方程的特点，是基础知识的考查，属于基础题.14.已知定义在(),−+的偶函数()fx在)0,+单调递减，()112f−=−，若()1212fx−−，则x的取值范围________．【答案】01x

【解析】【分析】由题意结合偶函数的性质可得()()1112ff=−=−，再由函数的单调性即可得1211−−x，即可得解.【详解】因为()fx为偶函数，()112f−=−，所以()()1112ff=−=−，又()fx在)0,+单调递减，()1212fx−−，所以1211−−x，解得

01x.所以x的取值范围为01x.故答案为：01x.【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于基础题.15.若()()()()()1721617012161721111x

aaxaxaxax−=+++++++++，则（1）01216aaaa++++=________；（2）123162316aaaa++++=________．【答案】(1).1721+(2).()161712−【解析】【分析】（1）化简二项式为()7171[3)]

2(1xx=−+−，利用通项，求得171a=−，再令11x+=，求得0121611772aaaaa+++=++，即可求解；（2）令()()()()()21617012167171(21111)aaxaxaxxxagx=+++++++++=−，求得()()()161217162117

117(2)gaaxaxxx=−+++−=++，根据()0g和（1）中171a=−，即可求解.【详解】（1）由题意，可化为()7171[3)]2(1xx=−+−，由1717171717[(1)](1)TCxx=−+=−+，可得171a=−，令11x

+=，即0x=时，可得0121611772aaaaa+++=++，所以10121771167221aaaaa=−+=++++.（2）令()()()()()21617012167171(21111)aaxaxaxxxagx=+++++++++=

−，则()()()()1516121617161217(216111)7gaaxxaxaxx==+++++−+−+，则()12161617216177012aaaga=++++=−，由（1）可得171717a=−，所以161612316123721717()1126a

aaa++++=−+=−.【点睛】本题主要考查了二项展开式的应用，以及导数四则运算的应用，其中解答中准确赋值，以及利用导数的运算合理构造是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.16.已知1e，2e是平面上不共线的两个向量，向量b与1e，2e共面，

若11e=，22e=，1e与2e的夹角为3，且11be=，22be=，则b=________．【答案】233【解析】【分析】设12bxeye=+，由已知11be=，22be=可得1xy+=，42xy+=，从而可求出21,33xy

==，则2122133bee=+，即可求出模长.【详解】解：设12bxeye=+，因为1e与2e的夹角为3，所以1212cos13eeee==，则()122111121beexeyeexeyeyx==++=+=，()2222112242b

eeyxeexyxyeee==+=++=，解得21,33xy==，则2221212122141444423339999993beeeeee=+=++=++=，故答案为:233.【点睛】本题考查了向量的数量积

运算，考查了平面向量基本定理，考查了向量模的求解.本题的难点是用已知12,ee表示b.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.如图，在直角梯形12AOOC中，12//AOCO，112AOOO⊥，124OO=，22CO=，14AO=，点

B是线段12OO的中点，将1ABO△，2BCO△分别沿AB，BC向上折起，使1O，2O重合于点O，得到三棱锥OABC−．试在三棱锥OABC−中，（1）证明：平面AOB⊥平面BOC；（2）求直线OC与平面ABC所成角的正弦

值．【答案】（1）证明见解析；（2）23.【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，得出AOOC⊥，而AOOB⊥，根据线面垂直的判定定理证出AO⊥平面BOC，最后利用面面垂直的判定定理，即可证明平面AOB⊥平面BOC；（2）以O为坐标原点，

OC为x轴，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，根据空间坐标的运算可得出()2,0,0OC→=和平面ABC的法向量，利用空间向量法求夹角的公式，即可求出直线OC与平面ABC所成角的正弦值．【详解】

解：（1）由题知：在直角梯形12AOOC中，()222121220ACAOCOOO=−+=，所以在三棱锥OABC−中，222ACAOOC=+，所以AOOC⊥，又因为AOOB⊥，COOBO=，所以AO⊥平面BOC，又因为AO平面AOB，所以，平面AOB

⊥平面BOC.（2）由（1）知：AOOC⊥，AOOB⊥，又BOOC⊥，以O为坐标原点，以,,OCOBOA的方向分别作为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图空间直角坐标系Oxyz−，所以()0,0,4A，()0,2,0B，()2,0,0C

，()2,0,0OC→=，设(),,nxyz=为平面ABC的法向量，()0,2,4AB→=−，()2,2,0BC→=−，由00nABnBC==，可得240220yzxy−=−=，令2x=得：()2,2,1n=r，设直线OC与平面ABC所成角为，所以

2sin3COCOnn→→→→==，所以直线OC与平面ABC所成角的正弦值为23.【点睛】本题考查线面垂直和面面垂直的判定定理，考查利用空间向量法求直线与平面所成角的正弦值，考查推理证明能力和运算求解能力.18.已知n

a为等差数列，1a，2a，3a分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且1a，2a，3a中的任何两个数都不在下表的同一列．第一列第二列第三列第一行第二行469第三行1287请从①12a=，②11a=，③13a=的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的

数列na存在；并在此存在的数列na中，试解答下列两个问题（1）求数列na的通项公式；（2）设数列nb满足()121nnnba+=−，求数列nb的前n项和nT．【答案】（1）32nan=−；（2）2293,2,22932,21,22nnnnkkNTnnnkkN−+=

=−−=−．【解析】【分析】(1)分别代入①12a=，②11a=，③13a=，结合已知条件可判断11a=，24a=，37a=，求出数列的公差，即可求出通项公式.(2)由(1)知()()12132nnbn+=−−，当n为偶数时，结合数列的求和的定义求出22222212312

341nnnnTbbbbaaaaaa−=++++=−+−++−()1233naaaa=−+++，由等差数列的求和公式即可求解；当n为奇数时，1nnnTTb−=+即可求解.【详解】解：（1）若选择条件①，当第一行第一列为1a

时，由题意知，可能的组合有，1232,6,7aaa===不是等差数列，1232,9,8aaa===不是等差数列；当第一行第二列为1a时，由题意知，可能的组合有，1232,4,7aaa===不是等差数列，1232

,9,12aaa===不是等差数列；当第一行第三列为1a时，由题意知，可能的组合有，1232,4,8aaa===不是等差数列，1232,6,12aaa===不是等差数列，则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列na都

不存在，若选择条件②，则放在第一行第二列，结合条件可知11a=，24a=，37a=，则公差213daa=−=，所以()1132naandn=+−=−，*nN，若选择条件③，当第一行第一列为1a时，由题意知，可能的组合有，1233,6,7aaa===不是

等差数列，1233,9,8aaa===不是等差数列；当第一行第二列为1a时，由题意知，可能的组合有，1233,4,7aaa===不是等差数列，1233,9,12aaa===不是等差数列；当第一行第三列为1a时，由题意知，可能的组合有

，1233,4,8aaa===不是等差数列，1233,6,12aaa===不是等差数列，则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列na都不存在，综上可知：32nan=−，*nN.（2）由（1）知，()()12132nnbn+=

−−，所以当n为偶数时，22222212312341nnnnTbbbbaaaaaa−=++++=−+−++−()()()()()()1212343441nnnnaaaaaaaaaaaa−−=+−+−+++

+−()()21231329333222nnnaaaann+−=−+++=−=−+，当n为奇数时，()()()22219393113222222nnnTTbnnnnn−=+=−−+−+−=−−，2293,2,22932,21,22nnnnkkNTnnnkkN−

+==−−=−【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求解，考查了等差数列的求和公式，考查了数列求和.本题的难点是第二问求和时，分情况讨论.19.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinsinsincoscoscosABCABC+=+（1）若ABC还同时满足下

列四个条件中的三个：①7a=，②10b=，③8c=，④ABC的面积103S=，请指出这三个条件，并说明理由；（2）若3a=，求ABC周长L的取值范围．【答案】（1）①③④，理由见解析；（2）(6,9．【解析】【分析】（1）首先条件变形，利用两角差的正弦公式变形，求得3A=，再判断①②不能同时成

立，最后根据③④判断能同时成立的第三个条件；（2）首先利用正弦定理边角互化，表示23sinbB=，223sin3cB=−，再利用三角函数恒等变形表示周长L6sin36B=++，最后根据角B的范围求周长的取值范围.【详解】解：因为sins

insincoscoscosABCABC+=+所以sincossincoscossincossinABACABAC+=+即sincoscossinsincoscossinABABCACA−=−所以()()sinsinABCA−=−因为A，B，(

)0,C，所以ABCA−=−，即2ABC=+，所以3A=（1）ABC还同时满足条件①③④理由如下：若ABC同时满足条件①②则由正弦定理得sin53sin17bBaA==，这不可能所以ABC不能同时满足条件①②，所

以ABC同时满足条件③④所以ABC的面积113810322sin2AbSbc===所以5b=与②矛盾所以ABC还同时满足条件①③④（2）在ABC中，由正弦定理得：23sinsinsinbcaBCA

===因为23CB=−，所以23sinbB=，223sin3cB=−所以223ssin3in3abBLcB=++=+−+sinco3132s62BB=++

6sin36B=++因为20,3B，所以5,666B+，1sin,162B+所以ABC周长L的取值范围为(6,9.【点睛】本题考查三角恒等变形，正余弦定理解三角形，重点考查转化

与化归的思想，计算能力，逻辑推理能力，属于中档题型.20.某市居民用天然气实行阶梯价格制度，具体见下表：阶梯年用气量（立方米）价格（元/立方米）第一阶梯不超过228的部分3.25第二阶梯超过228而不超过348的部分3.83第三阶梯超过

348的部分4.70从该市随机抽取10户（一套住宅为一户）同一年的天然气使用情况，得到统计表如下：居民用气编号12345678910年用气量（立方米）95106112161210227256313325457（1）求一户居民年用气费y（元）

关于年用气量x（立方米）的函数关系式；（2）现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望；（3）若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市中依次抽取10户，其中恰有k户年用气量不超过

228立方米的概率为()Pk，求()Pk取最大值时的值．【答案】（1）((()3.25,0,2283.83132.24,228,3484.7435,348,xxyxxxx=−−+；（2）分布列见解析，数学期望为910；（3）6．【解析】【分析】（1）由表格中的数据

结合题意，即可求得一户居民年用气费y（元）关于年用气量x（立方米）的函数关系式；（2）由题意知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户，得到随机变量可取0,1,2,3，利用超几何分布求得相应的概率，得到随机变量的分布列，进而求得期望；（3）由()10

103255kkkPkC−=，列出不等式组由10110111010101101110103232555532325555kkkkkkkkkkkkCCCC−+−−+−−−+−

，求得k的值，即可求解.【详解】（1）由题意，当(0,228x时，3.25yx=；当(228,348x时，3.83132.24yx=−；当()348,x+时，4.7435xy−=，所以年用气费y关于年用气量x

的函数关系式为((()3.25,0,2283.83132.24,228,3484.7435,348,xxyxxxx=−−+.（2）由题知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户，设取到年用气量超过228立方米而不超过348立方米

的用户数为，则可取0,1,2,3，则()373107024CPC===，()217331021140CCPC===，()12733107240CCPC===，()3331013120CPC===，故随机变量的分布列为：0123P72421407401120所以()721719012

324404012010E=+++=.（3）由题意知()()1010320,1,2,3,1055kkkPkCk−==，由10110111010101101110103

232555532325555kkkkkkkkkkkkCCCC−+−−+−−−+−，解得2

83355k，*kN，所以当6k=时，概率()Pk最大，所以6k=.【点睛】本题主要考查了分段函数模型的性质及其应用，以及离散型随机变量的分布列与期望的求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.21.已知函数()lnxfxaex=，（其中2.71828e=是自然对数的底数

），()2lngxxxa=+，0a．（1）讨论函数()fx的单调性；（2）设函数()()()hxgxfx=−，若()0hx对任意的()0,1x恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）在定义域()0,+上单调递增；（2）1,e+．【解析】【分析】（1）先

求得()()l1,n0,xxfxaexx=++，利用导数可得1ln1xx+恒成立，故可得()fx的单调区间.（2）()0hx对任意的()0,1x恒成立等价于()lnnlxxaeaexx对任意()0,1x恒成立，就1xae和1xae结合()lnHxxx=

的单调性分类讨论可得xaex对任意()0,1x恒成立，参变分离后再次利用导数可求a的取值范围.【详解】解：（1）因为()lnxfxaex=，所以()()l1,n0,xxfxaexx=++

.令()ln1kxxx=+，则()21xkxx−=，当()0,1x时，()0kx，函数()kx单调递减；当()1,x+时，()0kx，函数()kx单调递增．所以()()110kxk=，又因为0a，0xe，所以()0fx

，()fx在定义域()0,+上单调递增.（2）由()0hx得()()0gxfx−，即2lnlnxaexxxa+，所以()lnlnlnxxxaexxaexaae+=，即()lnnlxxaeaexx对任意()0,1x恒成立，设()lnHxxx=，则()21lnxHxx−=

所以，当()0,1x时，()0Hx，函数()Hx单调递增，且当()1,x+时，()0Hx，当()0,1x时，()0Hx，若1xaex，则()()0xHaeHx，若01xae，因为()()xHaeHx，且()Hx在()0,1上单调递增，

所以xaex，综上可知，xaex对任意()0,1x恒成立，即xxae对任意()0,1x恒成立.设()xxGxe=，()0,1x，则()10xxGxe−=，所以()Gx在()0,1单调递增，所以()()11aGxGe=，即a的取值范围为1,e+

．【点睛】本题考查函数的单调性以及含参数的不等式的恒成立，前者利用导数的符号来讨论，后者需等价变形把原不等式转化简单不等式的恒成立，再根据不等式的结构特征构建新函数来讨论，本题为较难题.22.已知直线1l过坐标原点O且与圆22

4xy+=相交于点A，B，圆M过点A，B且与直线20y+=相切．（1）求圆心M的轨迹C的方程；（2）若圆心在x轴正半轴上面积等于2的圆W与曲线C有且仅有1个公共点．（ⅰ）求出圆W标准方程；（ⅱ）已知斜率等于1

−的直线2l，交曲线C于E，F两点，交圆W于P，Q两点，求EFPQ的最小值及此时直线2l的方程．【答案】（1）24xy=；（2）（ⅰ）()2232xy−+=；（ⅱ）EFPQ的最小值为26+，此时直线2l的方程为231yx=−+−．【解析】【分析】（1）设(

),Mxy，由题意结合圆的性质可得222MOOAMA+=、2ryMA=+=，代入化简即可得解；（2）（ⅰ）设圆W与曲线C的公共点为()2,04tTtt，圆W的标准方程()()2220xaya−+=，由题意可得曲线C在T的切线l与圆W相切即lWT⊥，由直线垂直的性质及点T在圆

W上即可得解；（ⅱ）设()11,Exy，()22,Fxy，直线2:lyxm=−+，联立方程组结合弦长公式可得EF，由垂径定理可得PQ，确定m的取值范围后，通过换元、基本不等式即可得解.【详解】（1）由题意圆224xy+=的圆心为()0,0，

半径为2，直线1l过坐标原点O，所以坐标原点O为AB的中点，2AO=，所以MOAO⊥，设(),Mxy，所以222MOOAMA+=，又因为圆M与直线20y+=相切，所以圆M的半径2ryMA=+=，所以()22242xyy++=+，化简得M的轨迹C的方程为24xy=；（2）

（ⅰ）由（1）知曲线C为24xy=，设()24xfx=，则()2xfx=，设圆W与曲线C的公共点为()2,04tTtt，则曲线C在T的切线l的斜率()2tkft==，由题意，直线l与圆W相切于

T点，设圆W的标准方程为()()2220xaya−+=，则圆W的的圆心为(),0a，则直线WT的斜率()2244WTttktata==−−，因为lWT⊥，所以()2124ttta=−−，即()380tta+−=，又因为()222

24tta−+=，所以2232284tt−+=，所以6441280tt+−=令2t=，则3241280+−=，所以()()322481280−+−=即(

)()248320−++=，所以4=，所以2t=，3a=，从而圆W的标准方程为()2232xy−+=；（ⅱ）设()11,Exy，()22,Fxy，直线2:lyxm=−+，由24yxmxy=−+=得2440xxm+−=，所以124xx+=−，12

4xxm=−，所以()()2121224421EFxxxxm=+−=+，又因为圆W的圆心()3,0到直线PQ的距离为32m−，所以22322212102mPQmm−=−=−+−，所以()22421146521210mEFmPQmmmm++==−+−−+−，由于2l

与曲线C、圆W均有两个不同的交点，16160322mm=+−，解得15m，令()12,6mu+=，则1mu=−，则()()21441216158EFuPQuuuu==−−+−−−++14261228uu=+−+，当且仅当12uu=，即23u=，亦

231m=−时取等号，当231m=−时，EFPQ的最小值为26+，此时直线2l的方程为231yx=−+−.【点睛】本题考查了动点轨迹的求解与圆的方程的确定，考查了与圆、抛物线相关的公切线、弦长问题，考查了运算求解能力，属于难题.