【文档说明】高中数学新教材人教A版必修第一册 5.5 三角恒等变换 教案 （1） 含答案【高考】.docx，共(7)页，130.604 KB，由小赞的店铺上传

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-1-第五章三角函数5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式。本节的主要内容是由两角差的余弦公式的推导，运用诱导

公式、同角三角函数的基本关系和代数变形，得到其它的和差角公式。让学生感受数形结合及转化的思想方法。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。课程目标学科素养1.了解两角差的余弦公式的推导过程．2．掌握由两角差的余弦公式推导出两

角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式．3．熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．4.通过正切函数图像与性质的探究，培养学生数形结合和类比的思想方法。a.数学抽象

：公式的推导；b.逻辑推理：公式之间的联系；c.数学运算：运用和差角角公式求值；d.直观想象：两角差的余弦公式的推导；e.数学建模：公式的灵活运用；教学重点：掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式教学难点：两角和与差的正弦、余

弦、正切公式的灵活运用。多媒体-2-教学过程设计意图核心教学素养目标-3-（一）创设问题情境提出问题１.两角差的余弦公式如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α＋β，α－β的正弦、余弦吗？下面，我们来探究cos(α－β)与角α，β的正弦、

余弦之间的关系不妨令𝛼≠2kπ＋β，k∈Z．如图5.5.1，设单位圆与𝑥轴的正半轴相交于点A（１，０），以𝑥轴非负半轴为始边作角α，β，α—β，它们的终边分别与单位圆相交于点𝐴1（cosα，sinα），𝑃1（cosβ，sinβ），P(cos(α－β)，sin(α－

β))．任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性质叫做圆的旋转对称性．连接𝐴1𝑃1，AP．若把扇形OAP,绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点𝐴1,𝑃1重合．根据圆的旋转对称性

可知，𝐴𝑃̂与𝐴1𝑃1̂重合，从而，所以AP＝𝐴1𝑃1根据两点间的距离公式，得[cos(𝛼−𝛽)−1]2+[s𝑖𝑛(𝛼−𝛽)]2=(cos𝛼−𝑐𝑜𝑠𝛽)2+(sin𝛼−𝑠𝑖𝑛𝛽)2，化简得:cos(𝛼−𝛽

)=cos𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽+sin𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽当𝛼=2kπ＋β（k∈Z）时，容易证明上式仍然成立．所以，对于任意角α，β有cos(𝛼−𝛽)=cos𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽+sin𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽（Ｃ（α－β））此公式给出

了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作Ｃ(α－β).典例解析例１利用公式cos(𝛼−𝛽)证明：（１）cos(𝝅𝟐-𝛼)=sin𝛼;（２）cos(𝝅-𝛼)=cos𝛼．通过开门见山，提出问题，利用坐标法，推导两角差的余弦公

式，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。-4-证明:(1)cos(𝝅𝟐-𝛼)=cos𝝅𝟐𝑐𝑜𝑠𝛼+sin𝝅𝟐𝑠𝑖𝑛𝛽sin𝛼=0＋1×sin𝛼=sin𝛼．(2)cos(𝝅-𝛼

)==cos𝝅𝑐𝑜𝑠𝛼+sin𝝅𝑠𝑖𝑛𝛽sin𝛼=(-1)×cos𝛼+𝑜．＝－cos𝛼．例２已知s𝑖𝑛𝛼=45，𝛼∈(𝝅𝟐,𝝅),cos𝛽=−513，𝛽是第三象限角，求cos(𝛼−𝛽)的值．解：由s𝑖𝑛𝛼=45，𝛼∈(𝝅𝟐,𝝅),得c

os𝛼=−√1−𝑠𝑖𝑛𝛼2=−√1−(45)2=−35又由cos𝛽=−513，𝛽是第三象限角，得sin𝛽=−√1−𝑐𝑜𝑠𝛽2=−√1−(−513)2=−1213．所以cos(𝛼−𝛽)=cos𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽+si

n𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽=(−35)×(−513)+(45)×(−1213)=−3365由公式cos(𝛼−𝛽)出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？下面以公式cos(𝛼−𝛽)为基础来推导其他公式．例如，比较cos(�

�−𝛽)与cos(𝛼+𝛽)，并注意到α＋β与𝛼−𝛽之间的联系：𝛼+𝛽＝𝛼−（−𝛽）则由公式cos(𝛼−𝛽)，有cos(𝛼+𝛽)=cos[𝛼−(−𝛽)]＝cos𝛼𝑐𝑜𝑠(−𝛽)+sin𝛼𝑠𝑖�

�(−𝛽)=cos𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽−sin𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽于是得到了两角和的余弦公式，简记作C（α＋β）．cos(𝛼+𝛽)=cos𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽−sin𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽．问题探究上面得到

了两角和与差的余弦公式．我们知道，用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化．你能根据Ｃ（α＋β），Ｃ（α－β）及诱导公式五（或六），推导出用任意角α，β的正弦、余弦表示sin（α＋β），sin（α－β）的公式

吗？通过推导，可以得到：s𝑖𝑛(𝛼+𝛽)＝sin𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽+cos𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽，（S（α＋β））通过对两角差的余弦公式的运用，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；-5-s𝑖𝑛(𝛼−𝛽

)＝sin𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽−cos𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽;（S（α－β））你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从Ｃ(α±β)，Ｓ(α±β)出发，推导出用任意角α，β的正切表示𝑡𝑎𝑛(𝛼+𝛽)，�

�𝑎𝑛(𝛼−𝛽)的公式吗？通过推导，可以得到：𝑡𝑎𝑛(𝛼+𝛽)=𝑡𝑎𝑛𝛼+𝑡𝑎𝑛𝛽1−𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡𝑎𝑛𝛽T(α+β)𝑡𝑎𝑛(𝛼−𝛽)=𝑡𝑎𝑛𝛼−𝑡𝑎𝑛𝛽1+𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡

𝑎𝑛𝛽T(α−β)和（差）角公式中，α，β都是任意角．如果令α为某些特殊角，就能得到许多有用的公式．你能从和（差）角公式出发推导出诱导公式吗？你还能得到哪些等式公式Ｓ(α＋β)，Ｃ(α＋β)，Ｔ(α＋β)给出了任意角α，β的三角函数值与其和角α＋β的三角函数值之

间的关系．为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式．类似地，Ｓ(α－β)，Ｃ(α－β)，Ｔ(α－β)都叫做差角公式．典例解析例3.已知s𝑖𝑛𝛼=−35，𝛼是第四象限角，求s𝑖𝑛(𝝅4−𝛼),c

os(𝝅4+𝛼),tan(𝛼−𝝅4)的值．解：由s𝑖𝑛𝛼=−35，𝛼是第四象限角，得cos𝛼=√1−𝑠𝑖𝑛𝛼2=√1−(−35)2=45所以𝑡𝑎𝑛𝛼=𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼=

−3545=-34于是有s𝑖𝑛(𝝅4−𝛼)=sin𝝅4𝑐𝑜𝑠𝛼−cos𝝅4𝑠𝑖𝑛𝛼=√22×45−√22×(−35)=7√210;cos(𝝅4+𝛼)=𝑐𝑜𝑠𝝅4𝑐𝑜𝑠𝛼−sin𝝅4𝑠𝑖𝑛𝛼=√22×45−√22

×(−35)=7√210;𝑡𝑎𝑛(𝛼−𝝅4)=𝑡𝑎𝑛𝛼−𝑡𝑎𝑛𝝅41+𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡𝑎𝑛𝝅4=𝑡𝑎𝑛𝛼−11+𝑡𝑎𝑛𝛼=−34−11+(−34)=−7由以上解答可以看到，在本题条件下

有s𝑖𝑛(𝝅4−𝛼)=cos(𝝅4+通过其它和差角公式的推导和应用，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；通过对典型问题的分析解决，发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；-6-𝛼)．那

么对于任意角α，此等式成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明?例４利用和（差）角公式计算下列各式的值：（１）sin72°cos42°－cos72°sin42°;（２）cos20°cos70°－sin20°sin70°

;（3）1+𝑡𝑎𝑛15°1−𝑡𝑎𝑛15°;分析：和、差角公式把α±β的三角函数式转化成了α，β的三角函数式．如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简．解：（１）由公式S（α－β），得sin72°cos42°－cos72°sin42°=Sin(72

°－42°)=sin30°=12（2）由公式C（α+β），得cos20°cos70°－sin20°sin70°=cos(20°+70°)=cos90°=0（3）由公式T（α+β）及𝑡𝑎𝑛45°=1，得1+𝑡𝑎𝑛15°1−𝑡𝑎𝑛15°=

𝑡𝑎𝑛45°+𝑡𝑎𝑛15°𝑡𝑎𝑛45°−𝑡𝑎𝑛15°=𝑡𝑎𝑛(45°+15°)=𝑡𝑎𝑛60°=√3三、当堂达标1．cos65°cos35°＋sin65°sin35°等于()A．cos100°B．sin100°C．32D．12【解析】原式＝cos(65°－35

°)＝cos30°＝32.【答案】C2.已知α是锐角，sinα＝35，则cosπ4＋α等于()A．－210B．210C．－25D．25【解析】因为α是锐角，sinα＝35，所以cosα＝45，所以cosπ4＋α＝22×45－22×35＝21

0.故选B．通过练习巩固本节所学知识，巩固对和差和差距角公式的运用，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。-7-【答案】B3．已知锐角α，β满足cosα＝35，cos(α＋β)＝－51

3，则cosβ等于()A．3365B．－3365C．5475D．－5475【解析】因为α，β为锐角，cosα＝35，cos(α＋β)＝－513，所以sinα＝45，sin(α＋β)＝1213.所以cosβ＝cos[(α＋

β)－α]＝cos(α＋β)·cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－513×35＋1213×45＝3365.故选A．【答案】A4．计算3－tan15°1＋3tan15°＝________.【解析】3－tan15°1＋3tan15°＝tan60°－tan15°1＋ta

n60°tan15°＝tan45°＝1.【答案】15．已知α，β均为锐角，sinα＝55，cosβ＝1010，求α－β.【解】∵α，β均为锐角，sinα＝55，cosβ＝1010，∴sinβ＝31010，cosα＝255.∵s

inα<sinβ，∴α<β，∴－π2<α－β<0，∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝55×1010－255×31010＝－22，∴α－β＝－π4.四、小结让我们回顾半节课的学习过程，看看主要的收获有

哪些？知识上：两角和差的公式思想方法上：整体代换思想，转化思想。五、作业1.课时练2.预习下节课内容学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；