【文档说明】第7讲 一元一次不等式组及应用-【帮课堂】2021-2022学年八年级数学下册同步精品讲义（北师大版）（解析版).docx，共(53)页，642.117 KB，由envi的店铺上传

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第7讲一元一次不等式组及应用1．理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．知识点01不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个

一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010xx−−，7021163159xxx−++等都是一元一次不等式组．要点诠释：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．【知识拓展1】（20

20春•安庆期中）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可．【解答】解：①是一元一次不等式组；②是一元一次不等式组；③含

有两个未知数，不是一元一次不等式组；④是一元一次不等式组；知识精讲目标导航⑤，未知数是3次，不是一元一次不等式组，其中是一元一次不等式组的有3个，故选：B．【点评】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次

不等式组．【即学即练】（2020春•毕节市月考）下列是一元一次不等式组的是（）A．B．C．D．【分析】利用一元一次不等式组的定义判断即可．【解答】解：是一元一次不等式组．故选：B．【点评】此题考查了一元一次不等式组的定义

，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解本题的关键．【知识拓展2】某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式．【思路点拨】由题意知，x必须

满足两个条件①面积大于48平方米．②周长小于34米．故必须构建不等式组来体现其不等关系．【答案与解析】解：依题意得：8482(8)34.xx+【总结升华】建立不等式组的条件是：当感知所求的量同时满足几个不等关系时，要建立不等式组，建立不等式组的意义

与建立方程组的意义类似．【即学即练】直接写出解集：(1)2,3xx−的解集是______；(2)2,3xx−的解集是______；(3)2,3xx−的解集是_______；(4)2,3xx−的解集是_______．【答案】（1

）2x；（2）3x−；（3）32x−；（4）空集．知识点02解一元一次不等式组1.一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，

然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解不等式组就是求它的解集，解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不

等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．【知识拓展1】（2021秋•岳阳期末）在数轴上表示某不等式组的解集，如图所示，则这个不等式组可能是（）A．B．C．D．【分析】分别求出各不等式组的解集，判断即可．

【解答】解：A、，由①得：x＞4，由②得：x≥﹣1，则不等式组的解集为x＞4，不符合题意；B、，由①得：x＞4，由②得：x≤﹣1，则不等式组无解，不符合题意；C、，由①得：x＜4，由②得：x≤﹣1，则不等式组的解集为x≤﹣1，不符合题意；D、，由①得：x＜4，由②得

：x≥﹣1，则不等式组的解集为﹣1≤x＜4，符合题意．故选：D．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．【即学即练1】（2021秋•南岗区期末）不等式组的解集是1≤x＜3．【分析】分别求出不等式组中

两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【解答】解：，由①得：x＜3，由②得：x≥1，∴不等式组的解集为1≤x＜3．故答案为：1≤x＜3．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．【即学即练2】（2021秋•新邵县期

末）解不等式组，请结合题意，完成本题的解答．（1）解不等式①，得x＞﹣3．（2）解不等式③，得x＜4．（3）把不等式①②和③的解集在数轴上表示出来．（4）从图中可以找出三个不等式的解集的公共部分，得不等式组的解集为2≤x＜4．【分析】（1）

不等式①左右两边除以﹣2，利用不等式基本性质3计算即可求出解集；（2）不等式③去括号，移项，合并同类项，求出解集即可；（3）把把不等式①②和③的解集在数轴上表示即可；（4）找出三个不等式的解集的公共部分，确

定出解集即可．【解答】解：（1）解不等式①，得x＞﹣3；故答案为：x＞﹣3；（2）解不等式③，得x＜4；故答案为：x＜4；（3）解集在数轴上表示，如图所示：（4）从图中可以找出三个不等式的解集的公共部分，得不等式组的解集为2≤

x＜4．故答案为：2≤x＜4．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．【知识拓展2】解下列不等式组(1)313112123xxxx+−+++①②（2）213(1)4xxx+−−．【思路点拨】解不等式组时，要先

分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴，找它们解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集．【答案与解析】解：(1)解不等式①，得x＜-2解不等式②，得x≥-5故原不等式组的解集为-5≤x＜-2．其解集在数轴上表示

如图所示．（2）原不等式可变为：213(1)3(1)4xxxx+−−−①②解①得：4x解②得：12x−故原不等式组的解集为142x−．【总结升华】确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种：(1)数轴法：运用数

轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集，如上面(1)～(3)题．如果没有公共部分，则这个不等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握．

(2)口诀法：为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找，大大小小无解了．【即学即练1】解不等式组：523246514xxxx−−−

【答案】解：523246514xxxx−−−①②由①，得15664xx−−，解得92x．由②，得414x−，解得72x−．所以不等式组的解集是72x−．知识点03一元一次不等式组的整数解【知识拓展1】（2021秋•让胡路区期末）若关于x的不等式组，恰有2个

整数解，则a的取值范围为0＜a≤1．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组整数解的个数可得答案．【解答】解：解不等式3x≤4x+1，得：x≥﹣1，解不等式x﹣a＜0，得：x＜a，则不等式组的解集为﹣1≤x＜a，∵不等式组的整数解有2个，∴0＜a≤1，故答案为：0＜a≤1．【点评】本题考查

的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【即学即练1】（2021秋•龙凤区校级期末）已知关于x的不等式组恰有

4个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜﹣B．﹣1≤a≤﹣C．﹣1＜a≤﹣D．﹣1≤a＜﹣【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，结合不等式组的整数解个数列出关于a的不等式组，解之即可．【解答】解：解不等式4﹣2x

≥0，得：x≤2，解不等式x﹣a＞0，得：x＞2a，∵不等式组恰有4个整数解，∴﹣2≤2a＜﹣1，解得﹣1≤a＜﹣，故选：D．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中

间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．知识点04由实际问题抽象出一元一次不等式组【知识拓展1】（2021春•澄城县期末）鱼缸里饲养A、B两种鱼，A种鱼的生长温度x℃的范围是20≤x≤28，B种鱼的生长温度x℃的范围是19≤x≤25，那么鱼

缸里的温度x℃应该控制在20≤x≤25范围内．【分析】根据题意列出不等式组，求不等式解集的公共部分即可．【解答】解：由题意得：，解得：20≤x≤25，故答案为：20≤x≤25．【点评】此题主要考查了由实际问

题抽象出不等式组．关键是掌握解集的规律：“同大取大，同小取小，大小小大取中间”进行分析求解．【即学即练1】（2021春•扶沟县期末）目前，我国已获批上市4款自主研发的新冠疫苗．某生物制药公司计划生产制造A、B两种疫苗共40万支，已知生产每支A疫苗需甲种原料8mg

，乙种原料5mg；生产每支B疫苗需甲种原料4mg，乙种原料9mg．公司现有甲种原料4kg，乙种原料3kg，设计划生产A疫苗x支，下列符合题意的不等式组是（）A．B．C．D．【分析】根据生产每支A疫苗需甲种原料8mg，乙种原料5mg；生产每支B疫苗需甲种原料4mg，乙

种原料9mg．公司现有甲种原料4kg，乙种原料3kg，可以列出相应的不等式组，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，，故选：C．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组．

【即学即练2】（2021春•重庆期末）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人

，则可列不等式组为（）A．8（x﹣1）＜5x+12＜8B．0＜5x+12＜8xC．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8D．8x＜5x+12＜8【分析】设有x人，由于每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，则苹果有（5x+12）个；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8

个苹果，就是苹果数5x+12﹣8（x﹣1）大于0，并且小于8，根据不等关系就可以列出不等式【解答】解：设有x人，则苹果有（5x+12）个，由题意得：0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8，故选：C．【点评】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关

系．【即学即练3】（2021春•红谷滩区校级期末）一个四位数，记千位数字与个位数字之和为x，十位数字与百位数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“对称数”（1）最小的“对称数”为1010；四位数A与2020之和为最大的“对称数”，则A的值为7979；（2

）一个四位的“对称数”M，它的百位数字是千位数字a的3倍，个位数字与十位数字之和为8，且千位数字a使得不等式组恰有4个整数解，求出所有满足条件的“对称数”M的值．【分析】（1）根据题意，可以写出最小的“对称数”和最大的“对称数”，然后即可得到A的值，本题得以解决；（2）根据千位数字a使得不等式组

恰有4个整数解，可以求得a的值，然后根据题意，可以得到所有满足条件的“对称数”M的值．【解答】解：（1）由题意可得，最小的“对称数”为1010，最大的“对称数”是9999，∵四位数A与2020之和为最大的“对称数”，∴A的值为：9999﹣2020＝7979，故答案为：1010，7979；

（2）由不等式组，得＜x≤4，∵千位数字a使得不等式组恰有4个整数解，∴0≤＜1，解得，﹣1≤a＜4，∵a为千位数字，∴a＝1，2，3，设个位数字为b，∵一个四位的“对称数”M，它的百位数字是千位数字a的3倍，个位数字与十位数字之和为8

，∴百位数字为3a，十位数字是8﹣b，∴a+b＝3a+（8﹣b），b＝a+4，∴当a＝1时，b＝5，此时对称数”M的值是1335，当a＝2时，b＝6，此时对称数”M的值是2626，当a＝3时，b＝7，此时对称数”M的值是3917由上可得，对称数”M的值是1335，2626，3917．【

点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出M的值．知识点05一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释：(1)利用一元一次不等式组解应用题

的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取整数．【知识拓展1】（2021•西山区二模）如图所示，运行程序规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞79”为一次程序操

作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（）A．x＞9B．x≤19C．9＜x≤19D．9≤x≤19【分析】根据程序操作进行了三次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．【解答】解：依题意得：，解得：9＜x≤19．

故选：C．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．【即学即练】（2021秋•瓯海区月考）某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过2

00人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，那么每组预定的学生人数为（）A．24人B．23人C．22人D．不能确定【分析】根据若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，可以列出相应的不

等式组，然后求解即可，注意x为整数．【解答】解：设每组预定的学生为x人，由题意可得，，解得21＜x＜22，∵x为正整数，∴x＝22，故选：C．【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相

应的不等式组．【知识拓展2】（2021秋•北仑区期中）某社区为了更好地开展“垃圾分类，美丽宁波”活动，需购买A，B两种类型垃圾桶，用1600元可购进A型垃圾桶14个和B型垃圾桶8个，且购买3个A型垃圾桶

的费用与购买4个B型垃圾桶的费用相同，请解答下列问题：（1）求出A型垃圾桶和B型垃圾桶的单价．（2）若社区欲用不超过3600元购进两种垃圾桶共50个，其中A型垃圾桶至少29个，求有哪几种购买方案？【分析】

（1）设A型垃圾桶的单价为x元，B型垃圾桶的单价为y元，根据“用1600元可购进A型垃圾桶14个和B型垃圾桶8个，且购买3个A型垃圾桶的费用与购买4个B型垃圾桶的费用相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出A型垃圾桶和B型垃圾桶的单价；（2）设

购进A型垃圾桶m个，则购进B型垃圾桶（50﹣m）个，根据“A型垃圾桶至少购进29个，且购进50个垃圾桶的总费用不超过3600元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购

买方案．【解答】解：（1）设A型垃圾桶的单价为x元，B型垃圾桶的单价为y元，依题意得：，解得：．答：A型垃圾桶的单价为80元，B型垃圾桶的单价为60元．（2）设购进A型垃圾桶m个，则购进B型垃圾桶（50﹣m）个，依题意得

：，解得：29≤m≤30．又∵m为正整数，∴m可以取29，30，∴该社区共有2种购买方案，方案1：购进A型垃圾桶29个，B型垃圾桶21个；方案2：购进A型垃圾桶30个，B型垃圾桶20个．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一

元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．【即学即练1】（2021秋•鸡冠区校级期末）在今年的新冠疫情期间，政

府紧急组织一批物资送往武汉．现已知这批物资中，食品和矿泉水共410箱，且食品比矿泉水多110箱．（1）求食品和矿泉水各有多少箱？（2）现计划租用A、B两种货车共10辆，一次性将所有物资送到群众手中，已知A种货车最多可装食品4

0箱和矿泉水10箱，B种货车最多可装食品20箱和矿泉水20箱，试通过计算帮助政府设计几种运输方案？（3）在（2）条件下，A种货车每辆需付运费600元，B种货车每辆需付运费450元，政府应该选择哪种方案，才能使运费最少？最少运费是多少？【分析】（1）设食品有x

箱，矿泉水有y箱，根据“品和矿泉水共410箱，且食品比矿泉水多110箱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设租用A种货车m辆，则租用B种货车（10﹣m）辆，根据租用的10辆货车可以一次运送这批物

质，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各运输方案；（3）根据总运费＝每辆车的运费×租车辆数，可分别求出三个运输方案所需总运费，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设食品有x箱，矿泉水有y箱，依题意，得：，解

得：．答：食品有260箱，矿泉水有150箱．（2）设租用A种货车m辆，则租用B种货车（10﹣m）辆，依题意，得：，解得：3≤m≤5，又∵m为正整数，∴m可以为3，4，5，∴共有3种运输方案，方案1：租用A种货车3辆，B种货车7辆；方案2：租用A

种货车4辆，B种货车6辆；方案3：租用A种货车5辆，B种货车5辆．（3）选择方案1所需运费为600×3+450×7＝4950（元），选择方案2所需运费为600×4+450×6＝5100（元），选择方案3所需运费为600×5+450×5＝525

0元）．∵4950＜5100＜5250，∴政府应该选择方案1，才能使运费最少，最少运费是4950元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据

各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用总运费＝每辆车的运费×租车辆数，分别求出三个运输方案所需总运费．【即学即练2】“六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，

还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．【思路点拨】设有x名学生，则由第一种植树法，知道一共有(4x+37)棵树；第二种植树法中，前（x-1）名学生中共植6（x-1）棵树；最后一名学生植树的数量是：[(4x+37)-6（x-

1）]棵，这样，我们就探求到第一个不等量关系：最后一人有树植，说明第二种植树法中前（x-1）名学生植树的数量要比树木总数少，即(4x+37)＞6（x-1）；第二种植树法中，最后一名学生植树的数量不到3棵，也就是说[(4x+37)-6（x-1）]＜3，或者理解为：[(3x+8)

-5（x-1）]≤2，这样，我们就又找到了第二个不等量关系式.到此，不等式组即建立起来了，接下来就是解不等式组．【答案与解析】解：设有x名学生，根据题意，得：4376114376132xxxx+−+−−（）（）（）（）（），不等式(1)的解集是：x＜2121；不等式（2）的

解集是：x＞20，所以，不等式组的解集是：20＜x＜2121，因为x是整数，所以，x=21，4×21+37=121（棵）答：这批树苗共有121棵.【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的

量的等量关系．【即学即练3】一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按原价的九折销售，可获得不足20%的利润，此商品原价在什么范围内？【答案】解：设这件商品原价为x元，根

据题意可得：88%303010%90%303020%xx++解得：37.540x答：此商品的原价在37.5元（包括37.5元）至40元范围内．【即学即练4】某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表．(注：获利＝售价－进价

)甲乙进价(元/件)1535售价(元/件)2045(1)若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件?(2)若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，问有哪几种购货方案?并直接写出

其中获利最大的购货方案．【思路点拨】(1)根据题中的等量关系列方程(组)即可求解；(2)根据题中给出的两个不等关系．“投入资金少于4300元”和“获利多于1260元”列出不等式组，求出其整数解，根据整数解的个数设计购货方案．【答案与解

析】解：(1)设甲种商品应购进x件，则乙种商品应购进(160-x)件，根据题意，得5x+10(160-x)＝1100．解得x＝100，所以160-x＝60，所以甲种商品购进100件，乙种商品购进60件．(2)设甲种商品购进a件，则乙种商品购进(160-a)件．根据题意，得153

5(160)4300,510(160)1260.aaaa+−+−解得65＜a＜68．因为a为非负整数，所以a取66或67．所以160-a相应取94或93．所以共有两种购货方案．方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购

进94件；方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件．其中获利最大的是方案一．【总结升华】解决本题的关键是读懂题意，找到所求量的等量关系及符合题意的不等关系式组：甲件数+乙件数=160；甲总利润+乙总利润=1100．甲进价×甲数量+乙进价×乙数量＜4300；甲总利润+乙总利润＞1260

．【即学即练5】A地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B地。已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨．（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．（2）若

甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？【答案】解：（1）设租甲种货车x辆，则租乙种货车（10x−）辆，依题意得：42(10)302

(10)13xxxx+−+−，解得57x，又x为整数，所以5x=或6或7，∴有三种方案：方案1：租甲种货车5辆，乙种货车5辆；方案2：租甲种货车6辆，乙种货车4辆；方案3：租甲种货车7辆，乙种货车3辆．（2）运输费用：方案1：2000×5＋1300×5＝16500（元）；

方案2：2000×6＋1300×4＝17200（元）；方案1：2000×7＋1300×3＝17900（元）．∴方案1运费最少，应选方案1．类型一、解一元一次不等式组例1.(山东德州)解不等式组3(2)4121.3xxxx−−−+−【思路

点拨】按照解不等式组的基本步骤进行求解就可以了．【答案与解析】解：解不等式①，得x≥1解不等式②，得x＜4所以，不等式组的解集是1≤x＜4．【总结升华】错因分析：求出不等式①、②的解集后，应取其公共部分作为不等式组的解集．

错解的原因是由于错误理解了不等式组的解集定义造成的．【变式】解不等式组3(2)423xxaxx−−+无解．则a的取值范围是()A．a＜1B．a≤lC．a＞1D．a≥1【答案】B例2.不等式组3(2)5(4)2.......(1)

562(2)1,........(2)32211............(3)23xxxxxx++−+++++−是否存在整数解？如果存在请求出它的解；如果不存在要说明理由.【思路点拨】解这类问题的第一步是分别求

出各个不等式的解集；第二步借助数轴以确定不等式组的公共解集；最后看公共解集中是否存在整数解.【答案与解析】解：解不等式（1），得：x＜2；解不等式（2），得：x-3；解不等式（3），得：x-2；能力拓展在数轴上分别表示不等式（1）、（2）、（3）的解集：∴原不等式组的解集为：-2≤x＜2.

∴原不等式组的整数解为：-2、-1、0、1.【总结升华】求不等式组的解集就是求不等式组中所有不等式解集的公共部分.对于三个以上的不等式有时不容易得到公共解集，于是常常借助数轴的直观性，这样较容易确定其解集.在数轴上表示点的位置，要注意空心圈与实心圆点的不同用法.

【变式】不等式组7(1)4326(1)253xxxx−++−的整数解．【答案】-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3．例3.试确定实数a的取值范围．使不等式组1023544(1)33xxaxxa++++++恰好有

两个整数解．【思路点拨】先确定其解集，再判断出整数解，最后利用数轴确定a的范围．【答案与解析】解：由不等式1023xx++，分母得3x+2(x+1)＞0，去括号，合并同类项，系数化为1后得x＞25−．由不等式544(1)

33axxa++++去分母得3x+5a+4＞4x+4+3a，可解得x＜2a．所以原不等式组的解集为225xa−，因为该不等式组恰有两个整数解：0和l，故有：1＜2a≤2，所以：12a≤１．【总结升华】此题考查的是一元一次不等式组的解法，得出x的整数解，再根据x的取

值范围求出a的值即可．【变式】.已知a是自然数，关于x的不等式组3x-4a,x-2>0的解集是x＞2，求a的值．【答案】解：解第一个不等式，得解集43ax+，解第二不等式，得解集2x，∵不等式组的解集为x＞2，∴423a+，即2a，又a为自然数，

∴0a=或1或2．类型二、解特殊的一元一次不等式组例4.解下列不等式：(1)(3x-2)(x+3)＞0(2)4527xx−+＜0（3）∣312x−+∣≤3【思路点拨】如果ab＞0或0ab，那么a，b同号，即有00ab或00ab

；如果ab＜0或0ab，那么a,b异号，即有00ab或00ab；如果|a|＜b（这里b＞0），则-b＜a＜b；如果|a|＞b（这里b＞0），则a＞b或a＜-b.【答案与解析】解：（1）由(3x-2)(x+3)＞0,得①32030xx−+

或②32030xx−+由①得23x；由②得x＜-3.∴原不等式的解集是23x或x＜-3.（2）由45027xx−+，得①450270xx−+或②450270xx−+由①得无解；

由②得7524x−.∴原不等式的解集是7524x−.（3）原不等式可以变形为：32133+−−x；6316x−−+735x−−∴原不等式的解集为3735−x．【总结升华】这三种

不等式是特殊的不等式，我们可以利用已学的知识：积或商的符号性质、绝对值的性质把（1）、（2）、（3）这类特殊的不等式转化为一般不等式组求解.类型三、一元一次不等式组的应用例5.(桂林)某校初三年级春游，现有36座和42座两种

客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人；已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元．(1)该校初三年级共

有多少人参加春游?(2)请你帮该校设计一种最省钱的租车方案．【思路点拨】本题的关键语句是：“若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人”．理解这句话，有两层不等关系．(1)租用36座客车x辆的座位数小于租用42座客车(x-1)辆的座位数．(2)租用36

座客车x辆的座位数大于租用42座客车(x-2)辆的座位数+30．【答案与解析】解：(1)设租36座的车x辆．据题意得：3642(1)3642(2)30xxxx−−+，解得：79xx

．由题意x应取8，则春游人数为：36×8＝288(人)．(2)方案①：租36座车8辆的费用：8×400＝3200(元)，方案②：租42座车7辆的费用：7×440＝3080(元)，方案③：因为42×6+36×1＝288，所以租42座车6辆和36座车1辆的总费用：6×440＋

1×400＝3040(元)．所以方案③：租42座车6辆和36座车1辆最省钱．【总结升华】本例不等关系相对隐蔽，需要在审题过程中加以挖掘．【变式1】“向阳”中学某班计划用勤工俭学收入的66元，同时购买单价分别为3元、2元、1元的甲乙丙三种纪念品，奖励

参加校“艺术节”活动的同学．已知购买的乙种纪念品比购买的甲种纪念品多2件，而购买的甲种纪念品不少于10件，且购买甲种纪念品费用不超过总费用的一半，若购买的甲、乙、丙三种纪念品恰好用了66元钱，问可有几种购买方案，每种方案中购买甲乙丙三种纪念品各多少件？【答案】解：设购买的甲、乙、丙三种纪

念品件数分别为x、y、z，由题意得：+==++26623xyzyx且266310xx由方程组得：−=+=xzxy5622解不等式组得：10≤x≤11∵x为整数，∴x＝10或x＝11当x＝10时，y＝12，z＝12当x＝11时，y＝13，z＝7∴可

有两种方案购买．【变式2】5.12四川地震后，怀化市立即组织医护工作人员赶赴四川灾区参加伤员抢救工作．拟派30名医护人员，携带20件行李（药品、器械），租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，日夜兼程赶赴灾区．经

了解，甲种汽车每辆最多能载4人和3件行李，乙种汽车每辆最多能载2人和8件行李．(1)设租用甲种汽车x辆，请你设计所有可能的租车方案；(2)若甲、乙汽车的租车费用每辆分别为8000元、6000元，请你选择最省钱的租车方案．【答案】解：（1）设租

用甲种汽车x辆，则租用乙种汽车(8)x−，则：42(8)3038(8)20xxxx+−+−，解得：4785x，∵x应为整数，∴7x=或8，∴有两种租车方案，分别为：方案1：租甲种汽车7辆，乙种汽车1辆；方案2：租甲种汽车8辆，乙种汽

车0辆．（2）租车费用分别为：方案1:8000×7＋6000×1＝62000（元）；方案2：8000×:8＝64000（元）．∴方案1花费最低，所以选择方案1．题组A基础过关练一．选择题（共4小题）1．（2020秋•历

下区期末）一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解分层提分集是（）A．x≥3B．x＞3C．x≥1D．x＞1【分析】由数轴知x≥1且x＞3，再确定其公共部分即可．【解答】解：由数轴知x≥1且x＞3，∴其公共部分为x＞3，故选：B．【点评】本题考

查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．2．（2021•西山区二模）如图所示，运行程序规定：从“输入一个值

x”到“结果是否＞79”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（）A．x＞9B．x≤19C．9＜x≤19D．9≤x≤19【分析】根据程序操作进行了三次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值

范围．【解答】解：依题意得：，解得：9＜x≤19．故选：C．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．3．（2021春•丰台区校级期末）下列不等式组中，无解的是（）A．B．C．D．【分析】根据不等式组的解法分别解出每个不等式组可得答案．【

解答】解：A、分别解每个不等式可得，其解集为x＞5；B、分别解每个不等式可得，其解集为﹣3＜x＜2；C、分别解每个不等式可得，无解；D、分别解每个不等式可得，其解集为x．故选：C．【点评】主要考查了一元一次不等式组的解法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，

大小小大中间找，大大小小找不到．4．（2021春•邗江区校级期末）对于任意有理数x，我们用[x]表示不大于x的最大整数，若[x]＝n，则n≤x＜n+1．如：[2.7]＝2，[2018]＝2018，[﹣3.14]＝﹣

4，若[3x+2]＝﹣3，则x的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可得﹣3≤3x+2＜﹣2，根据不等式的解法即可求解．【解答】解：根据题意可得﹣3≤3x+2＜﹣2，解得﹣≤x＜﹣，故选：D．【点评】本题以新定义为背景考查了解一元一次不等式组，解答本题的

关键是明确题意，列出相应的不等式组．二．填空题（共4小题）5．（2020秋•娄底期末）关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式组的解集是﹣1＜x≤3．【分析】结合数轴确定其公共部分即可．【解答】解：由数轴知此

不等式组的解集是﹣1＜x≤3，故答案为：﹣1＜x≤3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．6．（2021秋•崇川区校级月考

）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．方方上午8点驾驶小汽车从A地出发，需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地

，则小汽车行驶速度v的范围80≤v≤100．【分析】8点到12点48分共4.8小时，8点到14点共6小时，根据方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，即可得出关于v的一元一次不等式组，解之即可得出v的取值范围．【解答】解：8点到12点48分共4

.8小时，8点到14点共6小时．依题意得：，解得：80≤v≤100．故答案为：80≤v≤100．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．7．（2021秋•青羊区校级期中）﹣＜x＜的所有整数的和是2．【分析】满足﹣＜x＜的所有

整数有﹣1、0、1、2，据此可得答案．【解答】解：∵满足﹣＜x＜的所有整数有﹣1、0、1、2，∴﹣＜x＜的所有整数的和是﹣1+0+1+2＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是根据不等式的解集得出其整数解情况．8．（2021春•

庆云县期末）按如图的程序进行运算，规定程序运行到“判断结果是否大于30”为一次运算．若某运算进行了3次才停止，则x的取值范围是＜x≤．【分析】根据该程序运行了3次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可

得出x的取值范围．【解答】解：依题意得：，解得：＜x≤．故答案为：＜x≤．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．三．解答题（共5小题）9．（20

21•济南）解不等式组：并写出它的所有整数解．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式①，得x≥﹣2，解不等式②，得x＜1，∴不等式组的解集为﹣2≤x＜1，∴不等式组的整数

解有﹣2、﹣1、0．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．10．（2021春•新疆期末）解不等式组：．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【

解答】解：解①得x≤1，解②得x＞，∴不等式组的解集是．【点评】本题考查了不等式组的解法，求不等式组中每个不等式的解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．11．（2021春•吉林期末）解不等式组并把它的解集

在数轴上表示出来．【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x＞﹣5，解不等式②得：x≤3，∴不等式组的解集是﹣5＜x≤3，在数轴上表示为：【点评】本题考查了不等式组的解

法，求不等式组中每个不等式的解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．12．（2021春•衡阳期末）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并求出它的所有整数解的和．【分析】分别求出不等

式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上，并求出所有整数解，求出之和即可．【解答】解：不等式组：，解不等式①得，x≤3，解不等式②得，x＞1，则不等式组的解集为1＜x≤3，在数轴上表示为：∴所有的

整数解为：2，3．所有的整数解的和为：2+3＝5．【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解、在数轴上表示不等式组的解集、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．13．（2021春•河北区期末）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集．请结合解题过程，完成本题的解

答．（Ⅰ）解不等式①，得x≤1；（Ⅱ）解不等式②，得x≤4；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为1≤x≤4．【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．【解答】解

：，（Ⅰ）解不等式①，得x≤1；（Ⅱ）解不等式②，得x≤4；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为x≤1．故答案为：（Ⅰ）x≤1；（Ⅱ）x≤4；（Ⅳ）x≤1．【点评】本题考查的是解一元一

次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键题组B能力提升练一．选择题（共4小题）1．（2021秋•瑶海区月考）若点P（m﹣2，﹣1﹣3m）在第三象限，则m的取值范围（

）A．m＜2B．m＞﹣C．﹣＜m＜2D．＜m＜2【分析】根据点在第四象限得出不等式组，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵点P（m﹣2，﹣1﹣3m）在第三象限，∴，解得：﹣m＜2，故选：C．【点评】本题考查了点的坐标

与解一元一次不等式组，能得出关于m的不等式组是解此题的关键．2．（2021•攀枝花）某学校准备购进单价分别为5元和7元的A、B两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的3倍，不少于B种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（）A

．1B．2C．3D．4【分析】设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为（50﹣x）本，由题意：A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的3倍，不少于B种笔记本数量的2倍，列出不等式组，解不等式组，取正整数解即可．【

解答】解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为（50﹣x）本，由题意得：，解得：33≤x≤37，∵x为正整数，∴x的取值为34，、35、36、37，则不同的购买方案种数为4种，故选：D．【点评】本题考查了一元一次不等

式组的应用，找出数量关系，列出一元一次不等式组是解题的关键．3．（2021秋•渝中区校级月考）关于x的方程3（k﹣2﹣x）＝3﹣5x的解为非负数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（）A．5B．2C．4D．6【分析】先解出方

程的解和不等式组的解集，再根据题意即可确定k的取值范围，从而可以得到符合条件的整数，然后相加即可．【解答】解：由方程3（k﹣2﹣x）＝3﹣5x，得x＝，∵关于x的方程3（k﹣2﹣x）＝3﹣5x的解为非负数，∴≥0

，得k≤3，，由不等式①，得：x≤﹣1，由不等式②，得：x≥k，∵关于x的不等式组无解，∴k＞﹣1，由上可得，k的取值范围是﹣1＜k≤3，∴k的整数值为0，1，2，3，∴符合条件的整数k的值的和为：0+1+2+3＝6，故选：D．【点评】本题考查解一元一次方程、解一元一次不等式组，解答本题的

关键是求出k的取值范围．4．（2020秋•莲都区期末）不等式组的解在数轴上表示为（）A．B．C．D．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：，解不等式①，得x≥﹣1，解不等式②，得x＜1，所以不等式组的解集是﹣1≤x＜1，在数轴上

表示为：故选：B．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．二．填空题（共5小题）5．（2020秋•简阳市期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x＞y，且关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的和为7．【分析】先

求出方程组的解，再根据x＞y得出关于a的不等式，求出a的范围，再求出不等式组中每个不等式的解集，根据不等式组无解得出关于a的不等式，求出不等式的解集，再求出整数a，最后求出答案即可．【解答】解：解方程

组得：，∵x＞y，∴2a+1＞a﹣2，解得：a＞﹣3，，解不等式①，得x≥，解不等式②，得x＜，∵关于x的不等式组无解，∴≥，解得：a≤4，∴﹣3＜a≤4，∵a为整数，∴a可以为﹣2，﹣1，0，1，2，3

，4，和为﹣2+（﹣1）+0+1+2+3+4＝7，故答案为：7．【点评】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式等知识点，能得出a的范围﹣3＜a≤4是解此题的关键．6．（2021秋

•茂名月考）已知点P（2﹣a，3a）在第四象限，那么a的取值范围是a＜0．【分析】根据点在第四象限得出不等式组，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵点P（2﹣a，3a）在第四象限，∴，解得：a＜0，故答案为：a＜0．【点评】本题考查了点的坐标与解一元一次不等式组，能得出关于a的不等

式组是解此题的关键．7．（2021•莆田模拟）不等式组的解集为1≤x＜2．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：，解不等式①，得x≥1，解不等式②，得x＜2，所以不等式

组的解集是1≤x＜2，故答案为：1≤x＜2．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．8．（2021春•烟台期末）三个数3，1﹣m，1﹣2m在数轴上从左到右依次排列，则m的取值范围是m＜﹣2．【分析】根

据题意得出不等式组，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：根据题意得：，解不等式①，得m＜﹣2，解不等式②，得m＜0，所以不等式组的解集是m＜﹣2，即m的取值范围是m＜﹣2，故答案为：m＜﹣2【点评】本题考查了解一元一次不等式组和数轴，能熟记在数轴上表示的数，右边的数总比

左边的数大是解此题的关键．9．（2021秋•沙坪坝区校级期中）元旦期间，某商场开业，为了吸引更多的人流量，该商场决定举行迎宾抽奖活动．活动规则如下：只要在该商场消费一定的金额，消费者就可以凭借小票去抽奖中心兑换盲盒（盲盒的形

状，大小，重量等各种属性完全相同），且盲盒里面分别装有50元、30元、10元、5元的奖金．开业当天商场准备了400个盲盒，且全部被消费者领完．经统计，开业当天上午领取的盲盒中所含奖金的总金额为950元，其中领取含有30元的盲盒的数量是含有10元的盲盒数量的一半，领取含50元的盲

盒的数量多于1个，少于5个；下午领取的盲盒中所含奖金的总金额是1240元，下午领取含5元的盲盒的数量比上午领取含5元的盲盒的数量少10个，领取含10元的盲盒的数量是上午领取含10元的盲盒的数量的2倍，领取含30元的盲盒的数量比上午领取含30元的盲盒的数量多5个，含50元的盲盒

只有1个被抽中，剩余的盲盒则全被晚上领取完毕，则晚上被领取的盲盒的数量是206．【分析】设上午领取含50元的盲盒有a个，上午领取含30元的盲盒有b个，上午领取含10元的盲盒有c个，上午领取含5元的盲盒有d个，根据题意可得50a+25c+5d＝950①，再根据下

午取盲盒的情况可得35c+5d＝1090②，然后②﹣①可得a，c的关系，根据a的范围可求出c的范围，然后分类讨论即可．【解答】解：设上午领取含50元的盲盒有a个，上午领取含30元的盲盒有b个，上午领取含10元的盲盒有c个，上午领取含5元的盲盒有d个，得50a+30b+10c+5d＝950，∵，∴

50a+25c+5d＝950①由题意得：下午领取含30元的盲盒有（b+5）个，含10元的盲盒有2c个，含5元的盲盒有（d﹣10）个，∴50+30（b+5）+20c+5（d﹣10）＝1240，整理得30b+2

0c+5d＝1090，∴，∴35c+5d＝1090②②﹣①得10c﹣50a＝140，∴，∵1＜a＜5，∴，∴19＜c＜39，又∵为整数，∴c＝24或29或34，∵当c＝29，不合题意，舍去，当c＝34，把c＝34代入②得，d＝0不合题意，舍去，当c＝24，a＝2，b＝12，d＝50符合题意，∴晚上

取的盲盒数量为：400﹣（2+12+24+50）﹣（1+17+48+40）＝206．【点评】本题考查了方程组的整数解问题，关键是弄清题意，结合不等式求出上午领取含10元的盲盒数量的范围．三．解答题（共5小题）10．（

2021•徐州模拟）（1）解方程：；（2）解不等式组：．【分析】（1）先化简方程组，然后根据加减消元法可以解答此方程组；（2）先解出每个不等式，然后即可得大不等式组的解集．【解答】解：（1），化简，得：，①+②，得6x＝18，解得x＝3，将x＝

3代入①，得y＝，故原方程组的解是；（2），解不等式①，得：x＞，解不等式②，得：x≤4，故原不等式组的解集是＜x≤4．【点评】本题考查解一元一次不等式组、解二元一次方程组，熟练掌握解不等式组和解一元二次方程的方法是解答本题

的关键．11．（2021秋•临湘市期末）列不等式（组）解应用题：一工厂要将100吨货物运往外地，计划租用某运输公司甲、乙两种型号的汽车共6辆一次将货物全部运动，已知每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，租金800元，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨，租金850元，若此

工厂计划此次租车费用不超过5000元，通过计算求出该公司共有几种租车方案？请你设计出来，并求出最低的租车费用．【分析】设租用甲型汽车x辆，则租用乙型汽车（6﹣x）辆，根据装货物的吨数是100吨，以及租车费用不超过5000元，列出不等式组，解出x的值

，进一步即可求解．【解答】解：设租用甲型汽车x辆，则租用乙型汽车（6﹣x）辆，依题意得：，解得2≤x≤4，∵x的值是整数∴x的值是2，3，4．∴该公司有三种租车方案：①租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆，费用为5000元；②租用甲型汽车3辆，租用乙型汽车3辆，费用为4950元；③租用甲型汽车

4辆，租用乙型汽车2辆，费用为4900元．∴最低的租车费用为4900元．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．12．（2021秋•衢江区月考）为纪念今年建党一百周年，学校集团党委决定印制《党旗飘扬》、

《党建知识》两种党建读本．已知印制《党旗飘扬》5册和《党建知识》10册，需要350元；印制《党旗飘扬》3册和《党建知识》5册，需要190元．（1）求印制两种党建读本每册各需多少元？（2）考虑到宣传效果和资金周转，印制《党旗飘扬》不能少于60册，且用于印制两种党建读本的资金不能超

过2630元，现需要印制两种读本共100册，问有哪几种印制方案？哪种方案费用最少？【分析】（1）根据印制《党旗飘扬》5册和《党建知识》10册，需要350元；印制《党旗飘扬》3册和《党建知识》5册，需要190元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即

可；（2）根据印制《党旗飘扬》不能少于60册，且用于印制两种党建读本的资金不能超过2630元，可以列出相应的不等式，然后求解即可．【解答】解：（1）设印制《党旗飘扬》每册x元，《党建知识》每册y元，由题意可得，解得，答：印制《

党旗飘扬》每册30元，《党建知识》每册20元；（2）设印制《党旗飘扬》a册，则印制《党建知识》（100﹣a）册，由题意可得：30a+20（100﹣a）≤2630且a≥60，解得60≤a≤63，∵a为整数，

∴a＝60，61，62，63，∴有四种方案，方案一：印制《党旗飘扬》60册，印制《党建知识》40册，需要付款：30×60+20×40＝2600（元）；方案二：印制《党旗飘扬》61册，印制《党建知识》39册，需要付款：30×61+20

×39＝2610（元）；方案三：印制《党旗飘扬》62册，印制《党建知识》38册，需要付款：30×62+20×38＝2620（元）；方案四：印制《党旗飘扬》63册，印制《党建知识》37册，需要付款：30×63+20×37＝2630（元）；由上可得，方案

一费用最少．【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式．13．（2021秋•金华期中）对x，y定义一种新运算F（x，y）＝（ax+by）（x+3y

）（其中a，b均为非零常数）．例如：F（1，1）＝4a+4b；已知F（3，1）＝0，F（0，1）＝﹣9．（1）求a，b的值；（F（3t+1，t）≥k；（2）若关于F的不等式组恰好只有1个整数解，求k的取值范围．【分析】（1）根据定义的新运算F，列出二元一次

方程组，解方程组求出a，b的值；（2）根据（1）求出的a，b的值和新运算列出方程组求出t的取值范围，根据题意列出不等式，解不等式求出实数k的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，，解得；（2）把a＝1，b＝﹣3代入可得F（x，y）＝（x﹣3y）（x+3y）＝x

2﹣9y2，所以不等式组可转化为：，解得，因为原不等式组只有1个整数解，所以﹣1＜≤0，解得﹣5＜k≤1．【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解的确定，掌握二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法是解题的关键．14．（2021秋•

朝阳区校级期中）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解集为1＜x＜4．（1）在方程①3x﹣3＝0；②x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣9中，不等式组的

关联方程是③．（填序号）（2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是x+m＝0，则常数m＝2．（3）①解两个方程：和．②是否存在整数m，使得方程和都是关于x的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数m

的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先根据等式的性质求出三个方程的解，再求出不等式组的解集，再得出答案即可；（2）先求出不等式组的解集，求出不等式组的整数解，求出x＝﹣2，再代入方程x+m＝0求出m即可；（3）先求出两个方程的解，再求出不等式组的解集，得出关于m的不等式组，再求

出不等式组的解集即可．【解答】解：（1）①3x﹣3＝0，3x＝3，x＝1；②x+1＝0，x＝﹣1，x＝﹣；③x﹣（3x+1）＝﹣9，x﹣3x﹣1＝﹣9，﹣2x＝﹣8，x＝4，解不等式组得：3.5＜x＜4.5，所以不等式组的关联方程是③，故答案为：③；（2）解不等式组得：﹣2.5＜

x＜﹣1.5，所以不等式的整数解是x＝﹣2，∵不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是x+m＝0，∴把x＝﹣2代入方程x+m＝0得：﹣2+m＝0，解得：m＝2，故答案为：2；（3）不存在整数m，使得方程和都是关于x的不等式组的关联方程，理由

是：，x+3＝2，x＝﹣1；，3（x+2）+6＝2（x+7），3x+6+6＝2x+14，3x﹣2x＝14﹣6﹣6，x＝2，解不等式组得：2﹣m＜x＜，假如方程和都是关于x的不等式组的关联方程，则2﹣m＜﹣1且＞2，解不等式组得：不等式组无解，所以不存在整数m，

使得方程和都是关于x的不等式组的关联方程．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次方程，能求出方程的解和求出不等式组的解集是解此题的关键．题组C培优拔尖练一．填空题（共7小题）1．（2020•浙江自主招生）使得不等式组＜＜对唯一的整数k成立的最大正整数n为144．【

分析】根据题目中的不等式，先变形，然后即可得到＜＜，再根据k是唯一的整数，可以得到n的取值范围，然后通过计算可以得到唯一的整数k，从而可以得到n的最大正整数值．【解答】解：∵＜＜，∴＜＜，∴＜1+＜，∴＜＜，k是唯一的整数，∴≤且≥，∴＝≥﹣＝，

∴n≤144，当n＝144时，由＜＜，可得126＜k＜128，∴k可取唯一的整数127，由上可得，n的最大值是144，故答案为：144．【点评】本题考查一元一次不等式的组的整数解，解答本题的关键是找出不等关系成立的条件，求出n的最大值，注意求得的n一定使得整数k具

有唯一性．2．（2019秋•昌江区校级期末）已知关于x的不等式组恰有三个整数解，则t的取值范围为≤t＜﹣．【分析】求出每个不等式的解集，根据已知得出不等式组的解集，根据不等式组的整数解即可得出：一定存在一个整数k，满足满足

下列关系：，并分情况讨论得出k的取值，再得t的取值范围．【解答】解：解不等式①得：x＞，解不等式②得：x＜3﹣2t，则不等式组的解集为：＜x＜3﹣2t，∵不等式组有3个整数解，∴一定存在一个整数k，满足满足下列关系：，解不等式组①得，，解不等式组②得，，

（1）当，即时，则，于是，，解得，，∴＜k≤，∵k为整数，∴k＝3，∴，∴﹣≤t＜﹣；（2）当时，即时，不存在整数k，∴此时无解；（3）当，此时无解；（4）当，即k时，则，于是，，解得，，∴，不存在整数k，∴此时无解．综上，≤t＜﹣．故答案为：≤t＜﹣．【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，

解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．难点是由不等式组有3个整数解，得出t的不等式组，以及分情况解k及t．难度大．3．（2020•港南区三模）已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是﹣5≤m＜﹣4．【分析】首先解每个不等式，然后根据不等

式组的整数的个数，确定整数解，从而确定m的范围．【解答】解：，解①得x＜﹣，解②得x＞m，则不等式组的解集是m＜x＜﹣．不等式组有2个整数解，则整数解是﹣3，﹣4．则﹣5≤m＜﹣4．故答案是：﹣5≤m＜﹣4．【

点评】此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．4．（2020•岱岳区一模）若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣9，则m的取值范

围是﹣2＜m≤﹣1或1＜m≤2．【分析】先求出不等式的解集，根据已知不等式组的整数解得和为﹣9即可得出答案．【解答】解：∵解不等式①得：x≥﹣4，又∵不等式组的所有整数解得和为﹣9，∴﹣4+（﹣3）+（﹣2）＝

﹣9或（﹣4）+（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）+0+1＝﹣9，∴﹣2＜m≤﹣1或1＜m≤2，故答案为：﹣2＜m≤﹣1或1＜m≤2．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解等知识点，能得出关于m的不等式组是解此题的关键．5．（

2019春•武邑县校级月考）某班男女同学分别参加植树劳动，要求男女同学各种8行树，男同学种的树比女同学种的树多，如果每行都比预定的多种一棵树，那么男女同学种树的数目都超过100棵；如果每行都比预定的少种一棵树，那么男女同学植树的数目都达不到100棵．这样原来预定男同学种树104棵；女同学种树96棵

．【分析】关系式为：8×（原来每行树的棵数+1）＞100；8×（原来每行树的棵数﹣1）＜100，把相关数值代入求得整数解，根据男同学种的树比女同学种的树多可得男同学和女同学原来种的每行树的棵数，乘以8即为总的种树棵树．【解答】解：设原来每

行树的棵数为x．，解得11.5＜x＜13.5，∵x为整数，∴x为12，13．∵男同学种的树比女同学种的树多，∴男同学每行种13棵树，女同学每行种12棵树．∴男同学种了13×8＝104棵树，女同学种了12×8＝96棵树．故答案为：104；96．【点评】考查一元一次不等式组的应

用；得到种树总棵数和100的2个关系式是解决本题的关键．6．（2021春•奉化区校级期中）某校奖励学生，初一获奖学生中，有一人获奖品3件，其余每人获奖品7件；初二获奖学生中，有一人获奖品4件，其余每人获奖品

9件．如果两个年级获奖人数不等，但奖品数目相等，且每个年级奖品数大于50而不超过100，那么两个年级获奖学生共有25人．【分析】分别设两个年级的人数为未知数，可得到每个年级奖品的总数目，让其相等可得两个未知数的关系．

关系式为：50＜每个年级的奖品数≤100，把相关数值代入求得适合的整数解，相加即可．【解答】解：设初一获奖人数为n+1人，初二获奖人数为m+1人（n≠m）．依题意有3+7n＝4+9m，即7n＝9m+1①由于50＜3+7n≤100，50＜4+9m≤100．得＜n≤，＜m≤，∴

n＝7，8，9，10，11，12，13．m＝6，7，8，9，10．但满足①式的解为唯一解：n＝13，m＝10．∴n+1＝14，m+1＝11．∴获奖人数共有14+11＝25（人）．故答案为25．【点评】考查一元一次不等式组的应用；得到各年级人的总数的关系式是解决本题的

关键；根据奖品总数之间的关系式得到各年级人数的准确值是解决本题的难点．7．（2019春•南岸区校级期末）自2019年起，全国全面启动生活垃圾分类工作．到6月底，某市部分小区先投入“垃圾分类”工作中：这部分小区平均每个小区

有72户业主参加，其中参加户数低于60户的小区平均每个小区有56户业主参加，参加户数不低于60户的小区平均每个小区有84户业主参加．根据调查发现，若每个小区同时新增10户业主参加，则此时参加户数低于60户的小区平均每个小区有58户，参加户数不低于60户的小区平均每个小区有90户业主

参加，且该市这部分小区个数不低于50，且不高于70，则这部分小区有56个．【分析】设低于60户的有x个小区，不低于60户的有y个小区，每个小区增加10户，低于60户有（x﹣e）个小区，不低于60户的有（y+e）个小区，根据题意列方程组，将x和y用含e的式子表示出来，再根据x，y，e都是正整数，且

50≤x+y≤70，求得e，再得x和y，进而求出答案．【解答】解：设低于60户的有x个小区，不低于60户的有y个小区每个小区增加10户，则设低于60户的会在x户的基础上减少e户，不低于60户的会在y户的基础上增加e户即：低于60户有（x﹣e）个小区，不低于60户

的有（y+e）个小区由题意得：72（x+y）＝56x+84y化简得：4x＝3y①同时有：58（x﹣e）+90（y+e）＝82（x+y）化简得：3x﹣y＝4e②由①②解得：x＝2.4e，y＝3.2e∵x，y，e都是正整数，且50≤x+y≤7

0∴50≤5.6e≤70∴e＝10，x＝24，y＝32∴x+y＝56故答案为：56．【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组在实际问题中的应用，本题的列式具有一定的难度．二．解答题（共8小题）8．（2021秋•开福区校级月考）若一个

不等式（组）A有解且解集为a＜x＜b（a＜b），则称为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含．（1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：﹣1＜x≤5，

请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程；（2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围．（3）关于x的不等式组E：（n＜m）和不等式组F：，

若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为9，求n的取值范围．【分析】（1）先求不等式组A的解集，然后求得A的中点值，最后判断；（2）先求不等式组C的解集和不等式组D的解集，然后后求得C的中点值，最后根据定义求得m的取值范围；

（3）先求不等式组E和F的解集，再求E得中点值，然后根据定义得到m和n不等式，最后通过m的条件求出n的取值范围．【解答】解：（1）不等式B对于不等式组A中点包含，判断过程如下：解不等式组A：，得4＜x＜6，

∴A的中点值为x＝5，∵x＝5在﹣1＜x≤5范围内，∴不等式B对于不等式组A中点包含；（2）∵D对于不等式组C中点包含，∴不等式组C和不等式组D有解，解不等式组C：，得，不等式组D：，得，∴，解得：m＞﹣4，∴当m＞﹣4时，不等式组C的解集为m﹣

3＜x＜3m+5，不等式组D的解集为m﹣4＜x＜，∴C的中点值为＝2m+1，∵D对于不等式组C中点包含，∴m﹣4＜2m+1＜，解得：﹣5＜m＜10，又∵m＞﹣4，∴﹣4＜m＜10．（3）解不等式组E得，2

n＜x＜2m，解不等式组F得，，∴E的中点值为n+m，∵不等式组F对于不等式组E中点包含，∴，解得：n＜m＜5，∵所有符合要求的整数m之和为9，∴整数m可取2、3、4，或整数m可取﹣1、0、1、2、3、4，∴1≤n

＜2或﹣2≤n＜﹣1．【点评】本题以新定义为背景，考查了两数的中间值、解一元一次不等式组、不等式的解，解题的关键是学会解一元一次不等式（组）．9．（2021春•雨花区期末）若三个代数式满足：只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于1的

实数，则称这三个代数式构成“雅礼不等式”．例如：三个代数式2x﹣5，2﹣x，﹣2有：当2x﹣5+2﹣x＞﹣2时的解集为x＞1，则称2x﹣5，2﹣x，﹣2构成“雅礼不等式”．（1）x﹣2，1，x+1可以构成“雅礼不等式”吗？请说明理由；（2）若ax，a+1，x构

成“雅礼不等式”，求a的值或取值范围；（3）若mx+m，﹣2nx，n构成“雅礼不等式”，求关于x的不等式组的解集．【分析】（1）由x﹣2+x+1＞1，即2x﹣1＞1的解集为x＞1即可得出答案；（2）分ax+

a+1＞x、ax+x＞a+1、a+1+x＞ax三种情况分别求解即可；（3）分﹣2nx+x＞mx+m、mx+m+n＞﹣2nx、mx+n﹣2nx＞n三种情况，依据新定义得出m、n之间的数量关系及m、n的正负情况，再代入方程组消掉m或n，进一步求解即可．

【解答】解：（1）x﹣2，1，x+1可以构成“雅礼不等式”，∵x﹣2+x+1＞1，即2x﹣1＞1的解集为x＞1，∴x﹣2，1，x+1可以构成“雅礼不等式”．（2）①若ax+a+1＞x，即（a﹣1）x＞﹣（a+1），则a﹣1＞0即a＞1且﹣＝1，解得a

＝0（舍）；②若ax+x＞a+1，即（a+1）x＞a+1，则a+1＞0且x＞1，符合题意；此时a＞﹣1；③若a+1+x＞ax，即（a﹣1）x＜a+1，则a﹣1＜0，即a＜1且＝1（此方程无解）；综上，a＞﹣1；（3）①若﹣2nx+x＞mx+m，即（m+2n）x＜n﹣m，则m+2n＜

0即m＜﹣2n且＝1，化简得n＝﹣2m，代入m+2n＜0得﹣3m＜0，即m＞0，则n＜0，由2nx﹣n＜mx﹣m，得：（m﹣2n）x＞m﹣n，即5mx＞3m，∴x＞，由2mx＞m+n，得：2mx＞3m，∴x＞，此时不等式组的解集为x＞；②若mx+m+

n＞﹣2nx，即（m+2n）x＞﹣（m+n），则m+2n＞0，﹣＝1，化简得n＝﹣m，代入m+2n＞0，得：m＜0，则n＞0，由2nx﹣n＜mx﹣m，得：（m﹣2n）x＞m﹣n，即mx＞m，∴x＜，由2mx＞m+n，得x＜，

∴不等式组的解集为x＜；③若mx+n﹣2nx＞n，即（m﹣2n）x＞﹣（m﹣n），则m﹣2n＞0，即m＞2n，且﹣＝1，化简得n＝m，代入m﹣2n＞0得m﹣m＞0，解得m＜0，由2nx﹣n＜mx﹣m，得：（m﹣2n）x＞m﹣n，即﹣mx＞m，解得x

＞﹣1；由2mx＞m+n，得2mx＞m，解得x＜，∴此时不等式组的解集为﹣1＜x＜．【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是根据“雅礼不等式”的定义列出对应的不等式，从中得出m、n之间的数量关系及其符号．10．（2021

•黑龙江）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？（

2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种

农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种）请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？【分析】（1）设购进1件甲种农机具x万元

，乙种农机具y万元．由题意：1件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元，列出方程组求解即可．（2）根据甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，列出不等式组求解．总资金＝甲农机具的总费用+乙农机

具的总费用；（3）设节省的资金用于再次购买甲种农机具a件，乙种农机具b件，由题意得（1.5﹣0.7）a+（0.5﹣0.2）b＝0.7×5+0.2×5，求出其整数解即可得出结果．【解答】解：设购进1件甲种农机具x万元，1件乙种农机具y万元．根据题意得：，解得，答：

购进1件甲种农机具1.5万元，1件乙种农机具0.5万元．（2）设购进甲种农机具m件，购进乙种农机具（10﹣m）件，根据题意得：，解得：4.8≤m≤7．∵m为整数．∴m可取5、6、7．∴有三种方案：方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件．方案二：购买甲种农机

具6件，乙种农机具4件．方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件．设总资金为w万元．w＝1.5m+0.5（10﹣m）＝m+5．∵k＝1＞0，∴w随着m的减少而减少，∴m＝5时，w最小＝1×5+5＝10（万元）．∴方案一需要资金最少，最少资金是

10万．（3）设节省的资金用于再次购买甲种农机具a件，乙种农机具b件，由题意得：（1.5﹣0.7）a+（0.5﹣0.2）b＝0.7×5+0.2×5，其整数解：或，∴节省的资金全部用于再次购买农机具的方

案有两种：方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件．方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件．【点评】本题考查二元一次方程组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出等式关系式即可求解．考察一元一次不等式组的应用，利用题目的已知条件列出

不等式关系式．利用一次函数的性质解决极值问题．11．（2021•工业园区校级模拟）2020年6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．波波准备购进A、B两种类型的便携式风扇到华润万家门

口出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元．（1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？（2）波波准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，波波准备多购进A型风扇，但数

量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，波波共有几种进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？【分析】（1）设A型风扇进货的单价是x元，B型风扇进货的单价是y元，根据“2台A型风扇和5台B型风扇进价共100

元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进A型风扇m台，则购进B型风扇（100﹣m）台，根据“购进A型风扇不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总

金额不超过1170元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案．【解答】解：（1）设A型风扇进货的单价是x元，B型风扇进货的单价是y元，依题意，得：，解得：．答：A型风扇进货的单价是10元，B型风扇进货的单价是1

6元；（2）设购进A型风扇m台，则购进B型风扇（100﹣m）台，依题意，得：，解得：71≤m≤75，又∵m为正整数，∴m可以取72、73、74、75，∴波波共有4种进货方案，方案1：购进A型风扇72台，B型风扇28台；方案2：购进A型风扇73台，

B型风扇27台；方案3：购进A型风扇74台，B型风扇26台；方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台．∵B型风扇进货的单价大于A型风扇进货的单价，∴方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台的费用最低，最低费用为75×10+25×16＝1150元．答：波波共有4种进货方案，

方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台的费用最低，最低费用为1150元．【点评】本题考查了一元一次不等式组二以及元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．12．（2021春•广

水市期末）某工厂现有甲种原料3600kg，乙种原料2410kg，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共500件，产品每月均能全部售出．已知生产一件A产品需要甲原料9kg和乙原料3kg；生产一件B种产品需

甲种原料4kg和乙种原料8kg．（1）设生产x件A种产品，写出x应满足的不等式组．（2）问一共有几种符合要求的生产方案？并列举出来．（3）若有两种销售定价方案，第一种定价方案可使A产品每件获得利润1.15万元，B产品每件获得利润1.25万元；第二种定价

方案可使A和B产品每件都获得利润1.2万元；在上述生产方案中哪种定价方案盈利最多？（请用数据说明）【分析】（1）关系式为：A种产品需要甲种原料数量+B种产品需要甲种原料数量≤3600；A种产品需要乙种原料数量+B种产品需要乙种原料数量≤2410，把相关数值代入即可；（2

）解（1）得到的不等式，得到关于x的范围，根据整数解可得相应方案；（3）分别求出两种情形下的利润即可判断；【解答】解：（1）由题意．（2）解第一个不等式得：x≤320，解第二个不等式得：x≥318，∴318≤x≤320，∵x为正整数，∴

x＝318、319、320，500﹣318＝182，500﹣319＝181，500﹣320＝180，∴符合的生产方案为①生产A产品318件，B产品182件；②生产A产品319件，B产品181件；③生产A产品320件，B产品180件；（3）第一种定价方

案下：①的利润为318×1.15+182×1.25＝593.2（万元），②的利润为：319×1.15+181×1.25＝593.1（万元）③的利润为320×1.15+180×1.25＝593（万元）第二种定价方案下：①②

③的利润均为500×1.2＝600（万元），综上所述，第二种定价方案的利润比较多．【点评】考查一元一次不等式组的应用及最大利润问题；得到两种原料的关系式及总利润的等量关系是解决本题的关键．13．（2021春•望城区期末）2015年

6月5日是第44个“世界环境日”．为保护环境，我市公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆．若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．（

1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年

均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？（3）在（2）的条件下，哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？【分析】（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“A型公

交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列出方程组解决问题；（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元”和“10辆公交

车在该线路的年均载客总和不少于680万人次”列出不等式组探讨得出答案即可；（3）分别求出各种购车方案总费用，再根据总费用作出判断．【解答】解：（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得，解得．答：购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．（2

）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由题意得，解得：6≤a≤8，所以a＝6，7，8；则（10﹣a）＝4，3，2；三种方案：①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆；②购买A型公交车7辆，则B型公交

车3辆；③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆；（3）①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆：100×6+150×4＝1200万元；②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：100×7+150×3＝1150万元；③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：100×8+150×2＝1100万元；

故购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元．【点评】此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题．14．（2020春•汶上

县期末）为了更好地保护环境，某市污水处理厂决定先购买A，B两型污水处理设备共20台，对周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知2台A型污水处理设备和1台B型污水处理设备每周可以

处理污水680吨，4台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1560吨．（1）求A、B两型污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨？（2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请你列举出所有购买方案．

（3）如果你是厂长，从节约资金的角度来谈谈你会选择哪种方案并说明理由？【分析】（1）根据2台A型污水处理设备和1台B型污水处理设备每周可以处理污水680吨，4台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水156

0吨，可以列出相应的二元一次方程组，从而解答本题；（2）、（3）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以得到购买方案，从而可以算出每种方案购买资金，从而可以解答本题．【解答】解：（1）设A型污水处理设备每周每台可以处理污水x吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水

y吨，，解得，即A型污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水200吨；（2）设购买A型污水处理设备a台，则购买B型污水处理设备（20﹣a）台，则，解得，12.5≤a≤15，第一种方案：当a＝13时，20﹣a＝7，即购买A型污水处理设备13台，购买

B型污水处理设备7台；第二种方案：当a＝14时，20﹣a＝6，即购买A型污水处理设备14台，购买B型污水处理设备6台；第三种方案；当a＝15时，20﹣a＝5，即购买A型污水处理设备15台，购买B型污水处理设备5台；（3）如果我是厂长，从节约资金的角度考虑，我会选择第一种方案，即购买A

型污水处理设备13台，购买B型污水处理设备7台；因为第一种方案所需资金：13×12+7×10＝226万元；第二种方案所需资金：14×12+6×10＝228万元；第三种方案所需资金：15×12+5×10＝230万元；∵226＜228＜230，∴选择第一种方案所需资金最少，最少是226万元．【

点评】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．15．（2019春•岳麓区校级期中）阅读以下材料：对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的

平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{﹣1，2，3}＝；min{﹣1，2，3}＝﹣1；min{﹣1，2，a}＝解决下列问题：（1）min{，，}＝若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则x的范围为0≤x≤1；（2）①如果M{2，x+1，

2x}＝min{2，x+1，2x}，求x；②根据①，你发现了结论“如果M{a，b，c}＝min{a，b，c}，那么a＝b＝c（填a，b，c的大小关系）”．证明你发现的结论；③运用②的结论，填空：若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣

y}＝min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，则x+y＝﹣4．【分析】①M{a，b，c}表示这a，b，c三个数的平均数，即求的值；②min{a，b，c}表示这a，b，c三个数中最小的数，即比较三个数的大小哪一个最小．【解答】解：（1）min{，，}＝；由mi

n{2，2x+2，4﹣2x}＝2，得，即0≤x≤1．（2）①∵M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，∴，即，∴x＝1②证明：由M{a，b，c}＝min{a，b，c}，可令，即b+c＝2a⑤；又∵，解之得：a+c≤2b⑥，a+b≤2

c⑦；由⑤⑥可得c≤b；由⑤⑦可得b≤c；∴b＝c；将b＝c代入⑤得c＝a；∴a＝b＝c．③据②可得，解之得y＝﹣1，x＝﹣3，∴x+y＝﹣4．【点评】本题解决的关键是读懂题意，据题意结合方程和不等式去求解，考查综合应用能力．声明：