【文档说明】【精准解析】山东省临沂市（二模）、枣庄市（三调）2020届高三临考演练考试数学试题.doc，共(30)页，2.731 MB，由小赞的店铺上传

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2020年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）数学一、单项选择题：.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合21xAx=，21,Byyxx==−R，则()ABRð=（）A.（-1，1）B.[-1，0]C.[-1，0）D.（-∞，0]【答案】B【

解析】【分析】解指数不等式得集合A，求函数值域得集合B，再由补集、交集定义计算．【详解】由题意{|0}(0,)Axx==+，{|1}[1,)Byy=−=−+，(,0]RA=−ð，所以()[1,0]RAB=−ð，故选：B．【点睛】本题考查集合的综合运算，考查指数函数与二

次函数的性质．本题属于基础题．2.设()13izi−=+，则复平面内z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式、复数的几何意义即可求得.【详解】解：因为(

)13=312izi−=++=，所以()()()1121+izii−=+，所以()221+zi=，即1+zi=所以1zi=−在复平面对应的点(1,1)−位于第四象限，故选：D【点睛】此题考查了复数的运算法则，共轭复数的定义，模的计算，复数的几何意义，考查了

推理能力，属于基础题.3.2nxx−的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（）A.120B.-120C.60D.-60【答案】C【解析】【分析】由二项式系数和求出n，然后写出展开式的通项公式得常数项所在项数，从而得常数项．【详解】

由题意264n=，解得6n=，展开式通项公式为63621662()(2)rrrrrrrTCxCxx−−+=−=−，令6302r−=，2r=，所以常数项为226(2)60C−=．故选：C．【点睛】本题考查二项式定理，考查二项式系数和问题，掌握二项展开式通项

公式是解题关键．4.某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度l对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量q满足关系式1122Tqldd=+，其中玻璃的热传导系数31410−=焦耳/（

厘米·度），不流通、干燥空气的热传导系数422.510−=焦耳/（厘米·度），T为室内外温度差，q值越小，保温效果越好，现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：型号每层玻璃厚度d（单位：厘米）玻璃间夹空气层厚度l（单位：厘米）A型0.43B型0.34C型0.53D型0.44则

保温效果最好的双层玻璃的型号是（）A.A型B.B型C.C型D.D型【答案】D【解析】【分析】依题意可得3410||162Tqld−=+，所以转化为求162ld+的最大值即可得到答案.【详解】1122Tqldd=+334410||4

1022.510Tld−−−=+3410||162Tld−=+，固定||T，可知162ld+最大时，q最小，保温效果最好，对于A型玻璃，16216320.448.8ld+=+=，

对于B型玻璃，16216216420.364.6ldld+=+=+=，对于C型玻璃，16216320.549ld+=+=，对于D型玻璃，16216420.464.8ld+=+=，经过比较可知

，D型玻璃保温效果最好.故选：D.【点睛】本题考查了函数的应用，考查了求函数的最值，属于基础题.5.设函数()2logfxx=，若13log2af=，()5log2bf=，()0.2ecf=，则a，b，c的大小为（）A.bacB.cabC.bcaD.abc

【答案】A【解析】【分析】由于()2logfxx=是偶函数，且在(0,)+上为增函数，所以只需利用这些性质将变量转化到(0,)+上即可比较出大小.【详解】解：函数()fx的定义域为(,0)(0,)−

+，因为()2logfxx=，所以()22loglog()fxxxfx−=−==，所以()fx为偶函数，所以1333=(loglog22)(log2)afff=−=，因为530log2log21，0.21e，所以0.2530log

2log2e，因为()2logfxx=在(0,)+上为增函数，所以0.253(log2)(log2)()fffe，所以bac，故选：A【点睛】此题考查函数的单调性，奇偶性，指数式和对数式比较大小，属于中档题.6.五声音阶是中国古乐

的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽.如果把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，从所有的这些音序中随机抽出一个音序，则这个音序中宫、羽不相邻的概率为（）A15B.25C.35D.45【答案】C【解析】【分析】把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶

的音序，基本事件总数55120nA==，其中宫、羽不相邻的基本事件有323472mAA==，由此可求出所求概率.【详解】解：中国古乐中的五声音阶依次为：官、商、角、微、羽，把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，基本事件总数55120nA==，其中宫、羽不相邻的基本事件有323472m

AA==，则从所有的这些音序中随机抽出一个音序，这个音序中宫、羽不相邻的概率为7231205mpn===，故选：C【点睛】此题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等知识，考查运算求解能力，属于基础题.7.将函数2()sin223cos3fxxx=+−图象向右平移π12个单位，再把各

点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()gx的图象，则下列说法中正确的是（）A.()gx的周期为πB.()gx是偶函数C.()gx的图象关于直线π12x=对称D.()gx在ππ,63−上单调递增【答案】D【解

析】【分析】首先利用三角恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，再利用图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数()gx的关系式，然后再利用正弦函数的性质对各选项进行判断，即可得到结果．【详解】函数()2s

in223cos3sin23cos22sin23fxxxxxx=+−=++=，把函数图象向右平移π12个单位，得到2sin22sin21236yxx=−+=+，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)

，得到()2sin6gxx=+．①故函数的最小正周期为2，故选项A错误；②函数()()gxgx−，不为偶函数，故选项B错误；③当π12x=时，2212g=，故选项C错误；④由于,6

3x−，所以062x+，故函数()gx单调递增，故选项D正确．故选：D．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．8.已

知F是抛物线()220ypxp=的焦点，过F的直线与抛物线交于A，B两点，AB的中点为C，过C作抛物线准线的垂线交准线于1C，若1CC的中点为()1,4M，则p=（）A.4B.8C.42D.82【答案】B【解析】【分析】由AB的中点C的坐标可得A，B两点的横坐标之和与纵坐

标之和，设直线AB的方程与抛物线联立求出两根之和，进而可得p的值.【详解】解：因为1CC的中点为()1,4M，所以8,212ABCpyyx+=−=，所以4,22ABCpxxpx+=+=+，设直线AB的方程为2

pxmy=+，代入抛物线的方程得，2220ypmyp−−=，所以2,()8ABABAByypmxxmyypmp+=+=++=+所以8284pmmpp=+=+，解得812pm==，故选：B【点睛】此题考查抛物线的性质及中点坐标的应用，属于中档题.二、多项选择题：在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.9.设向量()2,0a=，()1,1b=r，则（）A.ab=rrB.()//abb−C.()abb−⊥D.a与b的夹角为π4【答案】CD【解析】【分析】根据平面向量的模、垂直、夹角公式坐标运算公式，和共线向量的坐标运算，即可

对各项进行判断，即可求出结果.【详解】因为()2,0a=，()1,1b=r，所以2,2ab==，所以abrr，故A错误；因为()2,0a=，()1,1b=r，所以()()=1,1ab−−rr，所以()ab−与b不平行，故B错误；又()110ab

b−=−=rrr，故C正确；又22cos,222ababab===rrrrrr，所以a与b的夹角为π4，故D正确.故选：CD.【点睛】本题主要考查了平面向量的模、垂直、夹角公式坐标运算公式，和共线向量的坐标运算，属于基础题.10.下列

命题正确的是（）A.若随机变量()~100,XBp，且()20EX=，则1152DX+=B.已知函数()fx是定义在R上的偶函数，且在[0,)+上单调递减()10f=，则不等式()2log0fx的解集为1

,22C.已知xR，则“0x”是“11x−”的充分不必要条件D.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为ˆ0.3yxm=−，若样本中心点为(),2.8m−，则4m=【答案】BD【解析】【分析】对

A，利用方差的公式；对B，根据偶函数的性质及函数的单调性；对C，根据集合间的关系判断；对D，根据回归直线经过样本点的中心.【详解】对A，()20EX=，1100205pp==，14()1001655DX==，412()114DDXX+==

，故A错误；对B，函数()fx是定义在R上的偶函数，()||()fxfx=，()()22log0|log|(1)fxfxf，221log11log122xxx−，故B正确；对C，1102xx−

，“0x”推不出“02x”，而“02x”可以推出“0x”，“0x”是“11x−”的必要不充分条件，故C错误；对D，样本中心点为(),2.8m−，0.32.84mmm−=−=，故D正确；故选：BD.【点睛】本题考查二项分布方

差公式、充分条件与必要条件、抽象函数的奇偶性与单调性、回归直线与样本点的中心，考查运算求解能力.11.设函数2sinπ()54xfxxx=−+，则下列结论正确的是（）A.()1fx≤B.()4fxxC.曲线()yfx=存在对称轴D.曲线()yfx=存在对称轴中心【答案】ABC【解

析】【分析】分别研究函数sinyx=和函数254yxx=−+的性质，逐一分析选项，即可判断各个选项的真假.【详解】解：A：22sinπsinπ()=51142xxfxxxx=−+−+，21112x−+，sin1x，所以()1fx≤，当且仅当12x=时，(

)1fx=.故A正确.B：()4fxx等价于325|sin|44xxxx−+.当0x时，设()sin,()1cos,()gxxxgxxgx=−=−单调递增，()(0)0,sin,||,|sin|gxgxxy

xyx===都是偶函数，所以sinxx恒成立，所以|sin|xx恒成立，2544144xxxxx−+=，又4xx，所以25|sin|44xxxx−+.故B正确.C：sinyx=的图像

关于12x=对称，2251142yxxx=−+=−+关于12x=对称，所以曲线()yfx=存在对称轴12x=.故C正确.D：若曲线()yfx=存在对称中心，设对称中心为(,)ab，所以()()2faxfaxb++−=，令0,()xfab==，令,(2)2,xaf

ab==则(2)2()fafa=，即只有sin0a=时成立，从而a为整数，0b=，令111,()()0222xfafa=++−=，不一定成立，故D不正确.故选：ABC.【点睛】本题考查利用函数的解析式研究

函数的性质，考查三角函数性质的应用，考查利用放缩的思想比较大小，属于中档题.12.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，线段11BD上有两个动点E，F，且22EF=.则下列结论正确的是（）A.三棱锥ABEF−的体积为定值B.当E向1D运动时，二面角AEFB−−逐渐变小C.EF在平

面11ABBA内的射影长为12D.当E与1D重合时，异面直线AE与BF所成的角为π4【答案】AC【解析】【分析】对选项分别作图，研究计算可得.【详解】选项A:连接BD,由正方体性质知11BDDB是矩形，1112212224BEFSEFBB===连接AO交BD于点O由正方体

性质知AO⊥平面11BDDB,所以，AO是点A到平面11BDDB的距离，即22AO=11221334212ABEFBEFVSAO−===ABEFV−是定值.选项B:连接11AC与11BD交于点M，连接11,ADAB

，由正方体性质知11ADAB=,M是11BD中点，AMEF⊥,又1BBEF⊥,11//BBAAAEFB−−的大小即为AM与1AA所成的角，在直角三角形1AAM中，12tan2MAA=为定值.选项C:如图，作1111,,,FHABEGABETEG⊥⊥⊥

在直角三角形EFT中，221cos45222FTEF===12HGFT==选项D:当E与1D重合时，F与M重合，连接AC与BD交于点R，连接1DR,1//DRBM异面直线AE与BF所成的角,即为异面直线1AD与1DR所成的角,在三角形1ADR

中，22111132,2ADDRMBBBMB===+=,22AR=由余弦定理得13cos6ADR=故选：AC【点睛】本题考查空间几何体性质问题.求解思路：关键是弄清(1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何

度量的变化．求空间几何体体积的思路：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法；若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利

用公式求解.三、填空题：13.若()0,x+，241xmx+，则实数m的取值范围为________.【答案】(,4−【解析】【分析】利用基本不等式求得241xx+的最小值，由此可得出实数m的取值范

围.【详解】()0,x+，241xmx+，则2min41xmx+，由基本不等式可得241114244xxxxxx+=+=，当且仅当12x=时，等号成立，所以，4m，因此，实数m的取值范围是(,4−.故答案为：(,4−.【点睛】本题考查利用不

等式恒成立求参数，考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于基础题.14.已知π3sin63+=，则2πcos23−=________.【答案】13−【解析】【分析】用诱导公式求得cos()3−，再由二倍角的余弦

公式计算．【详解】3cos()cos()sin()32663−=−+=+=，所以22231cos22cos1213333−=−−=−=−．故答案为：13−．【点睛】本题考查诱导公式，

考查余弦的二倍角公式，解题关键是利用角的变换选择相应的公式计算．15.已知双曲线C：22221(0,0)xyabab−=的左焦点为F，M为虚轴的一端点，若以M为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点N，且M，N，F三点共线，则该双曲线的离心率为________.【答案】152+【解析】【

分析】求出,MF的坐标和双曲线的一条渐近线房后方程，利用点到直线的距离公式可得MN，在直角三角形MOF中，运用射影定理以及,,abc的关系和离心率公式，解方程可得所求值.【详解】由题意可得(),0Fc−

，()0,Ab−，双曲线的一条渐近线方程为0bxay−=，可得22ababMNcab==+，22MFcb=+，在直角三角形MOF中，可得：222abbcbc=+，化为()22222bcacb=+，由222bca=−，可得422430ca

ca−+=，由cea=，可得42310ee−+=，解得2352e=，由1e，所以2352e+=，解得152e+=.故答案为：152+【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了考生的运算求解能力，属于中档题.16.习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为

奋斗目标.在这一-号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活，当前，“日行万步”正成为健康生活的代名词某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动，并随机抽取了该校100名教职工，统计他们的日行步数，按步数

分组，得到如下饼图：若从日行步数超过10千步的教职工中随机抽取两人，则这两人的日行步数恰好一人在10~12千步，另一人在12~14千步的概率是________；设抽出的这两名教职工中日行步数超过12千步的人数为随机变量X，则()EX=__

______.【答案】(1).12(2).34【解析】【分析】根据已知求出10~12千步和12~14千步的人数，然后再由概率公式计算，X的可能取值为0，1，2，求出各个概率后由期望公式计算可得期望．【详解】由已知10~12千步的人数为10%10010=，12~14

千步的人数为6%1006=，因此任取2人，一人在10~12千步，另一人在12~14千步的概率是21610612PC==，X的可能取值为0，1，2，2102163(0)8CPXC===，1(1)2PX==，262161(2)8CPXC=

==，所以113()12284EX=+=．故答案为：12；34．【点睛】本题考查古典概型，考查随机变量的分布列与期望，确定随机变量的所有可能值，求出各个概率是计算期望的关键．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.ABC中的内角A，B，C所对的边分别

为a，b，c，设cos3sinbbAaB+=.（1）求A；（2）若2bca+=，ABC的外接圆半径为2，求ABC的面积.【答案】（1）π3；（2）3.【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角以及两角差的正弦公式可得π

2sin16A−=，再根据角A的范围，可得结果；（2）根据正弦定理求出a，根据余弦定理求出bc，根据三角形的面积公式可求得结果.【详解】（1）∵cos3sinbbAaB+=∴由正弦定理可得sinsincos3sinsinBBAAB+=，∵0πB，∴sin0B，∴3

sincos1AA−=，∴π2sin16A−=，∵0A，∴ππ5π,666A−−，∴ππ66A−=，∴π3A=.（2）设ABC的外接圆半径为R，则2R=，∴由正弦定理得2sin23aRA==，∴26bc+=，由余弦定理得22222π2cos()22cos()33ab

cbcAbcbcbcbcbc=+−=+−−=+−，∴12243bc=−，得4bc=.∴ABC的面积为113sin43222SbcA===.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，属于基础题.18.在①131nnSS+=+，②219a=，③1

213nnSa+=−这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答.已知数列na的前n项和为nS，满足________，________；又知正项等差数列nb满足12b=，且1b，21b−，3b成等比数列.（1）求na和nb的通项公式；（2

）证明：12326nbbbaaa+++.【答案】（1）选法见解析，13nna=，31nbn=−；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）若选择①②先由131nnSS+=+，当n≥2时，131nnSS−=+，两式

相减整理得11(2)3nnana+=，再求出1a，进而说明数列na是等比数列，求出na，设正项等差数列nb的公差为d，由已知条件求出d，进而求得nb；若选择②③先由1213nnSa+=−，当n≥2时，12

13nnSa−=−，两式相减整理得11(2)3nnana+=，再求出1a，进而说明数列na是等比数列，求出na，设正项等差数列nb的公差为d，由已知条件求出d，进而求得nb；（2）由（1）求得313113nnbnaa−−==

，再求12nbbbaaa+++，即可证明结论.【详解】（1）解法一：选择①②当2n时，由131nnSS+=+得131nnSS−=+，两式相减，得13nnaa+=，即11(2)3nnana+=，由①得2131SS=+，即()12131aaa+=+，∴1212213133aa=

−=−=，得113a=，∴2113aa=，∴na为113a=，公比为13的等比数列，∴1111333nnna−==.设等差数列nb的公差为d，0d≥，且1b，21b−，3b成等比数

列.()21321bbb=−，即22(22)(1)dd+=+，解得3d=，1d=−（舍去），∴2(1)331nbnn=+−=−解法二：选择②③当2n时，由③1213nnSa+=−，得1213nnSa−=−，两式相减，得1233nnnaaa+=−，∴11(2)3nnan

a+=，又12213Sa=−，得113a=，∴2113aa=，∴na为113a=，公比为13的等比数列，∴111111333nnnnaaq−−===.（以下同法一）（2）证明：由（1）得313113nnbnaa−−=

=则122531111333nnbbbaaa−+++=+++23311133113n−=−3311263n

=−26.【点睛】此题考查等差、等比数列通项公式及前n项和的求法，属于基础题.19.如图①，在RtABC△中，B为直角，6ABBC==，//EFBC，2AE=，沿EF将AEF折起，使π3AEB=，得到如图②的几何体，点D在线段AC上.（1）求证：平

面AEF⊥平面ABC；（2）若//AE平面BDF，求直线AF与平面BDF所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）64.【解析】【分析】（1）由余弦定理得出23AB=，进而得出EAAB⊥；由EF⊥平面ABE，得出EFAB⊥；从而得到AB

⊥平面AEF，即可证明平面AEF⊥平面ABC.（2）建立空间直角坐标系，求得平面BDF的法向量，即可求得直线AF与平面BDF所成角的正弦值.【详解】（1）证明：在ABE△中，∵2AE=，4BE=，π3AEB=，由余弦定理得22212c

os416224122ABAEBEAEBEAEB=+−=+−=，∴23AB=，∴222EBEAAB=+，∴π2EAB=，即EAAB⊥，又EFEB⊥，EFEA⊥，EAEBE=，∴EF⊥平面ABE，ABÌ平面ABE∴EFAB⊥，又EAEFE=，EAEF

、平面AEF∴AB⊥平面AEF又ABÌ平面ABC，∴平面AEF⊥平面ABC（2）解法一：如图，以A为原点，以AB为x轴，AE为y轴，过点A垂直于平面ABE的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则()0,0,0A，()23,0,0B，()0,2,0E，()0,

2,2F，()23,0,6C，∴(0,2,2)AF=，(23,2,2)FB=−−，(23,0,6)AC=连结EC与FB交于点G，连结DG，∵//AE平面BDF，DG为平面AEC与平面BDF的交线，∴//AEGD，∴GCDCGEDA=，在四边形BCFE中，∵/

/EFBC，∴EFGBCG∽△△，∴3GCBCGEEF==，3DCDA=，∴14ADAC=，设()000,,Dxyz，则()000,,ADxyz=，由14ADAC=，得00032032xyz===，∴33,0,22D，∴31,2,22FD

=−−设平面BDF的法向量为(),,nxyz=，则31202223220nFDxyznFBxyz=−−==−−=，取1x=，则3z=，0y=，∴(1,0,3)n=，设直线AF与平

面BDF所成角为，则236sin442AFnAFn===.即直线AF与平面BDF所成角的正弦值为64.（2）解法二：如图，以E为原点，在平面ABE中过E作EB的垂线为x轴，EB为y轴，EF为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则()0,0,0E，()0,0,2F，()0,4,0

B，()0,4,6C，()3,1,0A，∴(3,1,2)AF=−−，(0,4,2)FB=−，(3,3,6)AC=−连结EC，与FB交于点G，连结DG，∵//AE平面BDF，DG为平面AEC与平面BDF的交线，∴//AEGD，∴GCDCGEDA=，在四边形BCEF中，∴//EF

BC，∴EFGBCG∽△△，∴3GCBCGEEF==，3DCDA=，14ADAC=，设()000,,Dxyz，则()0003,1,ADxyz=−−，由14ADAC=得：00033431432xyz−=−

−==解得0003347432xyz===，∴3373,,442D，∴3371,,442FD=−.设平面的法向量(),,nxyz=，则33710{442420nFDxyznF

Byz=+−==−=，取1y=，则2z=，33x=−，∴3,1,23n=−，设直线AF与平面BDF所成角为，则46sin41683AFnAPn===.∴直线AF与平面BDF所成角的正弦值为64.【点睛】本题主要考查面面

垂直的证明和线面角的求法，属于中档题.20.为了响应绿色出行，某市推出了新能源分时租赁汽车，并对该市市民使用新能源租赁汽车的态度进行调查，得到有关数据如下表1：表1愿意使用新能源租赁汽车不愿意使用新能源租赁汽车总计男性100300女性400总计400其中一款新能源分时租赁汽车的每次租车

费用由行驶里程和用车时间两部分构成：行驶里程按1元/公里计费；用车时间不超过30分钟时，按0.15元/分钟计费；超过30分钟时，超出部分按0.20元/分钟计费.已知张先生从家到上班地点15公里，每天上班租用该款汽车一次，每次的用车时间均在20~60分钟之间，由于堵车红绿灯等因素，每次

的用车时间t（分钟）是一个随机变量.张先生记录了100次的上班用车时间，并统计出在不同时间段内的频数如下表2：表2时间t（分钟）（20，30]（30，40]（40，50]（50，60]频数20403010（1）请补填表1中的空缺数据，

并判断是否有99.5%的把握认为该市市民对新能源租赁汽车的使用态度与性别有关；（2）根据表2中的数据，将各时间段发生的频率视为概率，以各时间段的区间中点值代表该时间段的取值，试估计张先生租用一次该款汽车上班的平均用车时间；（3）若张先生使用滴滴打车上班，则需要车费27元，试问：张先生上班使用滴滴打

车和租用该款汽车，哪一种更合算?附：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++2()PKk0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（

1）表格见解析，有99.5%的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关；（2）38（分钟）；（3）用该款新能源汽车上班更加合算.【解析】【分析】（1）补充完整的列联表，再利用卡方系数计算2K的观测值，与7.879进行比较大小，即可得到答案；（2）根据组距的

中点值乘以各自的频率，再相加，即可得到平均值；（3）设张先生租用一次该款新能源汽车所需费用为y元，则可得分段函数，再计算使用出租车的费用与27进行比较，即可得到答案；【详解】解：（1）补充完整的列联表如下所示，愿意使用新能源租

赁汽车不愿意使用新能源租赁汽车总计男性100200300女性300400700总计4006001000由列联表可得：2K的观测值21000(100400300200)10007.937400600300700126k−==，∵7.937>7.879，∴有99.5%的把握

认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关.（2）表2中的数据整理如下：时间t（分钟）（20，30]（30，40]（40，50]（50，60]频数20403010频率0.20.40.30.1∴张先生租用一次该款新能源分时汽车上班

的平均用车时间为：250.2350.4450.3550.138t=+++=（分钟）.（3）设张先生租用一次该款新能源汽车所需费用为y元，则当20t30时，0.1515yt=+，当3060t时，0.15300.2(30)150.2

13.5ytt=+−+=+，∴张先生一次租车费用y（元）与用车时间t（分钟）的函数关系式：0.1515,20300.213.5,3060ttytt+=+.∴每次上班租车的费用约为：0.23813.

521.1+=（元）.∵张先生每次使用滴滴打车上班需要27元，∴张先生租用该款新能源汽车上班更加合算.【点睛】本题考查独立性检验、平均值计算、分段函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查阅读理解能力、运算求解能力.2

1.已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的离心率为32，其左、右焦点分别为1F，2F，点P为坐标平面内的一点，且32OP=，1234PFPF=−，O为坐标原点.（1）求椭圆C的方程；（2）设M为椭圆C的左顶点，A，B是椭圆C上两个不同的点，直线MA，M

B的倾斜角分别为，，且π2+=.证明：直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标，【答案】（1）2214xy+=；（2）证明见解析，定点10,03−.【解析】【分析】（1）设P点坐标为()00,xy，1(,0)Fc−，2(,

0)Fc，运用两点间的距离公式和向量数量积的坐标表示，以及椭圆的离心率公式，解方程可得,ab，进而得到椭圆方程；（2）设()11,Axy，()22,Bxy，判断直线AB的斜率不存在不成立，设直线AB的方程为ykxm=+，联立椭圆方程，运用判别式大于0，以及根与系

数的关系，结合直线的斜率公式，化简整理，结合直线方程和恒过定点的求法，可得结果.【详解】解（1）设P点坐标为()00,xy，1(,0)Fc−，2(,0)Fc则()100,PFcaxy=−−−，()200,PFcxy=−−由题意得()()220020009

434xyxcxcy+=+−+=−解得23c=.∴3c=.又3e2ca==，∴2a=∴2221bac=−=∴所求椭圆C的方程为：2214xy+=（2）由题可知直线AB的斜率存在，则设直线AB方程为ykxm=+，A，B坐标为()11,Axy，()22,Bxy解方程组2214xyykx

m+==+∴()222418440kxkmxm+++−=∴122841kmxxk+=−+，21224441mxxk−=+又由π2+=，∴tantan1=，设直线MA，MB斜率分别为1k，2k，则121kk=∴1212122yyxx=++即：

()()121222xxyy++=()()()()121222xxkxmkxm++=++∴()()2212121(2)40kxxkmxxm−+−++−=∴()222224481(2)404141mkmkkmmkk−−+−+−=++化简得：22201630k

kmm−+=得：2mk=，或103mk=当2mk=时，2ykxk=+，过点（-2，0），不合题意（舍去）当103mk=时，103ykxk=+，过点10,03−，∴直线AB恒过定点10,03−.【点睛】此题考查椭圆的

方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，运用根与系数的关系，考查直线恒过定点的求法，属于中档题.22.已知函数2()fxxaxa=++，()ln1gxx=−，aR.（1）讨论函数()()()hxfxgx=+的单调性；（2）若存在与函数()fx，()gx的图象都相切的直线，

求a的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）[1,)−+.【解析】【分析】（1）求()hx的定义域，导数，利用二次函数的性质分类讨论导数的正负，从而求出()hx的单调性.（2）函数()fx的图象上点()()11,xfx与函数()gx的图象上点()()2

2,xgx处切线相同，利用导数求切线的斜率建立关系式，求出导数和单调区间以及最值，运用单调性计算可求出a的范围.【详解】（1）函数()hx的定义域为(0,)+，2()()()ln1,(0)hxfxgxxaxxax=+=+++−.2121()2xaxhxxax

x++=++=，所以当280a=−即2222a−时，()0hx，()hx在(0,)+上单调递增；当280a=−，即22a−或22a时，方程2210xax++=的根为2184aax−−−=，2284aax−+−=.当22a时，有120xx，()0hx

，()hx在(0,)+上单调递增；当22a−时，有120xx.x280,4aa−−−2288,44aaaa−−−−+−28,4aa−+−+()hx+-

+()hx增减增综上：当22a−时，()hx在(0,)+上单调递增，当22a−时，()hx在280,4aa−−−，28,4aa−+−+上单调递增，在2288,44aaaa

−−−−+−上单调递减.（2）设函数()fx的图象上点()()11,xfx与函数()gx的图象上点()()22,xgx处切线相同，则()()()()121212fxgxfxgxxx−==−，即211

21212ln112xaxaxxaxxx++−++==−，由1212xax+=得12122axx=−①由2112212ln11xaxaxxxx++−+=−，得2121122ln1xxxaxaxx−=++−+②由①②得：222221ln20424axaxx++−−=−

，设221()ln2((0,))424aFxxaxxx=++−−+−问题转化为()0Fx=在(0,)+有解，则23231121()222axaxFxxxxx+−=++=，不妨设()20002100xaxx+−=，则当00xx时，()0Fx，当0xx时，()0

Fx，∴()Fx在区间()00,x上单调递减，在区间0(,)x+上单调递增，∴()0Fx是()Fx的最小值.只需()00Fx，即202001ln20424axaxx++−−−③而200210xax+−=，故20012xax−=代入③式，得200001ln22

0xxxx−++−，令21()ln22(0)mxxxxxx=−++−，易得()10m=，211()220mxxxx=+++，则()mx在(0,)+递增.故200001ln220xxxx−++−的解集是（0，1

]，即001x.由0012axx=−，得1a−.即实数a的取值范围是[1,)−+.【点睛】本题考查利用导数求切线的斜率，考查函数的构造，考查参数分离方法求参数的范围，考查学生化简整理的运算能力和推理能力，属于难题.