【文档说明】高中数学人教A版《选择性必修第二册》全书课件4.2.2.1.ppt，共(37)页，1.067 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-7cc973f9705f5815f7abdeedaba0df53.html

以下为本文档部分文字说明：

第1课时等差数列的前n项和[教材要点]要点一等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝________＝________.n(a1＋an)2na1＋n(n－1)2d状元随笔(1)等差数列前n项和公式的推导：设Sn

＝a1＋a2＋…＋an，倒序得Sn＝an＋an－1＋…＋a2＋a1.相加得2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)．由等差数列性质，得2Sn＝n(a1＋an)，∴Sn＝n(a1＋an)2.我们不妨将上面的推导方法称为倒序相加求和法.今后，某些数列求和常常

会用到这种方法．(2)在求等差数列前n项和时，若已知a1和an及项数n，则使用Sn＝n(a1＋an)2；若已知首项a1和公差d及项数n，则采用公式Sn＝na1＋n(n－1)2d来求．要点二等差数列前n项和的主要性质1．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成_______

_数列．2．若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝________，S奇S偶＝________；②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝____________，S奇S偶＝____________.S2n－1＝______

__an.等差ndanan＋1annn－1(2n－1)状元随笔关于奇数项的和与偶数项的和的问题，要根据项数来分析，当项数为奇数或偶数时，S奇与S偶的关系是不相同的．[基础自测]1．判断正误(正确的画“

√”，错误的画“×”)(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．()(2)数列{an}为等差数列，Sn为前n项和，则S2，S4，S6成等差数列．()(3)在等差数列{an

}中，Sn为前n项和，则有S2n－1＝(2n－1)an.()(4)在等差数列{an}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝an＋1.()√×√×2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a9＝10，则S9等于()A．45

B．52C．108D．54解析：S9＝9(a1＋a9)2＝9×122＝54.故选D.答案：D3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则S12＝()A．28B．32C．36D．40解析：∵数列{an}为等差数列，∴S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，∴2(S8

－S4)＝S4＋S12－S8解得：S12＝36.答案：C4．已知数列{an}是等差数列，且a3＋a9＝4，那么数列{an}的前11项和等于________.解析：∵数列{an}为等差数列，∴a3＋a9＝a1＋a11＝4.∴S11＝11(a1＋a11)2＝

112×4＝22.答案：22题型一等差数列前n项和的基本运算——师生共研例1在等差数列{an}中，(1)已知a1＝56，an＝－32，Sn＝－5，求n和d；(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.解析：(1)

由题意得，Sn＝n(a1＋an)2＝n56－322＝－5，解得n＝15.又a15＝56＋(15－1)d＝－32，∴d＝－16.∴n＝15，d＝－16.(2)由已知得S8＝8(a1＋a8)2＝8(4＋a8)2＝172，解得a8

＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.∴a8＝39，d＝5.(3)∵an＝11，d＝2，Sn＝35，∴a1＋(n－1)×2＝11na1＋n(n－1)2×2＝35解得n＝5，a1＝3或n＝7，a1＝－1.方法归纳a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可

以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程组求解，在求解过程中要注意整体思想的运用．跟踪训练1在等差数列{an}中，(1)a1＝32，d＝－12，Sm＝－15，求m及am；(2)a6＝10，S5

＝5，求a8和S10.(3)已知a3＋a15＝40，求S17.解析：(1)∵Sm＝m×32＋m(m－1)2×－12＝－15，整理得m2－7m－60＝0解得m＝12或m＝－5(舍去)∴am＝a12＝32＋(12－1)×－12＝－4.(2)S

5＝5a1＋5×42d＝5，a6＝a1＋5d＝10，解得a1＝－5，d＝3.∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，S10＝10a1＋10×92d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.(3)S17＝17×(a1＋a17)2＝

17×(a3＋a15)2＝17×402＝340.题型二等差数列前n项和性质的应用——师生共研例2(1)等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为()A．130B．170C．210D．260解析：(1)利用等差数列的性质：S3，S6－S3，S9－

S6成等差数列．所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即30＋(S9－100)＝2(100－30)，解得S9＝210.答案：(1)C(2)已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn＝2n＋2n＋3，则a

5b5＝________.解析：(2)由等差数列的性质，知a5b5＝a1＋a92b1＋b92＝a1＋a92×9b1＋b92×9＝S9T9＝2×9＋29＋3＝53.答案：(2)53(3)已知等差数列{an}前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130

，则n＝________.解析：(3)Sn－Sn－4＝an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40.两式相加得4(a1＋an)＝120，∴a1＋an＝30，又Sn＝n(a1＋an)2＝

15n＝210，∴n＝14.答案：(3)14状元随笔(1)中S3，S6－S3，S9－S6也成等差数列．(2)中a5b5＝qa5qb5＝S9T9.(3)中Sn－Sn－4为末4项和，S4为前4项和，倒序相加可得4(a1＋an)．方法归纳等差数列前n项和的常用性质(1)Sn，

S2n－Sn，S3n－S2n，…是等差数列．(2)数列Snn是等差数列，公差为数列{an}的公差的12.(3)涉及两个等差数列的前n项和之比时，一般利用公式ambn＝2n－12m－1·S2m－1T2n－1进行转化，再利用其他知识解决问题．(4)用公式Sn＝n(a1＋an)2时常与

等差数列的性质a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…相结合．跟踪训练2(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14等于()A．18B．17C．16D．15解析：(1)设{an

}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，(a5＋a6＋a7＋a8)－S4＝16d，解得d＝14，a11＋a12＋a13＋a14＝S4＋40d＝18.故选A.答案：(1)A(2)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对于

任意的自然数n，都有SnTn＝2n－34n－3，则a3＋a152(b3＋b9)＋a3b2＋b10＝()A.1941B.1737C.715D.2041解析：(2)a3＋a152(b3＋b9)＋a3b2＋b10＝a9b3＋b9＋a3b2＋b10

＝a9＋a3b2＋b10＝a1＋a11b1＋b11＝S11T11＝22－344－3＝1941.故选A.答案：(2)A(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝100，S100＝10，则S110＝________.解析：(3)方法一：因为S10，S

20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列，设公差为d，前10项的和为：10×100＋10×92d＝10，所以d＝－22，所以前11项的和S110＝11×100＋11×102d＝11×

100＋11×102×(－22)＝－110.方法二：设等差数列{an}的公差为d，则Snn＝d2(n－1)＋a1，所以数列Snn成等差数列．所以S100100－S1010100－10＝S110110－S100100110－100，即

10100－10010100－10＝S110110－1010010，所以S110＝－110.方法三：设等差数列{an}的公差为d，S110＝a1＋a2＋…＋a10＋a11＋a12＋…＋a110＝(a1＋a2＋…＋a10)＋[(a1＋10d)＋(a2＋10d)＋…

＋(a100＋10d)]＝S10＋S100＋100×10d，又S100－10S10＝100×992d－100×92d＝10－10×100，即100d＝－22，所以S110＝－110.题型三求数列{|an|}的前n项和——师生共研例3在等差数列

{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和．例3解析：等差数列{an}的公差d＝a17－a117－1＝－12－(－60)16＝3，∵an＝a1＋(n－1)d＝－60＋3(n－1)＝3n－63，令an<0，即3n－63<0，则n<21.∴等差数列{an}的前20

项是负数，第20项以后的项是非负数，设Sn和S′n分别表示数列{an}和{|an|}的前n项和．当n≤20时，S′n＝－Sn＝－－60n＋3n(n－1)2＝－32n2＋1232n；当n>20时

，S′n＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20＝－60n＋3n(n－1)2－2×－60×20＋20×192×3＝32n2－1232n＋1260，∴数列{|an|}的前n项和为S′n＝－32n2＋1232n，n≤20，32n2－1232n＋126

0，n>20.方法归纳已知{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n项和的步骤第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点．第二步，求和：①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；②若a1>0，d<0(

或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加．跟踪训练3已知数列{an}的前n项和Sn＝－32n2＋2052n，求数列{|an|}的前n项和Tn.解析：a1＝S1＝－32×12＋2052×1＝101.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1

＝－32n2＋2052n－－32(n－1)2＋2052(n－1)＝－3n＋104.∵n＝1也适合上式，∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104(n∈N*)．由an＝－3n＋104≥0，得n≤34.7.即当n≤3

4时，an>0；当n≥35时，an<0.①当n≤34时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－32n2＋2052n；②当n≥35时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34

|＋|a35|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)＝2S34－Sn＝2－32×342＋2052×34－

－32n2＋2052n＝32n2－2052n＋3502.故Tn＝－32n2＋2052n，n≤34且n∈N*，32n2－2052n＋3502，n≥35且n∈N*.易错辨析混淆等差数列的性

质致误例4已知等差数列{an}的前n项之和记为Sn，S10＝10，S30＝70，则S40＝________.解析：由题意知10a1＋10×92d＝1030a1＋30×292d＝70得a1＝

25，d＝215.所以S40＝40×25＋40×392×215＝120.答案：120【易错警示】出错原因纠错心得将等差数列中Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列误认为Sm，S2m，S3m成等差数列.本题可用等差数列的性质：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列求解；

还可以由S10＝10，S30＝70联立方程组解得a1和d，再求S40.