【文档说明】《历年高考数学真题试卷》2022年高考真题——理科数学（全国乙卷）试卷.docx，共(14)页，396.730 KB，由envi的店铺上传

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2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题

卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设全集{1,2,3,4,5}U=，集合M满足{1,3}UM=ð，则（）A．2MB．3MC

．4MD．5M2．已知12iz=−，且0zazb++=，其中a，b为实数，则（）A．1,2ab==−B．1,2ab=−=C．1,2ab==D．1,2ab=−=−3．已知向量,ab满足||1,||3,|2|3==−=abab，则=ab（）A．2−B．1−C．

1D．24．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列nb：1111b=+，212111b=++，31231111b=+++，…，依此类推，其中(1

,2,)kk=N．则（）A．15bbB．38bbC．62bbD．47bb5．设F为抛物线2:4Cyx=的焦点，点A在C上，点(3,0)B，若||||AFBF=，则||AB=（）A．2B．22C．3D．32

6．执行下边的程序框图，输出的n=（）A．3B．4C．5D．67．在正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别为,ABBC的中点，则（）A．平面1BEF⊥平面1BDDB．平面1BEF⊥平面1ABDC．平面1BEF∥平面1AACD．平面1BEF∥平面11ACD8．已知

等比数列na的前3项和为168，2542aa−=，则6a=（）A．14B．12C．6D．39．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A．13B．12C．33D．2210．某棋手与甲、乙、

丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为123,,ppp，且3210ppp．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）A．p与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关B．该棋手在第二

盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大11．双曲线C的两个焦点为12,FF，以C的实轴为直径的圆记为D，过1F作D的切线与C交于M，N两点，且123cos5FNF=，则C的离心率为（）A．52B．32C．132D．17212．已知函数()

,()fxgx的定义域均为R，且()(2)5,()(4)7fxgxgxfx+−=−−=．若()ygx=的图像关于直线2x=对称，(2)4g=，则221()kfk==（）A．21−B．22−C．23−D．24−二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．从甲、

乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．14．过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)−中的三点的一个圆的方程为____________．15．记函数()cos()(0,0)fxx=+

的最小正周期为T，若3()2fT=，9x=为()fx的零点，则的最小值为____________．16．己知1xx=和2xx=分别是函数2()2exfxax=−（0a且1a）的极小值点和极大

值点．若12xx，则a的取值范围是____________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据

要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）记ABC△的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知sinsin()sinsin()CABBCA−=−．（1）证明：2222abc=+；（2）若255,cos31aA==，求ABC△的周长．18．（2分）如图，四面体ABCD中，,,ADCDADC

DADBBDC⊥==，E为AC的中点．（1）证明：平面BED⊥平面ACD；（2）设2,60ABBDACB===，点F在BD上，当AFC△的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．19．（12分）某地经过多年的环境

治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m）和材积量（单位：3m），得到如下数据：样本号i12345678910总和根部横截面

积ix0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量iy0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得10101022iiiii=1i=1i=10.038,1

.6158,0.2474xyxy===．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m．

已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数i=122=1=1()(),1.89617()7().3niinniiiixxyyrxxyy−=−−−．20．（

12分）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过()30,2,,12AB−−两点．（1）求E的方程；（2）设过点()1,2P−的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MTTH=．证明：直线HN过定点．21．（12分）已知函数()()

ln1exfxxax−=++.（1）当1a=时，求曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程；（2）若()fx在区间()()1,0,0,−+各恰有一个零点，求a的取值范围．（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的

第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos2,2sinxtyt==（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为sin03m

=++．（1）写出l的直角坐标方程；（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知a，b，c都是正数，且3332221abc++=，证明：（1）19abc；（2）12abcbca

cababc+++++．2022年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）参考答案注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非

选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.A2.A3.C.4.D5.B6.B7.A8.D9.C10.D1

1.C12.D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.31014.()()222313xy−+−=或()()22215xy−+−=或224765339xy−+−=或()2281691525x

y−+−=；15.316.1,1e三、解答题：共0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.（1）证明

：因为()()sinsinsinsinCABBCA−=−，所以sinsincossinsincossinsincossinsincosCABCBABCABAC−=−，所以2222222222222acbbcaabcacbcabacb

cab+−+−+−−=−，即()22222222222acbabcbca+−+−−+−=−，所以2222abc=+；（2）解：因为255,cos31aA==，由（1）得2250bc+=，由余弦定理可得2222cosabcbcA=+−，则50502531bc−=，所以312bc=，故()

2222503181bcbcbc+=++=+=，所以9bc+=，所以ABC的周长为14abc++=.18.（1）因为ADCD=，E为AC的中点，所以ACDE⊥；在ABD△和CBD中，因为,,BACDCDADBDBDBD===，所以ABDCBD≌△△，所以ABCB=，

又因为E为AC的中点，所以ACBE⊥；又因为,DEBE平面BED，DEBEE=，所以AC⊥平面BED，因为AC平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.（2）连接EF，由（1）知，AC⊥平面BED，因为EF平面BED，所以ACEF⊥，所以1=2AFCSACE

F△，当EFBD⊥时，EF最小，即AFC△的面积最小.因为ABDCBD≌△△，所以2CBAB==，又因为60ACB=，所以ABC是等边三角形，因为E为AC的中点，所以1AEEC==，3BE=，因为ADCD⊥，所以112DEAC==,在DEB中

，222DEBEBD+=，所以BEDE⊥.以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Exyz−，则()()()1,0,0,0,3,0,0,0,1ABD，所以()()1,0,1,1,3,0ADAB=−=−，设平面AB

D的一个法向量为(),,nxyz=，则030nADxznABxy=−+==−+=，取3y=，则()3,3,3n=，又因为()331,0,0,0,,44CF−，所以331,,44CF=，所以643cos,77214nCFnCFnCF=

==，设CF与平面ABD所成的角的正弦值为02，所以43sincos,7nCF==，所以CF与平面ABD所成的角的正弦值为437.19.（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值0.60.0610x==样本中10棵这种树木的材积量的平均值

3.90.3910y==据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为20.06m，平均一棵的材积量为30.39m（2）()()()()1010iiiii=1i=110101010222222iiiii=1i=1i=1i=1101010xx

yyxyxyrxxyyxxyy−−−==−−−−22(0.038100.06)(1.615810.2474100.060.390.01340.01340.970.013770.0000018996.3)−−==−则0.97r（

3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为3mY，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得0.06186=0.39Y，解之得3=1209mY．则该林区这种树木的总材积量估计为31209m20.（1）解：设椭圆E的方程为221mx

ny+=，过()30,2,,12AB−−，则41914nmn=+=，解得13m=，14n=，所以椭圆E的方程为：22143yx+=.（2）3(0,2),(,1)2AB−−，所以2:23+=AByx，①若过点(

1,2)P−的直线斜率不存在，直线1x=.代入22134xy+=，可得26(1,)3M，26(1,)3N−，代入AB方程223yx=−，可得26(63,)3T+，由MTTH=得到26(265,)3H+.求

得HN方程：26(2)23yx=−−，过点(0,2)−.②若过点(1,2)P−的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kxykMxyNxy−−+=.联立22(2)0,134kxykxy−−+=+

=得22(34)6(2)3(4)0kxkkxkk+−+++=，可得1221226(2)343(4)34kkxxkkkxxk++=++=+，12222228(2)344(442)34kyykkkyyk−++=++−=+，且12212

24(*)34kxyxyk−+=+联立1,223yyyx==−可得111113(3,),(36,).2yTyHyxy++−可求得此时1222112:()36yyHNyyxxyxx−−=−+−−，将(0,2)−，代入整理得12121221122()

6()3120xxyyxyxyyy+−+++−−=，将(*)代入，得222241296482448482436480,kkkkkkk+++−−−+−−=显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,2).−21.（1）()fx的定义域为(1,)−+当1a=时,()ln

(1),(0)0exxfxxf=++=,所以切点为(0,0)11(),(0)21exxfxfx−=+=+,所以切线斜率为2所以曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程为2yx=（2）()ln(1)exaxf

xx=++()2e11(1)()1e(1)exxxaxaxfxxx+−−=+=++设()2()e1xgxax=+−1若0a,当()2(1,0),()e10xxgxax−=+−,即()0fx所以()fx在(1,0)−上单调递增,()(0)0fxf=故()fx在(

1,0)−上没有零点,不合题意2若10a−剟,当,()0x+,则()e20xgxax=−所以()gx在(0,)+上单调递增所以()(0)10gxga=+…,即()0fx所以()fx在(0,)+上单调递增,

()(0)0fxf=故()fx在(0,)+上没有零点,不合题意3若1a−(1)当,()0x+,则()e20xgxax=−,所以()gx在(0,)+上单调递增(0)10,(1)e0gag=+=所以存在(0,1)m,使得()0gm=,即()0=fm当(0,),()

0,()xmfxfx单调递减当(,),()0,()xmfxfx+单调递增所以当(0,),()(0)0xmfxf=当,()xfx→+→+所以()fx在(,)m+上有唯一零点又(0,)m没有零点,即()fx在(0,)+上有唯一零点(2)当()2

(1,0),()e1xxgxax−=+−设()()e2xhxgxax==−()e20xhxa=−所以()gx在(1,0)−单调递增1(1)20,(0)10egag−=+=所以存在(1,0)n−,使得()0gn=当(1,),()0,(

)xngxgx−单调递减当(,0),()0,()xngxgx单调递增,()(0)10gxga=+又1(1)0eg−=所以存在(1,)tn−,使得()0gt=,即()0ft=当(1,),()xtfx−单调递

增,当(,0),()xtfx单调递减有1,()xfx→−→−而(0)0f=,所以当(,0),()0xtfx所以()fx在(1,)t−上有唯一零点,(,0)t上无零点即()fx在(1,0)−上有唯一零点所以1a−,符合题意所以若()fx在区间(1,0),(0,)−+各恰有一个零点,求a的

取值范围为(,1)−−（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.（1）因为l：sin03m++=，所以13sincos022++=m，又因为sin,cosyx==，

所以化简为13022++=yxm，整理得l的直角坐标方程：320++=xym（2）联立l与C的方程，即将3cos2=xt，2sinyt=代入320++=xym中，可得3cos22sin20++=ttm，所以23(12sin)2sin20−++=ttm，

化简为26sin2sin320−+++=ttm，要使l与C有公共点，则226sin2sin3=−−mtt有解，令sin=ta，则1,1a−，令2()623=−−faaa，(11)a−≤≤，对称轴为1

6a=，开口向上，所以(1)623()5=−=+−=maxffa，min11219(())36666==−−=−ffa，所以19256−mm的取值范围为195122−m.[选修4-5：不等式选讲]

23.（1）证明：因为0a，0b，0c，则320a，320b，320c，所以33333322232223abcabc++，即()1213abc，所以19abc，当且仅当333222abc==，即319abc===时取等号．（2）证明：因为0a，

0b，0c，所以2bcbc+，2acac+，2abab+，所以3222aaabcbcabc=+，3222bbbacacabc=+，3222cccabababc=+333333222222122222abcabcabcbcacababcabcabcabcabc++++++==+++

当且仅当abc==时取等号．扫码关注数学服务号，及时获取2022年高考真题、答案及解析哦！！！本试题由公众号《高中僧试卷》团队综合整理，有些素材搜集于网络，若有疑问，欢迎联系！