【文档说明】四川省南充市高级中学2024-2025学年高二上学期第二次月考（12月）数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，1.288 MB，由envi的店铺上传

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南充高中高2023级第三学期第二次月考数学试题（时间：120分钟总分：150分命､审题人：刘红梅康通）一､单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数2ii1i

z−−=+，则z的虚部是（）A.1B.1−C.iD.i−【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法即可得到答案.【详解】21i(1i)2ii1i22z−−−====−+，虚部为1−，故选：B．2.已知12,FF分

别是椭圆222:1(04)16xyMbb+=的左､右焦点，P是M上一点，若12PFF的周长为10，则M的离心率为（）A.18B.38C.14D.12【答案】C【解析】【分析】根据椭圆焦点三角形周长为22ac+，确定c的值，再求椭圆的离心率即可.【详解】

因为椭圆222:1(04)16xyMbb+=，所以4a=，又根据椭圆的定义可知：12PFF的周长为22242101accc+=+==，所以椭圆离心率为：14cea==，故选：C的的3.已知事件,AB互斥，()56PAB=，且()()2PAPB=，则(

)PB=（）A.59B.49C.518D.1318【答案】D【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件的知识求得正确答案.详解】依题意，()()()()()562PABPAPBPAPB=+==，解得()()5513,1181818PBPB==−=.故选：D4.用斜二测

画法画出的某平面四边形的直观图如图所示，边AB平行于y轴，,BCAD平行于x轴，若四边形ABCD为等腰梯形，且1cmABBC==，则原四边形的周长为（）cm．A.323++B.326++C.425++D.426++【答案】D【

解析】【分析】根据斜二测画法画法，结合题中条件求出各边边长，即可求出结果.【详解】记四边形ABCD所对应的原四边形为四边形1111DCBA，由题意可得，原四边形中1111ABAD⊥，11BC、11AD都与x轴平行，即

四边形是直角梯形，因为1cmABBC==，四边形ABCD为等腰梯形，【所以cos45cos4512cmADABBCCD=++=+，所以112cmAB=，111cmBC=，1112cmAD=+，因此()22111111116cmCDABADBC=+−=，所以原四边形的周长为

11111111426cmABBCCDAD+++=++.故选：D5.已知离心率为3的双曲线2221yxm−=与椭圆222112xyn+=有相同的焦点，则22mn+=（）A.13B.21C.29D.31【答案】C【

解析】【分析】由双曲线离心率为3可得213m+=，根据双曲线与椭圆焦点相同得22112mn+=−，求解可得答案.【详解】由题意，22213112mmn+=+=−，解得28m=，221n=，故2229mn+=.故选：C.6.和直线3x-4y+5=0关于x轴对

称的直线的方程为A.3x+4y-5=0B.3x+4y+5="0"C.3x+4y-5=0D.3x+4y-5=0【答案】B【解析】【详解】直线3450xy−+=与x轴交于点5(,0)3−且斜率为34，所以其关于x轴对称的直线的斜率为34−且经过点5(,0)

3−，所以所求直线方程为35()43yx=−+，即3450xy++=，故选B7.已知点(),mn在过()2,0−点且与直线20xy−=垂直的直线上，则圆()()22:3514Cxy−++=上的点到点(),Mmn的轨迹的距离的最小值为

（）A.1B.3C.5D.35【答案】A【解析】【分析】先求出过()2,0−点且与直线20xy−=垂直直线方程，则可得220mn++=，再求出圆心C的坐标和圆的半径r，然后求出圆心C到直线220xy++=的距离

d，即可求得答案.【详解】过()2,0−点且与直线20xy−=垂直的直线方程为1(2)2yx=−+，即220xy++=，因为点(),mn在直线220xy++=上，所以220mn++=，圆()()22:3514Cxy−++=的圆心(35,1)C−，半径2r=，所以圆心C到直线220xy++=的距离

352235d−+==，所以所求的距离的最小值为321−=.故选：A8.如图，已知半椭圆()22122:10xyCxab+=与半椭圆22222:1(0)yxCxbc+=组成的曲线称为“果圆”，其中222,0abcabc=+.

“果圆”与x轴的交点分别为12,AA，与y轴的交点分别为12,BB，点P为半椭圆2C上一点（不与1A重合），若存在120PAPA=uuuruuur，则半椭圆1C的离心率的取值范围为（）A.20,3B.12,23

C.151,22−D.512,23−【答案】D【解析】【分析】利用椭圆上点的坐标从而得到向量坐标，利用向量坐标表示数量积得到相应等量关系，再由点的变化范围得到相应不等式，进而求得取值范围.的【详解】设(

)()000,,,0Pxyxc−，因为()()()()12100200,0,,0,,,,AcAaPAcxyPAaxy−=−−−=−−，又点P为半椭圆2C上一点，所以22222200002221yxbxybbcc+==−，所以()()()22212000000PA

PAcxaxyxcaxacy=−−−+=+−−+()()222222220000022bxcbxcaxacbxcaxacbcc−=+−−+−=+−−+，因为存在120PAPA=uuuruuur，所以()22220020cbxcaxacbc−+

−−+=，即()()()222222000cbxccaxacbc−+−+−+=在()0,0xc−上有解，因为()()()()()()2222222220000cbxccaxacbccbxacbcxc−+−+−+=−+−++

，且()0,0xc−，所以()()22200cbxacbc−+−+=在()0,0xc−上有解，即()2022acbcxcb−+=−在()0,0xc−上有解，所以()2220acbccbc−+−−又因为222,0abcabc=

+，所以{(−𝑎𝑐+𝑏2)𝑐<0(−𝑎𝑐+𝑏2)𝑐>−𝑐(𝑏2−𝑐2)⇒{𝑎2−𝑎𝑐−𝑐2<03𝑐2+𝑎𝑐−2𝑎2<0，即2210320eeee−−+−，解得15223e−+，

故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键是采用设点法，再代入计算相关向量数量积，转化为()2022acbcxcb−+=−在()0,0xc−上有解，从而得到不等式组，解出即可二､多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分

，在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分.9.中国有很多谚语，如“人多计谋广，柴多火焰高”、“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，“一个篱笆三个桩，一个好汉三个帮”等等．都能体现团队协作、集体智慧的强大．假设某人能力较强，他独自一人解

决某个项目的概率为10.8P=．同时，有由n个水平相当的人组成的团队也在研究该项目，团队成员各自独立解决该项目的概率都是0.4．如果这n个人组成的团队解决该项目的概率为2P，且21PP，则n的取值可

能是（）（参考数据：lg20.30，lg30.48）A.3B.4C.5D.6【答案】BCD【解析】【分析】从对立事件角度考虑求得2P，依题建立指数不等式，通过取对数，利用对数函数的单调性和对数的运算性质计算即得n的取值范围，即可确定选项.【详解】依题意

，231(10.4)1()5nnP=−−=−，由21PP可得341()55n−，即31()55n，两边取对数，可得351lg5(1lg2)35log335lg3(1lg2)11lg5n−−−==−−.故选：BCD.10.设双曲线的渐近线方程为12yx=，则该

双曲线的离心率e可以为（）A52B.252C.5D.25【答案】AC【解析】【分析】由焦点在x轴上和渐近线方程，求出12ba=，由焦点在y轴上和渐近线方程，求出12ab=，从而求出离心率..【详解】当焦点在x轴上，所以12ba=，故离心率22

512bea=+=.当焦点在y轴上，所以12ab=，故离心率2215bea=+=.故选：AC11.已知动点P到定点()4,0F的距离与到直线25:4lx=距离的比是常数4,5P点的轨迹称为曲线C，直线()0

ykxk=与曲线C交于AB､两点.则下列说法正确的是（）A.曲线C的方程221259xy+=B.10AFBF+=C.M为曲线C上不同于AB､的一点，且直线MAMB､斜率分别为12,kk，则12259kk=−D.O为坐标原点，54POPF+的最大值为654【答

案】ABD【解析】【分析】设𝑃(𝑥,𝑦)，根据距离公式列出关于x、y的等式，可判断A选项；利用椭圆的定义可判断B选项；利用斜率公式可判断C选项；利用曲线的定义以及数形结合可判断D选项.【详解】设𝑃(𝑥,𝑦)，则()()222

2444,4525554xyxyxx−+=−+=−−，即2221681682525xyxxx+−+=−+，化简得221259xy+=，故A对；由题意可知，曲线C为椭圆，且225,3,4abcab===−=，设椭圆另一个焦点为F，如图，由O为FF和AB中点可知四边形AFBF为平

行四边形，所以AFBF=，所以210,AFBFAFAFa=+=+=故B对；设点()()()001111,,,,,MxyAxyBxy−−，因为M为曲线C上不同于AB､的一点，则22001259xy

+=，22111259xy+=，可得22009125xy=−，22119125xy=−，又直线MAMB､斜率分别为12,kk所以2201221010101222221010101091912525925xxyyyyyykkxxxxxxxx

−−−−+−====−−+−−，故C错；由定义知动点到定点F与它到定直线l距离d满足45PFd=，所以54POPFPOd+=+，其中d为点P到直线25:4lx=的距离，即求椭圆上一点P到O与到直线25:4lx

=距离和的最大值，显然当P在椭圆左顶点时，PO和d同时取得最大值，所以max5256555444POPF+=++=，故D对；故选：ABD【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去

变量，从而得到定值．三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.弧长为4π的扇形的圆心角为π3，则此扇形的面积为__．【答案】24π【解析】【分析】根据扇形弧长求半径，由扇形面积公式求面积.【详

解】由题设，扇形半径12π4π3r==，故扇形面积为1124π24π2=.故答案为：24π13.设ππ,π,cos22−是函数()225309fxxx=−+的零点，则()tanπ+的值为__________.【答案】34−##

-0.75【解析】【分析】求得函数的零点为35x=，从而得3sin5=，由π,π,2可得4cos5=−，根据同角商的关系及诱导公式求解即可.【详解】解：因为()2225309(53)fxxxx=−+=−，令()0fx=，则35x=，所以πcos2−

35=，即3sin5=，又因为π,π,2所以24cos1sin5=−−=−，所以sin3tancos4==−，所以()3tanπtan4+==−.故答案为：34−1

4.若,EF为平面上两个定点，则满足EMEF为常数的动点M的轨迹是直线，满足0NENF=的动点N的轨迹是圆.将此性质类比到空间中，解决下列问题.已知点,,,OABC为空间中四个定点，336OBOAOC===，且,,O

AOBOC两两的夹角都是60o，若动点P满足12OPOC=，动点Q满足0QAQB=，则PQ的最小值是__________.【答案】47−##74−+【解析】【分析】根据类比性质，可知动点P的轨迹是过3ODOC=的

终点D且垂直OD的平面，动点Q的轨迹是以线段AB为直径的球M，从而PQ的最小值就是球心M到平面的距离d减去球的半径R，再对距离与半径进行计算即可.【详解】如图，由题12OPOC=，当OP与OC共线时，则212

OP=，即6OP=，此时的点P记作点D，则3ODOC=，所以动点P的轨迹是过OD的终点D且垂直OD的平面，动点Q的轨迹是以线段AB为直径的球M，PQ的最小值就是球心M到平面的距离d减去球的半径R.()()()211133222OAOBOCOC

OAOCOBOCOCDMOCdOCOCOC+−+−===21111226232222242+−==.()2222211111226226722222RABOBOAOAOBOAOB==−=+−=+−=，min47PQ=−

.故答案为：47−.四､解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮.现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（五局三胜制），其中每局中甲获胜的概率为23，乙获胜

的概率为13，每局比赛都是相互独立的.（1）求比赛只需打三局的概率；（2）已知甲在前两局比赛中获胜，求甲最终获胜的概率.【答案】（1）13（2）2627【解析】【分析】（1）“比赛只需打三局”可看作互斥事件“甲前三局都获胜”与“乙前三局都获

胜”的和事件，可按相互独立事件积事件的概率与互斥事件和事件的概率求解即可；（2）“甲最终获胜”是互斥事件“第三局甲胜”、“第三局甲输第四局甲胜”与“第三局第四局甲均输第五局甲胜”的和事件，按相互独立事件积事件的概率与互斥事件和事件的概率求解即可；【小问1

详解】设事件A=“甲前三局都获胜”，事件B=“乙前三局都获胜”，则2228()33327PA==，()111133327PB==，比赛只需打三局的概率为：811()()()27273PPABPAPB==+=+

=.【小问2详解】甲需要打三局的概率为：123P=，甲需要打四局的概率为：2122339P==，甲需要打五局的概率为：3112233327P==，则甲最终获胜的概率为：12322263272729PPPP=++=++=.16.已知圆C：()()

22344xy−+−=，点()5,1P，点()1,2Q−−．（1）过点P作圆C的切线l，求出l的方程；（2）设A为圆C上的动点，G为三角形APQ的重心，求动点G的轨迹方程．【答案】（1）5x=或512370x

y+−=；（2）()2274139xy−+−=．【解析】【分析】（1）分切线的斜率不存在和切线的斜率存在两种情况求解即可；（2）设(),Gxy，(),Aab，结合重心的性质可得3431axby=−=+，进而结

合A为圆C上的动点求解即可.【小问1详解】由C：()()22344xy−+−=，则圆心()3,4C，半径2r=，当切线l的斜率不存在时，直线l的方程为5x=，符合题意；当切线l的斜率存在时,则设切线l的方程为()15ykx−=−，即510

kxyk−−+=，所以2345121kkk−−+=+，解得512k=−，此时切线l的方程为555101212xy−−−−+=，即512370xy+−=.综上所述，切线l的方程为5x=或512370xy+−=.【小问2详解】设(),Gxy，(),

Aab，因为()5,1P，()1,2Q−−，G为三角形APQ的重心，所以513123axby+−=+−=，即3431axby=−=+，由A为圆C上的动点，得()()22344ab−+−=，则()()223433144xy−−++−=，整理得()2274139xy−+−=

，即动点G的轨迹方程为()2274139xy−+−=．17.如图，在四棱锥PABCD−中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱2PAPD==，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥,,222,ADABADADABBCO⊥

===为AD中点.（1）证明：⊥PO平面ABCD；（2）求直线BD与平面PAB所成角的正弦值；【答案】（1）证明过程见详解（2）105【解析】【小问1详解】因为PAPD=，O为AD中点，所以POAD⊥，因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD底面ABCDA

D=，POAD⊥，PO平面PAD，所以⊥PO平面ABCD；【小问2详解】因为底面ABCD为直角梯形，又,,222BCADABADADABBC⊥===∥，所以四边形ABCO是正方形，OCAD⊥，又⊥PO平面ABCD，以O为原点，OC所在直线为x轴

，OD所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()0,1,0,1,1,0,0,0,1,1,0,00,1,0ABPCD−−，()()()1,2,0,0,1,1,,1,1,1BDPAPB=−=−−=−−，设平面PAB的法向量

为(),,nxyz=r，则0000nPAyzxyznPB=−−=−−==，令1y=，则0,1xz==−，所以()0,1,1n=−，设直线BD与平面PAB所成角为，则210sincos,552BDnBDnBDn====，所以直线BD与平面PAB所成角的正弦值105，1

8.已知函数()()0ahxxax=+在区间()0,a上单调递减，在区间(),a+上单调递增，现有函数()2fxxx=+和函数()()211gxmxmx=−−+.（1）若1,2x，求函数()fx的最值；（2）若关于x的不等式()3gx<的解集为R，求

实数m的取值范围；（3）若对于14,6x，21,2x，使得()()121gxfx+成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）最小值为22，最大值为3（2）()322,322−−−+（3）(65,2−−【解析】【分析】

（1）结合题意可得函数()fx的单调性，进而求解最值；（2）转化问题为不等式()2120mxmx−−−对于Rx恒成立，进而分0m=和0m两种情况讨论求解即可；（3）转化问题为()()12maxmax1gxfx+，由（1）可得函数()2fxxx=+，1,2x时的最大值

，进而结合二次函数的开口方向和对称轴讨论求解即可.【小问1详解】由题意，函数()fx在()1,2上单调递减，在区间()2,2上单调递增，且()21131=+=f，()222222f=+=，()22232f=+=，所以函数()fx的最小值为22，最大值为3.【小问2详解】由题意，

关于x的不等式()2113mxmx−−+的解集为R，即不等式()2120mxmx−−−对于Rx恒成立，当0m=时，不等式为20x−，即2x不恒成立，不符合题意；当0m时，有()20Δ180mmm=−+，解得322322m−−−+.综上

所述，实数m的取值范围为()322,322−−−+.【小问3详解】由题意，对于14,6x，21,2x，使得()()121gxfx+成立，则()()12maxmax1gxfx+.对于函数()2fxxx=

+，1,2x，由（1）知，()max3fx=.对于函数()()211gxmxmx=−−+，4,6x，若0m=，()1gxx=+，则()()max67gxg==，而731+，不符合题意.若0m，当152mm−，即19m−，所以当0m时，152mm−恒成立，所以()(

)()max636611307gxgmmm==−−+=+，则30731m++，即110m−，不符合题意；若0m，当142mm−，即17m−时，()()()max416411125gxgmmm==−−+=+，则12531m

++，即112m−，所以17m−；当162mm−，即1011m−时，()()()max636611307gxgmmm==−−+=+，则30731m++，即110m−，所以此种情况不合题意；当11711

m−−时，()2max161424gmmmmgmx−==−−，所以12657m−−；综上所述，实数m的取值范围为(65,2−−.19.已知椭圆C：22221xyab+=（0ab）的焦距为23，1F，2F分别为椭圆C的左、右焦点，过1F的直线l与椭圆C交于,MN

两点，2FMN的周长为8.（1）求椭圆C的标准方程.（2）对于()1,0D−，是否存在实数k，使得直线2ykx=+分别交椭圆于点,PQ，且DPDQ=？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214xy+=（2）存在，354k+=【解析】【分析】（1）根据椭圆的定

义求解即可；（2）利用韦达定理求出PQ的中点坐标，再根据DPDQ=可得DAPQ⊥，根据直线的垂直关系与斜率的关系求解即可.【小问1详解】因为2FMN的周长为222211MFNFMNMFNFMFNF++=+++212148MFMFNFNFa=+++==，所以2a=，又因为223c

=，所以3c=，所以2221bac=−=，所以椭圆C的标准方程为2214xy+=.【小问2详解】设1122)(,),(,PxyQxy，设PQ中点为A，联立22142xyykx+==+，消去y整理得，22(41)16120kxkx+++=，所以2225648(

41)0kk=−+，即2430k−，所以32k−或32k，又由韦达定理可得，1212221612,4141kxxxxkk+=−=++，所以122282,224141AAAxxkxykxkk+==−=+=++，所以2282,4141kAkk−++，因为DPDQ=，所以D

APQ⊥，由32k−或32k，可知，直线,DAPQ的斜率均存在，且都不等于零，所以1DAPQkk=−，即2224118141kkkk+=−−++，整理得24610kk−+=，解得123535,44kk−+==，又因为32k−或32k，所以2354k+=满足题意，所以存在3

54k+=.