【文档说明】四川省南充高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试+数学+含解析.docx，共(27)页，2.557 MB，由小赞的店铺上传

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高2022级高二上期期中考试数学试题（命、审题人：陈昀王磊陈勇李思健）总分150分考试时间120分钟注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它

答案标号.3．答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.4．考试结束后将答题卡交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线350xy−−=的倾斜角为（）A.30B.60C.120D.502.水平放置的AB

C的直观图如图所示，D¢是ABC中BC边的中点，且AD平行于y轴，则AB，AD，AC对应于原ABC中的线段AB，AD，AC，对于这三条线段，正确的判断是（）A.最短的是ADB.最短的是ACC.ABACD.ADAC3.若0,π，5252cos

cossinsin03333+=，则的值是（）A.π6B.π4C.π3D.π24.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，2AC=，11CCBC==，ACBC⊥，则异面直线AC与1BC所成角大小为（）A.90B.60C.4

5D.305.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模

拟产生了如下12组随机数：137960197925271815952683829436730257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A.14B.38C.512D.586.设,mn是两条不同的直线，,

是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若,m⊥∥，则m⊥B.若,,mnn⊥⊥⊥，则m⊥C.若//m且//n，则//mnD.若,,mnn⊥⊥⊥，则m⊥7.2023年7月28日、第31届世界大学生夏季

运动会将在成都东安湖体育公园开幕．公园十二景中的第一景东安阁，阁楼整体采用唐代风格、萃取太阳神乌形象、蜀锦与宝相花纹（芙蓉花）元素，严谨地按照唐式高阁的建筑形制设计建造，已成为成都市文化新地标，面向世界展现千年巴蜀风韵．某数学兴趣小组在探测

东安阁高度的实践活动中，选取与阁底A在同一水平面的B，C两处作为观测点，测得36mBC=，=45ABC，105ACB=，在C处测得阁顶P的仰角为45°，则他们测得东安阁的高度AP为（精确到0.1m，参考数据：21.41，31.73）（）

A.72.0mB.51.0mC.50.8mD.62.3m8.南高学生到南充内燃机厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体1111ABCDABCD−挖去四棱锥OEFGH−后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，12cmAB

BC==，18cmAA=，3D打印所用原料密度为30.9g/cm，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为（）gA.86.4B.172.8C.864D.950.4二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设复数12zi=+，i为虚数单位，则下列说法正确的是（）A.z共轭复数为12i−B.5z=C.254iz=+D.4i12iz=−−10.将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A=“第一次出现奇

数点”，事件B=“两次点数之积为偶数”，事件C=“两次点数之和为5”，则（）A.事件AB必然事件B.事件A与事件B是互斥事件C.事件B包含事件CD.事件A与事件C是相互独立事件11.如图所示，四边形ABCD为梯形，其中//ABCD，2ABCD=，M，N分别为ABCD，中点

，则结论正确的是（）A.12ACADAB=+B.1122CMCACB=+C.14MNADAB=+D.12BCADAB=+12.如图，棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，点M、N满足113AMAC=，12CN

CD=，点P是正的是的方体表面上一动点，下列说法正确的是（）A.1DMAC⊥B.DM∥平面11CBDC.若1BP∥平面11ANC，则1BP的最大值为5D.若1BP∥平面11ANC，则点P的轨迹长度为62三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知一组数据

：24，30，40，44，48，52.则这组数据的第30百分位数、第50百分位数的平均数为______.14.直线1:10lmxy−+=，()2:3220lmxmy−+−=，若12ll⊥，则实数m的值为_________________.15.已知(

)0,0,1OA=，()2,1,2OB=−，则三角形OAB的面积为_____________．16.正四面体ABCD的棱长为12，点P是该正四面体内切球球面上的动点，当PAPD取得最小值时，点P到AD的距离为__________．四、解答题：本题共6小题，共

70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知四边形ABCD的三个顶点()2,3A，()1,1B−，()4,2C−．（1）若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标；（2）求点C到直线AB的距离．18.如图，在

平行六面体1111ABCDABCD−中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60．记ABa=，ADb=，1AAc=．（1）求1BD长；（2）求1BD与AC夹角的余弦值．19.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，A

BBC⊥，2ABBC==，M，N分别为11AB，AC的中点．的（1）求证：//MN平面11BCCB；（2）求直线AB与平面BMN所成角的余弦值．20.2023年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持．下图是该地1

00家中小微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图．（1）确定a的值，并估计这100家中小微企业的专项贷款金额的众数；（2）从这100家中小微企业中按专项贷款金额分层抽样随机抽取20家，再从这20家专项贷款金额在200,300内的企

业中随机抽取3家，求这3家的专项贷款金额都在)200,250内的概率．21.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc．已知23a=，3bc=，1cos3A=−．（1）求c的值；（2）求sinC的值；（3）求()sin2AC+的

值．22.如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，60ABC=，四边形ACFE矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，1ADCDBCCF====．（1）求证：BC⊥平面ACFE；（2）求点C到平面ABF的距离；（3）若点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB的夹角为，试求cos

的取值范围．为高2022级高二上期期中考试数学试题（命、审题人：陈昀王磊陈勇李思健）总分150分考试时间120分钟注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题

目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3．答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.4．考试结束后将答题卡交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线350xy−−

=的倾斜角为（）A.30B.60C.120D.50【答案】B【解析】【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系即可求得倾斜角为60=.【详解】根据直线方程350xy−−=可知其斜率为3k=，设直线倾斜角为，则tan3=，可得60=.故选：B2.水平放置的ABC的直观图如图所示，D¢是

ABC中BC边的中点，且AD平行于y轴，则AB，AD，AC对应于原ABC中的线段AB，AD，AC，对于这三条线段，正确的判断是（）A.最短的是ADB.最短的是ACC.ABACD.ADAC【答案】A【解析】【分析】根

据题意，由直观图与原图的关系，结合条件，即可判断.【详解】因为AD平行于y轴，所以在ABC中，ADBC⊥，又因为D¢是ABC中BC边的中点，所以D是BC的中点，所以ABACAD=.故选：A3.若0,π，5252coscossinsin03333

+=，则的值是（）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】D【解析】【分析】利用余弦的差角公式得到cos0=，再根据条件即可求出结果.【详解】因为525252coscossinsincos()c

os0333333+=−==，又0,π，所以π2=，故选：D.4.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，2AC=，11CCBC==，ACBC⊥，则异面直线AC与1BC所成角大小为（）A.90B.60C.45D.30【答案】A【解析】【分析】

以点C坐标原点，CA、CB、1CC所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线AC与1BC所成角大小.为【详解】在直三棱柱111ABCABC-中，1CC⊥平面ABC，且ACBC⊥，以点C为坐标原点，CA、CB、1CC所在直线

分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0A、()0,1,0B、()0,0,0C、()10,0,1C，所以，()2,0,0CA=，()10,1,1BC=−，所以，10CABC=，则1CABC⊥，所以，异面直线AC与1BC所成角为90.故选：A

.5.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结

果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137960197925271815952683829436730257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A.14B.38C.512D.58【答案】A【解析】【分析】根据

随机数找出三次投篮恰有两次命中的数组，再根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】依题意在12组随机数中三次投篮恰有两次命中的有：137，271，436共3个，所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率31124

P==.故选：A6.设,mn是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若,m⊥∥，则m⊥B.若,,mnn⊥⊥⊥，则m⊥C.若//m且//n，则//mnD.若,,mnn⊥⊥⊥，则m⊥【答案】D【解析】【分析】根据线面垂直以及面面垂直

的性质判断A，B；根据线面平行的性质判断C；根据线面垂直的性质判断D.【详解】对于A，若m∥，⊥，则m或者m∥或者,m相交，故A错误，对于B，若,,mnn⊥⊥⊥，则m或者m∥或者,m相交

，故B错误，对于C，若//m且//n，则m与n可能平行、相交或异面，故C错误.对于D，若,mn⊥⊥，则mn∥，又n⊥，所以m⊥，故D正确，故选：D.7.2023年7月28日、第31届世界大学生夏季运动会将在成都东安湖体育公园开幕．公园十二景中的第一景东安阁，阁楼整体采用唐代风格、

萃取太阳神乌形象、蜀锦与宝相花纹（芙蓉花）元素，严谨地按照唐式高阁的建筑形制设计建造，已成为成都市文化新地标，面向世界展现千年巴蜀风韵．某数学兴趣小组在探测东安阁高度的实践活动中，选取与阁底A在同一水平面的B，C两处作为观测点，测得36mBC=，=45ABC，105ACB=，在

C处测得阁顶P的仰角为45°，则他们测得东安阁的高度AP为（精确到0.1m，参考数据：21.41，31.73）（）A.72.0mB.51.0mC.50.8mD.62.3m【答案】C【解析】【分析】在ABC中，由正弦定理可求3

62AC=，进而可得结果.【详解】在ABC中，则()18030BACABCACB=−+=，因为sinsinBCACBACABC=，可得236sin23621sin2BCABCACBAC===（m），在APC△中，则90,45PACA

CP==，即APC△为等腰直角三角形，可得36250.8APAC==（m）.故选：C.8.南高学生到南充内燃机厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体1111ABCDABCD−挖去四棱锥OEFGH−后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点

，12cmABBC==，18cmAA=，3D打印所用原料密度为30.9g/cm，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为（）gA.86.4B.172.8C.864D.950.4【答案】D【解析】【分析】根据题设，应用棱锥、长方体的体积求法求该模型的体积，进而

求其质量.【详解】由题设，1812446482EFGHS=−=2cm，且棱锥OEFGH−的高为6cm，所以1486963OEFGHV−==3cm，长方体的体积121281152V==3cm，所以该模型体积1056OE

FGHVVV−=−=3cm，故该模型所需原料的质量为10560.9950.4=g.故选：D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设复数12zi=+，i

为虚数单位，则下列说法正确的是（）A.z的共轭复数为12i−B.5z=C.254iz=+D.4i12iz=−−【答案】AB【解析】【分析】由共轭复数的定义、复数模的公式，复数乘法的运算，对选项进行判断.【详解】复数12zi=+，则12iz=−，

A选项正确；22125z=+=，B选项正确；()2224i4i4i434i12i=1=1z+++=+−+=−，C选项错误；41i=，42ii1zz==+，D选项错误.故选：AB10.将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A=“第一次

出现奇数点”，事件B=“两次点数之积为偶数”，事件C=“两次点数之和为5”，则（）A.事件AB是必然事件B.事件A与事件B是互斥事件C.事件B包含事件CD.事件A与事件C是相互独立事件【答案】ACD【解析】【分析

】列出事件A，B，C，AC的基本事件，再利用事件的基本关系判断.【详解】解：事件A的基本事件有：()()()()()()()()()()()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6

,3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6，事件B的基本事件有：()()()()()()()()()()()()1,2,1,4,1,6,2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,3,2,3,4,3,6，()()()()()()4,1,

4,2,4,3,4,4,4,5,4,6，()()()()()()()()()5,2,5,4,5,6,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6，事件C的基本事件有：()()()()1,4,4,1,2,3,3,2，事件AC的基本事件有：()()1,4,3,2，A.事件AB是

必然事件，故正确；B.因为AB，所以事件A与事件B不是互斥事件，故错误；C.因为CB，所以事件B包含事件C，故正确；D.因为()()()1814121,,6626696618PAPCPAC======，所以()()()PAPCPAC=

，所以事件A与事件C是相互独立事件，故正确；故选：ACD11.如图所示，四边形ABCD为梯形，其中//ABCD，2ABCD=，M，N分别为ABCD，的中点，则结论正确的是（）A.12ACADAB=+B.1122CMC

ACB=+C.14MNADAB=+D.12BCADAB=+【答案】AB【解析】【分析】根据给定条件，可得四边形AMCD为平行四边形，再结合向量线性运算逐项分析计算作答.【详解】对于A，四边形ABCD为梯形，//ABCD，2ABCD=，M为AB

中点，即有AMCD=，则四边形AMCD为平行四边形，12ACADAMADAB=+=+，A正确；对于B，M为AB中点，1122CMCACB=+，B正确；对于C，N为CD的中点，111224MNMAADDNABADDCADA

B=++=−++=−，C不正确；对于D，由选项A知，MCAD=，12BCMCMBADAB=−=−，D不正确.故选：AB12.如图，棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，点M、N满足113AMAC=，12CNCD=，点P是正方体表面上一动

点，下列说法正确的是（）A.1DMAC⊥B.DM∥平面11CBDC.若1BP∥平面11ANC，则1BP的最大值为5D.若1BP∥平面11ANC，则点P的轨迹长度为62【答案】ABC【解析】【分析】以点1D为原点，11DA、11DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空

间直角坐标系，利用空间向量法可判断A、B选项，分别取AB、BC中点G、H，连接1BG、GH、1BH、11AC、1AN、1NC、GN，证明面面平行，找出P点的轨迹，结合图形求出1BP的最大值和点P的轨迹长度，可判断C、D选项.【详解】以点1D为原点，11DA、11DC、1DD所在直线分别为x

、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()10,0,0D、()12,2,0B、(0,2,2)C、(2,0,2)A、(0),0,2D、()10,2,0C，对于A选项，11422,,3333=−=−=−DMAMADACAD，()12,2,2AC=−−，18440333=−++=D

MAC，故1DMAC⊥，选项A正确；对于B选项，因为()112,2,0DB=，()10,2,2DC=，设平面11CBD法向量为()111,,mxyz=，则1111111220220mDBxymDCyz=+==+=，取11y=−，则111xz==，可得()1

,1,1m=−，4220333mDM=−−=，即mDM⊥，因为DM平面11CBD，所以DM∥平面11CBD，故选项B正确；对于C选项，因为12CNCD=，所以N为CD中点，如图分别取AB、BC中点G、H，连接1BG、GH、1BH、11AC、1AN、1NC、GN，因为G、H分别为AB

、BC中点，所以GHAC∥，又因为11AACC∥且11AACC=，则四边形11AACC为平行四边形，所以11ACAC∥，所以11GHAC∥，且GH平面11ANC，11AC平面11ANC，所以GH∥平面11ANC，同理可得，1BG∥平面11ANC，因为1BGGHG=，1BG、GH

Ì平面1BGH，所以平面1BGH∥平面11ANC，因此当点P为1BGH△的边上一点（异于点1B）时，则1BP平面1BGH，所以1BP∥平面11ANC，故点P的轨迹为1BGH△的边上一点（异于点1B），因为22

22111215BGBHBBBG==+=+=，所以结合图形可知，当点P在G点或H点时，1BP取得最大值5，故选项C正确；对于D选项，根据C选项的分析，P点的轨迹的长度为11552252++=++=+BGBHGH，故D选项错误.故选：ABC【点睛】本题核心是将求轨迹问题转化为面面平行的问题，

满足条件的点一定在与已知平面平行的平面上，只要做出这个平面就能画出轨迹.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知一组数据：24，30，40，44，48，52.则这组数据的第30百分位数、第50百分位数的平均数为______.【答案】36【解析】【分析】

根据百分位数的定义得到第30百分位和第50百分位，即可求解．【详解】因为630%1.8=，故这组数据的第30百分位数为30，因为650%3=，所以第50百分位数为4044422+=，的所以这组数据的第30百分位数、第50百分位数的平均数为3042362+=，故答案为：36．14.直线1:10

lmxy−+=，()2:3220lmxmy−+−=，若12ll⊥，则实数m的值为_________________.【答案】0或1【解析】【分析】根据直线垂直的充要条件计算即可.【详解】由题意可知：()()23210330mmmmm−+−=−=，解之得0m=或

1.故答案为：0或1.15.已知()0,0,1OA=，()2,1,2OB=−，则三角形OAB的面积为_____________．【答案】52##152【解析】【分析】利用空间向量求出cosAOB，再利用三角形面积公式计算即得.【详解】由()0,0

,1OA=，()2,1,2OB=−，得3||1,||AOBO==，则2cos3||||OAOBAOBOAOB==，于是25sin1cos3AOBAOB=−=，所以三角形OAB的面积为15513232OABS==.故答案为：5216.正四面体ABCD的棱长为12，点P是该正

四面体内切球球面上的动点，当PAPD取得最小值时，点P到AD的距离为__________．【答案】326−【解析】【分析】先根据正四面体的体积求出内切球的半径，取AD的中点为E，再根据数量积得到236PAPDPE=−，可得当PE的长度最小时，PAPD取得最小值，再求出球心O到点E的距离d

，从而可得点P到AD的距离为dr−，进而求解即可．【详解】由正四面体ABCD的棱长为12，则其高为46h=，则其体积为1131212461442322V==，设正四面体ABCD内切球的半径为r，则113412121442322Vr==

，解得6r=，如图，取AD的中点为E，则()()()2236PAPDPEEAPEEDPEPEEAEDEAEDPE=++=+++=−，显然，当PE的长度最小时，PAPD取得最小值，设正四面体内切球

的球心为O，可求得36OAhr=−=，则球心O到点E的距离2232dOAAE=−=，所以内切球上的点P到点E的最小距离为326dr−=−，即当PAPD取得最小值时，点P到AD的距离为326−．故答案为：326−．【点睛】关键点睛：本题考查几何体内切球问题，解题的关

键是先根据正四面体的体积可求出内切球的半径，得出点P到AD的距离为球心O到点E的距离减去半径．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知四边形ABCD的三个顶点()2,3A，()1,1B−，()4,2C−．（1）若四边形A

BCD是平行四边形，求顶点D的坐标；（2）求点C到直线AB的距离．【答案】（1）()5,2D的（2）131717【解析】【分析】（1）由平行四边形特点得到ABDC=，进而求出点D坐标即可；（2）先求出直

线AB的方程，再根据点到直线的距离公式求出点C到直线AB的距离即可.【小问1详解】设(),Dxy，则()1,4AB=−−，()4,2DCxy=−−−，因为四边形ABCD是平行四边形，所以ABDC=，即()()1,44

,2xy−−=−−−，则1442xy−=−−=−−，解得52xy==，所以()5,2D；【小问2详解】由直线两点式知AB的方程为321312yx−−=−−−，即450xy−−=，所以点C到直线AB的距离()22442513171741d

+−==+−.18.如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60．记ABa=，ADb=，1AAc=．（1）求1BD的长；（2）求1BD与AC夹角的余弦值．【答案】（1）2（2）66【解析】【分析】（1）表达出1BDacb=−++，平方后

，结合数量积运算法则计算出212BD=，求出1BD的长为2；（2）计算出3AC=，11BDAC=，从而利用向量的夹角余弦公式求出答案.【小问1详解】由题意知：1abc===，,,,60abbcca===，∴111cos602abbcca====rrrrrr，又

∵1111BDBAAAADacb=++=−++，∴()22222122211112BDbcabcabcbaca=+−=+++−−=++−=，∴12BD=，即1BD的长为2，【小问2详解】∵ACABADab=+=+，∴()222212

12132ACabaabb=+=++=++=，∴3AC=，()()2211BDACbcaababacabbcab=+−+=+−++−=，∴11116cos,623BDACBDACBDAC===，即1BD与AC夹角的余弦值为66．

19.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，ABBC⊥，2ABBC==，M，N分别为11AB，AC的中点．（1）求证：//MN平面11BCCB；（2）求直线AB与平面BMN所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）53【解析】【分析】（1）法一，通过

构造平行四边形，找到线线平行，利用线面平行的判定定理即可证明；法二，通过证明面面平行，证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，求出平面BMN的法向量，利用线面角的公式即可求.【小问1详解】证明：（法一）：取BC的中点G，连接GN

，1GB，∵直三棱柱111ABCABC-中，M为11AB的中点，所以1111122BMABAB==，且1//BMAB，因为G，N分别BC，AC的中点，∴//GNAB，12GNAB=，1//GNBM，1GNBM=，∴四边形1BMNG平行四边形，∴1MNBG∥，又∵MN平面1

1BCCB，1BG平面11BCCB，故//MN平面11BCCB.（法二）：为取AB的中点K，连接MK，NK，由直三棱柱111ABCABC-可得四边形11ABBA为平行四边形又M为11AB的中点，∴1//

BMBK，1=BMBK，∴四边形1BBMK为平行四边形，∴1//MKBB，又∵MK平面11BCCB，1BB平面11BCCB故//MK平面11BCCB．∵点N，K分别为AC，AB的中点，∴//NKBC，又∵NK平面11BCCB，BC

平面11BCCB，∴//NK平面11BCCB，而NKMKK=，NK平面MNK，MK平面MNK，∴平面//MKN平面11BCCB，而MN平面MNK，故//MN平面11BCCB.【小问2详解】∵在直三棱柱111ABCABC-中又有ABBC⊥，∴BC，BA，1BB

两两垂直，分别以直线BC，BA，1BB为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0B，()0,2,0A，()1,1,0N，()0,1,2M，∴()0,2,0BA=，()1,1,0BN=，()0,1,2BM=，设(),,nxyz=是平面BMN的法向量，则020nBNxynBMyz

=+==+=，取1z=−，则()2,2,1n=−−设直线AB与平面BMN所成的角为，则42sincos,233nBA===，所以直线AB与平面BMN所成的角的余弦为25cos1sin3=−

=．20.2023年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持．下图是该地100家中小微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图．（1）确定a的值，并估计这100家中小微企业的专项贷款金额的众数；（2）从这100家中小微企业中按专项贷款金额分层抽样随机抽取20家，

再从这20家专项贷款金额在200,300内的企业中随机抽取3家，求这3家的专项贷款金额都在)200,250内的概率．【答案】（1）0.004a=，175万元（2）25【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，即可

求出a，再求出众数；（2）首先求出)200,250、250,300组中抽取的企业数，利用列举法列出所有可能得结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.【小问1详解】由频率分布直方图得()0.0020.00320.0060.001501a++

++=，解得0.004a=，因为专项贷款金额在)150,200的频率最大，所以估计这100家中小微企业的专项贷款金额的众数为()11502001752+=万元【小问2详解】由题意知分层抽样抽取比例为2011005=，抽样的20家中小微企业中专项贷款金额在200,

300内应抽取的企业有()11000.0040.0015055+=家．在抽取的5家中小微企业中，专项贷款金额在)200,250内的有4545=家，记为A，B，C，D；专项贷款金额在250,300内的有1515=家，记为E．从这5

家中小微企业中随机抽取3家的可能情况为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE共10种，其中这3家中小微企业的专项贷款金额都在)200,250内的情况为ABC，ABD，ACD，BCD共

4种，所以所求概率42105P==．21.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc．已知23a=，3bc=，1cos3A=−．（1）求c的值；（2）求sinC的值；（3）求()sin2AC+的值．【答案】（1）1

c=（2）6sin9C=（3）63−【解析】【分析】（1）根据条件，利用余弦定理即可求出结果；（2）根据条件，利用同角三角函数间的关系，得到22sin3A=，再利用正弦定理即可求出结果；（3）法一，利用二倍角公式，求出sin2,cos2AA，利用同角三角函数间的关

系求出cosC，即可求出结果；法二，利用πABC++=，得到()()sin2sinACBA+=−，再计算出sin,cosBB即可求出结果.【小问1详解】因为23a=，3bc=，1cos3A=−，由余弦定理可得2222229121cos263bcaccAbc

c+−+−===−，整理得210c−=，解得1c=.【小问2详解】因为1cos3A=−，()0,πA，所以2122sin1cos193AA=−=−=，由正弦定理sinsinacAC=，可得231sin223C=，解得6sin9C=.

【小问3详解】（法一）由（2）得，22142sin22sincos2339AAA==−=−，2217cos22cos12139AA=−=−−=−，22653cos1sin199CC=−=−=，所以()4253766sin2sin2cos

cos2sin99993ACACAC+=+=−−=−，所以()6sin23AC+=−．（法二）由余弦定理可得()22222223133cos232231acbBac+−+−===，∴26sin1cos3BB=−=，∴()()()()()

sin2sinsinπsinπsinACACABABABA+=++=−+=−−=−613226sincoscossin33333BABA=−=−−=−.22.如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，60A

BC=，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，1ADCDBCCF====．（1）求证：BC⊥平面ACFE；（2）求点C到平面ABF的距离；（3）若点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB的夹角为，试求cos的取值范围．【答案】（

1）证明见解析；（2）217；（3）71,72.【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质得到线面垂直，再根据线面垂直的判定定理证明即可；（2）可以应用等体积法求出点到平面的距离，也可以应用向量法求出点到面的距离；（3）先求出两个面的法向量，再求出法向量的

夹角的余弦值的绝对值，最后根据参数的取值范围求出余弦值的取值范围.【小问1详解】在等腰梯形ABCD中有AB//CD，1ADCDBC===，60ABC=，所以2AB=且2222cos603ACABBCABBC=+−=，所以222ABACBC=+，

即BCAC⊥，因为平面ACFE⊥平面ABCD，且平面ACFE平面ABCDAC=，BC平面ABCD，所以BC⊥平面ACFE；【小问2详解】法一：因为平面ACFE⊥平面ABCD，且平面ACFE平面ABCDAC=，而FCAC⊥，所以

FC⊥平面ABC，所以13FABCABCVSFC−=△，又由（1）知BCAC⊥，所以131322ABCS==，所以1331326FABCV−==，因为FCAC⊥，所以222AFACCFAB=+==，因为BC⊥平面ACFE且CF平

面ACFE，所以BCCF⊥，所以222BFBCCF=+=，所以△ABF为等腰三角形，边BF上的高22214222d=−=，所以11472222ABFS==，设点C到平面ABF的距离为h，由CABFFABCVV−−=得1336ABFSh=，即1

73326h=，解得217h=，所以点C到平面ABF的距离为217；法二：由（1）知BC⊥平面ACFE且FCAC⊥，建立以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，如图所示，，则()0,0,0C，()3,0,0A，()0,1,0B，()0,0,1F，所以()3,0,

0CA=，()3,0,1AF=−，()0,1,1BF=−，设()111,,mxyz=为平面ABF的一个法向量，则111103000mAFxzyzmBF=−+=−+==，令13z=，则111,3xy==，所以()133m=,,，所以点C到平面ABF的距离为3

2177CAmdm===；【小问3详解】由（1）知BC⊥平面ACFE且FCAC⊥，建立以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，如图所示，，令FM=（03），则()0,0,

0C，()3,0,0A，()0,1,0B，(),0,1M，则()3,1,0AB=−，(),1,1BM=−，设()1222,,nxyz=为平面MAB的一个法向量，则2222203000nABxyxyznBM=−+=−+=

=，令21x=，则223,3yz==−，所以()11,3,3n=−，而平面FCB平面yOz，所以平面FCB一个法向量为()21,0,0n=，所以()()1212221211coscos,133134nnnnnn====

++−−+，又03，所以()22347−+≤≤，所以()27117234−+≤≤，故cos的取值范围为71,72．的获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.

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