【文档说明】江西省临川二中、上高二中、丰城中学2020届高三第一次模拟考试（理科数学）参考答案.pdf，共(6)页，862.486 KB，由小赞的店铺上传

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12020届临川二中、上高二中、丰城中学高三第一次模拟考试理数参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．题号123456789101112答案CBDCDCDADABC1．解析：由于(2)xiiyi+=+，则1x=且2y=−

，zxyi=+的虚部为2−，故选C．2．解析：根据正态分布的概率密度函数的对称性可知5=，则(25)0.50.150.35P=−=，故选B．3．解析：20201log(1,0)πa=−，20201(0,1)πb=，1π20201c=，故选D．4

．解析：直线1:210lxay+−=与直线2:420laxy++=的方向向量分别为1(2,1)na=−和2(4,)na=−，则直线1l与直线2l平行等价于12nn且直线1l与直线2l不重合，当2a=−时，两

直线重合，故选C．5．解析：乙的方差最小，故选D．6．解析：选项A中1k=−，选项B中1k=，选项D中0k=，()fx和()fx−不可能同时为负，故选C．7．解析：本题分类讨论即可，若丁说的话是对的，则甲和乙的话也是对的，舍去；则丁说的话

是错的．若丙说的话是对的，符合条件；若丙说的话是错的，则甲的话也是错的，舍去；故选D．8．解析：由于双曲线C：22221yxab−=的两条渐近线方程为ayxb=，圆M的半径2R=，切点弦长为2，则一条渐近线的倾斜角为3，故选A．9．解析：由图可知ooo105,60,15,ABOAOBBAO

===设圆的半径1ROA==，则圆的面积为，oo2o11sin60sin15233(2)sinsinsin22sin1054ABOSrABOAOBBAO−===，则阴影部分的面积为6394−，故概率6394P=−，选D．10．解析：根据可行

域可知zaxby=+在点(3,5)处取得最大，即352ab+=，则12112()(35)2ababab+=++1561(13)(13230)22baab=+++，当且仅当56baab=时取“=”，故选A．11．解析：由于202020202020(322)+(322)232+−（mod4

），则2020[(322)]1+（mod4），故选C．12．解析：建立坐标系，求得直线1AD及直线1AC的夹角为3，则过点B可作3条直线与直线1AD及直线1AC所成的角均为3，故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．1(,2]3−；14．16π+；15．310

；16．3．213．解析：由于240x−且310x+，则()fx的定义域为1(,2]3−．14．解析：该几何体为长方体挖去半个球，故该模具的表面积为1164162−+=+．15．解析：由于2'()121fxx=−+，则1tan'(1)3f==−，故22

22cos2sincos3cossin2sincos10++==+．16．解析：由于3c=，则(12cos)6cos2cosaCAcA−==，即2ab=，本题转化为阿波罗尼奥斯圆问题，可通过余弦定理求最值、建立坐标系、调和点列等方法求解，故max3ABCS=．三、解答

题：本大题共6个题，共70分．17．解：（1）由于122nnnSSa+=+，则112nnaa+=，数列na为等比数列，则1()2nna=；……………3分由于在等差数列nb中，9153T=，则95179Tb==，即5243bbd−==，故43nbn=−

．…………………………6分（2）由于431()2nnnbca−==，则数列{}nc是以12为首项，116为公比的等比数列，………………9分则1211()181816[1()]12151615116nnnccc−+++==−−

．…………………12分18．解：（1）取AC的中点O，连接'BO和DO，则'BOAC⊥且DOAC⊥，故AC⊥面'BOD，即'ACBD⊥．…………………………6分（2）法一：设点C到面'ABD的距离为d

，取OD的中点F，CE与平面'ABD的夹角为，由于菱形ABCD的边长为2，23AC=，根据余弦定理得1cos2ADC=−，即23ADC=，3BAC=，则'1OBOD==．由于'1BD=，则'OBD为等边三角形，由（1）得

面'BOD⊥面ACD，则'BF⊥面ACD…………………………9分由于'''11'33BACDACDCABDABDVBFSVdS−−===，3ACDS=，'11515=1=224ABDS，则2155d=，又由于152CE=，因此4sin5dCE==．………

…………12分3法二：由于菱形ABCD的边长为2，23AC=，取OD的中点F，根据余弦定理得1cos2ADC=−，即23ADC=，3BAC=，则'1OBOD==．由于'1BD=，则'OBD为

等边三角形，由（1）得面'BOD⊥面ACD，则'BF⊥面ACD．…………………………9分作'OZBF⊥，以点O为坐标原点，OC、OD、OZ为坐标轴建立空间直角坐标系Oxyz−，则(3,0,0)C，(3,0,0)A−，13'(0,,)22B，(0,1,0)D，33(0,,)44E

，设面'ABD的法向量为(,,)nxyz=，13'(3,,)22AB=，(3,1,0)AD=，由于'00ABnADn==，则(1,3,1)n=−−，设CE与平面'ABD的夹角为，则234sinc

os,=51552CEn==．………………………12分19．4（3）法二：设张先生租用一次该新能源汽车所需的费用为随机变量Y，则当2030t时，0.1515Yt=+，当3060Y时，0.15300.2(30)150.213.5Ytt=+−+=+，……………………9分故根据用车时

间的统计表的数据，随机变量Y的分布列为：Y18.7520.522.524.5P0.20.40.30.1故Y的期望值18.750.2+20.50.4+22.50.3+24.50.1=21.15EY=，因此张先生租用该款新

能源汽车上班更合算．20．解：（1）由于222122DFDFbcb=−=−，332abc==，……………………2分又由于已知点2(2,)2在椭圆C上，则222112ab+=，解得2,1ab==，椭圆C的方程22141xy+=．……………………4分（2）∵0OAOBOP++=，∴2

OPOQ=−.设()Qxy，，则0022xxyy=−=−.由022014xy+=，得2241xy+=，∴动点Q的轨迹方程为2241xy+=.………………………6分设直线OB与直线PA交于点M，则点M为线

段PA的中点，且2222xyM−−，，当20y时，∵022014xy+=，122114xy+=，∴1010210102144PAyyxxxkxxyyy−+==−=−−+，∴直线PA的方程为2222242yxxyxy+=−+，整理得2

224xxyy+=−.………………………9分将2224xxyy+=−代入动点Q的轨迹方程得，()()2222222244410xyxxxy+++−=(※).将222214xy+=代入(※)，整理得2222440xxx

x++=.∵222216160xx=−=，∴直线PA与动点Q的轨迹相切.当20y=时，直线PA的方程为1x=，∴直线PA与动点Q的轨迹相切.综上可知，直线PA与动点Q的轨迹相切.……………………………12分521．（1）证明：由于1'()xafxexa−=−+，21''()0()xafxex

a−=++，则'()fx在(0,)+上单调递增．令()xgxex=−，则'()1xgxe=−，故当(,0)x−时，'()0gx，()gx单调递减；当(0,)x+时，'()0gx，()gx单调递增；则min()(0)1gxg==，即1xex+．…………………………3分由于1'(

0)0aaaaefeaea−−=−=，1'(1)021faea+=−+，故0(0,1)xa+，使得0'()0fx=，且当0(0,)xx时，0'()0fx，()fx单调递减；当0(,)xx+时，0'()0fx

，()fx单调递增；因此()fx在(0,)+有且只有一个极小值点0x，无极大值点．……………………………5分（2）由于不等式()211ln2fxxa++−−在(0,)+上恒成立，（i）必要性，当1x=时，不等式成立，即1ln(1)3

1ln2aeaa−−++−−，令1()ln(1)31ln2agaaae−=+++−−−，()0ga，由于111'()0123agaeaa−=++++，则()ga在+（0，）上单调递增，又由于(1)0g=，则()0ga的解为01a．……………………………8分

（ii）充分性，下面证明当01a时，()211ln2fxxa++−−在(0,)+上恒成立，令()ln()211ln2xahxexaxa−=−+−++++，由于01a，则1()ln(1)221ln2xhxexx−−+−+++，令1()ln(1)221l

n2xmxexx−=−+−+++，则111'()122xmxexx−=−−++，故12311''()0(1)(22)xmxexx−=++++，'()mx在(0,)+上单调递增．…………………………10分由于'(1)0m=，则当(0,1

)x时，'()0mx，()mx单调递减；当(1,)x+时，'()0mx，()mx单调递增；故min()(1)0mxm==，即()0mx恒成立，因此当01a时，()211ln2fxxa++−−在(0,)+上恒成立．……

………………………12分22．解：（1）由于cossinxy==，则直线l的直角坐标方程为333yx=−，曲线C的参数方程为3cossinxy==（为参数）．………………

5分6（2）由于直线l的倾斜角为6，直线PQ的倾斜角为3，则直线l与直线PQ的夹角为6，设点P到直线l的距离为d，则2PQd=………………7分由于3cos3sin33622d−−−=，当且仅当7+24k=，kZ时取“=”，因此PQ的最小值为36−．………………1

0分23．解：（1）2()2124122(1)(2)23fxxxxxxxxxx=++−−=+−−−−+−−−−，当且仅当2x=时取“=”，故max()3tfx==．………………5分法二：本题利用分段函数，分类

讨论做出()fx的图像从而求出()fx的最大值也可．（2）若存在正实数,,abc满足3abc++=且222423abc++=成立，则22222222224144[(2)][11]()4929abcabcabc++=+

+++++=，故222423abc++=不可能成立，因此不存在正实数,,abc满足abct++=且222423abc++=．………………10分法二：利用222423abc++=求出abc++的最大值，从而推出矛盾也可证明．