【文档说明】高中数学人教版必修2教案：1.3.2球的表面积与体积 （系列四）含答案【高考】.doc，共(6)页，179.500 KB，由小赞的店铺上传

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1球的体积和表面积【教学目标】掌握球的表面积和体积公式，并能应用其解决有关问题，提高学生解决问题的能力，培养转化与化归的数学思想方法.【重点难点】教学重点：球的表面积和体积公式的应用.教学难点：关于球的组合体的计算.【课时安排】约1课时【教学过

程】导入新课位于香港栈桥回澜阁西部、西陵峡路东端海滨，有一座新异奇秀的半球形建筑.由香港好世界饮食服务（中国）有限公司等三方合资兴建，1996年9月正式开业，既是岛城饮食服务业的“特一级”店，又是新增加的一处景点.酒店的总建筑面积11380平方米，现酒店管理层决定在半球形屋顶

嵌上一层特殊化学材料以更好地保护酒店，那么，需要多少面积的这种化学材料呢？推进新课新知探究2球的半径为R，它的体积和表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R，那么S=4πR2,V=334R.注意：球的

体积和表面积公式的证明以后证明.应用示例例1如图1所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：图1（1）球的体积等于圆柱体积的32；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.活动：学生思考圆柱和球的结构特征，并展开空间想象

.教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形.证明：（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.则有V球=334R，V圆柱=πR2·2R=2πR3，所以V球=圆柱V32.（2）因为S球=4πR2，S圆柱侧=2πR·2R=4πR2，所以S球=S圆

柱侧.点评：本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算.解决此类问题的关键是明确组合体的结构特征.变式训练1.如图2(1)所示，表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积.图2解：设

球的半径为R，正四棱柱底面边长为a,则轴截面如图2（2），所以AA′=14,AC=a2,又∵4πR2=324π,∴R=9.∴AC=28''22=−CCAC.∴a=8.3∴S表=64×2+32×14=576,即这个正四棱柱的表面积

为576.2．有一种空心钢球，质量为142g,测得外径（直径）等于5cm，求它的内径（钢的密度为7.9g/cm3，精确到0.1cm）.解：设空心球内径（直径）为2xcm,则钢球质量为7.9·［3334)25(34x−•］=142,∴x3=14.349.73142)25(3−≈11.3,

∴x≈2.24,∴直径2x≈4.5.答：空心钢球的内径约为4.5cm.例2如图3所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1m、高为3m的圆柱形物体，上面是一个半球形体.如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（π取3.1）?图3活动：学生思

考和讨论如何计算鲜花的朵数.鲜花的朵数等于此几何体的表面积（不含下底面）与每朵鲜花占用的面积.几何体的表面积等于圆柱的侧面积再加上半球的表面积.解：圆柱形物体的侧面面积S1≈3.1×1×3=9.3(m2),半球形物体的表面积为S2≈2×3.1×(21)2≈1.6

(m2),所以S1+S2≈9.3+1.6=10.9(m2).10.9×150≈1635(朵).答：装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花.点评：本题主要考查球和圆柱的组合体的应用，以及解决实际问题的能力.变式训练有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为

R的内切球，然后将容器注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少？4分析：转化为求水的体积.画出轴截面，充分利用轴截面中的直角三角形来解决.解：作出圆锥和球的轴截面图如图4所示，图4圆锥底面半径r=RR330

tan=,圆锥母线l=2r=R32，圆锥高为h=r3=3R，∴V水=334332=−Rhr·3R2·3R333534RR=−，球取出后，水形成一个圆台，下底面半径r=R3,设上底面半径为r′，则高h′=(r-r′)tan

60°=)'3(3rR−,∴'3353hR=(r2+r′2+rr′),∴5R3=)3'3')('3(322RRrrrR++−,∴5R3=)'33(333rR−，解得r′=6331634RR=,∴h′=(3123−)R.答：容器中水的高度为(3123−)R.拓展提升问题：如图5，在四面体A

BCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A—BEFD与三棱锥A—EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）图55A.S1＜S2B.S1＞S2C.S1=

S2D.S1,S2的大小关系不能确定探究：如图6，连OA、OB、OC、OD，则VA—BEFD=VO—ABD＋VO—ABE＋VO—BEFD+VO—ADF，VA—EFC=VO—AFC＋VO—AEC＋VO—EFC

，又VA—BEFD=VA—EFC，而每个小三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S△ABD＋S△ABE＋SBEFD+S△ADF=S△AFC＋S△AEC＋S△EFC，又面AEF是公共面，故选C.图6答案：C课堂小结本节课学习了：1.球的表面积和体积.2.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、

锥、台、球等常见的几何体的体积.3.空间几何体的表面积与体积的规律总结：（1）表面积是各个面的面积之和，求多面体表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积.求旋转体

的表面积时，可从回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长关系，注意球面不可展开.（2）在体积公式中出现了几何体的高，其含义是：柱体的高：从柱体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，

这点和垂足间的距离称为柱体的高；锥体的高：从锥体的顶点向底面作垂线，这点和垂足间的距离称为锥体的高；台体的高：从台体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为台体的高.注意球没有高的结构特征.（3）利用侧面展开图或截面把空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体

几何问题的常用手段.6（4）柱体、锥体、台体和球是以后学习第二章点、直线、平面位置关系的载体，高考试题中，通常是用本模块第一章的图，考查第二章的知识.（5）与球有关的接、切问题是近几年高考的热点之一，常以选择题或填空题的

形式出现，属于低档题.作业课本本节练习1、2、3.