【文档说明】北京市中关村中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题 含答案.docx，共(11)页，759.688 KB，由小赞的店铺上传

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中关村2020—2021学年度高二第二学期期末数学考试2021.07时间：120分钟总分：150分一、选择题，本题共10个小题，每题5分，共50分．每题只有一个正确选项，请将正确答案填写到答题纸的相应位置．1．若集合01Axx=，220Bxxx=−，

则下列结论中正确的是（）A．AB=B．AB=RC．ABD．BA2．在复平面内，复数12iiz+=对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设甲、乙两个厂家生产同一款产品的市场占有率分别为3

4和14，且甲、乙两厂生产该款产品的合格率分别为80%和90%．则从市场上买到一个合格品的概率为（）A．740B．910C．3340D．784．双曲线2221xya−=（0a）的一条渐近线的方程为20xy+=，则双曲线的实轴长为（）A．1B．12C．2

D．145．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为（）A．恰有1个是坏的B．恰有2个是好的C．4个全是好的D．至多有2个是坏的6．设函数()cossinfxxbx=+（b为常数），则“0b=”是“()fx为偶函

数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动项目．在某校的一次中长跑比赛中，全体参赛学生的成绩近似地服从正态分布()80,100N，已知成

绩在90分以上（含90分）的学生有32名．则参赛的学生总数约为（）（参考数据：()0.68PX−+=，()220.95PX−+=，()330.99PX−+=）A．200人B．300人C．640人D．128

0人8．已知函数()sinyAx=+的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移t（0t）个单位长度，得到函数()yfx=的图象．若函数()yfx=的图象关于原点对称，则t的最小值（）A．π12B．π6C．π4D．π39．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数

学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种10．在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，M，N分别为

1BD，11BC的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足MPCN⊥，则下列说法正确的是（）A．点P可以是棱1BB的中点B．线段MP的最大值为32C．点P的轨迹是正方形D．点P轨迹的长度为25+二、填空题，本题共有6个小题，每题5分，共30

分，请将正确答案填写在答题纸的相应位置．11．二项式()1nx+的展开式中2x的系数为15，则n=________（用数字作答）．12．数列na是公差为2−的等差数列，记na的前n项和为nS，且1a，3a，4a成等比数列，则1a=________；nS=_____

___．13．函数()sincosfxxxx=+的一个单调递减区间是________．14．已知抛物线C：22ypx=（0p）的焦点为F，过点()1,4M−作y轴的垂线交抛物线C于点A，且满足AFAM=，则抛物线C的方程为________；设直线AF交抛物线C于另一点B，则

点B的纵坐标为________．15．已知函数()22xfxxe=−，关于函数()fx给出下列命题：①函数()fx为偶函数；②函数()fx在区间1,12单调递增；③函数()fx存在两个零点；④函数()fx存在极大值和极

小值．其中正确命题的序号是________．16．炎炎夏日，冰激凌成为非常受欢迎的舌尖上的味道．某商店统计了一款冰激凌6月份前6天每天的供应量和销售量，结果如下表：6月1日6月2日6月3日6月4日6月5日6月6日供应量901009010090100销售量909085809085记()Vt为6月

t日冰激凌的供应量，()Wt为6月t日冰激凌的销售量，其中1,2,,30t=．用销售指数()()()()()()()11,100%11WtWtWtnPtnVtVtVtn+++++−=++++

+−，（1n，nN）来评价从6月t日开始连续n天的冰激凌的销售情况．当1n=时，(),1Pt表示6月t日的日销售指数．给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是________．①在6月1日至6日这6天中，()4,1P最小，()5,1P最大；②在6月1日至6

日这6天中，日销售指数越大，说明该天冰激凌的销售量越大；③()()1,34,3PP=；④如果6月7日至12日冰激凌每天的供应量和销售量与6月1日至6日每天的供应量和销售量对应相符，则对任意1,2,3,4,5,6,7t=，都有()(),61,2Pt

P=三、解答题，本题共有5道小题，共70分．请将详细解答过程填写在答题纸的相应位置．17．设ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin3cosbAaB=．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）在以下三组条件中选择一组作为已知条件，使三角形存在且唯一确

定，并求其面积．①3b=，sin2sinCA=②21b=，5a=③AB边上的高3h=，2b=18．在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为直角梯形，//BCAD，90ADC=，112BCCDAD===，E为线

段AD的中点．PE⊥底面ABCD，点F是棱长PC的中点，平面BEF与棱PD相交于点G．（Ⅰ）求证：//BEFG；（Ⅱ）若PC与AB所成的角为π3，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值．19．高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出

行，更带动了我国经济的巨大发展．新冠肺炎疫情后，我国迅速控制了疫情，经济逐渐复苏．据统计，在2020年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到下表（单位：人次）：满意度老年人中年人青

年人乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机10分（满意）1212022015分（一般）2362490分（不）106344（Ⅰ）在样本中任取1人，求这个出行人恰好不是青年人的概率；（Ⅱ）在2020年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X，

以频率作为概率．．．．．．．，求X的分布列和数学期望．（Ⅲ）如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机？并说明理由．20．已知椭圆C：22221xyab+=（0ab）

的长轴长为4，离心率为22，点P在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点()4,0M−，点()0,Nn，若以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点，求n的取值范围．21．已知函数()1xafxex=+，其中0a．（Ⅰ）

求函数()fx的零点；（Ⅱ）讨论()yfx=在区间(),0−上的单调性；（Ⅲ）在区间,2a−−上，()fx是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，请说理由．中关村中学高二年级第二学期期末练习答案数

学学科2021.07时间：120分钟总分：150分一、选择题，本题共10个小题，每题5分，共50分．每题只有一个正确选项，请将正确答案填写到答题纸的相应位置．题号12345678910答案CDCABCABBD二、填空题，本题共有6个小题，每题5分，共30分，请将正确答案填

写在答题纸的相应位置．11．612．8，29nn−+13．π3π,22（答案不唯一）14．24yx=，1−15．①②④16．①④三、解答题，本题共有5道小题，共70分．请将详细解答过程填写在答题纸的相应位置．17．解：（

Ⅰ）sin3cosbAaB=，由正弦定理得sinsin3sincosBAAB=，在ABC△中，sin0A，即tan3B=，()0,πB，π3B=．（Ⅱ）选①，sin2sinCA=，由正弦定理得2ca=，由余弦定理

2222cosbacaB=+−，得()22π9422cos3aaaa=+−，解得3a=，223ca==．满足三角形ABC只有唯一解11333sin3232222ABCSacB===△．选②，由余弦定理2222cosbacaB=+−，得2212525cos3π

cc=+−，解得2540cc−+=，1c=或4c=经检验1c=或4c=均成立，不满足三角形ABC只有唯一解所以选②不成立．选③，因为AB边上的高3h=，2b=所以πsin323baa===则2ab==，且π3B=，所以ABC△为等边三角形，满足三角形ABC只有唯一解1π13sin223

2322ABCSab===△18．（Ⅰ）证明：因为E为AD中点，所以112DEAD==．又因为1BC=，所以DEBC=．在梯形ABCD中，//DEBC，所以四边形BCDE为平行四边形．所以//BE

CD．又因为BE平面PCD，且CD平面PCD，所以//BE平面PCD．因为BE平面BEF，平面BEF平面PCDFG=，所以//BEFG．（Ⅱ）解：（解法1）因为PE⊥平面ABCD，且AE，BE平面ABCD，所

以PEAE⊥，且PEBE⊥．因为四边形BCDE为平行四边形，90ADC=，所以AEBE⊥．以E为坐标原点，如图建立空间直角坐标系Exyz−．则()0,0,0E，()1,0,0A，()0,1,0B，()1,1,0C−，(

)1,0,0D−．设()0,0,Pm（0m），所以()1,1,CPm=−，()1,1,0AB=−．因为PC与AB所成角为π3，所以22π1cos,cos2222CPABCPABCPABm−====+．所以6m=．则()0,0,6P，116,,222F−．所以()0,1

,0EB=，116,,222EF=−，()0,1,6PB=−．设平面BEF的法向量为(),,nxyz=，则0,0.nEBnEF==即01160.222yxyz=−++=令6x=，则6z=，所以()6,0,6n=．所

以666cos,7742PBnPBnPBn−===−．所以直线PB与平面BEF的所成角的正弦值为67．19．解：表格数据重新整理加工．如图：老年人中年人青年人乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机1543272814193942（Ⅰ）设事件M=“本中任取1个，这个出

行人恰好不是青年人”，事件M包含的事件总数为193958+=，()582910050PM==（Ⅱ）由题意X的所有可能取值为0，1，2．因为“在2020年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中随机选取2人次”，这相当于两次独立重复试验，每次抽取到

老年人的概率都是1511532285=++，故随机变量12,5XB，()02021116C152055PX==−=，()121181C15525PX==−=，()20221112C1

5525PX==−=．所以随机变量X的分布列为：X012P1625825125故()168120122525255EX=++=（Ⅲ）思路1：可以从满意度的均值来分析问题如下：我们再次分析表格数据，乘坐高铁满意的（10分）人有

12202052++=人，一般的（5分）有26412++=人，不满意（0分）有16411++=人，乘坐飞机满意的人（10分）有1214++=人，一般的（5分）有32914++=人，不满意的有（0分）有0347++=人，所以

乘坐高铁的人满意度均值为：521012511011652121115++=++，乘坐飞机的人满意度均值为：410145702241475++=++，因为11622155，所以建议甲乘坐高铁从A市到B市．思路2：可以从满意率的角度来分析问题如下：由表可知乘坐高

铁的满意度为1220205215322875++=++，乘坐飞机的满意率为12141247142575++==++，因为5212755，所以建议甲乘坐高铁从A市到B市．20．解：（Ⅰ）由椭圆的长轴长24a=，得2a=，又离心率22cea

==，所以2c=所以2222bac=−=．所以椭圆C的方程为：22142xy+=．（Ⅱ）法一：设点()00,Pxy，则2200142xy+=所以PN的中点00,22xynQ+004,22xyMnQ+=+，()00,NPxyn=−．因为以PM为直径的圆恰好经过线段PN

的中点所以MQNP⊥，则0MQNP=即()00004022xynxyn+++−=．又因为2200142xy+=，所以22008202xxn++−=所以2200822xnx=++，02,2x−．函数()2000822fxxx+

=+，02,2x−的值域为12,20−所以2020n所以2525n−．法二：设点()00,Pxy，则2200142xy+=．设PN的中点为Q，因为以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点所以MQ是线段PN的垂直平分线所以MPMN=即()22200416xyn++=+所以22008

22xnx=++．函数()2000822fxxx+=+，02,2x−的值域为12,20−所以2020n．所以2525n−．21．解：（Ⅰ）()0fx=，得xa=−，所以函数()fx的零点为a−．（Ⅱ）()22xxaxaxxef+−

=，(),0x−，令()0fx=，得2142aaax−−+=，2242aax−++=，因为0a，所以10x，20x．当在区间(),0−上变化时，()fx的变化情况如下：x()1,x−1x()

1,0x()fx+0−()fx极大值所以在区间24,2aaa−−+−上()fx是增函数，在区间24,02aaa−−+上是减函数．（Ⅲ）在区间,2a−−上(

)fx存在最小值2af−．说明：由（Ⅰ）知a−是函数()fx的零点．因为22144022aaaaaaaxa−−+−++−−=−−=，所以10xa−．由()1xafxex=+知，当xa−时，()0fx．又函数()fx在()

1,0x上是减函数，且102axa−−，所以函数()fx在1,2ax−上的最小值为2af−，且计算得22aafe−−=−．