【文档说明】《2022年小升初数学无忧衔接（通用版）》专题19 绝对值压轴题 专项讲练（原卷版）.docx，共(18)页，970.092 KB，由envi的店铺上传

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专题19绝对值压轴题专项讲练——绝对值的化简与最值问题1.绝对值化简分为已知范围的绝对值化简与无范围的绝对值化简两类，属于重难点题型，考卷中会经常出现它的身影，且易错，属于必掌握类型。该类题型方法固定，通过这份资料可以做到一份资料掌握一

类题。2.最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。1.绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即aa=；②0的绝对值是0，即00=；③负数的绝对值是它的相反数

，即aa−=；④绝对值具有非负性，即0a。2.已知范围的绝对值化简步骤：①判断绝对值符号里式子的正负；两数相减：大的数—小的数＞0，转化到数轴上：右—左＞0；小的数—大的数＜0，转化到数轴上：左—右＜0.两数相加：正数＋正数＞0，转化到数轴上：

原点右侧两数相加＞0；负数＋负数＜，转化到数轴上：原点左侧两数相加＜0；正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号.②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）.③去括号：括号前是“＋”

，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号.④化简.3.xaxb−+−目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值：分类情况（x的取值范围）图示bxax−+−取值情况当ax时无法确定当bxa时bxax−+−

的值为定值，即为ba−当bx无法确定结论：式子bxax−+−在bxa时，取得最小值为ba−。4.xaxb−−−目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值：分类情况（x的取值范围）图示bxax−−−取值情况当ax时bxax−−−的值为定值，即为—ba−当bxa时ba

bxaxba−−−−−−当bxbxax−−−的值为定值，即为ba−结论：式子bxax−−−在ax时，取得最小值为ba−−；在bx时，取得最大值ba−。5.最小值规律：①当有两个绝对值相加：若

已知ba，bxax−+−的最小值为ab−，且数x的点在数a，b的点的中间；②当有三个绝对值相加：若已知cba，cxbxax−+−+−的最小值为ac−，且数x的点与数b的点重合；③当有12+n（奇数）个绝对值相加：12221+

−+−++−+−nnaxaxaxax，且12221+nnaaaa，则x取中间数，即当1+=nax时，12221+−+−++−+−nnaxaxaxax取得最小值为()()()0222112+−++−+−++nnnnaaaaaa；④当有n2（偶数）个绝

对值相加：nnaxaxaxax21221−+−++−+−−，且nnaaaa21221−，则x取中间段，即当1+nnaxa时，nnaxaxaxax21221−+−++−+−−取得最小值为()()()()nnnnnnaaaaaa

aa−+−++−+−+−−−11221212。【题型一】绝对值的化简【典题1】（2022·湖南长沙·七年级期末）有理数a、b、c在数轴上位置如图，则acabbc−−++−的值为（）．A．2aB．222abc+−C．0D．2c−【典题2】（2022

·河南周口·七年级期末）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式11abababab−++−−+的值是()A．-1B．1C．3D．-3【变式练习】1．（2022·湖北黄石·七年级期末）如图所示，有理数a在数轴上的位置，则化简4aa−−的结果为（）A．24a

−−B．4C．24a+D．4−2．（2022·内蒙古赤峰·七年级期中）x、y、z是有理数且0xyz，则||||||xyzxyz++的值是（）A．3−B．3或1−C．1D．3−或13．（2022·江苏南京·七年级期末）若有理数a、b满足等式│b－a│－│a＋b│＝

2b，则有理数数a、b在数轴上的位置可能是（）A．B．C．D．【题型二】绝对值的方程【典题1】（2022·福建福州·七年级期末）阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：|x|

＝2，|2x﹣1|＝3，…都是含有绝对值的方程．怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．我们知道，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2．【例】解方程：|2x﹣1|＝3．我们只要把2x﹣

1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．解：根据绝对值的意义，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3．解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1．根据以上材料解决下列问题：(1)解方程：|3x﹣2|＝4；(2)拓展

延伸：解方程|x﹣2|＝|3x+2|．【典题2】（2022·湖北咸宁·七年级期末）阅读下列材料，回答问题：“数形结合”的思想是数学中一种重要的思想．例如：在我们学习数轴的时候，数轴上任意两点，A表示的数为a，B表示的数为b，则A，B两点的距离可用式子ab−（表

示，例如：5和2−的距离可用()52−−或25−−表示．(1)【知识应用】我们解方程52x−=时，可用把5x−看作一个点x到5的距离，则该方程可看作在数轴上找一点P（P表示的数为x）与5的距离为2，所以该方程的解为7x=或3x=所以，方程52x+=的解为___（直接写答

案，不离过程）．(2)【知识拓展】我们在解方527xx−++=，可以设A表示数5，B表示数2−，P表示数x，该方程可以看作在数轴上找一点P使得7PAPB+=，因为7AB=，所以由可知，P在线段AB上都可

，所以该方程有无数解，x的取值范围是25x−．类似的，方程4610xx++−=的___（填“唯一”或“不唯一”），x的取值是___，（“唯一”填x的值，“不唯一”填x的取值范围）；(3)【拓展应用】解方程4614

xx++−=【变式练习】1．（2022·广东广州·一模）如图，在关于x的方程xab−=（a，b为常数）中，x的值可以理解为：在数轴上，到A点的距离等于b的点X对应的数．例如：因为到实数1对应的点A距离为3的点X对应的数为4和-2，所以方程13x−=的解为

4x=，2x=−．用上述理解，可得方程32x−=的解为______．2．（2021·四川攀枝花·七年级期中）我们知道：()41−−表示4与1−的差的绝对值，实际上也可以理解为4与1−两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理3x−也可以理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似地，

()5353+=−−表示5、3−之间的距离．一般地，点A，B两点在数轴上表示有理数ab、，那么A、B之间的距离可以表示为ab−．试探索：（1）若37x−=，则x=___________；（2）若A，B分

别为数轴上的两点，A点对应的数为2−，B点对应的数为4．折叠数轴，使得A点与B点重合，则表示4−的点与表示__________的点重合；（3）计算：417xx−++=．3．（2021·河南安阳市·七年级期末）阅读下面材料：在数轴上6与1−所对的两点之间的距离：6(1)7−−=；在数轴上2−

与3所对的两点之间的距离：235−−=；在数轴上8−与4−所对的两点之间的距离：(8)(4)4−−−=；在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离ABabba=−=−．回答下列问题：（1）数轴上表示2−和5−的两点之间的距离是_______；数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示

为_______；数轴上表示数_______和_______的两点之间的距离表示为2x+；（2）七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子23xx++−进行探究：①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数x的点在2−与3之间移动时，32xx−++的值总是一个固定的值为：___．②请你在

草稿纸上画出数轴，要使327xx−++=，数轴上表示点的数x=____．【题型三】两个绝对值的和的最值【典题1】（2021·珠海市第九中学初三二模）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用

数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点A，B分别表示数a，b，则A，B两点之间的距离为ABab=-．反之，可以理解式子3x−的几何意义是数轴上表示实数x与实数3两点

之间的距离．则当25xx++−有最小值时，x的取值范围是（）A．2x−或5xB．2x−≤或5x≥C．25x−D．25x−【典题2】（2022·河南·郑州外国语中学七年级期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是

“数形结合”的基础．例如：从“形”的角度看：|31|−可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；|31|+可以理解为数轴上表示3与﹣1的两点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示4和﹣3的两点之间

的距离可用代数式表示为：4-（-3）．根据以上阅读材料探索下列问题：(1)数轴上表示3和9的两点之间的距离是；数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是；（直接写出最终结果）(2)①若数轴上表示的数x和﹣2的两点之间的距离是4，则x的值为；②若x为数轴上某动点表示的数，则式子|1||3|xx++−的最

小值为．【变式练习】1.（2021·江苏苏州市·七年级月考）探索性问题：已知点A，B在数轴上分别表示m、n．（1）填写表：m5−5−6−6−10n304−42A，B两点的距离（2）若A，B两点的距离为d，则d与m、n有何数量关系；（3）在数轴上标出所有符合条件的整数点P，使它到3和−3的距离

之和为6，并求出所有这些整数的和；（4）若点C表示的数为x，当C在什么位置时，23xx++−取得值最小？2.（2022•思明区校级期末）同学们都知道|5﹣（﹣2）|表示5与（﹣2）之差的绝对值，也可理解为5与﹣

2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7成立的整数是．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．【题型四】两个绝对值的差的最值【典

题1】（2022·浙江·温州七年级开学考试）代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（）A．a＝3，b＝0B．a＝0，b＝﹣3C．a＝3，b＝﹣3D．a＝3，b不存在【典题2】（2022·湖北十堰·七年级期中）设﹣1≤

x≤3，则|x﹣3|﹣12|x|+|x+2|的最大值与最小值之和为__．【变式练习】1．（2022·上海民办民一中学期中）代数式|1||2|xx−−+，当2x−时，可化简为______；若代数式的最大值为a与最小值为b，则ab的值______．2．（2022·湖南·长沙市怡海中学七年级阶

段练习）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5，b，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．（1）求数轴上点B所对应的数b；（2）点P是图1数轴上一点

，P到A的距离是到B的距离的两倍，求点P所表示的数；（3）若点Q在数轴上表示的数为x，则|x+5|+|x﹣4|的最小值为，|x+5|﹣|x﹣4|的最大值为．【题型五】多个绝对值的和的最值【典题1】（2022·天津初一月考）若x是有理数，则24682018xxxxx−+−+−

+−++−的最小值是________．【典题2】（2021·北京市第四十四中学七年级期中）阅读下面一段文字：在数轴上点A，B分别表示数a，b．A，B两点间的距离可以用符号AB表示，利用有理数减法和绝对值可以计算A，B两点之间的距离AB．例如：当a＝2，b＝5时，

AB＝5－2＝3；当a＝2，b＝－5时，AB＝52−−＝7；当a＝－2，b＝－5时，AB＝52−−−（）＝3，综合上述过程，发现点A、B之间的距离AB＝ba−（也可以表示为ab−）．请你根据上述材料，探究回答下列问题：（1）表示数a和－2的两点间距离是6，则a＝；（2）如果数轴

上表示数a的点位于－4和3之间，则43aa++−＝（3）代数式123aaa−+−+−的最小值是．（4）如图，若点A，B，C，D在数轴上表示的有理数分别为a，b，c，d，则式子||||||axxbxcxd−+++−++的最小值为（

用含有a，b，c，d的式子表示结果）【变式练习】1．（2022·全国·七年级）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示数a、b．A、B两点之间的距离表示为|AB|．则数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．回答下列问题：（1）数轴上表

示1和﹣3的两点之间的距离是；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x为；（3）当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，符合条件的整数x有；（4）令y＝|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|，问当x取何值时，y最小，最小值为多少

？请求解．2．（2021·福建·泉州七中七年级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数

形结合”的基础．例如，式子2x−的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为()+=−−x1x1，所以1x+的几何意义就是数轴上x所对应的点与-1所对应的点之间的距离．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1

）若23x−=，则x=；32xx−++的最小值是．（2）若327xx−++=，则x的值为；若43113xxx++−++=，则x的值为．（3）是否存在x使得32143xxx+−+++取最小值，若存在，直接写出这个最小值及此时

x的取值情况；若不存在，请说明理由．3.（2022•龙泉驿区期中）我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离．进一步地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离就表示为|a﹣b|

；反过来，|a﹣b|也就表示A，B两点之间的距离．下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题．例，若|x+5|＝2，那么x为：①|x+5|＝2，即|x﹣（﹣5）|＝2．文字语言：数轴上什么数到﹣5的距离等于2．②图形语言：③答案：x为﹣7和﹣3．请你模仿上题的①②③，完成

下列各题：（1）若|x+4|＝|x﹣2|，求x的值；①文字语言：②图形语言：③答案：（2）|x﹣3|﹣|x|＝2时，求x的值：①文字语言：②图形语言：③答案：（3）|x﹣1|+|x﹣3|＞4．求x的取值范围：①文字语言：②图形语言：③答案：（4）求|x﹣1|+|x﹣2

|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值．①文字语言：②图形语言：③答案：1．（2021•迁西县模拟）已知﹣1≤x≤2，则化简代数式|x﹣3|﹣2|x+1|的结果是（）A．1﹣3xB．1+3xC

．﹣1﹣3xD．﹣1+3x2．（2021·河北省衡水中学初一期中）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式1111aababaaabb+−−−+−+−−的值是（）A．﹣1B．0C．1D．23．（2022•江北区期末）设a，b，c为非零实数，且|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣

c＝0．化简|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|的结果是（）A．b﹣2cB．bC．b﹣2aD．﹣2a4．（2022·重庆一中七年级期中）有理数a，b，c在数轴上表示的点如图所示，则化简22bcabca+−−−−=______．5．（2022·辽宁大连·七年级期末）已知有理数a、b表示的

点在数轴上的位置如图所示，化简|a＋1|＋|1－b|＝____．6．（2021•成都模拟）化简|π﹣4|+|3﹣π|＝1．7．（2022·江西上饶·七年级期末）已知0xa+、0xb+，那么||||xaxbxaxb++

+++＝________或________或________．8．（2022·四川成都·七年级期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则|a+c|-|a-b|+|b+c|=__________．9．（2022·江西·峡江县教学研究室

七年级期末）已知m、n是两个非零有理数，则mnmn−=_________10．（2022•雁塔区校级期中）若a为有理数，则|a﹣3|+|a+4|的最小值是，|a+2|﹣|a﹣1|的最大值是．11．（2021·江西·景德镇一中七年级期中）若

关于x的方程35xxa−−−=有唯一解，则a的取值范围是__________.12．（2021·北京·景山学校七年级期中）阅读绝对值拓展材料：|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离，如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离而|5|＝|5－0|，即|5－

0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，|5＋3|＝|5－（－3）|表示5、－3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a－b|．根据上述材料，回答下列问题．（1）数轴上表示2和5的

两点之间的距离是，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是；（2）借助数轴解决问题：如果|x＋2|＝1，那么x＝；（3）|x＋2|＋|x－1|可以理解为数轴上表示x的点到表示和这两个点的距离之和，则|x＋2|＋|x－1|的最小值是．13．（2021•武侯区

校级月考）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2014|的最小值为，此时x的取值为．14.（2021·安徽安庆市·七年级期末）“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的四个问题．例：三个有

理数a，b，c满足0abc，求abcabc++的值．解：由题意得，a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当a，b，c都是正数，即0a，0b，0c时，则：1113abcabcabcabc++=++=++=，②当a

，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设0a，0b，0c，则：()()1111abcabcabcabc−−++=++=+−+−=−．综上，abcabc++的值为3或-1．请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）已知3a=，1=b，且ab，

求+ab的值；（2）已知a，b是有理数，当0ab时，求abab+的值．（3）已知a，b，c是有理数，0abc++=，0abc，求abcabc++．15．（2021·湖北咸宁·七年级期末）我们知道x的几何意义是表示在数轴上数x对应的点与原点的距离；即0xx

=−，这个结论可以推广为：12xx−表示在数轴上数1x、2x对应点之间的距离．如图，数轴上数a对应的点为点A，数b对应的点为点B，则A，B两点之间的距离AB=ab−=−ab．（1）1x+可以表示数对应的点和数对应的点之间的距离；（2）请根据上

述材料内容解方程11x+=；（3）式子11xx++−的最小值为；（4）式子12xx+−−的最大值为．16．（2022·全国·七年级期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系

，它是“数形结合”的基础．我们知道220=−，它在数轴上的意义是表示数2的点与原点（即表示0的点）之间的距离，52−也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；52+可以看做5(2)−−，表示5与﹣2两数在

数轴上所对应的两点之间的距离．（1）数轴上表示3和-1的两点之间的距离的式子是．（2）①若43x−=，则x＝．②若使x所表示的点到表示4和-1的点的距离之和为5，所有符合条件的整数为．（3）进一步探究：16xx++−的最小值为．（4）能力

提升：当149xxx++−+−的值最小时，x的值为．17．（2021·重庆北碚区·七年级期末）阅读下面材料，回答问题距离能够产生美．唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无．当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道：“世界上最遥远的距离不是瞬间便无处寻觅而是尚未相

遇便注定无法相聚”距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．（1）当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，AB=OB=|b|-|a|=b-a

=|a-b|．（2）当A，B两点都不在原点时，①如图2，点A，B都在原点的右边，AB=OB-OA=|b|-|a|=b-a=|a-b|；②如图3，点A，B都在原点的左边，AB=OB-OA=|b|-|a|=-b-（-a）=a-b=|a-b|；③如图4，点A，B在原点的

两边，AB=OA+OB=|a|+|b|=a+（-b）=a-b=|a-b|．综上，数轴上A，B两点的距离AB=|a-b|，如数轴上表示4和-1的两点之间的距离是5．利用上述结论，回答以下三个问题：（1）若表示数a和-2的两点之间的距离是3，那么a=______；（2）若数轴上表示数a的点

位于-5与2之间，则|a+5|+|a-2|的值为_____；（3）若x表示一个有理数，且|x-1|+|x+3|＞4，求有理数x的取值范围；（4）若未知数x，y满足（|x-1|+|x+3|）（|y+1|+|y

-2|）=12，求代数式x+y的最小值和最大值．18.（2021•抚顺县期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上

表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝3，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间

，则|a+4|+|a﹣2|＝．19．（2021·北京·徐悲鸿中学七年级期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是3；数轴上表示3−和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示

数m和数n的两点之间的距离等于mn−．如：数轴上数x与5两点之间的距离等于5x−，（2）如果表示数a和2−的两点之间的距离是3，那么=a；（3）若数轴上表示数a的点位于4−与2之间，则42aa++−的值为；（4）当a=时，514aaa++−+−的值最小，最小值是．20．（

2021·四川宜宾·七年级期中）学习了数轴与绝对值知识后，我们知道：数轴上表示数m与数n的两点之间的距离为mn−．例如：数轴上表示5和1的两点之间的距离是514−=．利用以上信息，解答下列问题．（1）数轴上表示-4和3的两点之间的距离是；表示数a和-1的两点之间的距离是．（2）2a+表示数轴

上，若24a+=，则=a．（3）若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，则42aa++−=．（4）若4210aa++−=，求a的值．21．（2021·浙江宁波·七年级期中）如图，点A、B在数轴上分别表示实数a、b

，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，请你利用数轴回答下列问题：（1）数轴上表示2和4两点之间的距离是，数轴上表示﹣1和2的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和﹣3的两点A、B之间的距离AB＝

，如果AB＝2，则x的值为；（3）|x＋1|＋|x＋2|＋|x﹣3|＋|x﹣4|的最小值为；（4）|x＋π|﹣|x﹣2|的最大值为．