【文档说明】《2022年小升初数学无忧衔接（通用版）》专题19 绝对值压轴题 专项讲练（解析版）.docx，共(40)页，1.488 MB，由envi的店铺上传

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专题19绝对值压轴题专项讲练——绝对值的化简与最值问题1.绝对值化简分为已知范围的绝对值化简与无范围的绝对值化简两类，属于重难点题型，考卷中会经常出现它的身影，且易错，属于必掌握类型。该类题型方法固定，通过这份资料可以做到一份资料掌握一

类题。2.最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。1.绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即aa=；②0的绝对值是0，即00=；③负数的绝对值是它的相反数，即

aa−=；④绝对值具有非负性，即0a。2.已知范围的绝对值化简步骤：①判断绝对值符号里式子的正负；两数相减：大的数—小的数＞0，转化到数轴上：右—左＞0；小的数—大的数＜0，转化到数轴上：左—右＜0.两数相加：正数＋正数＞

0，转化到数轴上：原点右侧两数相加＞0；负数＋负数＜，转化到数轴上：原点左侧两数相加＜0；正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号.②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即

相反数）.③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号.④化简.3.xaxb−+−目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值：分类情况（x的取值范围）图示bxax−+−取值情况当ax时无法确定当bxa时bxax−+−的值为定值，即为ba−当

bx无法确定结论：式子bxax−+−在bxa时，取得最小值为ba−。4.xaxb−−−目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值：分类情况（x的取值范围）图示bxax−−−取值情况当ax时bxax−−−的值

为定值，即为—ba−当bxa时babxaxba−−−−−−当bxbxax−−−的值为定值，即为ba−结论：式子bxax−−−在ax时，取得最小值为ba−−；在bx时，取得最大值ba−。5.最小值规律：①当有两个绝对值相加：若已知ba，b

xax−+−的最小值为ab−，且数x的点在数a，b的点的中间；②当有三个绝对值相加：若已知cba，cxbxax−+−+−的最小值为ac−，且数x的点与数b的点重合；③当有12+n（奇数）个绝对值相加

：12221+−+−++−+−nnaxaxaxax，且12221+nnaaaa，则x取中间数，即当1+=nax时，12221+−+−++−+−nnaxaxaxax取得最小值为()()()0222112+−++−+−+

+nnnnaaaaaa；④当有n2（偶数）个绝对值相加：nnaxaxaxax21221−+−++−+−−，且nnaaaa21221−，则x取中间段，即当1+nnaxa时，nnaxaxaxax21221−+−++−+−−取得最小值为()()

()()nnnnnnaaaaaaaa−+−++−+−+−−−11221212。【题型一】绝对值的化简【典题1】（2022·湖南长沙·七年级期末）有理数a、b、c在数轴上位置如图，则acabbc−−++

−的值为（）．A．2aB．222abc+−C．0D．2c−【答案】A【分析】根据数轴，确定每个数的属性，每个代数式的属性，后化简即可．【详解】根据数轴上点的位置得：0bca，且ab，则0ac−，0ab+，0bc−，则2acabbcacabbca−−++−=−++−+

=．故选A．【点睛】本题考查了数轴和有理数的大小比较与绝对值的化简，掌握获取数轴信息，熟练化简是解题的关键．【典题2】（2022·河南周口·七年级期末）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么代数

式11abababab−++−−+的值是()A．-1B．1C．3D．-3【答案】D【分析】先根据数轴求出－1<a<0，0<b<1，|a|<|b|，再去掉绝对值，然后根据分式的性质计算即可．【详解】解：根据数轴可知：－1<a<0

，0<b<1，|a|<|b|，∴原式11abababab−−+=+−−+111=−−−3=−．故选：D．【点睛】本题考查了代数式的化简、数轴和去绝对值的计算，解题的关键是注意去掉绝对值后，要保证得数是非负数．【变式练习】1．（2022·湖北黄石·七年级期末）如图所示，有理数a在数轴上的位置，

则化简4aa−−的结果为（）A．24a−−B．4C．24a+D．4−【答案】D【分析】根据数轴上点的位置判断出a与a-4的正负，原式利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．【详解】解：根据数轴上点的位置得：-1＜a＜0，∴a-4＜0，则原式=-a-（4-a）=-a-

4+a=-4．故选：D．【点睛】此题考查了数轴，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．2．（2022·内蒙古赤峰·七年级期中）x、y、z是有理数且0xyz，则||||||xyzxyz++的值是（）

A．3−B．3或1−C．1D．3−或1【答案】D【分析】根据0xyz＜，则这三个数中一定有一个或三个数为负数两种情况进行讨论，得出结果即可．【详解】∵0xyz＜，∴ｘ、y、z这三个数中有一个或三个数为负数，

当这三个数中有一个负数时，假设0x＜，0y＞，0z＞，则1111xyzxyzxyzxyz−++=++=−++=；当这三个数中有三个负数时，假设0x＜，0y＜，0z＜，则1113xyzxyzxyzxyz−−−++=++=−−−=−；故

D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，正确进行分类讨论是解题的关键．3．（2022·江苏南京·七年级期末）若有理数a、b满足等式│b－a│－│a＋b│＝2b，则有理数数a、b在数轴上的位置可能是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据数值上表

示的数和绝对值的意义逐一判断分析各项即可．【详解】解：A.∵a<0，b>0,a<b，∴()()22baabbaabbaabab−+=−−+=−−−=−-，∴选项不符合题意；B.∵a>0，b>0,a<b，∴

()()22baabbaabbaabab−+=−−+=−−−=−-，∴本选项不符合题意；C.∵a>0，b>0,a>b，∴()()22baabbaabbaabbb−+=−−−+=−+−−=−-，∴本选项不符合题意

；D.∵a<0，b<0,a>b，∴()()2baabbaabbaabb−+=−++=−++=-，∴本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查数轴，绝对值的意义，解题的关键是正确化简绝对值：正数和0的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数．【题型二】绝对值的方程【典题1

】（2022·福建福州·七年级期末）阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，…都是含有绝对值的方程．怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．我们知道，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2．【例】

解方程：|2x﹣1|＝3．我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．解：根据绝对值的意义，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3．解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1．根据以上材料解决下列问题：(1)解方程：|3x﹣2|

＝4；(2)拓展延伸：解方程|x﹣2|＝|3x+2|．【答案】(1)x=2或x=23−(2)x=-2或x=0【分析】先去绝对值转化成一元一次方程求解．(1)解：根据绝对值的意义得：3x-2=4或3x-2=-4．解得：x=2或x=2

3−；(2)由绝对值的意义得：x-2=3x+2或x-2+3x+2=0．解得：x=-2或x=0．【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程的解法，理解绝对值的意义是求解本题的关键．【典题2】（2022·湖北咸宁·七年级期末）阅读下列材料，回答问题：“数形结合”的思想是数学中一种重要的思想．例如：在我

们学习数轴的时候，数轴上任意两点，A表示的数为a，B表示的数为b，则A，B两点的距离可用式子ab−（表示，例如：5和2−的距离可用()52−−或25−−表示．(1)【知识应用】我们解方程52x−=时，可用把5x−看作一个点x到5的距离，则该方程可看作在数轴上找一点P（P表示的数为x）与5的距离为

2，所以该方程的解为7x=或3x=所以，方程52x+=的解为___（直接写答案，不离过程）．(2)【知识拓展】我们在解方527xx−++=，可以设A表示数5，B表示数2−，P表示数x，该方程可以看作在数轴上找一点P使得7PAPB+=，因为7AB=，所以由可知，P在线段AB上都可，所以该方程有无数解

，x的取值范围是25x−．类似的，方程4610xx++−=的___（填“唯一”或“不唯一”），x的取值是___，（“唯一”填x的值，“不唯一”填x的取值范围）；(3)【拓展应用】解方程4614xx++−=【答案】(1)3x=−或7x=−(2)不唯一；46x−

(3)6x=−或8x=【分析】（1）将方程的解看作在数轴上找一点P与5−的距离为2，进而可得方程的解；（2）类比题干中的求解方法，进行求解即可；（3）由题意知，设P点表示的数为x，分类讨论：①若P点在A，B之间，表示出,P

APB的值，然后列方程求解；②若P点在A点的左边，表示出,PAPB的值，然后列方程求解；③若点P在B点的右边，表示出,PAPB的值，然后列方程求解．(1)解：方程||52x+=的解，可以看作在数轴上找一点P与5−的距离为2∴3x=−或7x=−故答案为：3

x=−或7x=−．(2)解：由题意知，设A表示数4−，B表示数6，P表示数x，∴该方程可以看作在数轴上找一点P使得10PAPB+=，∵10AB=，∴P在线段AB上都可，∴该方程有无数解，x的取值范围是46x−故答案为：不唯一；46x−．(3)解：由题意知，设P点表示的数为x，分类讨论：①若

P点在A，B之间则4610PAPBxx+=++−=（不合题意，舍去）②若P点在A点的左边则∴6x=−462214PAPBxxx+=−−+−=−+=③若点P在B点的右边462214PAPBxxx+=++−=−=∴8x=综上所述：原方程的解为6x=−或8x=．【点睛】本题考查了绝对值

的意义，数轴上点的距离．解题的关键在于明确绝对值的意义．【变式练习】1．（2022·广东广州·一模）如图，在关于x的方程xab−=（a，b为常数）中，x的值可以理解为：在数轴上，到A点的距离等于b的点X对应的数．例如：因为到实数1对应的点A距离为3的点X对应的数为4和-2，所以方程

13x−=的解为4x=，2x=−．用上述理解，可得方程32x−=的解为______．【答案】5x=，1x=【分析】根据题目中xab−=（a，b为常数）的特点解方程即可．【详解】依题意得：32x−=表示x对应的点到实数

3对应的点距离为2到实数3对应的点距离为2的点对应的数是5和1∴32x−=的解为5x=，1x=．故答案为：5x=，1x=【点睛】本题考查绝对值的几何意义，理解题目中给出的xab−=解释是解题的关键．2．（2021·四川攀

枝花·七年级期中）我们知道：()41−−表示4与1−的差的绝对值，实际上也可以理解为4与1−两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理3x−也可以理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似地，()5353+=−−表示5、3−之间的距离．一般地，点A，B

两点在数轴上表示有理数ab、，那么A、B之间的距离可以表示为ab−．试探索：（1）若37x−=，则x=___________；（2）若A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为2−，B点对应的数为4．折叠数轴，使得A点与B点重合，则表示4−的点与表

示__________的点重合；（3）计算：417xx−++=．【答案】（1）-4或10（2）6；（3）-2或5【分析】（1）根据绝对值的性质，即可求解；（2）根据题意可得折叠处点对应的数为1，即可求解；（3）分三种情况讨论：当1x−时，当14x−时，当4x时，即可求

解．【详解】解：（1）37x−=，∴37x−=，解得：10x=或-4；（2）∵A点对应的数为2−，B点对应的数为4，折叠数轴，使得A点与B点重合，∴折叠处点对应的数为2412-+=，∴表示4−的点与表示6的点重合；（3）

解：①当1x−时，()()417xx−−+−+=，解得：x=-2；②当14x−时，()()417xx−+−+=，则57−=，无解；③当4x时，()()417xx−++=，则x=5．【点睛】本题主要考查了数轴上

两点间的距离，绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义，利用数形结合思想解答是解题的关键．3．（2021·河南安阳市·七年级期末）阅读下面材料：在数轴上6与1−所对的两点之间的距离：6(1)7−−=；在数轴上2−与3所对的两点之间的距离：235

−−=；在数轴上8−与4−所对的两点之间的距离：(8)(4)4−−−=；在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离ABabba=−=−．回答下列问题：（1）数轴上表示2−和5−的两点之间的距离是_______；数轴上表示

数x和3的两点之间的距离表示为_______；数轴上表示数_______和_______的两点之间的距离表示为2x+；（2）七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子23xx++−进行探究：①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数x的点在2−与3之间移动时，32

xx−++的值总是一个固定的值为：_______．②请你在草稿纸上画出数轴，要使327xx−++=，数轴上表示点的数x=_______．【答案】（1）3；|x−3|；x，-2；（2）5；−3或4．【分析】（1）根据题意找出数轴上任意点间的距离的计算公式，

然后进行计算即可；（2）①先化简绝对值，然后合并同类项即可；②分为x＞3和x＜−2两种情况讨论．【详解】解：（1）数轴上表示−2和−5的两点之间的距离为：|−2−（−5）|=3；数轴上表示数x和3的两点之间的距离为：|x−3|；数轴上表示数x

和−2的两点之间的距离表示为：|x＋2|；故答案为：3，|x−3|，x，-2；（2）①当x在-2和3之间移动时，|x＋2|＋|x−3|=x＋2＋3−x=5；②当x＞3时，x−3＋x＋2=7，解得：x=4，当x＜−2时，3−x−x−2＝

7．解得x=−3，∴x=−3或x=4．故答案为：5；−3或4．【点睛】本题主要考查的是绝对值的定义和化简，根据题意找出数轴上任意两点之间的距离公式是解题的关键．【题型三】两个绝对值的和的最值【典题1】（2021·珠海市

第九中学初三二模）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点A，B分别表示数a，b，则A，B两点之间的距离为ABab=-．反之，可以理解式子3x−的几何意义是数轴上表示实数x与

实数3两点之间的距离．则当25xx++−有最小值时，x的取值范围是（）A．2x−或5xB．2x−≤或5x≥C．25x−D．25x−【答案】D【分析】根据题意将25xx++−可以理解为数轴上表示实数x

与实数-2的距离，实数x与实数5的距离，两者的和，分三种情况分别化简，根据解答即可得到答案.【解析】方法一：代数法（借助零点分类讨论）当x<-2时，25xx++−=（-2-x）+（5-x）=3-2x；当25x−时，25xx++−=（x+2）+（5

-x）=7；当x>5时，25xx++−=（x+2）+（x-5）=2x-3；∴25xx++−有最小值，最小值为7，此时25x−，故选：D.方法二：几何法（根据绝对值的几何意义）25xx++−可以理解为数轴上表示实数x与实数-2的

距离，实数x与实数5的距离，两者的和，通过数轴分析反现当25x−时，25xx++−有最小值，最小值为7。【点睛】此题考查依据绝对值的性质化简绝对值，正确理解题意，得到25xx++−表示的意义，再利用分类思想解答问题.【典题2】（2022·河南·郑州外国语中学七年级期末）数轴是一

个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：从“形”的角度看：|31|−可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；|31|+可以理解为数轴上表示3与﹣1的两

点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示4和﹣3的两点之间的距离可用代数式表示为：4-（-3）．根据以上阅读材料探索下列问题：(1)数轴上表示3和9的两点之间的距离是；数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是；（直接写出最终结果）(2)①若数轴上表示的数x和﹣2的两

点之间的距离是4，则x的值为；②若x为数轴上某动点表示的数，则式子|1||3|xx++−的最小值为．【答案】(1)6，7；(2)①－6或2；②4【分析】（1）直接根据数轴上两点之间的距离求解即可；（2）①根据数轴

上两点之间的距离公式列绝对值方程，然后解方程即可；②由于所给式子表示x到－1和3的距离之和，当x在－1和3之间时和最小，故只需求出－1和3的距离即可．(1)解：数轴上表示3和9的两点之间的距离是｜9－3｜=6，数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是｜2－（－5）｜=7，

故答案为：6，7；(2)解：①根据题意，得：｜x－(－2)｜=4，∴｜x+2｜=4，∴x+2=－4或x+2=4，解得：x=－6或x=2，故答案为：－6或2；②∵|1||3|xx++−表示x到－1和3的距离之和，∴当x在－1和3之间时距离和最小，最小值为｜－1－3｜=4，故答案为：4

．【点睛】本题考查数轴上两点之间距离，会灵活运用数轴上两点之间的距离解决问题是解答的关键．【变式练习】1.（2021·江苏苏州市·七年级月考）探索性问题：已知点A，B在数轴上分别表示m、n．（1）填写表：m5−5−6−6−10n304−42A，B两点的距离（2）若A，B两点的距离为

d，则d与m、n有何数量关系；（3）在数轴上标出所有符合条件的整数点P，使它到3和−3的距离之和为6，并求出所有这些整数的和；（4）若点C表示的数为x，当C在什么位置时，23xx++−取得值最小？【答案】（1）2；5；10；2；12；

（2）d＝|m﹣n|；（3）作图见详解；0；（4）点C在点﹣2和点3之间时，|x+2|+|x﹣3|的值最小，其最小值为5．【分析】（1）由题意观察数轴，得出A、B两点的距离；（2）根据题意通过观察表格，进行分析写出一

般规律；（3）由题意充分运用数轴这个工具，由此表示整数点P；（4）根据题意在（2）（3）的启发下，结合数轴，进行分析即可回答题目的问题．【详解】解：（1）见表格；m5﹣5﹣6﹣6﹣10n304﹣42A、B两点的距离25102

12故答案为：2；5；10；2；12；（2）若A、B两点的距离为d，则d与m、n的数量关系为：d＝|m﹣n|；（3）符合条件的整数点P有7个，如图；所有这些整数和为：﹣3﹣2﹣1+0+1+2+3＝0．（4）|x+2|表示点C到点﹣2的距离，|x﹣3|表示点C到点3的距离，当点C在点﹣

2和点3之间时，|x+2|+|x﹣3|的值最小，其最小值为：5．【点睛】本题主要考查数轴，绝对值的性质，数轴上两点间的距离．解题的关键是借助数轴，把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，

相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．2.（2022•思明区校级期末）同学们都知道|5﹣（﹣2）|表示5与（﹣2）之差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝．（2）找出所有符合条件的整数x，使得

|x+5|+|x﹣2|＝7成立的整数是．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．【分析】（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝

对值就可以了．（2）要x的整数值可以进行分段计算，令x+5＝0或x﹣2＝0时，分为3段进行计算，最后确定x的值．（3）根据（2）方法去绝对值，分为3种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值．【解答】解：（1）原式＝|5+2

|＝7故答案为：7；（2）令x+5＝0或x﹣2＝0时，则x＝﹣5或x＝2当x＜﹣5时，∴﹣（x+5）﹣（x﹣2）＝7，﹣x﹣5﹣x+2＝7，x＝5（范围内不成立）当﹣5＜x＜2时，∴（x+5）﹣（x﹣2）＝7，x+5﹣x+2＝7，7＝7，∴

x＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1当x＞2时，∴（x+5）+（x﹣2）＝7，x+5+x﹣2＝7，2x＝4，x＝2，x＝2（范围内不成立）∴综上所述，符合条件的整数x有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；故答案为：﹣5，﹣4，﹣

3，﹣2，﹣1，0，1，2；（3）由（2）的探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值为3．【点评】本题主要考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法和去绝对值在数轴上的运用，难度较大，去绝对值的关键是确定绝对值里面的数的正负性．【题型四】

两个绝对值的差的最值【典题1】（2022·浙江·温州七年级开学考试）代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（）A．a＝3，b＝0B．a＝0，b＝﹣3C．a＝3，b＝﹣3D．a＝3，b不存在【答案】C【分析】分三种情况：当x≥1

时；当-2＜x＜1时；当x≤-2时；进行讨论可求代数式|x-1|-|x+2|的值，即可求出a与b的值．【详解】解：当x≥1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝x﹣1﹣x﹣2＝﹣3；当﹣2＜x＜1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）

﹣（x+2）＝﹣2x﹣1；当x≤﹣2时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）+（x+2）＝3．∵代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，∴a＝3，b＝﹣3．故选：C．【点睛】考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母

a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零．注意分类思想的运用．【典题2】（2022·湖北十堰·七年级期中）设﹣1≤x≤3，则|x﹣3|﹣12|x|+|x+2|的最大值与最小值之和为

__．【答案】8.5．【分析】先根据-1≤x≤3，确定x-3与x+2的符号，再对x的符号进行讨论即可．【详解】∵﹣1≤x≤3，当﹣1≤x≤0时，|x﹣3|﹣12|x|+|x+2|＝3﹣x+12x+x+2＝12x+5，最大值为5，最小值为4.5；当0≤x≤3时，|x﹣3|﹣12|x|+

|x+2|＝3﹣x﹣12x+x+2＝﹣12x+5，最大值为5，最小值为3.5，∴最大值与最小值之和为8.5；故答案为：8.5．【点睛】本题考查绝对值的化简，掌握求绝对值的法则以及分类讨论的思想方法，是解题的关键．【变式练习】1．（2022·上海民办民一中学期中）代数式|1||2|xx−−+，当2

x−时，可化简为______；若代数式的最大值为a与最小值为b，则ab的值______．【答案】3-9【分析】当2x−时，可得x-1＜0，x+2＜0，利用绝对值的性质即可化简，分别化简当21x−时

以及当x＞1时，根据当21x−时，3213x−−−，求出a，b即可．【详解】解：当2x−时，x-1＜0，x+2＜0，∴|1||2|(1)(2)3xxxx−−+=−−++=，当21x−时，|1||2|(1)(2)21xxxxx−−+=−−−+=−−，当x＞1时，|

1||2|(1)(2)3xxxx−−+=−−+=−∵当21x−时，3213x−−−，∴代数式|1||2|xx−−+的最大值为3，最小值为-3，∴a=3，b=-3，∴ab=-9，故答案为：3，-9．【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是对x进行分

类讨论，再化简代数式．2．（2022·湖南·长沙市怡海中学七年级阶段练习）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5，b，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．（1）求数轴上点B所对应的数b；

（2）点P是图1数轴上一点，P到A的距离是到B的距离的两倍，求点P所表示的数；（3）若点Q在数轴上表示的数为x，则|x+5|+|x﹣4|的最小值为，|x+5|﹣|x﹣4|的最大值为．【答案】（1）2−；（2）1或3−

；（3）9，9【分析】（1）根据AC的距离求得单位为多少cm，再根据AB长度求得AB的距离即可求解；（2）设P点表示的数为x，求得P到A的距离和P到B的距离，列方程求解即可；（3）对点Q在数轴上表示的数x，分情况讨论求解即可．【详解】解：（1）根据题意

得AC的距离为459+=，AC的长度为5.4cm，AB的长度为1.8cm由此可知一个单位长度为5.4=0.6cm9则AB的距离为1.80.63=B在A的右边，∴数轴上点B所对应的数为532−+=−；（

2）设P点表示的数为x，则P到A的距离为5x+，P到B的距离为2x+由题意可得：522xx+=+，即52(2)xx+=+或52(2)xx+=−+解得1x=或3x=−故答案为1或3−（3）当5x−时，50x+，40x−∴||(5)(4)=21549xxxxx=−+−−−

+−−+||(5)(44)51xxxx−=−++−−=−+当4x时，50x+，40x−∴||(5)(544)=219xxxxx=+++−+−+||(5)(44)59xxxx−=+−−−=+当54x−时，50x+，40x−∴||(5)(44)=

59xxxx=+−−++−||(5)(44195)2xxxxx−=++−=++−综上所述||54xx++−的最小值为9，||54xx++−的最大值为9故答案为9，9【点睛】此题考查了数轴上的动点问题，涉及

了数轴的定义，数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴的基本性质．【题型五】多个绝对值的和的最值【典题1】（2022·天津初一月考）若x是有理数，则24682018xxxxx−+−+−+−++−的最小值是________．【答案】509040【分

析】首先判断出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|就是求数轴上某点到2、4、6、…、2018的距离和的最小值；然后根据某点在a、b两点之间时，该点到a、b的距离和最小，当点x在2与2018之间时，到2和2018距离和最小；当点在4与2016之间时，到4和2016距离和最小；…，

所以当x=1010之间时，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018的值最小，据此求出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|的最小值是多少即可．【解析】根据绝对值得几何意义分析，知当x=1010时，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣20

18的值最小，最小值是：（2018﹣2）+（2016﹣4）+（2014﹣6）+…+（1010-1010）＝2016+2012+2008+…+0＝（2016+0）×505÷2＝2016×505÷2＝509040∴|x﹣

2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|的最小值是509040．【点睛】此题主要考查了绝对值的几何意义：|x|表示数轴上表示x的点到原点之间的距离，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：|x-a|表示数轴上

表示x的点到表示a的点之间的距离．【典题2】（2021·北京市第四十四中学七年级期中）阅读下面一段文字：在数轴上点A，B分别表示数a，b．A，B两点间的距离可以用符号AB表示，利用有理数减法和绝对值可以计算A，B两点之间的距离AB．例如：当a＝2，b＝5时

，AB＝5－2＝3；当a＝2，b＝－5时，AB＝52−−＝7；当a＝－2，b＝－5时，AB＝52−−−（）＝3，综合上述过程，发现点A、B之间的距离AB＝ba−（也可以表示为ab−）．请你根据上述材料，探究回答下列问题：（

1）表示数a和－2的两点间距离是6，则a＝；（2）如果数轴上表示数a的点位于－4和3之间，则43aa++−＝（3）代数式123aaa−+−+−的最小值是．（4）如图，若点A，B，C，D在数轴上表示的有理数分别为a，b，c，d

，则式子||||||axxbxcxd−+++−++的最小值为（用含有a，b，c，d的式子表示结果）【答案】（1）4和-8；（2）7；（3）2；（4）cdba+−−【分析】（1）根据题意可得：26a−−=，解出即可求解；（2）根据题意可得：43a−，从而得到40,30aa+−，进而得到4a

+＝a＋4，3a−＝3－a，即可求解；（3）根据题意可得：当a＝2时，代数式存在最小值，化简即可求解；（4）根据题意可得：原式表示x对应点到,,,abcd−−对应的点的距离之和，从而得到当dxc−时，||||||axxbxcxd−+++−++

有最小值，即可求解．【详解】解：（1）根据题意得：26a−−=，∴26a−−=或26a−−=−，解得：4a=或-8；（2）∵表示数a的点位于－4和3之间，∴43a−，∴40,30aa+−，∴4a+＝a＋4，3a−＝3－a，∴43aa++−＝a＋4＋3－a＝7；（3）当a＝

2时，代数式存在最小值，∴123aaa−+−+−＝1＋0＋1＝2.所以，最小值是2；（4）根据题意得：()()||||||||||||axxbxcxdaxxbxcxd−+++−++=−+−−+−+−−，∴原式表示x对应点到,,,a

bcd−−对应的点的距离之和，如图所示，∴当dxc−时，||||||axxbxcxd−+++−++有最小值，∴原式xabxcxxd=−−−+−++cdba=+−−．【点睛】本题主要考查了绝对值得几何意义，数轴上两点

间的距离，利用数形结合思想解答是解题的关键．【变式练习】1．（2022·全国·七年级）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示数a、b．A、B两点之间的距离表示为|AB|．则数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．回答下列问题：（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；数轴上表

示﹣2和﹣5的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x为；（3）当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，符合条件的整数x有；（4）令y＝|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|，问当x取何值时，y最小，最小值为多少？请求解．【答案】（1）

4；3；（2）|x+1|，1或﹣3；（3）﹣1，0，1，2；（4）x=2时，y最小，最小值为4【分析】（1）根据两点间的距离的求解列式计算即可得解；（2）根据两点之间的距离表示列式并计算即可；（3）根据数轴

上两点间的距离的意义解答；（4）根据数轴上两点间的距离的意义解答．【详解】解：（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是：()13134−−=+＝；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是：()25523−−−=−=；（2）∵A，B分别表示的数为x，﹣1，∴数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是

|x+1|，如果|AB|＝2，则|x+1|＝2，解得：x＝1或﹣3；（3）当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，﹣1≤x≤2，∴符合条件的整数x有﹣1，0，1，2；（4）当|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|取最小值时，x＝2，∴当x＝2时，y最小，即最小值为：|2+1|+|2﹣2|+

|2﹣3|＝4．故x＝2时，y最小，最小值为4．【点睛】本题考查数轴与绝对值，熟练掌握数轴上两点之间距离的计算方法是解题的关键．2．（2021·福建·泉州七中七年级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数轴是一个非常重要的数学工具，它使

数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如，式子2x−的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为()+=−−x1x1，所以1x+的几何意义就是数轴上x所对应的点与-1所对应的点之间的距离．结合

数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）若23x−=，则x=；32xx−++的最小值是．（2）若327xx−++=，则x的值为；若43113xxx++−++=，则x的值为．（3）是否存在x使得32143xxx+−+++取最小值，若存在，直接写出这个最小值及此时x的取值情况；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）5或-1；5；（2）3−或4；5−或113；（3）32143xxx+−+++的最小值为17，此时41x−−≤≤【分析】（1）对于23x−=直接根据绝对值的性质进行求解即可；设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x，则32xx−++表示的意义即为

数轴上一点P到A的距离和到B的距离之和，然后分别讨论P在AB之间，P在A点左侧和P在B点右侧32xx−++的取值即可得到答案；（2）设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x，由（1）可知当P在AB之

间（包含A、B）时，325xx−++=，当P在A点左侧时3225xxPA−++=+，当P在B点右侧时32525xxPB−++==+，由此可以确定此时P点在A点左侧或在B点右侧，由此进行求解即可；分当3x时，

当4x−时，当41x−−时，当13x−时，这四种情况去绝对值进行讨论求解即可得到答案；（3）分当3x时，当4x−时，当41x−−时，当13x−时，这四种情况去绝对值进行讨论求解即可得到答案．【详解】解：（1）∵

23x−=，∴23x−=，∴23x=，∴5x=或1x=−；设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x，∴32xx−++表示的意义即为数轴上一点P到A的距离和到B的距离之和，如图所示，当P在AB之间（包含A、B）时，()325PAPBAB+==−−=；当P在A点左侧时22

55PAPBPAABPA+=+=+；同理当P在B点右侧时2255PAPBPBABPB+=+=+；∴32xx−++的最小值为5，故答案为：5或-1；5；（2）设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x，由（1）可知当当P在

AB之间（包含A、B）时，325xx−++=，当P在A点左侧时3225xxPA−++=+，当P在B点右侧时32525xxPB−++==+∵327xx−++=，∴当P在A点左侧时257PA+=即1PA=，∴213x=−−=−；同理当

P在B点右侧时257PB+=即1PB=，∴314x=+=；∴当327xx−++=时，3x=−或4；当3x时，∵43113xxx++−++=，∴43113xxx++−++=，解得113x=符合题意；当4x−时，∵43113x

xx++−++=，∴43113xxx−−−+−−=，解得5x=−符合题意；当41x−−时∵43113xxx++−++=，∴43113xxx+−+−−=，解得7x=−不符合题意；当13x−时∵43113xxx++−++=，∴4

3113xxx+−+++=，解得5x=不符合题意；∴综上所述，当43113xxx++−++=，5x=−或113；故答案为：3−或4；5−或113；（3）当3x时，∴342313122616725xxxxxxx++

−++=++−++=+，当4x−时，∴342313122616717xxxxxxx++−++=−−−+−−=−−，当41x−−时∴3423131226117xxxxxx++−++=+−+−−=，当13x−时∴34231312261219xxxxxxx++−+

+=+−+++=+，∴此时173423125xxx++−++∴综上所述，32143xxx+−+++的最小值为17，此时41x−−≤≤．【点睛】本题主要考查了绝对值的几何意义，绝对值方程，数轴上两点之间的距离，解题的关键在于能够熟练掌握绝对值的几何意义．3.（2022•龙泉驿区期中）我

们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离．进一步地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离就表示为|a﹣b|；反过来，|a﹣b|也就表示A，B两点之间的距离．下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题．例，若|x+5|＝2，那么x为：①|x+

5|＝2，即|x﹣（﹣5）|＝2．文字语言：数轴上什么数到﹣5的距离等于2．②图形语言：③答案：x为﹣7和﹣3．请你模仿上题的①②③，完成下列各题：（1）若|x+4|＝|x﹣2|，求x的值；①文字语言：②图形语言：③答案：（2）|

x﹣3|﹣|x|＝2时，求x的值：①文字语言：②图形语言：③答案：（3）|x﹣1|+|x﹣3|＞4．求x的取值范围：①文字语言：②图形语言：③答案：（4）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值．①文字语言：②图形语言

：③答案：【分析】运用数形结合思想：图一图二图三图四【解答】解：（1）文字语言：数轴上什么数到﹣4的距离等于到2的距离．图形语言：答案：x＝﹣1．（2）文字语言：数轴上什么数到3的距离比到原点（0）的距离大2．图形语言：答案：x=12．（3）文字语言：数轴上什么数到1的距离和它到

3的距离大于4．图形语言：答案：x＞4，x＜0．（4）文字语言：数轴上什么数到1，2，3，4，5距离之和最小值．图形语言：答案：6．【点评】本题主要考查了绝对值的性质以及利用数形结合求解问题．1．（2021•

迁西县模拟）已知﹣1≤x≤2，则化简代数式|x﹣3|﹣2|x+1|的结果是（）A．1﹣3xB．1+3xC．﹣1﹣3xD．﹣1+3x解：∵﹣1≤x≤2，∴x﹣3≤0，x+1≥0，∴|x﹣3|﹣2|x+1|＝﹣（x﹣3）﹣2（x+1）＝﹣x+3﹣2x﹣2＝﹣3x+1＝1

﹣3x．故选：A．2．（2021·河北省衡水中学初一期中）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式1111aababaaabb+−−−+−+−−的值是（）A．﹣1B．0C．1D．2【答案】D【解析】由图得，a

+1>0,a<0,a-b<0,b-1<0,1111aababaaabb+−−−+−+−−=()()111111211aababaaabb+−−−−+−=++−=+−−−−,选D.点睛：化简绝对值问题，根据,0,0aaaaa=−，此时，a可以看做一个式子

，a是正数或0，则，把绝对值变成括号，如果a是负数，则绝对值变括号，前面加负号.a+1+b-1=a+b．故答案为：a+b．【点睛】本题主要考查了关于数轴的知识以及有理数大小的比较，正确去掉绝对值是解题的关键．3．（2022•江北区期末）设a，b，c

为非零实数，且|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0．化简|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|的结果是（）A．b﹣2cB．bC．b﹣2aD．﹣2a解：∵|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0，∴a＜0，b＜0，c＞0，∴|b|﹣|a+b

|﹣|c﹣b|+|a﹣c|＝﹣b﹣（﹣a﹣b）﹣（c﹣b）+c﹣a＝b，故选：B．4．（2022·重庆一中七年级期中）有理数a，b，c在数轴上表示的点如图所示，则化简22bcabca+−−−−=______．【答案】4a-b【分析】根据数轴可以判断a、b、c的正负和它们的绝对值的大

小，从而可以化简题目中的式子．【详解】解：由数轴可得，a＜b＜c，|b|＜|c|＜|a|，∴|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|c﹣2a|＝b+c﹣2（b﹣a）﹣（c﹣2a）＝b+c﹣2b+2a﹣c+2a＝4a-b．【点睛】本题

考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5．（2022·辽宁大连·七年级期末）已知有理数a、b表示的点在数轴上的位置如图所示，化简|a＋1|＋|1－b|＝____．【答案】a＋b【分析】根据图示，可知有理数a，b的取值范围b＞1，

a＞-1，然后根据它们的取值范围去绝对值并求出原式的值．【详解】】解：根据图示知：b＞1，a＞-1，∴|a+1|+|1-b|=6．（2021•成都模拟）化简|π﹣4|+|3﹣π|＝1．解：∵π≈3.414，∴π﹣4＜0，3﹣π＜0，∴|π﹣4|+|3﹣π|＝4﹣π+π﹣3＝1．7．（

2022·江西上饶·七年级期末）已知0xa+、0xb+，那么||||xaxbxaxb+++++＝________或________或________．【答案】20-2【分析】根据x+a，x+b的符号，结合绝对值的性质进行计算即可．【详解】解：当x+a＞0，x+b＞0时，原式＝1+

1＝2，当x+a＞0，x+b＜0时，原式＝1﹣1＝0，当x+a＜0，x+b＞0时，原式＝﹣1+1＝0，当x+a＜0，x+b＜0时，原式＝﹣1﹣1＝﹣2，故答案为：2，0，﹣2．【点睛】本题考查绝对值，理解绝对值的性质

是解答的关键．8．（2022·四川成都·七年级期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则|a+c|-|a-b|+|b+c|=__________．【答案】22ac+【分析】根据数轴上点的位置确定a+c，a-b，b+c的符号，再根据绝对值的性质化

简即可．【详解】解：∵c＞b＞0＞a，且|c|＞|a|，∴a+c＞0，a-b＜0，b+c＞0，∴|a+c|-|a-b|+|b+c|=a+c+a-b+b+c=2a+2c，故答案为：2a+2c．【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，关键是要根据数轴上各点的位置确定各式子的符号．9．（202

2·江西·峡江县教学研究室七年级期末）已知m、n是两个非零有理数，则mnmn−=_________【答案】0或2或-2【分析】对m、n是两个非零有理数的正负进行分类讨论，再进行绝对值得化简求值即可．【

详解】解：当0m，0n时，0mnmnmnmn−=−=；当0m，0n时，2mnmnmnmn−=+=；当0m，0n时，2mnmnmnmn−=−−=−；当0m，0n时，0mnmnmnmn−=−+=；综上可知：mnmn−的值为0或2或-2．故答案为：0或2或-2．【点睛】本题

考查绝对值的化简．对m、n是两个非零有理数的正负进行分类讨论是本题解题关键．10．（2022•雁塔区校级期中）若a为有理数，则|a﹣3|+|a+4|的最小值是，|a+2|﹣|a﹣1|的最大值是．解：（1）当a＞3时，|a﹣3|+|a+4|＝a﹣3+a+4＝2a+1＞7，当﹣4≤a≤3时，|a﹣3

|+|a+4|＝3﹣a+a+4＝7，当a＜﹣4时，|a﹣3|+|a+4|＝﹣a+3﹣a﹣4＝﹣2a﹣1＞7，由上可得，当﹣4≤a≤3时，|a﹣3|+|a+4|有最小值，最小值是7．（2）当a＞1时，|a+2|﹣|a﹣1|＝a+2﹣a+1＝3，当﹣2≤a≤1时，|a+2|

﹣|a﹣1|＝a+2+a﹣1＝2a+1≤3，当a＜﹣2时，|a+2|﹣|a﹣1|＝﹣a﹣2+a﹣1＝﹣3，由上可得，当a≥1时，|a+2|﹣|a﹣1|有最大值，最大值是3．11．（2021·江西·景德镇一中

七年级期中）若关于x的方程35xxa−−−=有唯一解，则a的取值范围是__________.【答案】22a−【分析】分别讨论当5x时，当3x时，当35x时，方程的解的情况，然后找到符合题意的的情况进行求解即可．【详解】解：当5x时，∵35xxa−−−=，

∴()35xxa−−−=，即8a=−，∴此时方程有无数解，不符合题意；当3x时，∵35xxa−−−=，∴()35xxa−−−=，即2a=−，∴此时方程有无数解，不符合题意；当35x时，∵35xxa−−−=，∴()35xxa−−−=，即82ax+=，∴此时方程有唯一解，符合题

意；∴8352a+，解得22a−，故答案为：22a−．【点睛】本题主要考查了绝对值方程，解题的关键在于能够根据题意讨论x的取值范围进行去绝对值进行求解．12．（2021·北京·景山学校七年级期中）阅读绝对值拓展材料：

|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离，如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离而|5|＝|5－0|，即|5－0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，|5＋3|＝|5－（－3）|表示5、－3在数轴上

对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a－b|．根据上述材料，回答下列问题．（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是；（2）

借助数轴解决问题：如果|x＋2|＝1，那么x＝；（3）|x＋2|＋|x－1|可以理解为数轴上表示x的点到表示和这两个点的距离之和，则|x＋2|＋|x－1|的最小值是．【答案】（1）3；4；（2）-1或-3；（3）-2；1；3【分析】（1）根据阅读材

料提供的两点间的距离计算即可；（2）清楚|x＋2|=1表示的是数x表示的点与数－2表示的点之间的距离为1,因此借助数轴即可完成；（3）|x＋2|表示数轴上表示x的点与表示－2的点间的距离，|x－1|表示

数轴上表示x的点与表示1的点间的距离，因此|x＋2|＋|x－1|可以理解为数轴上表示x的点到表示－2和表示1这两个点的距离之和，因而可以求得其最小值．【详解】解：（1）由题意得：数轴上表示2和5的两点之间的距离是|5－2|

=3；数轴上表示1和－3的两点之间的距离是|1―(―3)|=4；故答案为：3，4（2）|x＋2|=1表示的是数x表示的点与数－2表示的点之间的距离为1，由数轴知，x的值为－3或－1；故答案为：－1或－3（3）由题意知，|x＋2|＋|x－1|可以理解为数轴上表示x的点到

表示－2和表示1这两个点的距离之和，如图，当21x−时，|x＋2|＋|x－1|=3；当1x或2x−时，|x＋2|＋|x－1|>3；故其最小值为3．故答案为：3【点睛】本题是材料阅读题，考查了数轴上两点间

的距离及其应用，理解材料并借助数轴是关键．13．（2021•武侯区校级月考）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2014|的最小值为，此时x的取值为．解：原式可转化为在数轴上找一个点到1，2，3，…，2014对应的点的距离和最小，故当1007≤x≤1008时，距离和最小，可

取x＝1007，则此时距离和为：1006+1005+1004+…+0+1+2+…+1006+1007＝2×（1+2+3+…+1006）+1007＝1014049，即原式的最小值为1014049；当x＝1008时，最小值也为1014

049，故1007≤x≤1008．14.（2021·安徽安庆市·七年级期末）“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的四个问题．例：三个有理数a，b，c满足0abc，求abcabc

++的值．解：由题意得，a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当a，b，c都是正数，即0a，0b，0c时，则：1113abcabcabcabc++=++=++=，②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设0a，0b，0c，则：()

()1111abcabcabcabc−−++=++=+−+−=−．综上，abcabc++的值为3或-1．请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）已知3a=，1=b，且ab，求+ab的值；（2）已知a，b是有理数，当0ab时，求abab+的值．（3

）已知a，b，c是有理数，0abc++=，0abc，求abcabc++．【答案】（1）-2或-4；（2）2；（3）1【分析】（1）根据绝对值的意义和a＜b，确定a、b的值，再计算a+b；（2）对a、b

进行讨论，即a、b同正，a、b同负，根据绝对值的意义进行计算即可；（3）根据a，b，c是有理数，a+b+c=0，0abc，则a，b，c两正一负，然后进行计算即可．【详解】解：（1）因为3a=，1=b，且ab，所以3a=−，1b=或1−，则2ab+=−或4ab+

=−．（2）①当0a，0b时，112abab+=−−=−；②当0a，0b时，112abab+=+=；综上，abab+的值为2．（3）已知a，b，c是有理数，0abc++=，0abc．所以a，b，c两正一负，不妨设0a，0b，0c，所以1111abcabc++=+−=．【点

睛】考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法．能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键；15．（2021·湖北咸宁·七年级期末）我们知道x的几何意义是表示在数轴上数x对应的点与原点的距离；即0xx=−，这个结论可以推广为：12xx−表示在数轴上数1x、2x对应点之间的距离．如图，

数轴上数a对应的点为点A，数b对应的点为点B，则A，B两点之间的距离AB=ab−=−ab．（1）1x+可以表示数对应的点和数对应的点之间的距离；（2）请根据上述材料内容解方程11x+=；（3）式子11xx++−的最小值为；（4）式子12x

x+−−的最大值为．【答案】（1）x，1−；（2）2−或0；（3）2；（4）3【分析】（1）把|x+1|变形为|x-(-1)|可以得到解答．（2）画出到-1对应的点距离为1的点，再找出其所对应的数即可；（3）根据|x+1|+|x−1|表示x到-1对应的点和1对应的点的距离和进行求解；

(4)|x+1|−|x−2|表示x到-1对应的点和2对应的点的距离差求解．【详解】解：（1)∵|x+1|=|x-(-1)|，∴|x+1|可以表示数x对应的点和数-1对应的点之间的距离；故答案为x，-1；（2）由(1)知，|x+1|表示

数x对应的点和数-1对应的点之间的距离，∴|x+1|=1的解即为到-1对应的点距离为1的点所表示的数，所以由下图可得x=-2或x=0；（3）∵|x+1|+|x−1|表示x到-1对应的点和1对应的点的距离和，又当x表

示的点在-1和1表示的点之间(包括-1和1）时，|x+1|+|x−1|取得最小值，最小值即为-1和1表示的点之间的距离，为2；（4）∵|x+1|−|x−2|表示x到-1对应的点和2对应的点的距离差，∴当x-1时，|x+1|

−|x−2|=-3，当x2时，|x+1|−|x−2|=3，当12x−时，-3<|x+1|−|x−2|<3，∴式子|x+1|−|x−2|的最大值为3．【点睛】本题考查绝对值算式的几何意义，利用绝对值算式的几何意

义把绝对值算式的计算转化为数轴上两点距离的求法是解题关键．16．（2022·全国·七年级期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道220=−，它在数轴上的意义是表示数2的点与原点（即表示0的点

）之间的距离，52−也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；52+可以看做5(2)−−，表示5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．（1）数轴上表示3和-1的两点之间的距离的式子是．（2）①若43x−=，则x＝．②若使x所表示的点到表示4和-1的点的距离之和为5，所有符合条件

的整数为．（3）进一步探究：16xx++−的最小值为．（4）能力提升：当149xxx++−+−的值最小时，x的值为．【答案】（1）|1﹣（﹣3）|（2）①7或1；②-1，0，1，2，3，4；（3）7；（4）4【分析】（1）直接根据数轴上A、B两

点之间的距离|AB|＝|a﹣b|列式即可；（2）①根据数轴上两点的距离可知x到4的距离为3，据此可求解；②表示4和-1的点的距离为5，可知x所表示的点在表示4和-1的点之间，求出所有整数即可；（3）当x所表示的点在表示-1和6的点之间时，值最小求解即可；（4）类似（3）求

解即可．【详解】解：（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离的式子是|1﹣（﹣3）|；故答案为：|1﹣（﹣3）|．（2）①∵43x−=，∴x到4的距离为3，当x在4左侧时，表示的数为4-3=1；当x在4右侧时，表示的数为4+3=7；故答案为：7或1；②∵表

示4和-1的点的距离为5，∴使x所表示的点到表示4和-1的点的距离之和为5的点在表示4和-1的点之间，x所表示的数为：-1，0，1，2，3，4；故答案为：-1，0，1，2，3，4；（3）16xx++−表示的是：数轴上点x到﹣1和6两点的距离和，如图所示，当x所表示的点在表示-1的点左侧时，它

们的和大于7；当x所表示的点在表示6的点右侧时，它们的和大于7；当x所表示的点在表示6和-1的点之间时，它们的和最小，最小值为7；故答案为：7（4）149xxx++−+−表示的是：数轴上点x到﹣1和4和9三点的距离和，由（3）可知当x所表示的点在表示9和-1的点之间时，它们的和最

小，最小值为10；要使4x−最小，x所表示的点与表示4的点重合时最小，故x的值为4；故答案为：4；【点睛】本题考查数轴、绝对值、两点的距离，解答本题的关键是明确绝对值的定义，利用绝对值的知识和分类讨论的数学思想解答．17．（202

1·重庆北碚区·七年级期末）阅读下面材料，回答问题距离能够产生美．唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无．当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道：“世界上最遥远的距离不是瞬间便无处寻觅而是尚未相遇便注定无法

相聚”距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．（1）当A，B两点中有一点在原点时，不妨

设点A在原点，如图1，AB=OB=|b|-|a|=b-a=|a-b|．（2）当A，B两点都不在原点时，①如图2，点A，B都在原点的右边，AB=OB-OA=|b|-|a|=b-a=|a-b|；②如图3，点A，B都在原点的左边，AB=OB-OA=|b|-|a|=-b-（-a）=a-b=|a-b|；③

如图4，点A，B在原点的两边，AB=OA+OB=|a|+|b|=a+（-b）=a-b=|a-b|．综上，数轴上A，B两点的距离AB=|a-b|，如数轴上表示4和-1的两点之间的距离是5．利用上述结论，回答以下三个问题：（1）若表示数a和-2的两点

之间的距离是3，那么a=______；（2）若数轴上表示数a的点位于-5与2之间，则|a+5|+|a-2|的值为_____；（3）若x表示一个有理数，且|x-1|+|x+3|＞4，求有理数x的取值范围；（4）若未知数x，y满足（|x-1|+

|x+3|）（|y+1|+|y-2|）=12，求代数式x+y的最小值和最大值．【答案】（1）1或-5；（2）7；（3）x＞1或x＜-3；（4）最大值是5，最小值是0．【分析】（1）根据题意得绝对值方程，求解即可；（2）由题意可得a+5＞0，a-2＜0，去绝对值化简可得结果（3）分类讨论当x＞

1、x＜-3、3≤x≤1，再去绝对值，化简求解即可；（4）分别得出|x﹣1|+|x﹣3|的最小值为2和|y﹣2|+|y+1|的最小值为3，从而得出x和y的范围，则问题得解．【详解】解：（1）|a-（-2）|=3，所以，a+2=3或a+2=-3，解得：a=1或a=-5．

故答案为：1或-5；（2）∵表示数a的点位于-5与2之间，∴a+5＞0，a-2＜0，∴|a+5|+|a-2|=（a+5）+[-（a-2）]=a+5-a+2=7．故答案为：7；（3）当x＞1时，原式=x-1+x+3=2x+2＞4，解得：x＞1；当x＜-3

时，原式=-x+1-x-3=-2x-2＞4，解得：x＜-3；当-3≤x≤1时，原式=-x+1+x+3=4，不符合题意，故舍去；∴有理数x的取值范围是：x＞1或x＜-3；（4）∵（|x-1|+|x-3|）（|y-2|+|y+1|）=6又∵|x-1|+|

x-3|的最小值为2，|y-2|+|y+1|的最小值为3，∴1≤x≤3，-1≤y≤2，∴代数式x+y的最大值是5，最小值是0．【点睛】本题考查了数轴上的点与点之间的距离及代数式的最值问题，明确数轴上的点之间的距离及

绝对值的运算法则，是解题的关键．18.（2021•抚顺县期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝3，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝2，|b+

2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝．【分析】（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；（2）根据绝对值可得：x

+1＝±3，即可解答；（3）根据绝对值分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答；（4）根据|a+4|+|a﹣2|表示数a的点到﹣4与2两点的距离的和即可求解．【解答】解：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是：4﹣1＝3；表示﹣3和2两点之间的距离是：2

﹣（﹣3）＝5，故答案为：3，5；（2）|x+1|＝3，x+1＝3或x+1＝﹣3，x＝2或x＝﹣4．故答案为：2或﹣4；（3）∵|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，∴a＝5或1，b＝﹣1或b＝﹣3，当a＝5，b＝﹣3时，则A、B两点间的最大距离是

8，当a＝1，b＝﹣1时，则A、B两点间的最小距离是2，则A、B两点间的最大距离是8，最小距离是2；故答案为：8，2；（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+（2﹣a）＝6．

故答案为：6．【点评】此题考查数轴上两点之间的距离的算法：数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，应牢记且会灵活应用．19．（2021·北京·徐悲鸿中学七年级期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是3；数轴上

表示3−和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于mn−．如：数轴上数x与5两点之间的距离等于5x−，（2）如果表示数a和2−的两点之间的距离是3，那么=a；（3）若数轴上表示数a的点位于4−与2之间

，则42aa++−的值为；（4）当a=时，514aaa++−+−的值最小，最小值是．【答案】（1）5；（2）1或-5；（3）6；（4）1；9．【分析】（1）根据两点间的距离是大数减小数，可得答案；（2）根据两点间距离公式列方程求解；（3）根据a的取值范围及绝对值的

意义化简求解；（4）把514aaa++−+−的最小值理解为点a表示的点分别到数1、-5、4表示的点的距离之和最小，从而得到数a表示的点与数1表示的点重合时，514aaa++−+−的值最小，即可求解．【详解】解：：（1）2-

（-3）=2+3=5；故答案为：5；（2）由题意可得|a-(-2)|=3∴|a+2|=3，即a+2=±3，解得：a=1或-5，故答案为：1或-5；（3）当-4＜a＜2时，a+4＞0，a-2＜0，∴42aa++−，=42aa++−

=6；故答案为：6；（4）514aaa++−+−表示在数轴上点a表示的点分别到数1、-5、4表示的点的距离之和，当-5≤a≤4时，54aa++−最小，最小值为9，当a取-5≤a≤4中的1时，|a-1|也最小，最小值为0

，∴|当a=1时，514aaa++−+−的值最小，最小值为9．故答案为：1；9．【点睛】本题考查了数轴上两点间距离，绝对值意义，理解绝对值的意义利用数形结合思想解题是关键．20．（2021·四川宜宾·七年级期中）学习了数轴与绝对值知识后，我们知道：数轴上表示数m与数

n的两点之间的距离为mn−．例如：数轴上表示5和1的两点之间的距离是514−=．利用以上信息，解答下列问题．（1）数轴上表示-4和3的两点之间的距离是；表示数a和-1的两点之间的距离是．（2）2a+表示数轴上，若24a+=，则=a．（3）若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，则42aa++−=

．（4）若4210aa++−=，求a的值．【答案】（1）7,1a+；（2）数轴上数表示a和-2的两点之间的距离，2或6−；（3）6；（4）4或6−【分析】（1）根据数轴上两点的距离求两数差的绝对值即可；（2）根据数轴上两点的距离即可得2a+表示数轴上数a和-2的两点

之间的距离，根据到2−的距离等于4即可求得a的值；（3）根据题意，进而求得4,2aa+−的符号，根据绝对值的意义求解即可；（4）根据（3）的结论可知42aa++−=6，进而可得当4210aa++−=，数轴上表示数a的点位于4−的左侧，或者2的右侧，进而即可求得4,2aa+−的符号，再根据绝对值的意

义求解即可【详解】（1）()437,11aa−−=−−=+故答案为：7,1a+（2）2a+表示数轴上表示数a和-2的两点之间的距离，24a+=24a+=或24a+=−2a=或6a=−故答案为：数轴上表示数a和-2的两点之间的距离，2或6−（3

）若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，则40,20aa+−，42aa++−=426aa+−+=故答案为：6（4）由（3）可知若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，42aa++−=6当4210aa++−=，则a表示的数小于4−，或大于2，

即当4a<-时，40,20aa+−，则424210aaaa++−=−−−+=，解得6a=−当2a时，40,20aa+−，则424210aaaa++−=++−=，解得4a=【点睛】本题考查了数

轴上两点的距离，绝对值的几何意义，解绝对值方程，理解数轴上两点距离的意义是解题的关键．21．（2021·浙江宁波·七年级期中）如图，点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，请你利用数轴回

答下列问题：（1）数轴上表示2和4两点之间的距离是，数轴上表示﹣1和2的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和﹣3的两点A、B之间的距离AB＝，如果AB＝2，则x的值为；（3）|x＋1|＋|x＋2|＋|x﹣3|＋|x﹣4|的最小值为；（4）|x＋π|﹣|x﹣2

|的最大值为．【答案】（1）2；3；（2）|x+3|，﹣1或﹣5；（3）10；（4）2+π．【分析】（1）根据题意得出|4﹣2|＝2，|﹣1﹣2|＝3即可；（2）得到方程|x+3|＝2，求解即可；（3）由|x+1|+|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|所表示的意义可得

答案；（4）由|x+π|﹣|x﹣2|所表示的意义，结合数轴上两点距离的计算方法进行计算即可．【详解】解：（1）|4﹣2|＝2，|﹣1﹣2|＝3，故答案为：2，3；（2）AB＝|x+3|，当AB＝2，即|x+3|＝2，解得x＝﹣1或x＝﹣5，故答案为：|x+3|，﹣1或﹣5；（3

）|x+1|+|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|所表示的意义为数轴上表示数x的点到表示﹣1，﹣2，3，4四个点距离之和，当﹣1≤x≤3时，这个距离之和最小，最小值为1+2+3+4＝10，故答案为：10；（4）|x+π|﹣|x﹣2|所表

示的意义为数轴上表示数x的点到表示﹣π，2两点距离之差，当x≥2时，这个距离之差最大，最大值为2+π，故答案为：2+π．【点睛】本题考查了数轴上两点距离，解绝对值方程，绝对值的几何意义，掌握两点之间的距离是解题的关键．