【文档说明】高中数学人教A版《必修第二册》全书课件6.4.1-2.ppt，共(24)页，1.134 MB，由小赞的店铺上传

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6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例最新课标会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用.[教材要点]要点一向量在平面几何中的应用(1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－

x2y1＝0.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)求夹角问题，用夹角公式：cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22(θ为a与b的夹角)．(4)计算线段长度，常用

模长公式：|AB|＝|AB→|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.要点二向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等．(2)向量的加减法运算体现在力，速度，加速度，位移的合成与分解．(3)动量mv是向量的数乘运算．(4)功是力F与所

产生的位移s的数量积．[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若△ABC是直角三角形，则有AB→·BC→＝0.()(2)若AB→∥CD→，则直线AB与CD平行．()(3)物理学中的功是一个向量．()(4)速度、加速度与位移

的合成和分解，实质上就是向量的加减运算．()×××√2．在四边形ABCD中，若AB→·BC→＝0，BC→＝AD→，则四边形ABCD是()A．直角梯形B．菱形C．矩形D．正方形解析：由BC→＝AD→知BC綉AD，∴四边形ABCD是平行四边形．由AB→·BC→＝0知，AB⊥BC，∴四

边形ABCD是矩形．答案：C3．若向量OF1→＝(1,1)，OF2→＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为()A．(5,0)B．(－5,0)C.5D．－5解析：F1＋F2＝OF1→＋OF2→＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)．|F1＋F2|＝(－2)2＋(－1)

2＝5.答案：C4．如图，在平行四边形ABCD中，AC→＝(1,2)，BD→＝(－3,2)，则AD→·AC→＝________.解析：∵AD→＝12(AC→＋BD→)＝(－1,2)∴AD→·AC→＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3.答案：3题型一平面几何中的向量方

法——师生共研例1(1)已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是()A．梯形B．邻边不相等的平行四边形C．菱形D．两组对边均不平行的四边形解析：∵AB→＝(－4,3)，D

C→＝(－4,3)，AD→＝(8,0)∴AB→＝DC→，可得AB、DC平行且相等．∴四边形ABCD是平行四边形．又∵|AB→|＝5，|AD→|＝8∴|AB→|≠|AD→|∴四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形．答案：B(2)已知点O，P

在△ABC所在平面内，且|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，PA→·PB→＝PB→·PC→＝PC→·PA→，则点O，P依次是△ABC的()A．重心，垂心B．重心，内心C．外心，垂心D．外心，内心解析：∵|OA→|＝|OB→|＝|OC→|∴O到三角形三个顶点的距离相等,∴O是

三角形的外心∵PA→·PB→＝PB→·PC→＝PC→·PA→∴PB→·(PA→－PC→)＝0，PA→·(PB→－PC→)＝0∴PB→⊥CA→，PA→⊥CB→,∴P是△ABC的垂心．答案：C例2如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB

，BC的中点，求证：AF⊥DE.解析：方法一设AD→＝a，AB→＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又DE→＝DA→＋AE→＝－a＋b2，AF→＝AB→＋BF→＝b＋a2，所以AF→·DE→＝b＋a2·

－a＋b2＝－12a2－34a·b＋b22＝－12|a|2＋12|b|2＝0.故AF→⊥DE→，即AF⊥DE.方法二建立平面直角坐标系如图，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，AF→＝(2,1)，DE→＝

(1，－2)．因为AF→·DE→＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以AF→⊥DE→，即AF⊥DE.方法归纳用向量方法解决平面几何问题的步骤跟踪训练1(1)在四边形ABCD中，若AB→＋CD→＝0，AC→·BD→＝0，则四边形为()A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形解析：由

题可知AB→∥CD→，|AB→|＝|CD→|，且AC→⊥BD→，故四边形为菱形．答案：D(2)若O是△ABC内一点，OA→＋OB→＋OC→＝0，则O为△ABC的()A．内心B．外心C．垂心D．重心解析：如图，取AB的中点E，连接OE，则OA→

＋OB→＝2OE→.又OA→＋OB→＋OC→＝0，所以OC→＝－2OE→.又O为公共点，所以O，C，E三点共线，且|OC→|＝2|OE→|.所以O为△ABC的重心．答案：D题型二平面向量在物理中的应用——师生共研例3如图所示，求力F1，F2的合力F的大小(

精确到0.1N)和方向(精确到分)．解析：设F1＝(a1，a2)，F2＝(b1，b2)，则a1＝300cos30°＝1503，a2＝300sin30°＝150，b1＝－200cos45°＝－1002，b

2＝200sin45°＝1002，所以F1＝(1503，150)，F2＝(－1002，1002)，则F＝F1＋F2＝(1503，150)＋(－1002，1002)＝(1503－1002，150＋1002)，|F|＝(1503－1002)2＋(150＋1002)2＝10013＋3

2－36≈314.6.设F与x轴的正方向的夹角为θ，则tanθ＝150＋10021503－1002≈2.4616.由F的坐标知θ是第一象限的角，所以θ≈67°53′.故两个力的合力约是314.6N，与x轴正方向的夹角大约为67°53′，与

y轴的正方向的夹角大约为22°7′.方法归纳用向量方法解决物理问题的“三步曲”跟踪训练2一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h，求船实际航行速度的大小与方

向(用与水流速间的夹角表示)．解析：如图，设AD→表示船垂直于对岸的速度，AB→表示水流的速度，以AD、AB为邻边作平行四边形ABCD，则AC→就是船实际航行的速度．在Rt△ABC中，|AB→|＝2，|BC→|

＝23，∴|AC→|＝|AB→|2＋|BC→|2＝22＋(23)2＝4，∴tan∠CAB＝232＝3，∴∠CAB＝60°，故船实际航行速度的大小为4km/h，方向与水流速间的夹角为60°.