【文档说明】重庆市广益中学校2022-2023学年高二下学期4月月考数学（一）试题含解析.docx，共(20)页，616.727 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-7bd4959a99df5571d1784b2e78b151b9.html

以下为本文档部分文字说明：

学科网（北京）股份有限公司第1页，试卷共18页重庆市广益中学2022—2023学年下期4月月考高二数学（一）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知下列四个命题，其中正确的个数有（）

①'1(2)2xxx−=，②'(sin2)cos2xx=，③'(log)lnxaxaa=（0a，且1a），④'1(ln2)2=A．0个B．1个C．2个D．3个2．函数()lnfxexx=−的单调递减区间是（）A．10,eB．1,e−C．1,e+

D．()0,e3．2021年5月，南岸区开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加．已知甲、乙两个小区在[0，t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示．给出下列四个结论：①在[t1，t2]这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量

大；②在[t2，t3]这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大；③在t2时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢；④甲小区在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t2，t3]的平均分出量最大．其

中所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．③④4．为庆祝广益中学建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，

则排法共有（）种．A．40B．24C．20D．125．若函数()2lnfxxaxx=−+在区间()1e，上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．)3,+B．(,3−C．23,1e+D．(2

,1e−+6．已知函数()322fxxaxbxa=+++在1x=处有极小值10，则ab+=（）第2页，试卷共18页A．15B．7−C．0或7−D．07．已知定义域为()0,+的函数()fx的导函数为()fx，且()()0xfxfx−，若()54f=，则()54fxx的解集为（）A

．()0,4B．()4,+C．()5,+D．()0,58．已知352,,ln5ln45abec−===−，则（）A．abcB．acbC．bcaD．bac二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题

5分，共20分，在每个给出的四个选项中，有多项是满足要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.设102100121012)xaaxaxax+=+++（，则下列说法正确的是()A.常数项01a=B.10121031aaa++=−C.展开式中二

项式系数最大的项是第5项D.𝑎1−2𝑎2+3𝑎3+⋯−10𝑎10=−2010.已知函数()fx的定义域为R，其导函数为()fx，如图是函数()yxfx=的图象，则下列说法正确的有()A.函数()fx的单调递减区间是(−∞,2)B.函数()fx的单调递

增区间是(−2,+∞)C.0x=是函数()fx的零点D.2x=−时函数()fx取极小值11.已知有序数对(𝑥1,𝑦1)满足𝑙𝑛𝑥1−𝑥1−𝑦1+2=0，有序数对(𝑥2,𝑦2)满足𝑥2+2�

�2−4−2𝑙𝑛2=0，定义𝐷=(𝑥1−𝑥2)2+(𝑦1−𝑦2)2，则()A.D的最小值为2√55B.D取最小值时x2的值为125C.D的最小值为45D.D取最小值时x2的值为6512.设函数()lnfxxx=，()212gxx=，给定下列命题，其中正确的是()A.

若方程()fxk=有两个不同的实数根，则1(,0)ke−B.若方程𝑘𝑓(𝑥)=𝑥2恰好只有一个实数根，则𝑘<0C.若𝑥1>𝑥2>0，总有𝑚[𝑔(𝑥1)−𝑔(𝑥2)]>𝑓(𝑥1)−𝑓(�

�2)恒成立，则𝑚⩾1D.若函数𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)−2𝑎𝑔(𝑥)有两个极值点，则实数𝑎∈(0,12)学科网（北京）股份有限公司第3页，试卷共18页三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．25(2)xxy−+的展开式中33xy的系数为_____

___（结果用数字作答）.14．2023年4月3日，中国国民党前主席马英九一行抵达重庆抗战遗址博物馆参观，重庆抗战遗址博物馆（又称黄山官邸）地处长江南岸的南山风景区内，是重庆乃至整个西部地区对外开放的抗战文物遗址中保护最

完好、规模最宏大的一处，是重庆市第一批和国家第七批重点文物保护单位。现需要把甲、乙、丙、丁4名解说员被安排到A，B，C三个不同场馆参与解说服务，每个场馆至少安排1名解说员，且甲不能安排到A场馆，则不同的分配方案种数为（结果用数字作答）.15．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作

《详解九章算术》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，若用(),mnA表示三角形数阵中的第m行第n个数，则()

101,3A=______（结果用数字作答）．16．已知函数()()25exfxxx=+−，若函数()()()()222gxfxafxa=−−−恰有5个零点，则a的取值范围是.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(10分)已知函数𝑓

(𝑥)=𝑥3−3𝑥2−9𝑥+2．（1）求函数𝑓(𝑥)的极值；（2）求函数𝑓(𝑥)在区间[−2,2]上的最值．18.(12分)从8名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？(写出计算过程，并用数字作答)（1）甲、乙两人必

须跑中间两棒；（2）若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；（3）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒．第4页，试卷共18页19.(12分)已知某同学在研究51(2)xx−的展开式时，他提出了以下两个问题，

请你帮忙解决.（1）求展开式中含1x的项的系数;（2）设51(2)xx−的展开式中前三项的二项式系数的和为M，6(1)ax+的展开式中各项系数的和为N，若4MN=，求实数a的值．20.(12分)已知函数𝑓(𝑥)=𝑒2𝑥．（1）求曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(0,𝑓(0))

处的切线方程．（2）当−1<𝑥<0时，证明：𝑥−2𝑥+2+1𝑓(𝑥2)<0．21.(12分)已知函数()lnaxxfxx=++.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）对任意的1(,)2x+，()2xexxfx+恒成立，请求出a的取值范围．22.(12分)函数()ln(1)xfxea

x++=.（1）设1x=是()fx的极值点，求a的值和函数()fx的单调区间；（2）当0,x时，()sin2xxfxe−+恒成立，求实数a的取值范围．学科网（北京）股份有限公司第5页，试卷共18页参考答案一、单项选择题（本大题共8

小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知下列四个命题，其中正确的个数有①'1(2)2xxx−=，②'(sin2)cos2xx=，③'(log)lnxaxaa=（0a，且1a），④'1(ln2)2=A．0个B．1个C．2个D．3个【详解】①

'(2)2lnxxx=，所以①错误；②'(sin2)2cos2xx=，所以②错误；③'1(log)lnaxxa=（0a，且1a），所以③错误；④'(ln2)0=，所以④错误.故选A2．函数()elnfxxx=−的单调递

减区间是（）A．10,eB．1,e−C．1,e+D．()0,e【详解】()elnfxxx=−，函数定义域为()0,+，()1e(0)fxxx=−，令()0fx，得10ex，所以函数()fx的单调

递减区间是10,e.故选：A.3．2021年5月，南山街道开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加．已知甲、乙两个小区在[0，t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所

示．给出下列四个结论：①在[t1，t2]这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大；②在[t2，t3]这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大；③在t2时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢；④甲

小区在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t2，t3]的平均分出量最大．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．③④第6页，试卷共18页【详解】①在1[t，2]t这段时间内，甲的

增长量小于乙的增长量，所以甲的平均分出量小于乙，说法错误．②在2[t，3]t这段时间内，甲的增长量小于乙的增长量，所以乙的平均分出量大于甲，说法正确．③在2t时刻，乙的图象比甲的图象陡，瞬时增长率大，说法正确．④甲的图象

大致为一条直线，所以三个时间段的平均分出量相等，说法错误．故选：B．4．为庆祝广益中学建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人

必须相邻，则不同的排法共有（）种．A．40B．24C．20D．12【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解．【详解】由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有2222324AAA2=种，故选：B．5．若函数

()2lnfxxaxx=−+在区间()1,e上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．)3,+B．(,3−C．23,e1+D．(2,e1−+【分析】根据函数的单调性与导函数之间的关系，将单调性转化为导函数恒大于或等于0，即可求解.

【详解】依题意()120fxxax=−+在区间()1,e上恒成立，即12axx+在区间()1,e上恒成立.令()()121egxxxx=+，则()22212120xgxxx−=−=，所以()gx在()1,e上单调递增，则()3gx，所以3a.

故选:B.6．已知函数()322fxxaxbxa=+++在1x=处有极小值10，则ab+=（）A．15B．7−C．0或7−D．0【分析】根据数()fx在1x=处有极小值10，可得()()10110ff==，求出参数ab，的值，然后再验证，得到答案.【详解】由

函数()322fxxaxbxa=+++有()232fxxaxb=++.学科网（北京）股份有限公司第7页，试卷共18页函数()fx在1x=处有极小值10，所以()()10110ff==，即()()213+201110fabfaba=+==+++

=解得:411ab==−或33ab=−=当411ab==−时，()()()238111311fxxxxx=+−=−+令()0fx¢>得1x或113x−，()0fx得1113x−所以函数()fx在113，−−

上单调递增，在11,13−上单调递减，在()1+¥，上单调递增.显然满足函数()fx在1x=处有极小值10.当33ab=−=时，()()22363310fxxxx=−+=−所以函数()fx在R上单调递

增,不满足函数()fx在1x=处有极小值10.所以411=7ab+=−−故选：B7．已知定义域为()0,+的函数()fx的导函数为()fx，且()()0xfxfx−，若()54f=，则()54fxx的解集为（）A．()0,4B．()4,+C．()5,+D．()0,5

【分析】根据给定不等式()()0xfxfx−构造函数，借助导数确定函数的单调性，再解不等式作答.【详解】令()()fxgxx=，()0,+x，因为()()0xfxfx−，则()()2()0xfxfxgxx−=，因此函数

()gx在()0,+上单调递减，则()45()4()(5)5fxfxxgxgx，解得5x，所以()54fxx的解集为()5,+.故选：C8．已知352,e,ln5ln45abc−===−，则（）A．abcB．acbC．

bcaD．bac【分析】利用e1xx+，可判断ba，再利用ln(1)xx+，即可得到答案.【详解】()e1xfxx=−−'()e1xfx=−，则()()''0,,()0,,0,()0xfxxfx

+−，故函数()fx在(),0−单调递减，()0,+单调递增，第8页，试卷共18页则()(0)0fxf=则e10xx−−，即e1xx+由e1xx+，∴352e5−，故ba同理可证ln(1)xx+又ln(1)xx+，∴11ln5ln4ln144

−=+，则bac故选：D.二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每个给出的四个选项中，有多项是满足要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分.有选错的得0分）9.设(1+2x)10=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，则下列说法正确的是()A.

常数项a0=1B.a1+a2+⋯+a10=310−1C.展开式中二项式系数最大的项是第5项D.𝑎1−2𝑎2+3𝑎3+⋯−10𝑎10=−20【答案】ABD【解答】解：对于A.令x=0得a0=1，故A正确;对于B.令x=1得a0+a1+a2+⋯+a10=310，而由A知：a0

=1，因此a1+a2+⋯+a10=310−1，故B正确;对于C.因为(1+2x)10的展开式中二项式系数最大的项是第6项，故C不正确;对于D.因为(1+2x)10的展开式中，两边求导数，20(1+2x)9=a1+2a2x+⋯+10a10x9，因此,令x=−1，20(1−2)9

=a1−2a2+⋯−10a10=−20，故D正确．10.已知函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x)，如图是函数y=xf′(x)的图象，则下列说法正确的有()A.函数f(x)的单调递减区间是(−∞,2)B.函数f(x)的单调递增

区间是(−2,+∞)C.x=0是函数f(x)的零点D.x=−2时函数f(x)取极小值【答案】BD【解答】解：当x≥0时，y=xf′(x)≥0，故f′(x)≥0，函数f(x)单调递增;当−2<x<0时，y=xf′(x)<0，故f′(x)>0，函数f(x)单调递增;当x=−2时

，y=xf′(x)=0，故f′(−2)=0;当x<−2时，y=xf′(x)>0，故f′(x)<0，函数f(x)单调递减；学科网（北京）股份有限公司第9页，试卷共18页综上所述，函数f(x)在(−∞,−2)上

单调递减，在(−2,+∞)上单调递增，在x=−2处函数f(x)取极小值，对比选项知选项B，D正确．故选BD．11.已知有序数对(x1,y1)满足lnx1−x1−y1+2=0，有序数对(x2,y2)满足x2+2y2−4−2ln2=0，定义D=(x1−x2)2+(y1−y2)

2，则()A.D的最小值为2√55B.D取最小值时x2的值为125C.D的最小值为45D.D取最小值时x2的值为65【答案】BC【分析】本题考查曲线上一点到直线距离最值的计算，考查导数几何意义的应用，考查转化与化归思想的应用，属于综合题．【解答】解：由lnx1−x1−y1+2=0，

得：y1=lnx1−x1+2，(x1−x2)2+(y1−y2)2的最小值可转化为函数y=lnx−x+2图象上的点到直线x+2y−4−2ln2=0上的点的距离的最小值的平方，由y=lnx−x+2得：y′=1x−1，与直线x+2y−4−2ln2=0平行的直线的斜率为−12，则令1x−1=−12，解得：

x=2，∴切点坐标为(2,ln2)，∴(2,ln2)到直线x+2y−4−2ln2=0的距离d=|2+2ln2−4−2ln2|√1+4=2√55．即函数y=lnx−x+2上的点到直线x+2y−4−2ln2=0上的点的距离的最小值为2√55．∴D

=(x1−x2)2+(y1−y2)2的最小值为d2=45，过(2,ln2)与x+2y−4−2ln2=0垂直的直线为y−ln2=2(x−2)，即2x−y−4+ln2=0．由{x+2y−4−2ln2=02x−y−4+ln2=0，解得：x=125，

即当D最小时，x2=125．12.设函数f(x)=xlnx，g(x)=12x2，给定下列命题，其中正确的是()A.若方程f(x)=k有两个不同的实数根，则k∈(−1e,0)；B.若方程kf(x)=x2恰好只有一

个实数根，则k<0；第10页，试卷共18页C.若x1>x2>0，总有m[g(x1)−g(x2)]>f(x1)−f(x2)恒成立，则m⩾1；D.若函数F(x)=f(x)−2ag(x)有两个极值点，则实数a∈(0,12)．【答案】ACD【解答】解：对于A，f(x)的定义域为(

0,+∞)，f′(x)=lnx+1，令f′(x)>0，得到x>1e，令f′(x)<0，得到0<x<1e，所以f(x)在(0,1e)上单调递减，在(1e,+∞)上单调递增，∴f(x)min=f(1e)=−1e，且当x→0时，f(x)→0，又f(1)=0，从而要使得方程f(x)=k有两个不同的实根

，即y=f(x)与y=k有两个不同的交点，所以k∈(−1e,0)，故A正确；对于B，易知x=1不是该方程的根，当x≠1时，f(x)≠0，方程kf(x)=x2有且只有一个实数根，等价于y=k和y=xlnx只有一个交点，y′=lnx−1(lnx)

2，又x>0且x≠1，令y′>0，有x>e，令y′<0，有0<x<1或1<x<e，所以函数y=xlnx在(0,1)和(1,e)单调递减，在(e,+∞)上单调递增，x=1是一条渐近线，极小值为e．由y=xlnx大致图象可知当k<0或k=e时y=k和y=xlnx只有一个交点，故B错；对于C，当x1>

x2>0时，m[g(x1)−g(x2)]>f(x1)−f(x2)恒成立，等价于mg(x1)−f(x1)>mg(x2)−f(x2)恒成立，即函数y=mg(x)−f(x)在(0,+∞)上为增函数，所以y⬚′=mg⬚′(x)−f⬚′(x)=mx−lnx−1⩾0恒成立，即m⩾lnx+1x在(0,

+∞)上恒成立，学科网（北京）股份有限公司第11页，试卷共18页令r(x)=lnx+1x，则r⬚′(x)=−lnxx2，令r′(x)>0得0<x<1，令r′(x)<0得x>1，从而r(x)在(0,1)上单调递增，

在(1,+∞)上单调递减，则r(x)max=r(1)=1，于是m≥1，故C正确；对于D，函数F(x)=f(x)−2ag(x)有两个极值点，即F(x)=xlnx−ax2(x>0)有两个不同极值点，等价于F⬚′(x)=lnx+1−2ax=0有两个不同的正根，即方程2a=lnx+1x有两个不同的正根，

由C可知：r(x)=lnx+1x的图象如图所示，结合图象可知0<2a<1，即0<a<12，则D正确．故选ACD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．25(2)xxy−+的展开式中33xy的系数为________

（用数字作答）.【详解】1213333543()(2)160CxCxCyxy−=−，所以系数为160−14．2023年4月3日，中国国民党前主席马英九一行抵达重庆抗战遗址博物馆参观，重庆抗战遗址博物馆（又称黄山官邸）地处长江南岸的南山风景区内，是重庆乃至整个西部地区

对外开放的抗战文物遗址中保护最完好、规模最宏大的一处，是重庆市第一批和国家第七批重点文物保护单位。现需要把甲、乙、丙、丁4名解说员被安排到A，B，C三个不同场馆参与解说，每个场馆至少安排1名解说员，且甲不能安排到

A场馆，则不同的分配方案种数为【详解】因为4名解说员被安排到A，B，C三个场馆，每个场馆至少安排1名解说,所以必须有2人一组，第12页，试卷共18页分两类，第一类，甲在两人组，取1人与甲一组有13C种，分配到,BC场馆，有12A种安排方法，其余

2人分配到剩余2个场馆有22A种，由分步乘法计数原理可得1121322CAA12N==种；第二类，甲在1人组，先分配到B，C其中一个场馆，有12A种安排方法，再把剩余的人分成两组有23C种，分配到剩余2个场馆，有22A种分配方法，由分步乘法计

数原理可得1222232ACA12N==种，根据分类加法计数原理可得1224NNN=+=，15．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算术》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的“帕斯卡三角形”

早了300多年，若用(),mnA表示三角形数阵中的第m行第n个数，则()101,3A=______（结果用数字作答）．【分析】由二项式展开系数可知，第a行第b个数为11Cba−−，从而求解即可.【详解】由二项式展开系数可

知，第a行第b个数为11Cba−−，故()311011101,310099C495021A−−===，故答案为：4950.16．已知函数()()25exfxxx=+−，若函数()()()()222gxfxafxa=−−−恰有5个零点，则a的取值范围是【详解】函数()gx恰有5个零点

等价于关于x的方程()()()2220fxafxa−−−=有5个不同的实根．由()()()2220fxafxa−−−=，得()fxa=或()2fx=−．学科网（北京）股份有限公司第13页，试卷共18页因为()()25exfxxx=+

−，所以()()234exfxxx=+−()()41exxx=+−，由()0fx¢>，得<4x−或1x，由()0fx，得41x−，则()fx在(),4−−和()1,+上单调递增，在()4,1−上单调递减．因为()474ef−=，()13ef=−，当x→

+时，()fx→+，当x→−时，()0fx→，所以可画出()fx的大致图象：由图可知()2fx=−有2个不同的实根，则()fxa=有3个不同的实根，故470,ea四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题12.0分)已知函

数f(x)=x3−3x2−9x+2．(1)求函数f(x)的极值；(2)求函数f(x)在区间[−2,2]上的最值．【答案】解：(1)f′(x)=3x2−6x−9=3(x+1)(x−3)，令f′(x)=0，得x=−1或x=3，当x变化时，f′(x)，f(x

)在区间R上的变化状态如下：x(−∞,−1)−1(−1,3)3(3,+∞)f′(x)+0−0+f(x)↗7↘−25↗故极大值为f(−1)=7，极小值为f(3)=−25．(2)因为f(−2)=0，f(2)=−20，再结合f(x)的单调性可

知，函数f(x)在区间[−2,2]上的最小值为−20，最大值为7．第14页，试卷共18页【解析】本题考查导数在研究函数的极值，最值方面的应用，属于基础题．(1)求导后，研究函数的单调性，即可得解；(2)将函数的极值与端点值进行比较即可求解．18.(本小题12.

0分)从8名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？(写出计算过程，并用数字作答)(1)甲、乙两人必须跑中间两棒；(2)若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；(3)若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒．【答案】解：(1)甲、乙两人跑中间两棒，甲乙两人的排列有A

22种，剩余两棒从余下的6个人中选两人的排列有A62种，故有A22A62=60种.(2)若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒，需要从甲乙两个人中选出一个参加，且从第一棒和第四棒中选一棒，有C21C21种，另外6个人选3人跑剩

余3棒，有A63种，故有C21C21A63=480种.(3)若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒，甲乙两人相邻两人的排列有A22种，其余6人选两人和甲乙组合成三个元素的排列有C62A33种，故有A22C

62A33=180种.【解析】本题考查排列组合的综合应用，属于中档题．(1)甲、乙两人跑中间两棒，甲乙两人排列，再从余下的6个人中选两人排列．(2)从甲乙两个人中选出一个参加，且从第一棒和第四棒中选一棒，另外6个人选3人跑剩余3棒．(3)甲乙两人相邻两人排列，其

余6人选两人和甲乙组合成三个元素全排列．19.(本小题12.0分)学科网（北京）股份有限公司第15页，试卷共18页已知某同学在研究51(2)xx−的展开式时，他提出了以下两个问题，请你帮忙解决.(1)求展开式中含1x的项的系数;(2)设(2x−1√x)5的展开式中前三项的二项式系数的

和为M，(1+ax)6的展开式中各项系数的和为N，若4M=N，求实数a的值．【答案】本题考查了二项式定理的应用、方程的解法，属于中档题．【解析】解：(1)(2x−1√x)5的展开式的通项为Tr+1=C5r(2x)5−r(−1√x

)r=(−1)r25−rC5rx5−3r2(r=0,1,2,3,4,5)．令5−3r2=−1，则r=4，∴展开式中含1x的项为T4+1=(−1)4⋅2⋅C54⋅x−1=10x，∴展开式中含1x的项的系数为10．(2)由题意可知M=C50+C51+C52=16，N=(1+a)

6，∵4M=N，∴(1+a)6=64，解得a=1或a=−3．20.(本小题12.0分)已知函数f(x)=e2x．(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程．(2)当−1<x<0时，证明：x−2x+2+1f(x2)<0．【答案】(1)解：f′

(x)=2e2x，则f′(0)=2，又f(0)=1，所以曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y−1=2(x−0)，即2x−y+1=0．(2)证明：要证明x−2x+2+1f(x2)<0，所以只需证明x−2x+2<−e−x，即证明x−2x+

2ex<−1．设g(x)=x−2x+2ex，则g′(x)=x2ex(x+2)2>0(−1<x<0)所以g(x)在(−1,0)上单调递增，所以g(x)<g(0)=−1，故原不等式成立．【解析】本题主要考查导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性，属于中档题．

第16页，试卷共18页(1)先求出导数，然后求出斜率和切点纵坐标，然后求出切线方程即可；(2)先把这个不等式进行转化，然后利用导数研究函数的单调性求出最值即可．21.(本小题12.0分)已知函数f(x)=lnx+ax+x．(1)讨论函数f(x)

的单调性；(2)对任意的x∈(12,+∞)，xf(x)<ex+x2恒成立，请求出a的取值范围．【答案】解：(1)f′(x)=1x−ax2+1=x2+x−ax2(x>0)，若a⩽0，则f′(x)>0，所以函数f(x)在(0,+∞)上递增；若a>0，方程x2+x−a=0的判别式为1+4a>0，所以方

程有两根分别为x1=−1−√1+4a2<0，x2=−1+√1+4a2>0，所以当x∈(0,x2)时，f′(x)<0；当x∈(x2,+∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(0,−1+√1+4a2)上递减；在(−1+√1+4a2,+∞)上递增．(2)不等式xf(x)<ex+x2，对任意的x∈(1

2,+∞)恒成立，即a<ex−xlnx对任意的x∈(12,+∞)恒成立．令v(x)=ex−xlnx，则v⬚′(x)=ex−lnx−1，令φ(x)=ex−lnx−1，则φ′(x)=ex−1x，易知φ′(

x)在(12,+∞)上单调递增，因为φ′(12)=e12−2<0，φ′(1)=e−1>0，且φ′(x)的图象在(12,1)上不间断，所以存在唯一的x0∈(12,1)，使得φ′(x0)=0，学科网（北京）股份有限公司第1

7页，试卷共18页即ex0−1x0=0，则x0=−lnx0．当x∈(12,x0)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减；当x∈(x0,+∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增．则φ(x)在x=x0处取得最小值

，且最小值为φ(x0)=ex0−lnx0−1=1x0+x0−1>2√x0⋅1x0−1=1>0，所以v′(x)>0，即v(x)在(12,+∞)上单调递增，所以v(x)>e12−12ln12．所以a⩽e12−12ln1

2．【解析】本题考查函数的单调性和导数的关系，以及恒成立问题，属于拔高题．(1)求导数可得f′(x)=1x−ax2+1=x2+x−ax2(x>0)，对a进行分类讨论可得函数单调性；(2)问题可化为a<ex−xlnx对任意的x∈(12,+∞)恒

成立，令v(x)=ex−xlnx，求导数判断单调性得出函数的最值，由恒成立可得结论．22.(本小题12.0分)函数f(x)=ex+aln(x+1)，(1)设x=1是f(x)的极值点，求a的值和函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[0,π]时，f(x)≥sinx−ex+2恒成立，求实数a的

取值范围．【答案】解：(1)因为f′(x)=ex+ax+1，f(x)的定义域为(−1,+∞)，由f′(1)=e+a2=0，得a=−2e，则f′(x)在(−1,+∞)上单调递增，当x∈(−1,1)时，f

′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以函数f(x)在(−1,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增．(2)令g(x)=f(x)−sinx+ex−2=2ex+aln(x+1)−2−sinx

，x∈[0,π]，当x∈[0,π]时，f(x)≥sinx−ex+2恒成立等价于g(x)≥0=g(0)恒成立，第18页，试卷共18页由于g′(x)=f′(x)−cosx+ex=2ex+ax+1−cosx，x∈[0,π]，所以当a≥0时，g′(x)≥2ex−1>0，函

数y=g(x)在[0,π]上单调递增，所以g(x)≥g(0)=0在区间[0,π]上恒成立，符合题意，当a<0时，g′(x)=2ex+ax+1−cosx在[0,π]单调递增，g′(0)=2+a−1=1+a，①当1+a≥0时，即−1≤a<0时，g′(x)≥g′(0)=1+a≥0，

函数y=g(x)在[0,π]单调递增，所以g(x)≥g(0)=0在区间[0,π]上恒成立，符合题意，②当1+a<0即a<−1时，g′(0)=1+a<0，g′(π)=2eπ+aπ+1+1，若g′(π)≤0，即a≤

−(π+1)(2eπ+1)时，g′(x)≤g′(π)≤0，则g(x)在(0,π)单调递减，g(x)<g(0)=0,不符合题意，若g′(π)>0，即−(π+1)(2eπ+1)<a<−1时，存在x0∈(0

,π)使得g′(x0)=0，所以当x∈(0,x0)时，g′(x)<0，则g(x)在(0,x0)上单调递减，∴g(x)<g(0)=0,不符合题意，综上所述，a的取值范围是[−1,+∞).【解析】本题考查导数的综合应用，解题中注意分类

讨论思想的应用，属于较难题．(1)求导得f′(x)=ex+ax+1，由f′(1)=0，得a=−2e，分析f′(x)的正负，f(x)的单调性，即可得出答案．(2)令g(x)=f(x)−sinx+ex−2=2ex+aln(x+1)−2−sinx，x∈[0,π]

，等价于g(x)≥0=g(0)恒成立，分类讨论解出a的取值范围．学科网（北京）股份有限公司第19页，试卷共1页第20页，试卷共1页获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com