【文档说明】福建省南平市四校2023届高三下学期3月联考数学试题解析.docx，共(23)页，1.377 MB，由小赞的店铺上传

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2022-2023学年高三下学期3月四校联考试卷数学学科本试卷分四大题，共4页．满分150分，考试时间120分钟．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{|12}Axx=−，0{|}Bxxa=，若{13

}ABxx=−∣，则AB=（）A.|20xx−B.02xxC.{13}xx∣D.{02}xx∣【答案】B【解析】【分析】根据给定的并集结果求出a值，再利用交集的定义求解作答.【详解】因为集合{|12}Axx=−

，0{|}Bxxa=，{13}ABxx=−∣，因此3a=，即{|03}Bxx=，所以02ABxx=.故选：B2.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数()2iiza=+（其中Ra）为“等部复数”，则复数2iz

a−在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据新定义求得a的值，代入求得复数2iza−的代数形式，可得复数所对应的点的坐标，进而可得结果.【详解】∵()2ii2

izaa=+=−+，又∵“等部复数”的实部和虚部相等，复数z为“等部复数”，∴2a−=，解得2a=−，∴22iz=+，∴22iz=−，即：2i22iza−=+，∴复数2zai−在复平面内对应的点是()2,2，位于第一象限.故选：A.3.已知函数()()3sin2

fxx=+的图象关于直线π3x=对称，则的最小值是（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】A【解析】【分析】根据正弦型函数的对称轴可构造方程求得的取值，进而可确定的最小值.【详解】()fx关于直线π3x=对称，()2πππ32kk+=+Z，解得：()ππ6kk=−

Z，当0k=时，取得最小值π6.故选：A.4.设0.440.24,0.4,log0.03abc===，则a，b，c的大小关系为（）A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b【答案】C【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的知识确定正确答案.【详解】00.40.514442=

=，400.41，()20.20.2log0.03log0.22=，所以bac.故选：C5.已知向量a，b满足abab+=−，则ab+在a方向上的投影向量为（）A.aB.bC.2aD.2b【答案】A【解析】【分析】根据向量的数量积运算，对abab+=−两边同时平方得到0ab=

，再由投影向量的定义即可求解.【详解】由已知条件得：22abab+=−，即0ab=，又ab+在a方向上的投影向量为()()2cos,abaaabaaaababaaaaaaa++++===，故选：A.6.蚊香具有悠久的历史，我国蚊香

的发明与古人端午节的习俗有关.如图，为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点

D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧…….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为（）A.14πB.18πC.2

4πD.30π【答案】D【解析】【分析】根据题意得到第一段圆弧到第n段圆弧的半径构成等差数列，结合圆心角，利用求和公式求出答案.【详解】依题意，每段圆弧的圆心角为2π3，第一段圆弧到第n段圆弧的半径构成等差数列：1，2，

3，…，n.，所以当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为π(19)292π330+=.故选：D.7.过抛物线2:2Cypx=（p＞0）的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2

）两点，设FAm=，FBn=，若n，12xx−，mn+成等比数列，则mn=（）A.13B.3C.3或13D.103【答案】B【解析】【分析】由抛物线的定义及等比中项的性质计算可得结果.【详解】由n，12xx

−，mn+成等比数列，得()()212xxnmn−=+．由抛物线的定义知，12pmx=+，22pnx=+，所以12mnxx−=−，所以()()2mnnmn−=+，又因为0m，0n，所以3mn=．故选：B.8.已知三棱锥−PABC，Q为BC中点，2PBPCABBCAC==

===，侧面PBC⊥底面ABC，则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（）A.5ππ,3B.π2π,23C.2π,2π3D.π,2π【答案】A【解析

】【分析】连接PQ，QA，OA，设三棱锥−PABC外接球的球心为O，设过点Q的平面为，则当OQ⊥时，此时所得截面的面积最小，当点Q在以O为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，再结合球的截面的性质即可得解.【详解】连接PQ，QA，由2PBPCABBCAC=====，可知：

ABC和PBC是等边三角形，设三棱锥−PABC外接球的球心为O，所以球心O到平面ABC和平面PBC的射影是ABC和PBC的中心F，E，PBC是等边三角形，Q为BC中点，所以PQBC⊥，又因为侧面PBC⊥底面ABC，侧面PBC底面ABCBC=，所以PQ⊥底面ABC，而AQ底面ABC，因此PQA

Q⊥，所以OFQE是矩形,ABC和PBC是边长为2的等边三角形，所以两个三角形的高2212232h=−=，在矩形OFQE中，132233333OEFQhAEh=====．，连接OA，所以221415333

OAOEEA=+=+=，设过点Q的平面为，当OQ⊥时，此时所得截面的面积最小，该截面为圆形，222211226333333OQOFFQhhh=+=+===，因此圆Q的半径为：22156199OAOQ−=−=，所以此时面积

为2π·1π=，当点Q在以O为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为：2155ππ33=，所以截面的面积范围为5ππ,3.故选：A．【点睛】关键点点睛：几何体的外接球问题和截面问题，考查空间想象能力，难度较大．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20

分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.已知随机变量X，Y，满足24XY+=，且X服从正态分布()31N,，则()12EY=B.已知随机变量X服从二项分布15,3B，

则()803243PX==C.已知随机变量X服从正态分布()4,1N，且()50.1587PX=，则()350.6826PX=D.已知一组数据123456,,,,,xxxxxx的方差是3，则数据12345641,41,

41,41,41,41xxxxxx−−−−−−的标准差是12【答案】AC【解析】【分析】根据离随机变量的正态分布、二项分布的性质，以及方差和标准差的概念，逐项分析判断即可得解.【详解】对于A，因为X服从正态分布()31N,，所

以()3EX=，因为24XY+=，则122YX=−，所以111()22()222EYEXEX=−=−=，故A正确；对于B，因为X服从二项分布15,3B，所以32351240(3)C

33243PX===，故B错误；对于C，因为X服从正态分布()4,1N，则其正态分布曲线的对称轴为4x=，所以(5)(3)0.1587PXPX==，所以(35)1(5)(3)0.6826PXP

XPX=−−=，故C正确；对于D，令123456,,,,,xxxxxx的平均数为x，方差()()2216236xxxxs−++−==，所以12345641,41,41,41,41,41xxxxxx−−−−−−的方差为()()22

162141(41)41(41)6xxxxs−−−++−−−=()()221616486xxxx−++−==，故所求标准差143s=，故D错误.故选：AC.10.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，

点P是底面1111DCBA（含边界）内一动点，且//AP平面1DBC，则下列选项正确的是（）A.1ACAP⊥B.三棱锥1PBDC−的体积为定值C.PC⊥平面1BDCD.异面直线AP与BD所成角的取值范围为ππ,62

【答案】AB【解析】【分析】由已知条件，通过面面平行，得点P在线段11BD上，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决垂直、夹角等问题.【详解】连接1111ABADBD，，，∵11//DDBB，11=DDBB，∴四边形11BDDB是平行四边形，∴11//BDBD，又11BD

平面1DBC，BD平面1DBC，∴11//BD平面1DBC，同理可证1//AB平面1DBC，1111BDABB=，∴平面11//ABD平面1DBC，则点P在线段11BD上，以D为坐标原点，1DADCDD，，所在直线分别为,,xyz轴，建立

如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则()()()0,0,01,1,01,0,0DBA，，，()()()110,1,10,1,01,0,1CCA，，设(),,10,1P，，1(1,1,1)AC=−−，(1,,1)AP=−，1110ACAP=−+−=，1ACA

P⊥，A选项正确；11//BD平面1DBC，则点P到平面1DBC的距离为定值，1BDC面积也为定值，所以三棱锥1PBDC−的体积为定值，B选项正确；(,1,1)PC=−−−，(1,1,0)DB=，112PCDB=−+−=−，12时，0PCDB，PCDB⊥不一定成立，故C选项错

误；(1,1,0)DB=，(1,,1)AP=−，21DBAP=−，2DB=，2222AP=−+，设异面直线AP与BD所成的角为，则22222211(21)1313cos4421212132124DBAPDBAP−−=

===−=−−+−+−+−+，当12=时，cos取得最小值0，当0=或1时，cos取得最大值12，∴10cos2，则ππ32，即异面直线AP与BD所成角的取值范围为ππ,32

，D选项错误.故选：AB11.已知圆22:1Cxy+=，点P为直线:240lxy−−=上一动点，下列结论正确的是（）A.直线l与圆C相离B.圆C上有且仅有一个点到直线l的距离等于1C.过点P向圆C引一条切线PA，A为切点，则PA的最小值为555D

.过点P向圆C引两条切线PA和PB，A、B为切点，则直线AB过定点【答案】ACD【解析】【分析】根据圆心到直线的距离判断A，由圆心到直线的距离与圆的半径差判断B，根据勾股定理转化为求直线上点到圆心距离最小值判断

C，求出过AB的直线方程，根据方程求定点判断D.【详解】对于A，圆心(0,0)C到直线240xy−−=的距离415dr==，所以直线与圆相离，故A正确；对于B，由A知45d=，40115dr−=−，故圆C上有2个点到直线l的距离等于1，故B错误；对于C，2

2255||||15PAPCrd=−−=，当且仅当PC与直线240xy−−=垂直时等号成立，所以PA最小值为555，故C正确；对于D，设点00(,)Pxy，则00240xy−−=，即00122yx=−，

由切线性质可知,,,CABP四点共圆，且圆的直径为CP，所以圆的方程为22220000()()224xyxyxy+−+−=，两圆的方程作差，得公共弦AB所在直线方程为001xxyy+=，即001(2)12xxyx+−=，整理可得01()2102xyxy+−−=，解方程102210xyy+=

−−=，解得1412xy==−，所以直线AB过定点11,42−，故D正确.故选：ACD12.已知定义在R上的奇函数，当0,1x时，()ππsin22fxax=+−，若函

数()1yfx=+是偶函数，则下列结论正确的有（）A.()fx的图象关于1x=对称B.()20220f=的C.()()20232021ffD.()100logyfxx=−有100个零点【答案】ABD【解析】【分析】根据条件可得1a=，()(2)fxfx−=

+，()(4)fxfx=+，即函数()fx关于直线1x=对称且周期为4奇函数，利用周期性求出(2021),(2022),(2023)fff，判断选项A,B,C；再画出函数()fx与100logyx=的函数部分图象，数形结合判断它们的交点情

况判断选项D.【详解】因为函数()1yfx=+是偶函数，则(1)(1)fxfx+=−+，即()(2)fxfx−=+，所以函数()fx关于直线1x=对称，故选项A正确；又函数()fx为R上的奇函数，所以(

)()fxfx−=−，则()(2)(4)fxfxfx=−+=+，即函数()fx是周期为4的奇函数，由(0)sin(0)102faa=+−=−=，即1a=.所以()()()()202245052200ff

ff=+==−=，故选项B正确；(2023)(45053)(3)(1)1ffff=+==−=−，(2021)(45051)(1)1=+==fff，所以(2023)(2021)ff，故选项C错误；综上

：()πππsin()1cos222fxaxx=+−=−，作出()fx与100logyx=的函数部分图象如下图所示：当0x时，函数100logyx=过点(100,1)，故100x时，函数()fx与100logyx=无交点；由

图可知：当04x时，函数()fx与100logyx=有一个交点；当4100x时，函数()fx的每个周期内与100logyx=有两个交点，共24248=个交点，而(100)0f=且100log1001y==，即100x=时，函数()

fx与100logyx=无交点；当0x时，100log()yx=−过点(100,1)−，的故当100x−时，函数()fx与100logyx=无交点；由图可知：当40x−时，函数()fx与100logyx=有3个交点；当1004x−−时，函数(

)fx的每个周期内与100logyx=有两个交点，共24248=个交点，而(100)0f−=且100log1001y==，即100x=−时，函数()fx与100logyx=无交点；综上，函数()100logyfxx=−

共有148348100+++=个零点，故选项D正确，故选：ABD.【点睛】关键点点睛：对于本题选项D，正确作出函数的大致图象，利用关键点处的函数值以及周期是解题关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.2022年4月24日是第七个“中国航天日”，今年主题是“航天点亮梦想”.某

校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m.若去掉m，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数()110mm的值可以是___________（写出一个满足条

件的m值即可）.【答案】7或8或9或10（填上述4个数中任意一个均可）【解析】【分析】由百分位数的概念即可得出答案.【详解】7，6，8，9，8，7，10，m，若去掉m，该组数据从小到大排列为：6，7，7，8，8，9，10，则70.25=1.75，故第25百分位数为第二个数即7，所以7，6

，8，9，8，7，10，m，第25百分位数为7，而80.25=2，所以7为第二个数与第三个数的平均数，所以()110mm的值可以是7或8或9或10.故答案为：7或8或9或10.14.已知为锐角，311tan80sin+=，则=_______

___．【答案】50【解析】【分析】利用三角恒等变换求得311tan80sin50+=，从而得到sinsin50=，由此结合角的范围即可得解.【详解】因为3sin803cos802sin(8060)2sin1401tan80sin80sin

802sin40cos40+++===的sin40111sin40cos40cos40sin50sin====，所以sinsin50=，又因为为锐角，所以50=.故答案为：5015.设(),Pxy是曲线22:1251

6xyC+=上的点，()13,0F−，()23,0F，则12PFPF+的最大值等于______．【答案】10【解析】【分析】作出曲线C和椭圆2212516xy+=的图象，延长1FP交椭圆于点M，可得出1210MFMF

+=，由三角形三边关系得出121210PFPFMFMF++=，当且仅当点P为椭圆的顶点时，等号成立，由此可得出12PFPF+的最大值.【详解】由22:12516xyC+=可得，154xy+=作出椭圆2212516xy+=和曲线C(去绝对值

后，可得图象为四条线段)的图象如下图所示：则点1F、2F分别为椭圆2212516xy+=的左、右焦点，由椭圆定义得1210MFMF+=.延长1FP交椭圆于点M，当点P不在坐标轴上时，由三角形三边关系得22MPMFPF+，所以，12121210PFPFPF

MPMFMFMF+++=+=；当点P为椭圆C的顶点时1210PFPF+=.综上所述，1210PFPF+，因此，12PFPF+的最大值为10.故答案为：10.【点睛】本题考查曲线与方程之间的关系，同时

也考查了椭圆定义的应用，建立不等关系是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力.16.()()()111222333,,,,,PxyPxyPxy是函数()fx的图象上不重合的三点，若函数()fx满足：当1230xxx++=

时，总有123,,PPP三点共线，则称函数()fx是“零和共线函数”．若3yxax=+是“零和共线函数”，则a的范围是__________．【答案】R【解析】【分析】判断函数的奇偶性，利用奇函数的对称性判断()yfx=符合“零和共线函数”的定义对应的a取值.【详解】由3()yfxxax==+的

定义域为R，又33()()()()()fxxaxxaxfx−=−+−=−+=−，所以，Ra有()yfx=均为奇函数，且(0)0f=，即()yfx=图象在y轴一侧的点，在其另一侧一定存在关于原点对称的点，所以，上述y轴两侧关于原点的对称点与原点可构成满足题设的123,,PPP三点，综上

，对于Ra，都有3yxax=+是“零和共线函数”.故答案为：R四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列na的前n项和为nS，121,(N)nnaSn+=+，23a=．（1）求数列na的通项公式；（2）设141nnbS=−，数

列nb的前n项和为nT，求nT的取值范围．【答案】（1）21nan=−（2）11,32【解析】【分析】（1）将11nnnaSS++=−代入已知式子可得nS是等差数列，进而得到nS通项公式，再由na与nS的关系求

出na的通项公式.（2）由裂项相消求和可得nT，再由nT的单调性可求得其范围.【小问1详解】因为11nnnaSS++=−，所以由121nnaS+=+，得121nnnSSS+−=+，所以()21211nnnnSSSS+=++=+，所以11nnSS+=+，即11nnSS+−=．在12

1nnaS+=+中，令n=1，得21121213aSa=+=+=，所以a1=1．所以数列nS是首项为1，公差为1的等差数列，所以nSn=，即：2nSn=．当2n时，()221121nnnaSSnnn−=−=−−

=−，11a=也适合上式，所以数列na的通项公式为21nan=−．【小问2详解】由（1）知，()()21111114141212122121====−−−−+−+nnbSnnnnn，所以1111111111112133557212122121

nnTnnnn=−+−+−++−=−=−+++，因为bn＞0，所以nT随着n的增大而增大，所以113nTT=，又显然12nT，所以1132nT，即nT的取

值范围为11[,)32．18.某商场计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形促销活动区域（即ABC区域），地面形状如图所示．已知已有两面墙的夹角4π,ACBCBA=为锐角，假设墙,CACB的可利用长度（单位：米）足够长．的（1）在ABC中，若BC边上的高等于14BC，

求sinCAB；（2）当AB的长度为6米时，求该活动区域面积的最大值．【答案】（1）255（2）992+平方米【解析】【分析】（1）过点A作ADBC⊥交BC于D．设ADx=，则CDx=，334BDBCx==，在ABD△中，求得sin,cosCBACBA，由()sinsinCABCBAACB

=+计算即可得解；（2）设π02CBA=，则6cosBD=，6sinCDAD==，从而得出()16sin6cos6sin2ABCS=+，利用三角恒等变换、辅助角公式及三角函数的性质即可得到答案．【小问1详

解】过点A作ADBC⊥交BC于D．设ADx=米，0x，则CDx=米，334344BDBCxx===米．在ABD△中，2222103310sin,cos101099xxCBACBAxxxx====++．故()()2sinsinsinc

os2CABCBAACBCBACBA=+=+21031025210105=+=．【小问2详解】设π02CBA=，则6cosBD=米，6sinCDAD==米，()()216sin6cos6sin92si

ncos2sin2ABCS=+=+()9sin21cos2992sinπ24=+−=+−因为π0,2，所以3π2,44ππ4−−，所以，当3π2,42π8π−==时，该活动区域的面积取得最大

值，最大值为992+平方米．19.如图，在四棱锥PABCD−中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，ABDC，AB=2AD=2CD=2，点E是PB的中点.（1）证明：平面EAC⊥平面PBC；（2

）若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为33，求二面角P-AC-E的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）63【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质及勾股定理的逆定理可证出线面垂直，再由面面垂直的判定定理求证即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法

求解即可.【小问1详解】∵PC⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴PCAC⊥.∵2AB=，由1ADCD==，ADDC⊥且ABCD是直角梯形，∴22222,()2ACADDCBCADABDC=+==+−=，即222ACBCAB+=，∴ACBC⊥.∵PCBCC

=，PC平面PBC，BC平面PBC，∴AC⊥平面PBC.∵AC平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC【小问2详解】∵PC⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴PCBC⊥.由（1）知ACBC⊥.∵PCACC=，PC平面PAC，AC平面PAC，所以BC

⊥平面PAC，∴BPC即为直线PB与平面PAC所成角.∴23sin3BCBPCPBPB===，∴6PB=，则2PC=取AB的中点G，连接CG，以点C为坐标原点，分别以CG､CD､CP为x轴､y轴､z轴正方向，建立

如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C，()002P,,，()1,1,0A，()1,1,0B−，11,,122E−，∴()1,1,0CA=，()0,0,2CP=uur，11,,122CE=−

设()111,,mxyz=为平面PAC的法向量，则111020mCAxymCPz=+===，令11x=，得10z=，11y=−，得()1,1,0m=−设()222,,xnyz=为平面ACE的法向量，则22222011022nCAxynCExyz=+==−+=，

令21x=，则21y=−，21z=−，得()1,1,1n=−−.∴()()()1111016cos,323mn+−−+−==.由图知所求二面角为锐角，所以二面角PACE−−的余弦值为63.2

0.在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，硬币大小的无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注．这种起搏器体积只有传统起搏器的110，其无线充电器的使用更是避免了传统起搏器囊袋及导线引发的相关并发症．在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器

主控芯片试生产，试产期同步进行产品检测，检测包括智能检测与人工抽检．智能检测在生产线上自动完成，包含安全检测、电池检测、性能检测等三项指标，人工抽检仅对智能检测三项指标均达标的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标，四项指标均达标的产品才能视为合格品

．已知试产期的产品，智能检测三项指标的达标率约为99100，9899，9798，设人工抽检的综合指标不达标率为p（01p）．（1）求每个芯片智能检测不达标的概率；（2）人工抽检30个芯片，记恰有1个不达标的概率为()p，求()p的极大值点0p；（3）若芯片

的合格率不超过96%，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的0p作为p的值，判断该企业是否需对生产工序进行改良．【答案】（1）3100（2）130（3）该企业需对生产工序进行改良，理由见解析【解析】【分析】（1）设每个芯片智能检测中安全检测、电池检测、性能检测三项指标达标的概率分

别记为1P，2P，3P，并记芯片智能检测不达标为事件A，视指标的达标率为任取一件新产品，该项指标达标的概率，根据对立事件的性质及事件独立性的定义即可求解；（2）根据条件得到112930()(1)pCpp=−（01p），利用导数对()p进行讨论即可；（3）设芯片人工抽检达标为事件B，工人在

流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件C，根据条件概率得到()()|PCPBA=，再由乘法公式得到()PBA，即可判断.【小问1详解】每个芯片智能检测中安全检测、电池检测、性能检测三项指标达标的概率分别记

为1P，2P，3P，并记芯片智能检测不达标为事件A.视指标的达标率为任取一件新产品，该项指标达标的概率，则有199100P=，29899P=，39798P=，由对立事件的性质及事件独立性的定义得：1239998973()111009998100PAPPP=−=−

=，所以每个芯片智能检测不达标的概率为3100.【小问2详解】人工抽检30个芯片恰有1个不合格品的概率为112930()(1)pCpp=−（01p），因此129281283030()(1)29(1)(1)(130)pCpppCpp=−−−=−−令()0p=，得1

30p=.当10,30p时，()0p；当1,130p时，()0p.则()p在10,30上单调递增，在1,130上单调递减，所以()p有

唯一的极大值点0130p=.【小问3详解】设芯片人工抽检达标为事件B，工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件C，由（2）得：()29(|)130PCPBAp==−=，由（1）得：()97()1100PAPA=−=，所以2997()()(|)93.8%96%3010

0PABPAPBA==，因此，该企业需对生产工序进行改良.21..已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的虚轴长为2，右焦点为F，点M、N分别为双曲线C的左、右顶点，过点F的直线

l交双曲线的右支于P、Q两点，设直线MP、NP的斜率分别为1k、2k，且1213kk=．（1）求双曲线C的方程：（2）当点P在第一象限时，且tan1tan2MPNMQN=时，求直线l的方程．【答案】（1）2213xy−=（2）112110xy−−=【解析】【分析】（1）设

点()11,Pxy，其中10y，利用点差法可得出2213ba=，由已知条件可得出b、a的值，即可得出双曲线C的方程；（2）分析可知，直线l不与x轴重合，设点()11,Pxy、()22,Qxy，设直线P

Q的方程为2xmy=+，将直线l的方程与双曲线C的方程联立，列出韦达定理，由两角差的正切公式以及已知条件分析得出122yy=−，将此关系式代入韦达定理可求得m的值，即可得出直线l的方程.【小问1详解】解：设点()11,Pxy，其中10y，则

2211221xyab−=，可得2222112ayxab−=，易知(),0Ma−、(),0Na，则222111112222221111213yyyybkkayxaxaxaab=====+−−，由已知22b=，可得1b=，3a=，因此，双曲线C的方程为

2213xy−=.【小问2详解】解：由（1）可知222cab=+=，则点()2,0F，易知()3,0M−、()3,0N，若直线l与x轴重合，此时直线l交双曲线C于M、N两点，不合乎题意，设点()11,Pxy、()22,Qxy，设

直线PQ的方程为2xmy=+，联立22233xmyxy=+−=可得()223410mymy−++=，由题意可得()22230Δ16430mmm−=−−，可得3m，由韦达定理可得1224

3myym+=−−，12213yym=−，因为过点F的直线l交双曲线的右支于P、Q两点，则()212122241244033mxxmyymm+=++=−=−−−，可得33m−，()()()2221212121222731222244033mmxxmymymyymyymm+=++=+++

=−=−−−，可得33m−，因为点P在第一象限，则()212112tantantantan41tantan13kkkkFNPFMPMPNFNPFMPFNPFMPkk−−−=−===++()1111221

111133333342322333yyyyyyxxx=−===−−+，同理可得()tantantan41tantan13NQMQMQNQMQNQkkkkFNQFMQMQNtanFNQF

MQFNQFMQkk−+−−=−===++()2222222222233333342322333yyyyyyxxx=−=−=−=−−+−，因为22112tan31tan223yyMPN

MQNyy=−=−=，可得122yy=−，因为10y，则20y，所以，122243myyym+=−=−−，可得22403mym=−，可得0m，()22122222321233myyymm=−=−=−−，解得1111m=，所以，直线l的方程为11211xy=+

，即112110xy−−=.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,xy、()22,xy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一

元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、12xx（或12yy+、12yy）的形式；（5）代入韦达定理求解.22.已知aR，函数()()ln1fxxax=+−（1）若()fxa恒成立，求a的取值范围；（2）过原点分别

作曲线()yfx=和exy=的切线1l和2l，试问：是否存在0a，使得切线1l和2l的斜率互为倒数?请说明理由．【答案】（1）1ea；（2）存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）由题意，转化为不等式lnxax恒成立，令ln()xhxx=，利用导数求出函数的最大值即可得解；（2

）根据导数的几何意义求出()exgx=过原点的切线方程的斜率，由斜率之间的关系可得()lne1aa=+，再通过构造函数判断其有解即可.【小问1详解】()fx的定义域是()0,+，由()fxa可得lnxax，即lnxax恒成立，令ln()xh

xx=，()0,x+，()21lnxhxx−=，当0ex时，()0hx，()hx在()0,e单调递增，当ex时，()0hx，()hx在(e,)+上单调递减，所以当ex=，max1()(e

)ehxh==，所以1ea.【小问2详解】存在0a，使得切线1l和2l的斜率互为倒数，理由如下：()1fxax=−，()exgx=，设()gx的切线方程是ykx=，则exk=，显然0k，lnxk=，切点为()ln,kk，于是0ln0kkk−=−，解得e=

k，所以2l的斜率为e，于是1l的斜率为1e，设()fx的切点坐标为()00,xy，由011eax−=，0ee1xa=+，又()00010efxx−=−，所以ee1eln1e1e1ee1aaaa+−=+++，整理得(

)lne1aa=+，设()()lne1Gxxx=+−，()ee1e1e1e1xGxxx−−=−=++，当e10ex−时，()0Gx，()Gx在e1(0,)e−上递增，而()00G=，所以e10eG−，当e1

ex−时，()0Gx，()Gx在e1(+)e−，上递减，又()()343elne1e580G=+−−，所以存在30e1,eex−，使得()00Gx=，因此关于a方程()lne1a

a=+有正数解．所以存在0a，使得切线1l和2l的斜率互为倒数．【点睛】方法点睛：求解切线有关的问题，关键点有两个，一个是切点，另一个是斜率.切点即是要看清题目给的已知条件所给点是在曲线上，还是在曲线外；斜率是将切点的横坐标代入导函数求得的的