【文档说明】天津市和平区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷 含解析【精准解析】.doc，共(13)页，724.500 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-7b9ac51f3301b6db12e7144dc34ddcb6.html

以下为本文档部分文字说明：

2020-2021学年天津市和平区高一（下）期末数学试卷一、选择题（共9小题，每小题4分，共36分）.1．设z＝，则z的虚部是（）A．1B．iC．﹣1D．﹣i2．已知向量＝（1，2），＝（x，3），若∥，则x＝（）A．﹣B．C．6D．﹣63．用m、n表示

两条不同的直线，用α、β表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m⊥α，m∥β，则α⊥βD．若m⊥n，n⊂α，则m⊥α4．给定一组数据：102，100，103，104，101，这组数据的第60百分位数是（）A

．102B．102.5C．103D．103.55．若向量，满足＝（1，0），＝（1，），则在上的投影向量为（）A．﹣B．C．﹣D．6．在△ABC中，若a＝bcosC，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰

三角形7．从分别写有“1，2，3，4，5”的5张卡片中，随机抽取一张不放回，再随机抽取一张，则抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率是（）A．B．C．D．8．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1

与侧面ACC1A1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．9．已知正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，F是线段AE上的点，则的最小值为（）A．B．﹣C．1D．﹣1二、填空题：本大题共6小题，每小题4分

，共24分.10．已知复数z＝（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则|z|＝．11．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为．12．

如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为．13．设A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，P（A）＝，P（C）＝，则P（A∪B）＝．14．已知一个正方体的所有顶点

在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的体积为．15．若点G是△ABC的重心，点M、N分别在AB、AC上，且满足，其中x+y＝1．若，则△AMN与△ABC的面积之比为．三、解答题：本大题共5小题，共6+8×3+10＝40分

，要求写出文字说明，解答过程或演算步骤.16．已知||＝2，|＝3，向量与的夹角为．（1）求|；（2）若2与m垂直，求实数m的值．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足ccosA+acosC＝a．（1）求的值；（2）若a＝1，，求△ABC的面积．18．如图，斜三棱柱A

BC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是AB的中点．求证：（1）OE∥平面BCC1B1；（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．19．在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了15个，乙同学猜对了8个．假设猜对

每道灯谜都是等可能的，设事件A为“任选一灯谜，甲猜对”，事件B为“任选一灯谜，乙猜对”．（1）任选一道灯谜，记事件C为“恰有一个人猜对”，求事件C发生的概率；（2）任选一道灯谜，记事件D为“甲、乙至少有一个人猜对”，求事件D发生的概率

．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，四边形ABCD为矩形，PC⊥PD，PC＝PD＝AD＝2，M为PA的中点．（1）求异面直线AB与PD所成的角；（2）求证：平面ACP⊥平面MCD；（3）求二面角C﹣MD﹣P

的余弦值．参考答案一、选择题（共9小题，每小题4分，共36分）.1．设z＝，则z的虚部是（）A．1B．iC．﹣1D．﹣i解：∵z＝＝，∴z的虚部是1．故选：A．2．已知向量＝（1，2），＝（x，3），若∥，则x＝（）A．﹣B．C．6D．﹣6解：∵，∴3﹣2x＝0，解得

．故选：B．3．用m、n表示两条不同的直线，用α、β表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m⊥α，m∥β，则α⊥βD．若m⊥n，n⊂α，则m⊥α解：若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交，故A错误；若m∥α，n⊂α，则m∥n

或m与n异面，故B错误；若m∥β，则β内存在直线n∥m，又m⊥α，∴n⊥α，而n⊂β，∴α⊥β，故C正确；若m⊥n，n⊂α，则m⊂α或n∥α或n与α相交，相交也不一定垂直，故D错误．故选：C．4．给定一组数据：102，100，103，104，101，这组数据的

第60百分位数是（）A．102B．102.5C．103D．103.5解：5×0.6＝3，第60百分位数是第三与第四个数的平均数，即＝103.5．故选：D．5．若向量，满足＝（1，0），＝（1，），则在上的投影向量为（）A．﹣B．C．﹣D．解：由题意可得，在上的投影向量为||cosθ，∵

＝（1，），||＝2，为单位向量，＝（1，0），且与夹角为θ＝，∴||cosθ＝2×＝．故选：D．6．在△ABC中，若a＝bcosC，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形解：由余弦定理得cosC＝，把cosC代入a＝bcosC得：a＝b•＝，

∴2a2＝a2+b2﹣c2，∴a2+c2＝b2，即三角形为直角三角形．故选：C．7．从分别写有“1，2，3，4，5”的5张卡片中，随机抽取一张不放回，再随机抽取一张，则抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率是（）A．B．C．D．解：抽得的两张卡

片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率是＝．故选：B．8．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．解：如图，分别取BC，B1C1的中点M，N．由正三棱柱ABC﹣A1B

1C1易证，MN⊥平面ABC．连接MA，易知MA，BC，MN两两垂直．以M为原点直线MA，MB，MN分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系M﹣xyz：由已知得：A（，0，0），C（0，−，0），C1（0，−，），B（0，，0）．所以＝（，

，0），＝（0，0，），＝（0，−1，），设平面ACC1A1的法向量为＝（x，y，z），所以，即，令x＝1，则y＝﹣，z＝0，故＝（1，−，0）．设BC1与侧面ACC1A1所成角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝＝．故选：D．9．已知正方形ABCD

的边长为2，E是BC的中点，F是线段AE上的点，则的最小值为（）A．B．﹣C．1D．﹣1解：建立如图的坐标系，则A（0，0），B（2，0），E（2，1），C（2，2），因为F是线段AE上的点；故可设F（2a，a）；0

≤a≤1；则＝（2a，a），＝（2a﹣2，a﹣2）；∴＝2a（2a﹣2）+a（a﹣2）＝5a2﹣6a＝5（a﹣）2﹣；∴a＝时的取小值：﹣．故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10．已知复数z＝（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则|z|＝．解：∵z＝（1+i）（1

+2i）＝1+3i+2i2＝﹣1+3i，∴．故答案为：．11．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那

么从高三学生中抽取的人数应为10．解：设从高三学生中抽取的人数应为x，根据分层抽样的定义和方法可得，解得x＝10，故答案为10．12．如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这

批产品的中位数为22.5．解：由频率分布直方图，得：[10，20）的频率为（0.02+0.04）×5＝0.3，[20，25）的频率为0.08×5＝0.4，∴估计这批产品的中位数为：20+×5＝22.5．故答案为

：22.5．13．设A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，P（A）＝，P（C）＝，则P（A∪B）＝．解：∵A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，P（A）＝，P（C）＝，∴P（B）＝1

﹣P（C）＝1﹣＝，∴P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝＝．故答案为：．14．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的体积为．解：由几何体的空间结构特征可知，正方体的体对角线为球的直径，设

正方体的棱长为a，则6a2＝24，∴a＝2，设球的半径为R，则：（2R）2＝22+22+22＝12，则，其体积：．故答案为：．15．若点G是△ABC的重心，点M、N分别在AB、AC上，且满足，其中x+y＝1．若，则△AMN与△A

BC的面积之比为．解：设BC的中点为D，则＝＝+，又，即＝，∴＝+，∴x＝，又x+y＝1，∴y＝，∴＝，即＝，∴＝＝•＝×＝．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共6+8×3+10＝40分，要求写出文字说

明，解答过程或演算步骤.16．已知||＝2，|＝3，向量与的夹角为．（1）求|；（2）若2与m垂直，求实数m的值．解：（1）∵||＝2，|＝3，向量与的夹角为，∴|＝＝＝＝；（2）由2与m垂直，得（2）•（m）＝0，∴2m+4+（8+m）•＝08m+36+（8+m）×2×3×（﹣）＝

0解得：m＝﹣．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足ccosA+acosC＝a．（1）求的值；（2）若a＝1，，求△ABC的面积．解：（1）由正弦定理，ccosA+acosC＝a可化为：sinCcosA+cosCsinA＝sin

A，也就是sin（A+C）＝sinA．由三角形内角和定理得sin（A+C）＝sin（π﹣B）＝sinB．即sinB＝sinA．由正弦定理可得b＝a，故．（2）由a＝1可知b＝1．而，由余弦定理可知．又0＜C＜π，于是．∴＝．18．如

图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是AB的中点．求证：（1）OE∥平面BCC1B1；（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．【解答】证明：（1）连结BC1．∵侧面AA1C1C是菱形，AC

1与A1C交于点O∴O为AC1的中点∵E是AB的中点∴OE∥BC1；∵OE⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1∴OE∥平面BCC1B1（2）∵侧面AA1C1C是菱形∴AC1⊥A1C∵AC1⊥A1

B，A1C∩A1B＝A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC∴AC1⊥平面A1BC∵BC⊂平面A1BC∴AC1⊥BC．19．在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了15个，乙同学猜对了8个．假设猜对每

道灯谜都是等可能的，设事件A为“任选一灯谜，甲猜对”，事件B为“任选一灯谜，乙猜对”．（1）任选一道灯谜，记事件C为“恰有一个人猜对”，求事件C发生的概率；（2）任选一道灯谜，记事件D为“甲、乙至少有一个人猜对”，求事件D发生的概率．解：（1）

设事件A为“任选一灯谜，甲猜对”，事件B为“任选一灯谜，乙猜对”．则P（A）＝，P（B）＝，任选一道灯谜，记事件C为“恰有一个人猜对”，则事件C发生的概率P（C）＝P（A）+P（）＝＝．（2）任选一道灯谜，记事件D为“甲、乙至少有一个人猜对”

，甲、乙至少有一个人猜对的对立事件是＝“甲、乙均没有猜对”，则事件D发生的概率P（D）＝1﹣[1﹣P（A）][1﹣P（B）]＝1﹣（1﹣）（1﹣）＝．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，四边形ABCD为矩形，PC⊥P

D，PC＝PD＝AD＝2，M为PA的中点．（1）求异面直线AB与PD所成的角；（2）求证：平面ACP⊥平面MCD；（3）求二面角C﹣MD﹣P的余弦值．【解答】（1）解：因为四边形ABCD为矩形，所以AB∥CD，则∠PD

C即为异面直线AB与PD所成的角，在△PCD中，PC⊥PD，PC＝PD＝2，所以∠PDC＝45°，故异面直线AB与PD所成的角为45°；（2）证明：平面ABCD⊥平面PCD＝CD，AD⊥CD，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面PCD，又PC⊂平面PCD，所以AD⊥PC，又PC⊥PD，

PD∩AD＝D，则PC⊥平面PAD，MD⊂平面PAD，所以PC⊥MD，因为PD＝AD＝2，M为AP的中点，所以MD⊥AP，因为PC∩AP＝A，PC，AP⊂平面PAC，则MD⊥平面APC，又MD⊂平面PAC，故平面ACP⊥平面MCD；（3）解：由（2）可知，MC⊥MD，PM⊥MD，则∠CM

P为二面角C﹣MD﹣P的平面角，因为PC＝2，MP＝，则，所以cos∠CMP＝＝，故二面角C﹣MD﹣P的余弦值为．