【文档说明】河北省唐山市2020届高三第一次模拟数学（文）试题含解析【精准解析】.doc，共(20)页，2.003 MB，由小赞的店铺上传

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唐山市2019—2020学年度高三年级第一次模拟考试文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1.已知集合

1,0,1,2A=−，220Bxxx=+，则AB中元素的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】先求解220Bxxx=+,再求AB判断即可.【详解】由题,()2202020Bxxxxxxxx=+=+=−,故

1,0AB=−有两个元素.故选：B【点睛】本题主要考查了交集的运算,属于基础题.2.设i是虚数单位，复数23izi+=−，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【

答案】D【解析】【分析】利用复数的除法法则将复数z化为一般形式，可得出复数z，进而可判断出复数z在复平面内对应的点所在的象限.【详解】()()()()23255113331022iiiiziiii++++====+−−+，1122zi=−.因此，复数

z在复平面内对应的点位第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限的判断，考查复数的除法运算和共轭复数定义的应用，考查计算能力，属于基础题.3.人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标.2010年第六次

全国人口普查资料表明，随着我国社会经济的快速发展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善，我国人口平均预期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提高.下图体现了我国平均预期寿命变化情况，依据此图，下列结论错误的

是（）A.男性的平均预期寿命逐渐延长B.女性的平均预期寿命逐渐延长C.男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性D.女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性【答案】C【解析】【分析】从图形中的数据变化可判断A、B选项的正误；

计算出男性和女性平均预期寿命延长幅度，可判断C、D选项的正误，综合可得出结论.【详解】由图形可知，男性的平均预期寿命逐渐延长，女性的平均预期寿命也在逐渐延长，A、B选项均正确；从1981年到2010年，男性的平均预期寿命的增幅为72.3866.

286.1−=，女性的平均预期寿命的增幅为77.3769.278.1−=，所以，女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性，C选项错误，D选项正确.故选：C.【点睛】本题考查统计图的应用，考查学生的数据处理能力，属于基础题.4.已知向量a，b满足abb+=，且2a=，则ab=（）A.2B.1C.1

−D.2−【答案】D【解析】【分析】将abb+=两边平方,再根据数量积公式求解即可.【详解】由abb+=有()222=+20abbaab+=.因为2a=,故2ab=−.故选：D【点睛】本题主要考查了数量积

与模长的计算等.属于基础题.5.设sin1+=43（），则sin2=（）A.79−B.19−C.19D.79【答案】A【解析】试题分析：，两边平方后得，整理为，即，故选A.考点：三角函数6.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学

名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈10=尺，1斛1.62=立方尺，圆周率3=），则该圆柱形容器能

放米（）A.900斛B.2700斛C.3600斛D.10800斛【答案】B【解析】【分析】计算出圆柱形容器的底面圆半径，由此计算出圆柱形容器的体积，由此可得出结果.【详解】设圆柱形容器的底面圆半径为r，则5454926r===（尺），所以，该圆柱形容器的体积为221839184374

Vr===（立方尺），因此，该圆柱形容器能放米437427001.62=（斛）.故选：B.【点睛】本题考查立体几何中的新文化，考查柱体体积的计算，考查计算能力，属于基础题.7.已知数列na是等差数列，nb是等比数列，22abm==，33

abn==，若m、n为正数，且mn，则（）A.11abB.11abC.11ab=D.1a、1b的大小关系不确定【答案】A【解析】【分析】用m、n表示1a、1b，然后利用作差法可得出1a与1b的大小关系.【详解】由于1a、2a、3a成等差数列，则2132aaa

=+，则12322aaamn=−=−，由于1b、2b、3b成等比数列，则2213bbb=，则22213bmbbn==，所以，()22221122mnmmnnmabmnnnn−−−−=−−==−，m、n为正数，且mn，因此，()21

10mnabn−−=−，即11ab.故选：A.【点睛】本题考查数列中项的大小比较，涉及比较法的应用，考查推理能力，属于中等题.8.抛物线()220xpyp=上一点A到其准线和坐标原点的距离都为3，则p=（）A8B.6C.4D

.2【答案】C【解析】【分析】设()00,Axy,再根据抛物线的定义以及点到点的距离公式列出等式求解即可.【详解】设()00,Axy,则由题意得032py+=,即062py=−,又2002xpy=,故()2000262xy

y=−,化简得2200412xy+=,又点A到原点的距离为3,故22009+=xy.解得22008,1xy==.又由题可得01y=,代入2002xpy=有4p=.故选：C【点睛】本题主要考查了抛物线定义的运用,需要根据题意设对应的点,再根据点A在抛物线上以及抛物线的定义列式求解即可.属于中档题

.9.函数()2tanfxxx=−在,22−上的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分析函数()yfx=的奇偶性以及函数()yfx=在0,4上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】当

,22x−时，()()()22tantanfxxxxx−=−−−=−−，则()()fxfx−，()()fxfx−−，所以，函数()yfx=为非奇非偶函数，排除B、D选项；当0,4x

时，设()sintancosxgxxxxx=−=−，则()2110cosgxx=−，所以，函数()ygx=在0,4上单调递增，则()()00gxg=，所以，当0,4x时，tan0xx−，则2tan

xxx，即()0fx，排除C选项.故选：A.【点睛】本题考查利用函数的解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10.设函数()2sin3fxx=+

，则下列结论中错误的是（）A.()fx的图象关于点,03对称B.()fx的图象关于直线6x=对称C.()fx在0,3上单调递减D.()fx在,03−上的最大值为1【答案】B【解析】【分

析】根据三角函数的对称点、对称轴以及单调区间与最值的性质逐个代入检验即可.【详解】对A,2sin0333f=+=,为对称点.故A正确.对B,当6x=时,2253636x+=+=不是sinyx=的对称轴.故B错误.对C,当0,3x

时,22,33x+,sinyx=在2π,π3轾犏犏臌上单调递减.故C正确.对D,当,03x−时,22,333x+.当232x+=时,取得最大值1.故D正确.故选：B【点睛】本题主要考查了

代入检验判断三角函数性质是否成立的问题.属于基础题.11.已知四棱锥PABCD−的顶点都在球O的球面上，PA⊥底面ABCD，1ABAD==，2BCCD==，若球O的表面积为36，则PA=（）A.2B.6C.31D.33【答案】C【解析】【分析】根据球O的表面积为36

可得外接球半径R,再根据底面ABCD中的边长关系,结合圆的内接四边形的性质求解底面ABCD外接圆的半径r,进而求得PA即可.【详解】设球O的半径为R,则2436R=,解得3R=.设底面ABCD外接圆的半径r,则由圆的内接四边形的性质可知180BD+=,又1ABAD==,2BCCD=

=,ACAC=.故ABCADC△△.故90BD==.故221252ACr=+==.故()()222236531PARr=−=−=.故选：C【点睛】本题主要考查了外接球的问题,需要根据底面圆的直径以及锥体高与球的

直径满足的勾股定理,再结合底面外接圆的内接四边形的性质进行求解.属于中档题.12.已知F是双曲线C：()222210,0xyabab−=的右焦点，M是C的渐近线上一点，且MFx⊥轴，过F作直线OM的平行线交C的渐近线于点N（O为坐标

原点），若MNON⊥，则双曲线C的离心率是（）A.2B.3C.62D.233【答案】D【解析】【分析】设(),0Fc,根据MFx⊥轴,可得,bcMca,再根据直线NF的方程联立渐近线方程可得N,再利用1ONMNkk=−求解出关于,,abc的方程,化

简求得离心率即可.【详解】设(),0Fc,因为MFx⊥轴,故,bcMca.又直线NF：()byxca=−,联立直线ON:byxa=−可得2xc=,2bcya=−.又MNON⊥,故1ONMNkk=−,即212bcbcbaacac+−=−−.化简可得223ab=,故()222

22433cacaa=−=.故离心率233ca=.故选：D【点睛】本题主要考查了根据几何关系结合双曲线的性质求解离心率的问题,需要根据题意求解对应的点的坐标,再根据几何关系列式求解关于基本量之间的关系,进而化简求得离心率.属于中档题.二、填空题：本

题共4小题.13.若x、y满足约束条件1030310xyxyxy−++−−+，则2zxy=−的最小值为______.【答案】2−【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，利用平移直线的方法找出使

得2zxy=−取得最小值时对应的最优解，代入目标函数计算即可.【详解】作出不等式组1030310xyxyxy−++−−+所表示的可行域如下图所示：联立10310xyxy−+=−+=，解得10xy=−=，即点()1,0A−，平移直线2zxy

=−，当该直线经过可行域的顶点A时，直线2zxy=−在x轴上的截距最小，此时z取最小值，即()min2102z=−−=−.故答案为：2−.【点睛】本题考查线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线的方法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.14.曲线()2sin1xf

xex=+−在点()()0,0f处的切线方程为______.【答案】3yx=【解析】【分析】求导根据导数的几何意义以及直线的方程求解切线方程即可.【详解】由题,()'2cosxfxex=+,故()0'02cos03fe=+=.又()002sin010fe=+−=.故切线方程为3yx=.故答案为：3

yx=【点睛】本题主要考查了根据导数的几何意义求解在函数某点处切线的方程.属于基础题.15.在数列na中，已知11a=，1nnaatn+=+（*nN，t为非零常数），且1a、2a、3a成等比数列，则na=______.【答案】222nn−+【解析】【分析】由1a、2a、3a成等

比数列求出非零实数t的值，再利用累加法可求得na.【详解】11a=，1nnaatn+=+（*nN，t为非零常数），则211aatt=+=+，32231aatt=+=+，由于1a、2a、3a成等比数列，则2213aaa=，即()()21131tt+=+，整理得20tt−=，0t

，解得1t=，1nnaan+−=，()()()()()()121321111112112nnnnnaaaaaaaan−+−−=+−+−++−=++++−=+222nn−+=.故答案为：222nn−+.【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项，同时也考查了利用等比中项的性质求参

数，考查计算能力，属于中等题.16.已知()12lnfxaxxx=−+，()fx有极大值()1fx和极小值()2fx，则a的取值范围是______，()()12fxfx+=______.【答案】(1).20,4

(2).ln2−【解析】【分析】(1)求导得()211'2fxaxx=−−+,再根据()fx有极大和极小值可知导函数在定义域内有两个不相等的实数根,再根据零点存在定理列式即可求得a的取值范围.(2)代入()12lnfx

axxx=−+化简()()12fxfx+,再代入(1)中极值点满足的韦达定理求解即可.【详解】(1)由题,()222112'2axxafxaxxx−+−=−−+=,因为()fx有极大值()1fx和极小值()2fx,故()22gxaxxa=−+

−在区间()0,+上有两个不相等的实数根.故()()102021420aaaaa−−−−−−−,即2018aa,解得20,4a.(2)由(1)可知121211,22xxxxa+

==.故()()11221212112ln2lnfxfxaxxaxxxx−++−++=()121212121112lnlnln22xxaxxxxaxxaa+−++=−+=−=.故答案为：(1).20,4(

2).ln2−【点睛】本题主要考查了利用函数的极值求解参数范围的问题,同时也考查了零点存在性定理以及韦达定理在极值点中的运用.属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：17.某高校艺术学院2019级表演专业有27人，播音主持专业9人，影视编导专业18人.某电视台综艺节目招募观众志愿者，现采用分层抽样的方法从上述三个专业的人员中选取6人作为志愿者.（1）分别写出各

专业选出的志愿者人数；（2）将6名志愿者平均分成三组，且每组的两名同学选自不同的专业，通过适当的方式列出所有可能的结果，并求表演专业的志愿者A与播音主持专业的志愿者分在一组的概率.【答案】（1）表演专业3人，播音主持专业1人，影视编导专业2

人；（2）可能的结果见解析；13.【解析】【分析】(1)先求解分层抽样抽取的比例,再逐个计算即可.(2)设表演专业的3位志愿者为A,B,C,播音主持专业的志愿者为D；影视编导专业的志愿者为E,F.再利用列举法求

解即可.【详解】（1）由题可知选取比例为61279189=++,故表演专业12739=人,播音主持专业1919=人,影视编导专业11829=人.（2）设表演专业的3位志愿者为A,B,C,播音主持专业的志愿者为D；影视编导专业的志愿者为E,F.则符合条件的所有可能结果有以下6种：①

,AD,,BE,,CF；②,AD,,CE,,BF；③,BD,,AE,,CF；④,BD,,CE,,AF；⑤,CD,,AE,,BF；⑥,CD,,BE,,AF.

其中A与D分在一组的情况恰有2种,设所求事件为M,则()2163PM==.【点睛】本题主要考查了分层抽样的方法以及列举法求解古典概型的问题,属于基础题.18.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知23sincoscaCcA=−.（1）求角A；（2）设D是BC边上一点，若2

3ADC=，且1AD=，3a=，求b，c.【答案】（1）23A=；（2）3,3bc==.【解析】【分析】(1)利用正弦定理以及辅助角公式化简23sincoscaCcA=−可得23A=.(2)根据三角形的面积公式可得3bca==,再由

余弦定理化简求解即可.【详解】（1）由正弦定理,得sinsinaCcA=,所以23sincosccAcA=−,从而3sincos2AA−=,即sin16A−=,因为()0,A,所以23A=.（2）因

为1sin2ABCABDACDSbcASS==+△△△121(sinsin)sin23323ADBDCDaAD=+=,所以3bca==.在ABC中,由余弦定理得222bcbca++=,所以()29

30bcbc−=−=,所以bc=.故3bc==.【点睛】本题主要考查了正余弦定理与面积公式在解三角形中的运用,需要根据题意边角互化,再根据所得的关系确定合适的面积公式以及余弦定理化简.属于中档题.19.如图，三棱柱111A

BCABC−的底面为等边三角形，且1AA⊥底面ABC，22AB=，13AA=，D，E分别为AC，11AC的中点，点F在棱1CC上，且1FC=.（1）证明：平面BEF⊥平面BDF；（2）求点D到平面BEF的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】【分析】(1)证明BD⊥平面11ACC

A可得BDEF⊥,再根据勾股定理证明EFDF⊥,进而即可证明EF⊥平面BDF.(2)作DMBF⊥,垂足为M,根据线面与面面垂直的性质和判定即可知DM即为点D到平面BEF的距离.再根据三角形中的关系计算DM即可.【详解】（1）因为1AA⊥平面

ABC,所以1AABD⊥,因为ABC为等边三角形,D为AC的中点,所以BDAC⊥.又1AAACA=I,所以BD⊥平面11ACCA,所以BDEF⊥.在DEF中,3DE=,6EF=,3DF=,满足222DEDFEF=+,所以EFDF⊥,又BDD

FD=I,所以EF⊥平面BDF.又因为EF平面BEF,所以平面BEF⊥平面BDF.（2）作DMBF⊥,垂足为M,由（1）可知平面BEF⊥平面BDF,DM平面BEF,平面BEFI平面BDFBF=,所以DM⊥平面BEF,所以DM即为点D到平面BEF的距离.由（1）得

BDDF⊥，在RtBDFV中,6BD=,3DF=,3BF=,故2BDDFDMBF==,即点D到平面BEF的距离为2.【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明以及点到面距离的求解,需要根据题意利用线面与面面垂直的性质与判定进行证明.属于中档题.20.已知P

是x轴上的动点（异于原点O），点Q在圆O：224xy+=上，且2PQ=.设线段PQ的中点为M.（1）当直线PQ与圆O相切于点Q，且点Q在第一象限，求直线OM的斜率；（2）当点P移动时，求点M的轨迹方程.【答案】（1）13；（2）()221

09xyx+=.【解析】【分析】(1)连接OQ,由题可知OQPQ⊥,再结合直角三角形的性质可知()22,0P,()2,2Q,进而求得322,22M与直线OM的斜率即可.(2)设()(),0Mxyx,再根据O

PQ△为等腰三角形,求解,PQ关于点()(),0Mxyx的表达式,再代入圆的方程化简求解即可.【详解】（1）连接OQ,当直线PQ与圆O相切于点Q,则OQPQ⊥,又2OQPQ==,则22OP=,又点Q在第一象限,故OPQ△为等腰直角三角形.故()22,0P,()2,2Q.由M为PQ的中点

,得322,22M,所以直线OM的斜率为13.（2）设()(),0Mxyx,由2OQPQ==,OPQ△为等腰三角形.设()00,Qxy,则()02,0Px.又M为PQ的中点,故000220

2xxxyy+=+=,解得00232xxyy==.得4,03xP,则2,23xQy,把2,23xQy代入224xy+=,整理得2219xy+=,所以点M的轨迹方程

为()22109xyx+=.【点睛】本题主要考查了椭圆中的轨迹问题,需要根据题意设动点坐标,再求出相关点的坐标,最后代入已知的方程中化简求解即可.属于中档题.21.已知0a，函数()()32223162fxaxaxax=−++−.（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx在R上仅有

一个零点，求a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）()0,2.【解析】【分析】（1）求导可得()()()61fxxaax=−−，进而可得极值点为xa=或1xa=.再讨论a与1a的大小关系，进而求得单调区间即可；（2）先求解两个极值()()()

2212faaa=−−与2111faa=−，再讨论根据分01a，1a=与1a，结合分析极值满足的关系列式求解a满足的不等式，化简即可.【详解】（1）()()()()22661661fxaxaxaxaax=−++=−−，当

()0fx=时，xa=或1xa=.当01a时，1aa，所以xa或1xa时，()0fx，从而()fx在(),a−，1,a+上单调递增；当1axa时，()0fx，从而()fx在1,aa上单调递减；当1a=时，11aa

==，所以()0fx，从而()fx在R上单调递增；当1a时，1aa，所以1xa或xa时，()0fx，从而()fx在1,a−，(),a+上单调递增；当1xaa时，()0fx

，从而()fx在1,aa上单调递减.（2）()()()42223212faaaaa=−+−=−−，2111faa=−.由（1）得，当01a时，()0fa，10fa

,所以()fx仅在1,a+上有一个零点，因此01a时成立；当1a=时，()10f=，所以()fx在R上仅有一个零点1.当1a时，10fa，所以要满足题设有()0fa，从而220a−，解得12a，因此12a时成立

.综上，满足题目条件的a的取值范围是()0,2.【点睛】本题主要考查了分类讨论函数单调性的问题，同时也考查了利用导数求解函数零点的问题，需要根据单调性以及极值的取值范围列式求解，属于难题.（二）选考题：请考生在第22，2

3题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在极坐标系中，圆:4sinC=，直线:cos2l=.以极点O为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系.（1）求圆C的参数方程，直线l的直角坐标方程；（

2）点A在圆C上，ABl⊥于B，记OAB的面积为S，求S的最大值.【答案】（1）2cos:22sinxCy==+（为参数），:2lx=；（2）322+.【解析】【分析】（1）利用极坐标方程与普通方程之间的转换关系可将直线l的极坐标方程转化为直角坐标方程，将圆C的极坐标

方程化为普通方程后，确定圆心和半径，即可得出圆C的参数方程；（2）设点()2cos,22sinA+，可得点()2,22sinB+，利用三角恒等变换思想化简三角形的面积公式，再利用正弦函数的有界性可得出S的最大值.【详解】（1）由题意

得cosx=，所以:2lx=，将圆C的极坐标方程化为24sin=，由222xy=+，siny=，所以C的普通方程为224xyy+=，即()2224xy+−=.从而C的参数方程为2cos:22sinxCy==+（为参数）；（2）设()

2cos,22sinA+，02，则()2,22sinB+.所以()()()122sin21cos1sin2SAB=+=−+()()2sin2cos2cossin212sincos2sin

cos1=−−+=−+−+()()()222sincos2sincos1sincos12sin14=−+−+=−+=−+.02，7444−−，当42−=，即34=时，S取得最大值322+.【点睛】本题考查极

坐标方程、参数方程与普通方程之间的相互转化，同时也考查了利用圆的参数方程求解三角形面积的最值问题，考查三角恒等变换思想以及正弦函数有界性的应用，考查计算能力，属于中等题.23.已知函数()211fxxax=+−−−.（1）当1a=时

，求不等式()0fx的解集；（2）是否存在实数a，使得()fx的图象与x轴有唯一的交点？若存在，求a的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）223xx；（2）存在，实数0a=或2a=−.【解析】【分析】（1）当1a=时，由()0fx得出1

2110xx+−−−，然后分1x−、11x−、1x三种情况解不等式12110xx+−−−，综合可得出该不等式的解集；（2）分1a−、1a−和1a=−三种情况讨论，将函数()yfx=的解析式表示为分段函数的形式，求出该函数的最小值()maxfx，根据题意

得出()max0fx=，由此可求得实数a的值.【详解】（1）当1a=时，()0fx化为12110xx+−−−.当1x−时，不等式化为40x−，无解；当11x−时，不等式化为320x−，解得213x；当1x时，不等式化为20x−+，解得12x.所

以()0fx的解集为223xx；（2）存在.若1a−，则()3,33,11,1xaxafxxaaxxax−−−=+−−−++.此时函数()yfx=的最大值()1fa=，所以0a=时满足题设；若1a−，则()3,131,11,xaxfxxaxaxax

a−−=−−+−−++−.此时函数()yfx=的最大值()12fa=−−，所以2a=−时满足题设；若1a=−，则()110fxx=−−−，所以1a=−时不满足题设.综上所述，存在实数0a=或2

a=−满足题设.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了根据含绝对值函数的零点个数求参数，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.