【文档说明】专题1-3 直线与圆的方程20类题型汇总（原卷版）.docx，共(16)页，1.259 MB，由小赞的店铺上传

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专题1-3直线与圆的方程20类题型汇总知识点梳理模块一：直线方程【题型1】求直线方程【题型2】由两直线的平行垂直关系求参数（易错）【题型3】三角形的三线问题【题型4】直线与已知线段相交求斜率范围【题型5】对称相关问题汇总模块二直线与圆【题型6】求圆的方

程【题型7】圆的切线性质以及求切线方程【题型8】已知直线方程求弦长和已知弦长求直线方程【题型9】直线与圆的位置关系【题型10】圆与圆的位置关系：公切线，公共弦【题型11】直线与圆的综合问题【题型12】与基本不等式结合，乘“1”法求最值【题型13】阿波罗尼斯圆【题型

14】直线与圆的双切线模型模块三：直线与圆的最值问题【题型15】定点到含参直线距离最短问题【题型16】过定点的弦长最短【题型17】点圆型最值【题型18】直线与圆上的点距离最值【题型19】由直线与圆心的距离求参数的范围【题型20】三角换元求最值知识点梳理一、直线的5种方程斜截式一般式方程l1:y

=k1x+b1l2:y=k2x+b2相交k1≠k2（当时，记为）垂直k1·k2=-1（当时，记为）平行k1=k2且b1≠b2或（当时，记为）重合k1=k2且b1=b2A1=λA2,B1=λB2,C1=

λC2(λ≠0)（当时，记为）二、两点关于某直线对称三、其它公式两点距离公式：()()221212xxyAyB=−−−斜率的2个公式：1212tankxyyx−−==点到直线距离公式：2002dxABAByC=+++四、

阿波罗尼斯圆定义：已知平面上两点A，B，则所有满足||||PAPB=，1的动点P的轨迹是一个以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆模块一：直线方程【题型1】求直线方程1．（2023上·广东深圳·高二翠园中学校考期中）过点

且在轴，轴上截距相等的直线方程为2．（2023上·浙江嘉兴·高二统考期末）已知直线与直线和的交点分别为，若点是线段的中点，则直线的方程为.3．（2023上·江苏苏州·高二统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形满足.(1)求直线的方

程；(2)求点的坐标.【题型2】由两直线的平行垂直关系求参数（易错）4．若直线和直线平行，则的值为（）A．B．C．或D．5．（多选）已知直线，直线，则下列命题正确的有（）A．直线恒过点B．直线的方向向

量为，则C．若，则D．若，则【题型3】三角形的三线问题6．（2023上·广东广州·高二统考期末）（多选）△ABC的三个顶点坐标为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是（）()3,2−xyl1:220lxy−+=2

4:0lxy+−=,AB()2,0PABABxOyOABC4,120,,//OAABOABBCOBOCAB===⊥ABC()120xmy++−=240mxy++=m12−12−23−1:10lmxy++=2:10++=lxmy1l()0,12l()1,11m=−12

//ll1m=12ll⊥0m=A．边BC与直线平行B．边BC上的高所在的直线的方程为C．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为D．过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3，5)【题型4】直线与已知线段相交求斜率范围7．（2023上·广东深圳·高

二统考期末）已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．8．已知点，.若直线与线段AB恒相交，则k的取值范围是（）A．B．C．D．【题型5】对称相关问题汇总9．直线𝑙:𝑥+2𝑦

−1=0关于点(1,−1)对称的直线𝑙′的方程为（）A．2𝑥−𝑦−5=0B．𝑥+2𝑦−3=0C．𝑥+2𝑦+3=0D．2𝑥−𝑦−1=010．点𝑃(2,0)关于直线𝑙:𝑥−𝑦+3=0的对称点Q的坐标为（）．A．(−3,5)B．(−1,−4)C

．(4,1)D．(2,3)11．直线2𝑥+3𝑦+4=0关于𝑦轴对称的直线方程为（）A．2𝑥+3𝑦−4=0B．2𝑥−3𝑦+4=0C．2𝑥−3𝑦−4=0D．3𝑥+2𝑦−4=012．一条光线从点𝐴(2,4)射出，倾斜角为60∘，遇𝑥轴后反射

，则反射光线的直线方程为（）A．√3𝑥−𝑦+4−2√3=0B．𝑥−√3𝑦−2−4√3=0C．√3𝑥+𝑦+4−2√3=0D．𝑥+√3𝑦−2−4√3=013．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“

将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为𝐵(3,4)，若将军从点𝐴(−2,0)处出发，河岸线所在直线

方程为𝑦=𝑥，则“将军饮马”的最短总路程为（）A．5B．3√5C．4D．5√33210xy−+=32120xy+−=130xy+−=()2,3A−()2,1Bl()0,1P−ABl(),22,−−+U22−,(),11,−−+1,1

−(1,3)A(2,1)B−−:(2)1lykx=−+1,2+(,2]−−1(,2],2−−+12,2−14．点𝑃(2,0)关于直线𝑙:𝑥+𝑦+1=0的对称点𝑄的坐标为（）A．(−1,−3)B．(−

1,−4)C．(4,1)D．(2,3)15．求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（）A．x＋2y－3＝0B．x＋2y＋3＝0C．x＋2y－2＝0D．x＋2y＋2＝016．一条沿直线传播的光线经过

点𝑃(−4,8)和𝑄(−3,6)，然后被直线𝑦=𝑥−3反射，则反射光线所在的直线方程为（）A．𝑥+2𝑦−3=0B．2𝑥+𝑦−15=0C．𝑥−2𝑦−5=0D．𝑥+2𝑦+3=017．“将军饮马”问

题，在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为𝐵(−2,0)，若将军从山脚下的点𝐴(3,0)处出发，河岸线所在直线方程为𝑥+𝑦=4，则“将军饮马”的最短总路程为（）A．√1453B．√37C．√1353D．16318．已知椭圆C：（

），过点且方向向量为的光线，经直线反射后过C的右焦点，则C的离心率为（）A．B．C．D．19．（2023上·湖北黄冈·高二统考期末）已知直线，，且.(1)求与之间的距离；(2)一束光线从出发经反射后平行于轴射出，求

入射光线所在的直线方程.模块二直线与圆【题型6】求圆的方程20．矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，所在直线的方程为.(1)求边所在直线的方程；(2)求经过，，三点的圆的方程.22221xyab+=0ab(),0a−()1,1n=−yb=−35

233445()1:2220laxya−−−=2:410lxaya−+−=12ll∥1l2l()2,3P1lxABCD()2,0MAB360xy−−=AC20xy−−=BCMAB21．（2023上·广东

深圳·高二统考期末）已知：圆过点，，，是直线上的任意一点，直线与圆交于、两点.（1）求圆的方程；（2）求的最小值.22．（2023上·广东深圳·高二统考期末）已知，．(1)求线段的垂直平分线的直线方程；(2)若一圆的圆心在直线上，且经过点，

求该圆的方程．23．（2023上·福建福州·高二校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，点，.(1)求直线BC的方程；(2)求的外接圆M的方程.24．（2023上·江苏南京·高二统考期中）在平面直角坐标系中，已知圆C的圆心在上，且圆C与x轴相切，直线，．(

1)若直线与圆C相切，求a的值；(2)若直线与圆C相交于A，B两点，将圆C分成的两段弧的弧长之比为，且，求圆C的方程．25．（2023上·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期末）已知圆的圆心坐标为，且圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点，点为的中点.(1)求圆的标准方程；(2)求的最大值.26

．已知线段AB的端点B的坐标是()2,1，端点A在圆22(2)(3)16xy++−=上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是．27．已知直线210xy−+=与圆22:420Cxyxya+−+−=交于A，B两点，CACB⊥.C()0,1D()2,1E−(

)1,2F−P1:2lyx=−2:1=+lyxCABC22PAPB+()2,0A()1,3BABl220xy+−=AB，xOy()2,0,120AOABABC==2AB=OABxOy:20lxy−=()1:0Rlxaya

−=()6,0D1l1l1:3DADB=C()1,2C:270lxy−−=()3,0AmC,MNPMNCOP(1)求实数a的值；(2)若点P在圆C上运动，O为坐标原点，动点M满足2OPCM=，求动点M的轨迹方程.28．已

知圆C的圆心在x轴上，并且过()1,3A，()3,3B两点.(1)求圆C的方程；(2)若P为圆C上任意一点，定点()8,0M，点Q满足3PMQM=，求点Q的轨迹方程.【题型7】圆的切线性质以及求切线方程29．（多选）过点作圆：的切线，切点分别为，则下列说法正确的是

（）A．B．四边形的外接圆方程为C．直线方程为D．三角形的面积为30．（2023上·高二华中师大一附中期末）（多选）设圆，直线为上的动点，过点作圆的两条切线，切点为为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（）A．的取值范围为B．四

边形的最大值为C．满足的点有两个D．的面积最大值为31．（2023上·江苏连云港·高二统考期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程；(2)过点作圆的切线，求该切线的方程.【题型8】已知直线方程求弦长和已知弦长求直线方程32．（2023

上·广东深圳·高二校考期末）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，．(1)求BC边上的中线AD的所在直线方程；(2)求△ABC的外接圆O被直线l：截得的弦长．()2,1PO221xy+=,AB3PA=

PAOB222xyxy+=+AB21yx=−+PAB85−+−=22:(1)(1)3Cxy:3430,lxyP++=lPCPAPB､,ABMN､､PA)1,+PACB360APB=oPCAB△334C()()0,4,4,6ABC220xy−−=C()1,6−−C

()0,0A()2,0B−()3,3C−−10xy−+=33．（2023上·江苏徐州·高二统考期末）已知圆，圆.(1)判断与的位置关系；(2)若过点的直线被、截得的弦长之比为，求直线的方程.34．（202

3上·福建龙岩·高二统考期末）已知圆的圆心在轴上，且经过和两点．(1)求圆的方程；(2)过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的斜率．【题型9】直线与圆的位置关系35．（2023上·广东深圳·高二深圳大学附属中学校考期末）圆上到直线的距离为1的点有（）A．1个B．2个C．3个D．0个3

6．（2023上·广东广州·高二统考期末）（多选）已知点在圆：上，直线，则（）A．直线与圆相交B．直线与圆相离C．点到直线距离最大值为D．点到直线距离最小值为37．（2023上·广东惠州·高二统考期末）已知圆上有且仅有3个点到直线的距离

等于1，请写出满足上述条件的一条直线方程.（写出一个正确答案即可）38．（2023上·湖北黄冈·高二统考期末）已知圆被直线所截得的两段圆弧的弧长之比为，且圆上恰有三个不同的点到直线的距离为，则直线被圆所截得的弦长为.39．（2023·湖南·衡阳市八中高二期末）已知圆的圆心为，且有一条直径的两个

端点分别在两坐标轴上，若直线与交于两点，，则实数．40．（2023上·浙江台州·高二期末）从①②这两个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答该题．①经过点；②圆心C在直线上．已知圆心为C的圆经过两点，且__________

_．(1)求该圆的标准方程；(2)若过点的直线与该圆有交点，求直线的斜率的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．41．已知圆心为，且经过点的圆.221:2650Cxyxy++−+=2

22:1050Cxyx+−+=1C2C()3,4l1C2C1:2lCx()1,1A−()3,3BC()7,5PmC6m224640xyxy+−++=34160xy++=PC2240xyx+−=:AB2yx=+ABCABCPAB

222+PAB221−224xy+=llCl1:2Cl1lCC()2,1C:420lxy−+=C,AB120ACB==(4,1)10xy−−=(0,1),(2,3)(2,3)−−ll()0,3C()2,2(1)求此圆C的方程；(2)直线与圆相交于、两点.若为等边三角形，求直线的方程.【题型

10】圆与圆的位置关系：公切线，公共弦42．（2023上·浙江台州·高二期末）已知圆，圆，则两圆公共弦所在直线的方程为．43．设圆，圆，则圆，的公切线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条44．（长沙雅礼中学月考）（多选）圆和圆的交点为A，B，则有（）A．公共弦AB所在直线方程为B．公

共弦AB的长为C．线段AB中垂线方程为D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为圆：的圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以P到直线AB的距离的最大值为，圆与圆的公共弦AB的长为，故B,D错误45

．（2023上·江苏苏州·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知圆，写出满足条件“过点且与圆相外切”的一个圆的标准方程为.【题型11】直线与圆的综合问题46．（2023上·广东深圳·高二校考期末）已知圆C：，直线l：，则下列说法正确的是（）A．当时，直线的倾斜角为B．当时，直线与圆

相交所得弦长为C．圆与圆：相外切D．当，时，过直线上任意一点作圆的两条切线、，切点分别为、，:lyax=CABABCl221:1Cxy+=222:(2)(2)5Cxy−+−=221:244Cxyxy+−+=222:680Cxyxy++−=1C2C221:20xyxO+−=22

2:240Oxyxy++−=0xy−=2210xy+−=2O212+2O22240xyxy++−=2(1,2)O−25r=2(1,2)O−0xy−=123222d−−==3252+1O2O()22322522−=xOy22:1Oxy+=()3,0

O226430xyxy+−+−=30mxny++=30nm=l561mn==lC22CE()()22621xy−+−=1m=1n=−lPCPAPBAB则弦长度的最小值为47．（2023上·江苏连云港·高二统考期末）（多选）设为实数，若方程表示圆，则（）A．B．该圆必过定点C．若直线被该

圆截得的弦长为2，则或D．当时，该圆上的点到直线的距离的最小值为48．在平面直角坐标系中，已知圆22:1Oxy+=，点P是直线:25lyx=+上的一个动点，过点P作圆O的两条切线，切点分别为,AB，已知直线,PAPB关于直线l对称，则tanAPB=（）A．12B．43C．2D．5【题型12】与

基本不等式结合，乘“1”法求最值49．（2023上·广东深圳·高二统考期末）若直线（，）平分圆，则的最小值是（）A．2B．5C．D．50．若直线1axby+=（0a，0b）平分圆()()22112xy−+−=，则14

aab+的最小值是________【题型13】阿波罗尼斯圆51．（2023上·广东惠州·高二统考期末）已知，，为平面内的一个动点，且满足，求点的轨迹方程.52．（2023上·广东广州·高二统考期末）数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，

到两个定点距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点，动点满足，点的轨迹围成区域的面积为，面积的最大值为.53．两定点A，B的距离为3，动点M满足2MAMB=，则M点的轨迹长为（）AB42m222210xymxy+−−+=0m

()0,120xy−+=3m=1−1m=−2xy−=221−10axby+-=0a0b()()22114xy−+−=12ab+3+2242(1,0)A−(1,0)BC2ACBC=C,AB()0,1M()(),3,03,0AB−M2MAMB=MABMA．4πB

．23πC．22πD．2π54．已知平面内两定点，，点满足，则动点的轨迹方程为；若平面内两动点，（）满足，则的最大值为.55．（2023上·河北邢台·高二统考期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点

的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，，，P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为；若点Q为抛物线上的动点，抛物线C的焦点为F，则的最小值为．56．已

知N为抛物线24xy=上的任意一点，M为圆()2254xy+−=上的一点，()0,1A，则2MNMA+的最小值为．【题型14】直线与圆的双切线模型57．已知直线20lxy−+=:与圆22:1Oxy+=，过直线l上的

任意一点P作圆O的切线,PAPB，切点分别为,AB，则sinAOB的最大值为（）A．32B．12C．22D．158．（2023四川外国语附属学校月考）已知()00,Pxy是直线:340lxy−+=上一点，过点P作圆22:1Oxy+=的两条切线，切点分别为A，B，当直线AB与l平行时，AB=

（）A．3B．152C．302D．459．过直线1yx=+上的点P作圆()()22:162Cxy−+−=的两条切线1l，2l，当直线1l，2l关于直线1yx=+对称时，两切点间的距离为（）A．1B．2C．3D．660．（多选）已知圆22:

4Oxy+=，过直线:60lxy+−=上一点P作圆O的两条切线，切点分别为,AB，则（）A．若点(4,2)P，则直线AB的方程为220xy+−=()2,0A−()2,0BM2MAMB=M()0,Pm−()0,Qm0m90PMQ=m(1)

12,2A(2,2)B12=2:4Cyx=||||PQQF+B．PAO面积的最小值为14C．直线AB过定点22,33D．以线段AB为直径的圆可能不经过点O21．（2023上·广东佛山·高二佛山市南海区九江中学校考阶

段练习）（多选）已知圆O：224xy+=，过直线l：ˆ60xy+−=上一点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则（）A．若点()4,2P，则直线AB的方程为210xy+−=B．PAO面积的最小值为14C．直线AB过定点22,33D．以线

段AB为直径的圆可能不经过点O22．（2023上·河南·高二漯河高中校联考阶段练习）（多选）已知圆O：224xy+=，过点M作圆O的两条切线，切点分别为A，B，且直线AB恒过定点()1,1D−，则（）A．点M的轨迹方程为40xy−+=B．AB的最小值为23C．圆O上的点到直线AB

的距离的最大值为22+D．90AMB已知直线l：x+y-6=0，过直线上一点P作圆x2+y2=4的切线，切点分别为A，B，则四边形PAOB面积的最小值为，此时四边形PAOB外接圆的方程为．41．（2023

·重庆九龙坡·统考二模）已知直线l：80−+=xy与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆2216xy+=的两条切线，切点分别为C，D两点，则直线CD恒过定点坐标为；记M是CD的中点，则AM的最小值为.模块三：直线与圆的最值问题【题型15】定点到含参直线距离最短问题61．点(0,1

)−到直线(1)ykx=+距离的最大值为()A．1B．2C．3D．262．点𝑀(2,1)到直线𝑙:(2𝜆+1)𝑥+(1−𝜆)𝑦+3=0,的距离的最大值为（）A．35√5B．√5C．3D．3√2【题型16】过定点的弦长最短63．（2023上·广东惠

州·高二统考期末）直线l：与圆C：交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为（）A．B．C．D．64．若直线与圆分别交于M、N两点.则弦MN长的最小值为.65．已知直线：和圆C：.(1)直线恒过一定点

M，求出点M坐标；(2)当m为何值时，直线被圆C所截得的弦长最短，求出弦长.66．直线:10lxmym−−+=被圆()22:15Cxy+−=截得的最短弦长为.【题型17】点圆型最值67．设(,)Pxy是圆22(2)1Cxy−+=上任意一点，则22(5)(4)xy−++

的最大值为()A．6B．25C．26D．3668．若直线1l：20xmy+−=，2l：20mxy−+=（Rm）相交于点P，过P作圆:C()()22331xy+++=的切线，切点为Q，则PQ的最大值为．69．已

知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()2+--1=0mxym22(2)4xy+−=430xy−+=2430xy−+=2430xy−−=2410xy++=120kxyk−+−=229xy+=l()()()211740Rmxmym

m+++−−=228650xyxy+−−+=llA．4B．5C．6D．770．在平面直角坐标系中，从点(3,2)P−向直线20kxyk−−−=作垂线，垂足为M，则点(2,4)Q与点M的距离||MQ的最小值是()A．522−B．42C．62D．17【题型18】直线

与圆上的点距离最值71．已知()8,4A−，()6,6B−，直线1l：240kxyk−−+=与直线2l：240xkyk+−−=相交于点M，则ABM的面积最大值为（）A．10B．14C．18D．20【题型19】由直线与圆心的

距离求参数的范围72．（2023上·湖北黄冈·高二统考期末）已知，，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．73．（2023上·福建福州·高二校联考期末）已知圆，点是直线上任意一点，若以为圆心，半径为的圆与圆没有公共点，则整数的值

可能为（）A．B．C．D．74．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点AB，的距离之比为定值(1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知()1,0A，()4,0B，若动点P

满足12PAPB=，设点P的轨迹为C，过点(1,2)作直线l，C上恰有三个点到直线l的距离为1，则满足条件的一条直线l的方程为.【题型20】三角换元求最值75．已知Rp，直线1l：20xpyp−+−=过定点A，2l：240pxyp++−=过定点B，1l与2l交于点M，则下列结论正确的是（）

A．12ll⊥B．MAMB的最大值是25()1,0A−()10B,()2ykx=−P90APB=k33,33−33,00,33−33,33−33,,33

−−+22:20Cxyx+−=A3ykx=−A1ACk1−012C．点M的轨迹方程是2250xyx−=+D．2MAMB+的最大值为5576．已知()11,Axy、()22,Bxy是圆229xy+=上的两个不同的动点，且1221x

yxy=，则121254xxyy+++的最大值为．77．已知实数x，y满足方程22(2)3xy−+=．（1）求yx的最大值和最小值；（2）求yx−的最大值和最小值；（3）求22xy+的最大值和最小值．