【文档说明】广东省惠州市2023-2024学年高三上学期第二次调研考试数学试题+含答案.docx，共(27)页，1.468 MB，由小赞的店铺上传

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数学全卷满分150分，时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其

它答案，写在本试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。1.已

知集合|13Axx=，()|ln2Bxyx==−，则AB=（）A.)1,2B.()1,2C.()1,3D.(1,32.复数z满足i2iz=+，其中i为虚数单位，则z=（）A.1B.3C.2D.53.已知向量()3,1a=−，(),2

bm=．若ab∥，则m=（）A6B.6−C.32−D.234.已知3211tan15ln,,221tan15abc−===−，则a，b，c的大小关系是（）A.abcB.cbaC.bcaD.acb5.在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为：29，30

，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的第75百分位数为（）A.37.5B.38C.39D.406.金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存．已知金针菇失去的新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数解析式为()lnh

mta=+，()0a．若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%，采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%．那么若不及时处理，采摘下来的金针菇在多长时间后开始失去全部新鲜度（已知21.414，结果取一位小数）（）A.4.0天B.4.3天C.

4.7天D.5.1天.7.已知1F，2F分别是椭圆C：()222210,0xyabab+=的左、右焦点，点P在椭圆上，且在第一象限，过2F作12FPF的外角平分线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，若3OAb=，则该椭圆的离心率为（）A.223B.63C.33D.238.已知函数()||

12xfxe=−，()()11,021ln,0xxgxxxx+=−若关于x的方程()()0gfxm−=有四个不同的解，则实数m的取值集合为（）A.ln20,2B.ln2,12C.ln22D.()0,1二、多

项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.已知数列na的前n项和为211nSnn=−，则下列说法正确的是（）A.na是递增数列B.28

a=C.数列nS的最大项为5S和6SD.满足0nS的最大的正整数n为1010.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示圆台12OO，在轴截面ABCD中，2cmABADBC===，且2CDAB=，则（）A.该圆台的高为1cmB.该圆台轴截面面积

为233cmC.该圆台的侧面积为26cmD.该圆台的体积为373cm311.某校高二年级在一次研学活动中，从甲地的3处景点、乙地的4处景点中随机选择一处开始参观，要求所有景点全部参观且不重复.记“第k站参观甲地的景点”为事件kA，1k=，2，…，

7，则（）A.()637PA=B.()2113PAA=∣的C.()1227PAA+=D.()231249PAA=12.已知函数()()()sin0fxx=+在ππ,36−上单调，π4ππ633ff

f==−−，则的可能取值为（）A.127B.95C.67D.35三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.在52+xx的展开式中，3x的系数是___________.14.已知抛物线2:4Cyx=的焦点为F，准线为l，与

x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，若AFBF=，则AB=______.15.已知点()2,1,3A−，若()1,0,0B，()122C,,两点在直线l上，则点A到直线l的距离为______.16.已知正四面体ABCD的棱长为2，P

为AC的中点，E为AB中点，M是DP的动点，N是平面ECD内的动点，则||||AMMN+的最小值是_____________.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知na为等差数

列，nb是公比为正数的等比数列，112ab==，2121ab=−，3222ba=+.（1）求数列na和nb的通项公式；（2）设数列nc满足21lognnncab=，记nc的前n项和为nS，求2023S.18.如图，已知平行六面体1111AB

CDABCD−中，所有棱长均为2，底面ABCD是正方形，侧面11ADDA是矩形，点P为11DC的中点，且PDPC=.（1）求证：1DD⊥平面ABCD；（2）求平面CPB与平面DPB的夹角的余弦值.19.已知函数()()321,fxaxbxab=++R在1x=

处取得极值0.（1）求,ab；（2）若过点()1,m存在三条直线与曲线()yfx=相切，求买数m的取值范围.20.ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知sinsin2ACabA+=．（1）求B；（2）若ABC为锐角三角形，且1c=，求ABC面积的取

值范围．21.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的一个焦点与抛物线24yx=的焦点重合，且双曲线的离心率为5.(1)求双曲线的方程；(2)若有两个半径相同的圆12,CC，它们的圆心都在x轴上方且分别在双曲线C的两条渐近线上，过双曲线右焦点且斜率为1−的直线l与圆12,C

C都相切，求两圆圆心连线的斜率的范围．22.某企业对生产设备进行优化升级，升级后设备控制系统由()*21kk−N个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为p（0<p<1），各元件之间相互独立.当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止

运行，记设备正常运行的概率为kp（例如：2p表示控制系统由3个元件组成的时设备正常运行的概率；3p表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）.（1）若23p=，当k=2时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望，并求2p

；（2）已知设备升级前，单位时间产量为a件，每件产品的利润为4元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的2倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为14，每件高端产品的利润是8元.记设备升级后单位时间内的利润为Y（单位：元）.（i）请用kp表示E（Y）

；（ii）设备升级后，若将该设备控制系统增加2个相同的元件，请分析是否能够提高E（Y）.的的数学全卷满分150分，时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2.作答单项及多项选择题时，选出每

个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、单项选择题：本题共8小题，每小

题满分5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。1.已知集合|13Axx=，()|ln2Bxyx==−，则AB=（）A.)1,2B.()1,2C.()1,3D.(1,3【答案】A【解析】【分析】先求集合B中的x的取值范围，

再根据交集运算求解即可【详解】()|ln2Bxyx==−，2Bxx=，则AB=)1,2故选：A【点睛】本题考查集合交集运算，属于基础题2.复数z满足i2iz=+，其中i为虚数单位，则z=（）A.

1B.3C.2D.5【答案】D【解析】【分析】由复数的运算与模的概念求解．【详解】由题意得2i12iiz+==−，145z=+=，故选：D3.已知向量()3,1a=−，(),2bm=．若ab∥，则m=（）A.6B.6−C.32−D.23【答案】B【解析】的【分析】根据向量共线的坐标运算即可求

解.【详解】由向量()3,1a=−，(),2bm=，且ab∥，则320m−−=，解得6m=−．故选：B4.已知3211tan15ln,,221tan15abc−===−，则a，b，c的大小关系是（）A.abcB.cba

C.bcaD.acb【答案】C【解析】【分析】分别化简,,abc即可明显比较出三者大小关系.【详解】因为1lnln202a==−，3182b−==，2tan1513tan3011tan1526c===−所以bca.故选：C.5

.在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为：29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的第75百分位数为（）A.37.5B.38C.39D.40【答案】C【解析】【分析】由百分位数的概念求解．【详

解】数据按从小到大排序为25,29,30,32,37,38,40,52，而875%6=，故第75百分位数3840392+=，故选：C6.金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存．已知金针菇失去的新鲜度h与

其采摘后时间t（天）满足的函数解析式为()lnhmta=+，()0a．若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%，采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%．那么若不及时处理，采摘下来的金针菇在多长时间后开始失去全部新鲜度（已知21.414，结果取一位小数）（）A.4.0天B.4.3天C.4.7天

D.5.1天为【答案】C【解析】【分析】由已知条件两式相除求出a，设t天后开始失去全部新鲜度，则ln(1)1mt+=，再与已知一式相除可求得t．【详解】由已知ln(1)0.4ln(3)0.8mama+=+=，相除得ln(3)2l

n(1)aa+=+，ln(3)2ln(1)aa+=+，2(1)3aa+=+，因为0a，故解得1a=，设t天后开始失去全部新鲜度，则ln(1)1mt+=，又ln(11)0.4m+=，所以ln(1)1ln20.4t+=，2ln(1)5ln

2ln32t+==，2(1)32t+=，1324241.4145.656t+====，4.6564.7t=．故选：C．7.已知1F，2F分别是椭圆C：()222210,0xyabab+=的左、右焦点，点P在椭圆上，且在第一象限，过2F作12FPF的外角平分线的垂线，

垂足为A，O为坐标原点，若3OAb=，则该椭圆的离心率为（）A.223B.63C.33D.23【答案】B【解析】【分析】由椭圆的定义与几何性质得边长关系，再由离心率的概念求解．【详解】设1FP与2FA交于点Q，由题意2PAFA⊥，PA平分2FPQ，则2|||

|PQPF=，A是2FQ中点，11||||||2QFPFPQa=+=，而O是12FF中点，故OA是12FFQ△的中位线，1||2||QFOA=，则223ab=，3ab=，222223caba=−=，63cea==，故选：B8.已知函数()||12xfxe=

−，()()11,021ln,0xxgxxxx+=−若关于x的方程()()0gfxm−=有四个不同的解，则实数m的取值集合为（）A.ln20,2B.ln2,12C.ln22D.()0,1【答案】A【解析】【分析】设()tf

x=，根据()fx的解析式，可得()fx的单调性、奇偶性，即可作出()fx的图象，即可求得t的最小值，利用导数判断()gx的单调性，结合t的范围，作出()gt的图象，数形结合，可得ln20,2m时，1(),2ygtt=的图象与ym=图象有2个

交点，此时1yt=与2yt=分别与()yfx=有2个交点，即即()()0gfxm−=有四个不同的解，满足题意，即可得答案.【详解】设()tfx=，则()0gtm−=有四个不同的解，因为||||11()2()2xxfexefx−−=−−==，所以()tfx=为偶函数，且当0x时

，1()2xfxe=−为增函数，所以当0x时，()tfx=为减函数，所以0min11(0)22tfe==−=，即12t，当0x时，()()1lngxxx=−，则()11()ln1ln1gxxxxxx=+−=−+，令()0gx=，解得1x=，所以当(0,1)x时，()

0gx，()gx为减函数，当(1,)x+时，()0gx，()gx为增函数，又111ln2ln2222g=−=，作出0x时()gx的图象，如图所示：所以当ln20,2m时，1(),2y

gtt=的图象与ym=图象有2个交点，且设为12,tt，作出()tfx=图象，如下图所示：此时1yt=与2yt=分别与()yfx=有2个交点，即()()0gfxm−=有四个不同的解，满足题意.综上实数m的取值范围为ln20,2.故选：A【点睛】解题的关键是根据解析式，利

用函数的性质，作出图象，将方程求根问题，转化为图象求交点个数问题，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部

分选对得2分，有选错的得0分.9.已知数列na的前n项和为211nSnn=−，则下列说法正确的是（）A.na是递增数列B.28a=C.数列nS的最大项为5S和6SD.满足0nS的最大的正整数n为10【答案】BCD【解析】【分析】由na与n

S关系求通项判断AB，由二次函数性质判断CD．【详解】由211nSnn=−得当1n=时，110a=，当2n时，2211111(1)(1)212nnnaSSnnnnn−=−=−−−+−=−+，1n=时也满足，故212nan=−+，28a=，A错误，B正确，由二次函

数211yxx=−的对称轴为112，故当5n=或6n=时nS最大，故C正确，满足0nS得，011n，最大正整数n为10，故D正确，故选：BCD10.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12OO，在轴截面ABCD中，2cmABADBC===，且2CDA

B=，则（）A.该圆台的高为1cmB.该圆台轴截面面积为233cmC.该圆台的侧面积为26cmD.该圆台的体积为373cm3【答案】BCD【解析】【分析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断B选项；由台体的侧面积公式可判断C选项；由圆台的体积

公式即可判断D选项.的【详解】如图，作BECD⊥交CD于E，易得12CDABCE−==，则22213BE=-=，则圆台的高为3cm，A错误；圆台的轴截面面积为()2133c4m232+=，B正确；圆台的侧面积为()π1226πS=+=侧，故C正确；圆台的体积为()3173cm

33443++=，D正确.故选：BCD11.某校高二年级在一次研学活动中，从甲地的3处景点、乙地的4处景点中随机选择一处开始参观，要求所有景点全部参观且不重复.记“第k站参观甲地的景点”为事件

kA，1k=，2，…，7，则（）A.()637PA=B.()2113PAA=∣C.()1227PAA+=D.()231249PAA=【答案】AB【解析】【分析】根据古典概型的概率公式可判断A,C选项，继而根据条件概率的计

算公式可判断B选项，结合对立事件判断D选项.【详解】由题意可得1636677CA3(),A7PA==A正确；1636177CA3(),A7PA==25352177AA1(),A7PAA==()()()21

211117337PAAPAAPA===∣，故B正确；由于()()()()12121235317777PAAPAPAPAA+=+−=+−=，C错误；()1153452377CCA122A427PAA===,所以D错误.故选：AB.12.已知函数()()()sin0fxx=+

在ππ,36−上单调，π4ππ633fff==−−，则的可能取值为（）A.127B.95C.67D.35【答案】ABD【解析】【分析】由三角函数的性质判断

周期后求解．【详解】()fx在ππ,36−上单调，则ππ(),π263TT−−，而π4ππ633fff==−−，有以下情况，①4ππ7π,Z366kTk−==，而

πT，则1k=，7π6T=，2π127T==，②4ππ5π(),Z3332TkTk−−==+，而πT，则1k=，10π9T=，2π95T==，或0k=，10π3T=，2π35T==，综上，的可能取值为127，95，35，故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，

共20分。13.在52+xx的展开式中，3x的系数是___________.【答案】10【解析】【分析】由二项式定理求解．【详解】52+xx的展开通项为5521552C()C2rrrrrrrTxxx−−+==，当1r=时，3x的系数为10，故答

案为：1014.已知抛物线2:4Cyx=的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，若AFBF=，则AB=______.【答案】4【解析】【分析】抛物线的定义结合题意得到ABF△为等边三角形，设准线l与x轴交于点H，2ABFH=，即可得出答案.【详解】由抛物线的定义可知

AFBFAB==，ABF△为等边三角形，设准线l与x轴交于点H，则2FH=，24ABFH==.故答案为：4.15.已知点()2,1,3A−，若()1,0,0B，()122C,,两点在直线l上，则点A到直线l的距离为______.【答案】3【解析】【分析】先求与BC方向相同的单位向量u，然后

由公式22()dABABu=−可得.【详解】依题意，(113,,)AB=−−而(02),2,BC=，故与BC方向相同的单位向量为11022,,u=，则所求距离22()1123dABABu==−−=.故答案为:316.已知正四面体ABCD的棱长为2，P为

AC的中点，E为AB中点，M是DP的动点，N是平面ECD内的动点，则||||AMMN+的最小值是_____________.【答案】3336+【解析】【分析】取CE中点O，先由OP⊥面CDE得N在线段DO上，再把PDO△沿PD翻折到平面APD上，得到||||AMM

N+最小值即A到OD的距离，再借助三角函数的知识求出最小值即可.【详解】取CE中点O，连接,DOOP，由正四面体可知,DEABCEAB⊥⊥，又DECEE=，AB⊥面CDE，又OPAB∥，OP⊥面CDE，当||||AMMN+最小时，MN⊥面CDE，故N在线段DO上.由OP⊥面CDE可得OPOD

⊥，又111242OPAEAB===，22213DP=−=，111342OD=−=，将PDO△沿PD翻折到平面APD上，如图所示：的易知30ADP=，111sin,cos,2323OPODODPODPDPDP====则()33

3sinsin30sincos30cossin3012ODAODPODPODP+=+=+=，故||||AMMN+的最小值即A到OD的距离，即333333sin2126ADADO++==.故答案为：3336+.四、解答题：本题共6小题，共

70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知na为等差数列，nb是公比为正数的等比数列，112ab==，2121ab=−，3222ba=+.（1）求数列na和nb的通项公式；（2）设数列nc满足21lognnncab=

，记nc的前n项和为nS，求2023S.【答案】（1）1,2nnnanb=+=（2）20232024【解析】【分析】（1）由等差数列与等比数列的通项公式列方程组求解，（2）由裂项相消法求解．【小问1详解】设na的公差为d，nb的公比为()0

qq，由题得2222122(2)2dqd+=−=++，解得12dq==，则1,2nnnanb=+=.【小问2详解】21111log(1)1nnncabnnnn===−++，202311111202312232023

20242024S=−+−++−=.18.如图，已知平行六面体1111ABCDABCD−中，所有棱长均为2，底面ABCD是正方形，侧面11ADDA是矩形，点P为11DC的中点，且PDPC=.（1）求证：1DD⊥平面ABCD；（2）求平面CPB与平面DPB的夹角的余弦值.【答案】（1）

证明详见解析（2）55【解析】【分析】（1）通过证明11,DDADDDCD⊥⊥来证得1DD⊥平面ABCD；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面CPB与平面DPB夹角的余弦值.【小问1详解】设Q是CD的中点，连接PQ，由于P是11CD的中点，所以1/

/DDPQ，由于PDPC=，所以PQCD⊥，所以1DDCD⊥，由于四边形11ADDA是矩形，所以1DDAD⊥，由于,,CDADDCDAD=平面ABCD，所以1DD⊥平面ABCD.【小问2详解】由于四

边形ABCD是正方形，结合（1）的结论可知1,,ADCDDD两两相互垂直，以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，()()()()0,0,0,0,1,2,2,2,0,0,2,0DPBC，()()()()0,1,2,2,2,0,2,

0,0,0,1,2DPDBCBCP====−，设平面DPB的法向量为(),,mxyz=，则20220mDPyzmDBxy=+==+=，故可设()2,2,1m=−.设平面CPB的法向量为(),,nabc=，则20

20nCBanCPbc===−+=，故可设()0,2,1n=.设平面CPB与平面DPB的夹角为，则35cos535mnmn===.19.已知函数()()321,fxaxbxab=++R在1x=处取得极值0.（1）求,ab；（2）若过点()1,m存在三

条直线与曲线()yfx=相切，求买数m的取值范围.【答案】（1）2,3ab==−（2）1,04−【解析】【分析】（1）根据题意可得()()10,10ff==，即可得解；（2）切点坐标为()

32000,231xxx−+，根据导数的几何意义可得切线方程为()()()3220000023166yxxxxxx−−+=−−，从而可得320004961mxxx=−+−+，再根据过点()1,m存在3条直线与曲线

()yfx=相切，等价于关于x的方程324961mxxx=−+−+有三个不同的根，利用导数求出函数324961yxxx=−+−+的单调区间及极值，即可得解.【小问1详解】由题意知()232fxaxbx=+，因为函数()

()321,fxaxbxab=++R在1x=处取得极值0，所以()()1320,110fabfab=+==++=，解得2,3ab==−，经检验，符合题意，所以2,3ab==−；【小问2详解】由（1）可知，函数()32231fxxx=−+，所以()266fxxx=−，设切点坐标为

()32000,231xxx−+，所以切线方程为()()()3220000023166yxxxxxx−−+=−−，因为切线过点()1,m，所以()()()32200000231661mxxxxx−−+=−−，即320004961mxxx=−+−+，令()324961hxxxx=−+

−+，则()()()2121866211hxxxxx=−+−=−−−，令()0hx=，解得12x=，或1x=，当x变化时，()(),hxhx的变化情况如下表所示，x1,2−121,121()

1,+()hx-0+0-()hx单调递减14−单调递增0单调递减因此，当12x=时，()hx有极小值1124h=−，当1x=时，()hx有极大值()10h=，过点()1,m存在3条直线与曲线()yfx=相切，

等价于关于x的方程324961mxxx=−+−+有三个不同的根，则104m−，所以实数m的取值范围是1,04−.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函

数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0fx

=分离变量得出()agx=，将问题等价转化为直线ya=与函数()ygx=的图象的交点问题.20.ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知sinsin2ACabA+=．（1）求B；（2）若ABC为锐角三角形，且1c=，求AB

C面积的取值范围．【答案】(1)3B=;(2)33(,)82.【解析】【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得3B=.(2)根据三角形面积公式1sin2ABCSacB=，又根据正弦定理和1c=得到ABCS

关于C的函数，由于ABC是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2来计算C的定义域，最后求解()ABCSC的值域.【详解】(1)[方法一]【最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度】由三角形的内角和定理得222ACB+=−

，此时sinsin2ACabA+=就变为sinsin22BabA−=．由诱导公式得sincos222BB−=，所以cossin2BabA=．在ABC中，由正弦定理知2sin,2sinaRAbRB==，此时就有s

incossinsin2BAAB=，即cossin2BB=，再由二倍角的正弦公式得cos2sincos222BBB=，解得3B=．[方法二]【利用正弦定理解方程求得cosB的值可得B的值】由解法1得sinsin2ACB+=，两边平方得22sinsin2ACB+=，即21cos()sin2A

CB−+=．又180ABC++=，即cos()cosACB+=−，所以21cos2sinBB+=，进一步整理得22coscos10BB+−=，解得1cos2B=，因此3B=．[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为求得,,ABC的

比例关系】根据题意sinsin2ACabA+=，由正弦定理得sinsinsinsin2ACABA+=，因为0A，故sin0A，消去sinA得sinsin2ACB+=．0B，02AC+，因为故2ACB+=或者2ACB+

+=，而根据题意ABC++=，故2ACB++=不成立，所以2ACB+=，又因为ABC++=，代入得3B=，所以3B=.(2)[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C的范围，然后由面积函数求面积的取值

范围】因为ABC是锐角三角形，又3B=，所以,6262AC，则1sin2ABCSacB==V22sin13sin33sin24sin4sinCaAcBcCC−==

=22sincoscossin333334sin8tan8CCCC−=+．因为,62C，所以3tan,3C+，则1(0,3)tanC，从而33,82ABCS，故ABC面积的取值范

围是33,82．[方法二]【由题意求得边a的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】由题设及（1）知ABC的面积34ABCSa=△．因为ABC为锐角三角形，且1,3cB==，所以22221c

os0,21cos0,2baAbbaCab+−=+−=即22221010.baba+−+−，又由余弦定理得221baa=+−，所以220,20,aaa−−即122a，所以3382ABCS，故ABC面积的取值范围是33,82．[方法三]

【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】如图，在ABC中，过点A作1ACBC⊥，垂足为1C，作2ACAB⊥与BC交于点2C．由题设及（1）知ABC的面积34ABCSa=△，因为ABC为锐角

三角形，且1,3cB==，所以点C位于在线段12CC上且不含端点，从而coscosccBaB，即1cos3cos3a，即122a，所以3382ABCS，故ABC面积的取值范围是33,82．【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形

内角和相结合是常用的方法；方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值；方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小.(2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的

做法；方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围；方法三：极限思想和数形结合体现了思维灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用.21.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=

的一个焦点与抛物线24yx=的焦点重合，且双曲线的离心率为5.(1)求双曲线的方程；(2)若有两个半径相同的圆12,CC，它们的圆心都在x轴上方且分别在双曲线C的两条渐近线上，过双曲线右焦点且斜率为1−的直线l与圆12,C

C都相切，求两圆圆心连线的斜率的范围．【答案】（1）225514xy−=；（2）()2,2−.【解析】【分析】（1）由抛物线24yx=得焦点(1,0)，得双曲线的1c=．再利用离心率计算公式5cea==，及222+

=abc，即可解得a，b；（2）利用点斜式得直线l的方程为10xy+−=．由（1）可得双曲线的渐近线方程为2yx=．进而可设圆()()2221:2Cxtytr−+−=，圆()()2222:2Cxnynr−++=，其中0t

，0n．因为直线l与圆1C，2C都相切，利用点到直线的距离公式可得|21||21|22ttnn+−−−=，经过化简可得n与t的关系，再利的用斜率计算公式即可得出22tnktn+=−，把n与t的关系代入即可得出k的取值方

法．【详解】解：（1）由抛物线24yx=得焦点(1,0)，得双曲线的1c=．又5cea==，222+=abc，解得215a=，245b=．双曲线的方程为225514xy−=．（2）直线l的方程为10xy+−=．由（1）可得双曲线的渐近线

方程为2yx=．由已知可设圆()()2221:2Cxtytr−+−=，圆()()2222:2Cxnynr−++=，其中0t，0n．因为直线l与圆1C，2C都相切，所以|21||21|22ttnn+−−−=，得直线l与2121ttnn+−=−−，或2121ttnn+−=−

++，即3nt=−，或32nt=−，当131tn==−时，|21||21|022ttnn+−−−==，不合题意；设两圆1C，2C圆心连线斜率为k，则22tnktn+=−，当3nt=−时，261143ttktt−==−；当13

23ntt=−时，22422411tntktntt+−===−+−−+−+，0t，0n，1120,,333t，故可得2<<2k−且1k−；综上：两圆1C，2C圆心连线斜率的范围为(2,2)−．22.某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控

制系统由()*21kk−N个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为p（0<p<1），各元件之间相互独立.当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为kp（例如：2p表示控制系统由3

个元件组成时设备正常运行的概率；3p表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）.（1）若23p=，当k=2时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望，并求2p；（2）已知设备升级前，单位时间的产量为a件，每件

产品的利润为4元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的2倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为14，每件高端产品的利润是8元.记设备升级后单位时间内的利润为Y（单位：元）.（i）请用kp表示E（Y）；（ii）设备升级后，若将该设备的控制系统增加2个相同的元件，请

分析是否能够提高E（Y）.【答案】（1）分布列见解析，数学期望为2，22027P=.（2）（i）()10kEYap=；（ii）当112p时，()EY提高；当102p时，()EY没有提高【解析】【分析】

（1）结合二项分布的知识求得分布列、数学期望，从而求得2p.（2）（i）求得Y的分布列，从而求得()EY.（ii）通过差比较法，对p进行分类讨论，来分析能否提高()EY.【小问1详解】因为2k=，所以控制系统中正常工作的元件个数X的可能取值为0,1,2,3，因为

每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为23p=，所以23,3XB.所以()030321103327PXC===，()12132121339PXC===，()21232142339PXC

===，()303321833327PXC===，所以控制系统中正常工作的元件个数X的分布列为：X0123P1272949827控制系统中正常工作的元件个数X的数学期望为()2323EX==.()()248202392727pPXP

X==+==+=.【小问2详解】（i）设备升级后，在正常运行状态下，单位时间内的利润为3841022aaa+=，所以Y的分布列为：Y10a0设备运行概率kp1kp−所以()()100110kkkEYa

ppap=+−=.（ii）若控制系统增加2个元件，则至少要有1k+个元件正常工作，设备才能正常工作，设原系统中正常工作的元件个数为，第一类：原系统中至少有1k+个元件正常工作，其概率为()()12111kkkkkPkpCpp−−+=−

−；第二类：原系统中恰好有k个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，其概率为()()()()()1211212111112kkkkkkkkPkCpppCppp−−+−−==−−−=−−；第三类：原系

统中恰好有1k−个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，其概率为()()()112112121111kkkkkkkkPkCpppCpp−−−+−−=−=−=−.所以()()()()1111112121211121kkkkkkkkkkkkkkppCppCpppCpp−−+−++−−−

=−−+−−+−()()21121kkkkkpCppp−=+−−.所以()()121121kkkkkkppCppp+−−=−−，所以当112p时，10kkpp+−，kp单调递增，即增加2个

相同元件，设备正常工作的概率变大；当102p时，10kkpp+−，即增加2个相同元件，设备正常工作的概率没有变大.因为()10kEYap=，所以当112p时，()EY提高；当102p时，()EY没有提高.获得更多

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