【文档说明】考点44 双曲线（解析版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）.docx，共(29)页，1.167 MB，由管理员店铺上传

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考点44双曲线一．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．二.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝

1(a＞0，b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.三．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝

1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≤－a或x≥a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：x轴，y轴对称中心：(0,0)对称轴：x轴，y轴对称中心：(0,0)顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(

0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c>a>

0，c>b>0)知识理解四．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程．例：由Ax＋By＋C＝0，Fx，y

＝0消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则：Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与

圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．考向一双曲线的定义【例1-1】（2021·浙

江省德清县第三中学）已知双曲线22:14xGy−=的左､右焦点分别为1F､2F，若点P在G的右支上，且21PF=，则1PF=（）A．3B．5C．251−D．251+【答案】B【解析】由题可知：双曲线方程为2214xy−=，所以2a=又212PFPFa−=，所以1245PFPF=+=故选

：B【例1-2】．（2020·河北张家口市）已知12(6,0),(6,0)FF−，动点P满足21|PFPFa−=∣，当a分别为4和12时，点P的轨迹分别为（）A．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条射线D．双曲线的一支和一条直线【答案】C考向分析【解

析】由题意，得1212FF=当4a=时，21124PFPFaFF−==，可知点P的轨迹为双曲线左支；当12a=时，211212PFPFaFF−===，可知点P的轨迹为以1F为端点的一条射线.故选：C【例1-3】．（2021·全国课时练习）已知F1，F2分别为双曲线C：221xy−

=的左､右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|·|PF2|等于________.【答案】4【解析】由双曲线方程知：12||222FFc==，在△PF1F2中，由余弦定理知：2222121212121212||||||2||||cos(||||)||||FFPFPFPFP

FFPFPFPFPFPF=+−=−+，∴21212||||8(||||)PFPFPFPF=−−，而12||||||2PFPF−=，∴12||||4PFPF=.故答案为：4.【举一反三】1．（2021·上海普陀区）设P是双曲线221169xy−=上的点

，若1F，2F是双曲线的两个焦点，则12PFPF−=（）A．4B．5C．8D．10【答案】C【解析】由双曲线221169xy−=可得4a=根据双曲线的定义可得：2128PFFaP−==故选：C【方法总结】双曲线定义(1)根据

动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．2．（2021·上海市）已知两点()3,0M−和()3,0N，

动点P满足6PMPN−=，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．一条射线D．双曲线的右支【答案】C【解析】由两点()3,0M−和()3,0N，动点P满足6PMPNMN−==，所以动点P的轨迹是一条射线.故选：C3．（2021·浙江省宁海中学高三月考）在平面直角坐标系中，()12,0F−

，()22,0F，12PFPFa−=(aR)，若点P的轨迹为双曲线，则a的取值范围是（）A．()0,4B．(0,4C．()4,+D．()()0,44,+【答案】A【解析】12PFPFa−=，由点P的轨迹为双曲线，根据双曲线的定义.则12124PFPFFF

=−，所以04a故选:A4．（2021·全国高三专题练习）已知1F、2F为双曲线22:13xCy−=的左、右焦点，点P在C上，1260FPF=，则12PFF△的面积为____________【答案】3【解析】双曲线22:13xCy−=，则223,1ab==，所以2224cab=

+=，利用双曲线定义知，12223PFPFa−==，两边平方得221212||||122||||PFPFPFPF+=+，且12||24FFc==，1260FPF=由余弦定理22212212121212||||||122||||161cos2||||2||||2PFPFF

FPFPFFPFPFPFPFPF+−+−===，解得：12||||4PFPF=，则1212113||||sin6043222PFFSPFPF===oV.故答案为：3考向二双曲线的标准方程【例2-1】（2021·福建龙岩市）“11m−”是“方程22112xymm

+=+−表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若方程22112xymm+=+−表示双曲线，则(1)(2)0mm+−，得12m−，则11m−能推出12m−，12m−不能推出1

1m−，“11m−”是“方程22112xymm+=+−表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A．【例2-2】．（2021·全国课时练习）过点(1,1)，且2ba=的双曲线的标准方程是（）A．22112xy−=B．22112yx−

=C．22112yx−=D．22112xy−=或22112yx−=【答案】D【解析】由2ba=，知：222ba=.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为222212xyaa−=，将点(1,1)代入可得212a=，则双曲线方程为

22112xy−=.同理，焦点在y轴上时，双曲线方程为22112yx−=.故选：D【举一反三】1．（2021·海原县第一中学）根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）焦点在x轴上，2a=离心率52e=，求双曲线的标准方程；（2）11ac+=，3ca−=，焦点在y轴上，求双曲线的标准方程

．【答案】（1）224121xy−=；（2）2211633yx−=.【解析】（1）由题意可得252acea===，5c=，2221bca=−=，因为双曲线的焦点在x轴上，因此，双曲线的标准方程为2

24121xy−=；（2）由已知条件可得113acca+=−=，解得74ca==，2233bca=−=，因为双曲线的焦点在y轴上，因此，双曲线的标准方程为2211633yx−=2．（2021·浙江）已知曲线22:

1()12xyEmmm−=−−R，（）A．若E表示双曲线，则2mB．若12m，则E表示双曲线C．若E表示椭圆，则2mD．若12m且32m，则E表示椭圆【答案】D【解析】因为曲线22:1()12xyEmmm−=−−R，当()()120mm−−解得2m或1

m时曲线表示双曲线；当102012mmmm−−−−即12m且32m时曲线表示椭圆；故选：D3．（2021·江苏南通市）命题:p“34m”是命题:q“曲线22135xymm−=−−表示双曲线”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也

不必要条件【答案】C【解析】命题:q“曲线22135xymm−=−−表示双曲线”，则()()350mm−−，即()()350mm−−，解得35m由于命题p能推出命题q，命题q不能推出命题p则命题p

是命题q的充分不必要条件故选：C考向三直线与曲线的位置关系【例3】（2021·全国课时练习）若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，求实数k的取值范围．【答案】22k−【解析】4x2－y2＝16渐近线方程为2yx=，因为直线y＝kx与双曲线4x2－y2

＝16相交，所以k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由0可得()241640k−，解得22k−.【举一反三】1．（2021·徐汇区·上海中学）已知直线()1ykxk=+R与双曲线22

31xy−=，则k为何值时，直线与双曲线有一个公共点？【答案】3k=或6k=．【解析】由22311xyykx−==+得()223220kxkx−−−=，因为直线与双曲线有一个公共点，所以230k−=或()(

)()2223024320kkk−=−−−−=，解得3k=或6k=．2．（2021·江苏南通市）直线34ykxk=−+与双曲线221169xy−=有且只有一个公共点，则k的取值有（）个A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】联立22341169ykxkx

y=−+−=，消去y并整理得()()()2221693243164390kxkkxk−+−+−+=，由于直线34ykxk=−+与双曲线221169xy−=有且只有一个公共点，所以，2169

0k−=或()()()222216903243641694390kkkkk−=−−−−+=，解得34k=或2724250kk+−=，对于方程2724250kk+−=，判别式为22447250=+，方程272

4250kk+−=有两个不等的实数解.显然34k=不满足方程2724250kk+−=.综上所述，k的取值有4个.故选：D.3．（2021·陕西宝鸡市）如果直线1ykx=−与双曲线224xy−=只有一个交点，则符合条件的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】D【解析】由2214ykx

xy=−−=，得22(1)250kxkx−+−=，若210k−=，即1k=，1k=时，52x=，方程组只有一解；1k=−时，52x=−，方程组只有一解；210k−时，22420(1)0kk=+−=，52k=

，此时方程组也只有一解．方程组只有一解，即直线与双曲线只有一个交点．因此这样的直线有4条．故选：D．考向四弦长【例4】（2020·全国高三专题练习）直线x＋y＝1与双曲线4x2－y2＝1相交所得弦长为（）A．143B．2143C．273

D．7【答案】B【解析】将直线1xy+＝代入2241xy−＝得23220xx+−=.设两交点()()1122,,,AxyBxy，则12122233xxxx+−=−＝，，()2212121221412?43ABkxxxxxx=+−=+−=.故选:B．【举一反三】

1．（2020·辽宁朝阳市·高三月考）直线0xy−=与双曲线2222xy−=有两个交点为A，B，则AB=（）A．2B．22C．4D．42【答案】C【解析】由22220xyxy−=−=，得1122xy==，2222xy=−=−，∴()()2222224AB=+=.故选：C

．2．（2021·全国高三专题练习）过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：22x－y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝（）A．22B．23C．33D．43【答案】D【解析】解法一：

由题意可知，直线AB的斜率存在．设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－4)＋2.由22(4)2,12ykxxy=−+−=消去y并整理，得(1－2k2)x2＋8k(2k－1)x－32k2＋32k－10＝

0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝－28(21)12kkk−−＝8，解得k＝1.所以x1x2＝2232321012kkk−+−−＝10.所以|AB|＝21k+

·21212()4xxxx+−＝43.故选:D.解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则221112xy−=，①222212xy−=.②①－②得12(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋

x2＝8，y1＋y2＝4.所以4(x1－x2)－4(y1－y2)＝0，即x1－x2＝y1－y2，所以直线AB的斜率k＝1212yyxx−−＝1.则直线AB的方程为y＝x－2.由222,12yxxy=−−=消去y并整理，得x2－8x＋10＝0，所以x1＋x2＝8，x1x2＝

10.所以|AB|＝21k+·21212()4xxxx+−＝43.故选：D考向五离心率与渐近线【例3】（2021·浙江湖州市）双曲线2214yx−=的离心率是_______，渐近线方程是_______．（两条都写出）【答案】52yx=【解析】由题

可知1a=，2b=，故5c=551e==渐近线方程为：byxa=即2yx=.故答案为：5；2yx=【举一反三】1．（2021·浙江杭州市·学军中学）双曲线22143xy−=的渐近线方程是___________；离心率为___________.【答案】32

yx=72【解析】由双曲线方程得：2,3ab==，则22437cab=+=+=因此渐近线方程是32yx=；离心率为72ca=故答案为：32yx=；722．（2021·湖北高三一模）已知12,FF分别是双曲线C的左､右焦点，若双曲线C上存在一点M满足1212

::12:13:5MFMFFF=，则该双曲线的离心率为___________.【答案】5【解析】设121212,13,5MFkMFkFFk===双曲线的离心率122125521312FFckeaMFMFkk====−−.故答案为：53．（202

0·河北张家口市）已知椭圆221259xy+=和双曲线22221(0,0)xyabab−=有共同焦点12,,FFP是它们的一个交点，且123FPF=，则双曲线的离心率为_____________.【答案】41313【解析】椭圆的长半轴长为5，双曲线的半实轴长为a，根

据椭圆及双曲线的定义：121210,2PFPFPFPFa+=−=，所以125,5PFaPFa=+=−，12128,3FFFPF==，由余弦定理可得，2264(5)(5)2(5)(5)cos3aaaa=++−−+−，整理得213a=，44131313cea===.故答案为：4

1313.1．（2021·甘肃高三一模（文））设1F，2F是双曲线()222106xyaa−=的左、右焦点，一条渐近线方程为62yx=，P为双曲线上一点，且213PFPF=，则12PFF△的面积等于（）A．6B．

12C．610D．310【答案】A强化练习【解析】由双曲线方程知其渐近线方程为：6yxa=，又一条渐近线方程为62yx=，2a=，由双曲线定义知：122223224PFPFPFPFPFa−=−===，解得：22PF=，16PF=，又21226210F

Fa=+=，2221212PFPFFF+=，12PFPF⊥，12121162622PFFSPFPF===.故选：A.2．（2021·甘肃兰州市·高三其他模拟（文））点P为双曲线2221(0)9xyaa−=右支

上一点，12FF、分别是双曲线的左、右焦点，若127,3PFPF==，则双曲线的一条渐进方程是（）A．230xy+=B．490xy+=C．320xy−=D．940−=xy【答案】C【解析】由题意，点P为双曲线右支上一点，12FF、分别是双曲线的左、右

焦点，因为127,3PFPF==，由双曲线的定义，可得1224aPFPF=−=，解得2a=，所以双曲线的一条渐进方程是32byxxa==，即320xy=.所以双曲线的一条渐进方程是320xy−=.故选：C.3．（2021·云南高三其他模拟（理））设双曲线C：()22221024xyaa

a−=的左､右焦点分别为1F，2F，若P为C右支上的一点，且12PFPF⊥，则21tanPFF=（）A．43B．74C．2D．125【答案】A【解析】易知2225ca=，则5ca=，12210FFca==.因为P为C右支上的一点，所以122

PFPFa−=.因为12PFPF⊥，所以2221212PFPFFF+=，则()222222100PFaPFa++=，解得26PFa=，所以18PFa=，故12124tan3PFPFFPF==.故选：A4．（2021·江西赣州市·高三期末（理））已

知双曲线22212xyaa−=−的离心率为2，则实数a的值为（）A．1B．C．2−D．1或2−【答案】D【解析】当焦点在x轴时，2020aa−，即02a22222,2,20,1,2aacaaeaaaaa+−=+−==+−===−（

舍）当焦点在y轴上时，2020aa−，即2a−22222,22aacaaea−+−=−+−==−，220,1aaa+−==（舍），2a=−故选：D5．（2021·定远县育才学校）已知方程22121xykk+=−−的图像是双曲线，那么k的取值范围是（）A．1kB．2

kC．1k或2kD．12k【答案】C【解析】因为方程22121xykk+=−−的图像是双曲线，所以(2)(1)0kk−−，解得1k或2k，故选：C6．（2021·陕西省黄陵县中学）若方程22126xymm+=−−表示双曲线，则

m的取值范围是（）A．2m或6mB．26mC．6m−或2m−D．62m−−【答案】A【解析】由题意(2)(6)0mm−−，解得2m或6m．故选：A．7．（2021·全国单元测试）焦距为10，且43ba=的双曲线的标准方程为

（）A．221916xy−=B．221916yx−=C．2219100xy−=D．221916xy−=或221916yx−=【答案】D【解析】由题意知2c＝10，c＝5，又43ba=，c2＝b2＋a2，∴a2＝9

，b2＝16，∴所求双曲线的标准方程为221916xy−=或221916yx−=．故选：D．8．（2021·江西上）已知椭圆2211612xy+=的长轴端点和焦点分别是双曲线C的焦点和顶点，则双曲线C的方程为（）A．22179

xy−=B．22197yx−=C．221412xy−=D．221124yx−=【答案】C【解析】由椭圆2211612xy+=可得14a=，123b=，所以22211116124cab=−=−=，可得12c=，所以椭圆的长轴端点为()4,0

，焦点为()2,0所以双曲线的焦点为()4,0，顶点为()2,0设双曲线方程为22221xyab−=，可得24a=，216c=，所以22216412bca=−=−=，所以双曲线C的方程为221412xy−=，

故选：C.9．（2021·安徽）已知双曲线C：2214xym−=经过点()2,2，则C的渐近线方程为（）A．2yx=B．12yx=C．2yx=D．22yx=【答案】C【解析】依题意可得222214m−=，解得2m=，所以双曲

线C：22124xy−=，所以2,2ab==，则C的渐近线方程为2byxxa==.故选：C．10．（2021·安徽淮南市）已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为3yx=，则双曲线的标准方程是（）A．2213xy−=B．2213yx−=C．2213y

x−=D．2213xy−=【答案】B【解析】设双曲线的标准方程为()222210,0yxabab−=，22cab=+，由已知条件可得2223cabab=+==，解得31ab==，因此，该双曲线的标准方程为2213yx−=.故选：B11．（2021·宁夏银川

市·银川一中）已知两定点12(5,0),(5,0)FF−，曲线上的点P到12,FF的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为（）A．221916xy−=B．221169xy−=C．2212536xy−=D．2213625xy−=【答案】A【解析】126PFPF−=，

该曲线是以12,FF为焦点的双曲线，5c=，26a=，即3a=，22216bca=−=，则该曲线的方程为221916xy−=.故选：A.12．（2021·全国高三月考（理））已知双曲线22221xyab−=的一

个顶点坐标为(3,0)−，且该双曲线的离心率是103，则b=（）A．1B．2C．D．2【答案】C【解析】据题意，得()2222301ab−−=所以3a=.又该双曲线的离心率等于103，所以103103cae===，所以2

21091bca=−=−=．故选：C．13．（2021·全国高三月考（文））若双曲线22221xyab−=的离心率等于103，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3yx=B．12yx=C．13yx=D．2yx=【答案】C【解析】据题意，得2222103aba+

=，所以219ba=，所以所求双曲线渐近线的方程为13yx=故选：C.14．（2021·浙江高三其他模拟）已知双曲线()222:1016xyCbb−=的焦距为10，则双曲线C的渐近线方程为（）A．916yx=B．169yx=C．43y

x=D．34yx=?【答案】D【解析】双曲线C的焦距为221610b+=，所以29b=，所以双曲线C的渐近线方程为34yx=?，故选：D．15．（2021·湖北黄石市·黄石二中）已知直线l的方程为1ykx=−，双曲线C的方程为221xy−=.若直线l与双曲线C的右支相交

于不同的两点，则实数k的取值范围是（）A．(2,2)−B．[1,2)C．[2,2]−D．(1,2)【答案】D【解析】联立直线方程1ykx=−和双曲线方程221xy−=，化为22(12)20kxkx−−=+，因为直线1ykx=

−与双曲线221xy−=的右支交于不同两点，所以210k−，且2248(1)0kk=+−，1k，解得12k，所以实数k的取值范围为(1,2)，故选：D16．（2020·全国高三专题练习）过点(4,3)P与双曲线221169xy

−=只有一个公共点的直线有（）条．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】因为双曲线的方程为221169xy−=，所以4,3ab==，所以双曲线的渐近线方程为34yx=?，又点(4,3)P在直线34yx=上，如图所示：当过点(4,3)P的直线与直线34yx=−平行或

与x轴垂直（过右焦点）时，与双曲线只有一个公共点，所以这样的直线有2条．故选：B17．（多选）（2020·江苏）关于x、y的方程22221232xymm+=+−（其中223m）对应的曲线可能是（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴

上的双曲线D．焦点在y轴上的双曲线【答案】ABC【解析】对于A选项，若方程22221232xymm+=+−表示焦点在x轴上的椭圆，则222232320mmm+−−，解得662,,233m−−，即当662,,233m−−

时，曲线是焦点在x轴上的椭圆，A选项正确；对于B选项，若方程22221232xymm+=+−表示在焦点在y轴上的椭圆，则22232220mmm−++，解得()(),22,m−−+，即当()(),22,m−−+时，曲

线是焦点在y轴上的椭圆，B选项正确；对于C选项，若方程22221232xymm+=+−表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线，则2220320mm+−，解得66,33m−，即当66,33m−时，曲线是焦点在x轴上的双曲线，C选项正确；对于D选项，若22221

232xymm+=+−表示焦点在y轴上的双曲线，则2220320mm+−，这样的m不存在，D选项错误.故选：ABC.18．（多选）（2021·广东东莞市）已知曲线22:173xyCmm+=−−，则下列选项正确的是（）A．()0,3m，曲线C表示椭圆B．(

)3,5m，曲线C表示椭圆C．()5,7m，曲线C表示双曲线D．()7,m+，曲线C表示双曲线【答案】BD【解析】(0,3)m时，70m−，30m−，方程表示双曲线，A错；(3,5)m时

，70,30mm−−，且73mm−−，方程表示椭圆，B正确；(5,7)m时，70,30mm−−，且73mm−−，方程表示椭圆，C错；(7,)m+时，70,30mm−−，方程表示双曲线，D正确．故选：BD．19．（多选）（2021

·福建漳州市·龙海二中高三月考）已知直线yx=与双曲线22221(0,0)xyabab−=无公共点，则双曲线离心率可能为（）A．1B．2C．62D．3【答案】BC【解析】双曲线的一条渐近线为byxa=，因为直线yx=与双曲线无公共点，故有1ba.即2

2222211bcaeaa−==−，所以22e，所以12e.故选：BC.20．（多选）（2020·武冈市第二中学）已知直线l过点(3,0)，且与双曲线2213xy−=仅有一个公共点，则直线l的方程可能为（）A．3x=B．3x=−C．313yx=−D．313yx=−+【答案】ACD

【解析】双曲线2213xy−=的渐近线方程为33yx=，因为点(3,0)为双曲线的一个顶点，所以过点(3,0)，且与双曲线2213xy−=仅有一个公共点的直线为3x=，或3(3)3yx=−，或3(3)3yx=−−，即

满足的直线可以为3x=，313yx=−或313yx=−+，故选：ACD21．（2021·全国高三专题练习）已知双曲线222:1(0)4xyCbb−=的离心率为52，则（）A．C的焦点在y轴上B．C的虚轴长为2C．直线

5x=与C相交的弦长为1D．C的渐近线方程为2yx=【答案】BC【解析】由222:1(0)4xyCbb−=可知双曲线C的焦点在x轴上，A错误；C的离心率24522be+==，解得1b=，C的虚轴长为22b=，故B正确；由B选项知1b=，把5x=代入双曲线的方程221

4xy−=得12y=，故弦长为1，C正确；由B选项知1b=且2a=，且焦点在x轴上，双曲线C的渐近线方程为12byxxa==，故D错误.故选：BC.22．（2021·广西玉林市）已知双曲线22:1169xyC−=的

左､右焦点分别是1F，2F，点M关于1F，2F对称的点分别是A，B，线段MN的中点在双曲线C的右支上，则ANBN−=___________.【答案】16【解析】如图，设线段MN的中点为D.由双曲线的定义可得1228DF

DFa−==.由对称性可得D，1F，2F分别是线段MN，MA，MB的中点，则1||2ANDF=，2||2BNDF=，故12||||22416ANBNDFDFa−=−==.故答案为：1623．（2021·赣州市赣县第三中

学）若曲线22:122xyCmm+=+−是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围___________.【答案】2m【解析】方程22:122xyCmm+=+−，表示焦点在x轴上的双曲线，2020mm+−，2m．故答案为：2m24．（2021·湖北高

三月考）写出一个渐近线的倾斜角为60且焦点在y轴上的双曲线标准方程___________.【答案】2213yx−=(答案不唯一)【解析】如2213yx−=，焦点在y轴上，令2203yx−=，得渐近线方程为3y

x=，其中3yx=的倾斜角为60.故答案为：2213yx−=(答案不唯一).25．（2020·北京人大附中高三月考）若直线l：1ykx=−与双曲线C：2214xy−=有两个公共点，则实数k的取值范围是__________．【答案】311112,,,222222

−−−【解析】联立方程组22114ykxxy=−−=，整理得22(14)880kxkx−+−=，因为直线l：1ykx=−与双曲线C：2214xy−=有两个公共点，所以226432(14)0kk=+−，

解得2222k−，且12k，所以实数k的取值范围是311112,,,222222−−−.故答案为：311112,,,222222−−−.26．（2021·全国课时练

习）求双曲线2214yx−=被直线1yx=+截得的弦长______________．【答案】823【解析】联立方程组22114yxyx=+−=，整理得23250xx−−=，设直线1yx=+与双曲线交于

,AB两点，设1122(,),(,)AxyBxy，则121225,33xxxx+==−，由弦长公式可得222112124208212()42933ABkxxxxxx=+−=+−=+=.故答案为：823.27．（2021·河南新乡市）过双曲线M：2213xy−=的右焦点F作

圆C：221(1)2xy++=的切线，此切线与M的右支交于A，B两点，则||AB=___________.【答案】23【解析】因为直线过双曲线的右焦点且与圆相切，所以直线的斜率存在，设直线方程为0yk−=(2x−)，由直线与圆相切知2|21|221kk−=+，

解得1k=或17k=，当17k=时，双曲线的一条渐近线的斜率是33，1373，该直线不与双曲线右支相交于两点，故舍去；所以直线方程为2yx=−，联立双曲线方程，消元得2212150xx−+=.设()11,Ax

y，()22,Bxy，则126xx+=，12152xx=，所以()22212121215||124264232ABkxxxxxx=+−=+−=−=.故答案为：2328．（2020·全国课时练习）已知双曲线C：()222210

,0xyabab−=的一条渐近线方程是2yx=，过其左焦点()3,0F−作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长AB=________.【答案】10【解析】∵双曲线C：()222210,0xyabab−=的一条渐近线方程是2yx=，∴2ba=，即2ba=

，∵左焦点()3,0F−，∴3c=∴222233=+==caba，∴21a=，22b=，∴双曲线方程为2212yx−=，直线l的方程为()23=+yx，设()11,Axy，()22,Bxy由()222312yxyx=+−=，消y可得24370++=xx，∴1243+=−x

x，127=xx，∴()2212121414482852010=++−=+−==ABkxxxx．故答案为：10.29．（2020·全国高三专题练习）过双曲线2213yx−=的左焦点F1，作倾斜角为6的直线l与双曲线的交点为A、B，则|AB|＝_____.【答案】3【解析】双曲线焦点坐标为

F1(－2，0)、F2(2，0)，直线AB的方程为y＝33(x＋2)把该直线方程代入双曲线方程得，8x2－4x－13＝0设A(x1，y1)，B(x2，y2)所以x1＋x2＝12，x1x2＝138−|AB

|＝21k+·21212()4xxxx+−＝113+×2113()4()28−−＝3故答案为：330．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学高三期中）倾斜角为4的直线过双曲线22:13xCy−=的焦点，且与双曲线C交于A，B两点，则AB=_________.【答案】23【解析】由双曲线22

:13xCy−=标准方程可知：3,1ab==，所以有22312cab=+=+=，因此焦点的坐标为(20)?，由双曲线的对称性不妨设，直线AB过右焦点(2,0)，所以直线AB方程方程为0(tan)(2)24yxyx−=−=−

，与双曲线联立得：222121215032xyxxyx−=−+==−，设11(,)Axy，22(,)Bxy，因此有：1212156,2xxxx+==，所以222121212151(tan)2

()42642342ABxxxxxx=+−=+−=−=.故答案为：2331．（2021·北京海淀区·高三期末）已知双曲线2212yx−=的左右焦点分别为1F，2F，点()3,4M−，则双曲线的渐近线方程为__________；12MFMF−=_____

_____.【答案】20xy=2−【解析】因为双曲线2212yx−=，半实轴1a=，半虚轴2b=,所以渐近线方程为2byxxa==，即20xy=；因为()3,4M−满足双曲线方程，且在双曲线的左支上，根据双曲线的定义得2122

MaFMF−==，所以12MFMF−=-2.故答案为：20xy=；-232．（2021·全国课时练习）已知曲线C：x2－y2＝1和直线l：y＝kx－1.（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；（2）若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为2，求实

数k的值．【答案】（1）()()()2,11,11,2−−−；（2）0，62，62−.【解析】（1）由2211ykxxy=−−=，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴()22210481

0kkk−=+−解得22k−，且1k，∴k的取值范围为()()()2,11,11,2−−−．（2）结合（1），设A(x1，y1)、B(x2，y2)．则x1＋x2＝221kk−−，x1x2＝22

1k−−，∴22212221211kABkxxkk−=+−=+−，∵点O到直线l的距离d＝211k+，∴2212221OABkSABdk−===−，解得42230kk−=，故0k=或62k=，检验符合.故实数k的值为0，62，62−.33．（2021·六安市裕安区新安

中学）已知双曲线22:2Cxy−=及直线:1lykx=−．（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围．（2）若l与C交于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为23−，求线段AB的长．【答案】（1）6622k−且1k；（2）1023．【解析】（1）联立2221xyy

kx−==−y=2可得()221230kxkx−+−=．∵l与C有两个不同的交点，()22224121128010kkkk=+−=−−．232k且21k，6622k−且1k．（2）设()11,Axy，()22,Bxy．由（1）可知，12221kxxk+=

−．又AB中点的横坐标为23−．2213kk=−−，22320kk+−=，2k=−或12k=．又由（1）可知，为l与C有两个不同交点时，232k．12k=．22212212810||11213kABkxxkk−=+−=+=−．34．（2020·福

建福州）双曲线C：2213yx−=，过点()2,1P，作一直线交双曲线于A、B两点，若P为AB的中点．（1）求直线AB的方程；（2）求弦AB的长【答案】（1）611yx=−；（2）4244233.【解析】（1）设()(),,,AmnBab，P为AB的中点4,2

ambn+=+=2213ba−=，2213nm−=，两式相减得：222203banm−−=−，()()()()03bnbnamam+−+−−=，所以()()2403bnam−−−=所以直线AB的斜率6bnkam−==−，直线AB的方程()162yx

−=−即611yx=−，将611yx=−代入双曲线2213yx−=，21321240,1321324331241333280xx−+==−=满足题意所以直线AB的方程611yx=−；（2）由（1

）将611yx=−代入双曲线2213yx−=，21241321240,4,3333xmamxa−+=+==，12442442136371643333ABam=+−=−=35．（2021·全国高三专题练

习）过双曲线22142xy−=的右焦点F作斜率为2的直线l，交双曲线于A，B两点.（1）求双曲线的离心率和渐近线；（2）求AB的长.【答案】（1）62e=，渐近线方程为22yx=；（2）207.【解析】（1）因为双曲线方程为22142xy−=，所以2a=，2b=则226cab=+=，所以62

cea==，渐近线方程为22yx=.（2）双曲线右焦点为(6,0)，则直线l的方程为2(6)yx=−代入双曲线22142xy−=中，化简可得27166520xx−+=设()11,Axy，()22,Bxy所以121667xx+=，12527xx

=，所以221121220||14||5()47ABxxxxxx=+−=+−=.