【文档说明】宁夏回族自治区银川一中2022-2023高三三模（理科）数学含解析.docx，共(25)页，1.667 MB，由小赞的店铺上传

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2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题卷（银川一中第三次模拟考试）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题

卡一并交回.一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合1,3,5,7A=，13,Bxxx=−N，则AB中的元素

个数为（）A.6B.5C.4D.3【答案】B【解析】【分析】根据并集定义可得AB，由此可得元素个数.【详解】13,1,2Bxxx=−=N，1,2,3,5,7AB=，共5个元素.故选：B.2.已知

aR，复数()()i13ia+−是实数，则=a（）A.13B.13−C.3D.3−【答案】A【解析】【分析】由复数运算法则和实数定义可构造方程求得结果.【详解】()()()()2i13i3ii3i313iaaaaa+

−=−+−=++−为实数，130a−=，解得：13a=.故选：A.3.命题“有一个偶数是素数”的否定是（）A.任意一个奇数是素数B.任意一个偶数都不是素数C.存在一个奇数不是素数D.存在一个偶数不是素数【答案】B【解析】【分

析】根据存在量词命题:,()pxMpx，否定为:,()pxMpx，即可解得正确结果.【详解】由于存在量词命题:,()pxMpx，否定为:,()pxMpx.所以命题“有一个偶数是素

数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”.故选：B4.如图，是1963年在陕西宝鸡贾村出土的一口“何尊”（尊为古代的酒器，用青铜制成），尊内底铸有12行、122字铭文．铭文中写道“唯武王既克大邑商，则廷告于天，曰

：‘余其宅兹中国，自之辟民’”，其中宅兹中国为“中国”一词最早的文字记载．“何尊”可以近似看作是圆台和圆柱组合而成，经测量，该组合体的高约为40cm，上口的直径约为28cm，圆柱的高和底面直径分别约为24cm，18cm，则“何尊”的体积大约为（）A.34093πc

mB.34082πcmC.34063πcmD.34282πcm【答案】A【解析】【分析】利用圆柱和圆台体积公式直接求解即可.【详解】由题意知：圆柱的底面半径为9cm，高为24cm；圆台的上下底面半径分别为14cm和9cm，高为()402416cm−=，圆柱的体积()231π92

41944πcmV==；圆台的体积()()2222321π14π14π9π9162149πcm3V=++，“何尊”的体积大约为()3124093πcmVV+=.故选：A.5.已知4sin5=，是第一象

限角，且()tan1+=，则tan的值为（）A.34−B.34C.17−D.17【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函数关系可求得tan，由两角和差正切公式可求得结果.【详解】Q为第一象限角，23cos1sin5=−=，4sin45tan3cos35===，

()()()41tantan13tantan41tantan713−+−=+−===−+++.故选：C6.已知两条不同的直线l，m及三个不同的平面α，β，γ，下列条件中能推出//的是（）A.l与α，β所成角相等B.⊥，⊥C.l⊥，m⊥，//lmD

.l，m，//lm【答案】C【解析】【分析】ABD可举出反例；C选项，可根据平行的传递性和垂直关系进行证明.【详解】对于A，正方体1111ABCDABCD−中，设边长为a，连接1AB，则11CAB为1AC与平面11ABBA所成

角，由勾股定理得到112,3ABaACa==，故113sin33aCABa==，同理可得1AC和11ADDA所成角的正弦值为33，故1AC与平面11ABBA和11ADDA所成角大小相等，但平面11ABBA与平面11ADDA不平行，故A错误；.B选项，平面ABCD⊥平面11ABBA，平面ABC

D⊥平面11ADDA，但平面11ABBA与平面11ADDA不平行，故B错误；对于C，由l⊥，//lm得m⊥，又m⊥，所以//，故C正确；对于D，l与m可同时平行于α与β的交线，故D错误．故选：C．7.函数22()logfxxxm=++在区间()2,4上存在零点，则实数m的取

值范围是（）A(),18−−B.(5,)+C.(5,18)D.()18,5−−【答案】D【解析】【分析】根据零点存在定理即可得(2)(4)0ff<，解出实数m的取值范围为()18,5−−.【详解】由零点存在定理可知，若函数22()logfxxxm=++在区间()2,4上存在零点，显

然函数为增函数，只需满足(2)(4)0ff<，即()()5180mm++<，解得185m−−<<，所以实数m的取值范围是()18,5−−.故选：D8.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角

x的始边为射线OA，终边为射线OP，将△POA的面积表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[﹣π，π]上的图象大致为.A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：注意长度、距离为正，再根据三角形的面积公式即可得到f（x）的

表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择解：在直角三角形OMP中，OP=0A=1，∠POA=x，∴s△POA=×1×1sinx=|sinx|，∴f（x）=|sinx|，其周期为T=π，最大值为，最小值为0，故选；A．考点：函数的图象．9.在ABC中，9030CB==，

，BAC的平分线交BC于点D．若ADABAC=+(,)R，则=（）A.13B.12C.2D.3【答案】B【解析】【分析】设1AC=，由角平分线定理求得BDCD，然后由向量的线性运算可用,ABAC表示出AD，从而求

得,，得出结论．【详解】设1AC=，因为9030CB==，，所以2AB=，又AD是BAC的平分线，所以12CDACBDAB==，13CDBC=，1112()3333ADACCDACCBACABACABAC=+=+=+−=+，又ADABAC

=+，所以12,33==，所以12=．故选：B．10.已知双曲线()22:105yxCmm−=的上、下焦点分别为12,FF，若存在点(),M，使得2125MFMF−=，则实数m的取值范围为（）A.()1,+B.()1,5C.()5,+D.()0,5【答案】C【解析】【分析

】根据双曲线方程可得实轴长和渐近线方程，结合双曲线定义和点M所在直线可确定双曲线C与yx=有交点，由此可得渐近线与直线yx=斜率之间的关系，进而解不等式求得结果.【详解】由双曲线方程知：实轴长225a=，渐近线

方程为5yxm=；由双曲线定义知：在双曲线C上半支任取一点P，则2125PFPF−=；(),M直线yx=上，若存在点(),M，使得2125MFMF−=，则双曲线C与yx=有交点，51m，解得：0m（舍）或5m，实数m的取值范围为()5

,+.故选：C.11.英国数学家泰勒1712年提出了泰勒公式，这个公式是高等数学中非常重要的内容之一.其正弦展开的形式如下：357211sin(1)3!5!7!(21)!nnxxxxxxn−−=−+−++−+−，（其中xR，*Nn），则111111(1)2!4!6!

(22)!nn−−+−++−+−的值约为（1弧度57）（）A.sin57B.sin33C.sin33−D.sin57−在【答案】B【解析】【分析】利用已知公式，将公式两边分别求导，结合诱导公式，即可得到1111

1π1(1)sin12!4!6!(22)!2nn−−+−++−+=−−，求解即可．【详解】因为357211sin(1)3!5!7!(21)!nnxxxxxxn−−=−+−++−+−，又(sin)cosxx=，则3

57212462211(1)1(1)3!5!7!(22)!2!4!6!(22)!nnnnxxxxxxxxxnn−−−−−+−++−+=−+−++−+−−，当1x=时，则有11111cos1

1(1)2!4!6!(22)!nn−=−+−++−+−，又πcos1sin12=−，则()11111π1(1)sin1sin9057sin332!4!6!(22)!2nn−−+−++−+=−−=−．故选：B．12.已知关于x的不等式eaxx

b+对任意xR恒成立，则ba的最大值为（）A.12B.1C.2eD.e【答案】C【解析】【分析】讨论a的取值范围，利用函数图象，结合导数求出2ln1baaa+=，构造函数2ln)01(,agaaa+=

，利用导数求出函数的最值，进而得解.【详解】设()axfxe=，()gxxb=+，若eaxxb+，对任意xR恒成立，则()()fxgx，对任意xR恒成立，当0a时，在同一坐标系中作出函数()(),fxgx的图象，显然，由图可知eaxxb+，对任意

xR不恒成立；当0a时，在同一坐标系中作出函数()(),fxgx的图象，由图可知，临界条件是直线()gxxb=+与曲线()axfxe=的图象相切时，由()axfxe=，求导()eexfxa=，设()00e1axafx==，解得0e1axa=，且()00e

axfx=，∴当()axfxe=的切线斜率为1时，切点坐标为()00,axxe，故001eaxaxb=+=，所以01xba=−即111e1l1n1nelaabababaaaaab−−===−+=−两边同除以2a，2ln1baaa+=，令2ln)01(,aga

aa+=求导24332(1ln)12(1ln)12ln()1aaaaagaaaaa−+−+−−===令()0ga=，得1ln2a=−，即12ea−=当120,ea−，()0ga

，函数()ga单调递增，当12e,a−+，()0ga，函数()ga单调递减，所以当12ea−=，函数()ga取到最大值，且11222112lnee(e)1e2e12g−−−−+===故ba的最大值为2e故选：C.【点睛】思路点睛：本题考查不等式恒成立求参数取值范

围问题，需要结合图象分类讨论，构造函数将问题转化，考查数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想和运算求解能力，是难题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知1nxx−展开式中，第三项和第四项的二项式系数相

等，则n=_____.【答案】5【解析】【分析】根据二项式系数的概念以及组合数的性质可求出结果.【详解】依题意可得23CCnn=，得23n+=，即5n=.故答案为：5.14.若函数2()ln2xfxx=−在区间1,3mm+上不单调，则实数m的取值范围为________．

【答案】2,13【解析】【分析】根据函数解析式，利用导数判断出函数单调区间，根据题意可得113mm+<<,即可得实数m的取值范围为2,13【详解】由2()ln2xfxx=−可知，其定义域为()0,+，则211()xfxxxx=−=−，易知当

()0,1x时，()0fx；当()1,x+时，()0fx；即函数()fx在()0,1单调递减，在()1,+上单调递增；若函数2()ln2xfxx=−在区间1,3mm+上不单调，则需

满足1013mm+，的解得213m；所以实数m的取值范围为2,13.故答案为：2,1315.已知直线l：220kxyk−−+=被圆C：22(1)16xy++=所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有______条.【答案】9【

解析】【分析】根据题意可知直线l恒过定点()2,2，分别求得直线被圆截得弦长的最大值和最小值，利用对称性即可求得满足条件的直线l共有9条.【详解】将直线l的方程整理可得()220kxy−−+=，易知直线恒过定点()2,2；圆心()0,1C−，半径4R=；所以当直线过圆心时弦长取最

大值，此时弦长为直径28R=；易知，当圆心()0,1C−与()2,2的连线与直线l垂直时，弦长最小，如下图所示；此时弦长为()22322323R−+=，所以截得的弦长为整数可取4,5,6,7,8；由对称性可知，当弦长为4,5,6

,7时，各对应两条，共8条，当弦长为8时，只有直径1条，所以满足条件的直线l共有9条.故答案为：916.已知ABC的三边分别为a，b，c，所对的角分别为A，B，C，且满足113abbcabc+=++++，且A

BC的外接圆的面积为3，则()()cos24sin1fxxacx=+++的最大值的取值范围为__________．【答案】(12,24【解析】【详解】由ABC的三边分别为a，b，c可得：113abbcabc+=++++，3abcabcabbc+++++=++1

caabbc+=++可知：()()()()cbcaababbc+++=++222acacb=+−2221cos22acbBac+−==，3B=23R=，3R=2sinsinsinabcRABC===23sinaA=，23sincC=(

)23323sinsin23sinsin23sincos322acACAAAA+=+=+−=+6sin6A=+203A5666A+36sin66A+可知3?6ac+

()()()222sin22fxxacac=−−++++1sin1x−可知当sin1x=时，()()4maxfxac=+()12424ac+则()()241fxcosxacsinx=+++的最大值的取值范围为(1224，点睛：本题主要考查了三

角函数与解三角形综合题目，需要学生有一定计算能力，并能熟练运用公式进行化简求值，在解答此类题目时往往将边的范围转化为求角的范围问题，利用辅助角公式进行化简，本题还是有一定难度．三、共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．

第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17.已知公差不为零的等差数列na的首项为1，且125,,aaa是一个等比数列的前三项，记数列na的前n项和为nS．（1）求数列na的

通项公式；（2）求数列(1)nnS−的前20项的和．【答案】（1）21nan=−，Nn（2）210【解析】【分析】（1）根据等差数列与等比数列的性质计算即可；（2）利用分组求和法求和即可.【小问1详解】设等差数列na的公差为d，又11a=，所以()11nand=+−．

因为125,,aaa是一个等比数列的前三项，所以2125aaa=．即214(1)dd+=+又0d，所以2d=所以数列na的通项公式为21nan=−，Nn【小问2详解】由（1）知数列na的前n项和21212nnSnn+−==所以2(1)(

1)nnnSn−=−，数列(1)nnS−的前20项的和为()()()2222221201234192012341920202102+−++−+++−+=++++++==18.如图所示，在四棱锥PABCD−

中，PA⊥平面ABCD，ADBC∥，ABBC⊥，且1ABAPBC===，2AD=.（1）求证：CD⊥平面PAC；（2）若E为PC的中点，求PD与平面AED所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1010【

解析】【分析】（1）先证ACCD⊥，PACD⊥，由此即可证得CD⊥平面PAC；（2）建立空间直角坐标系，求出(0,2,1)PD=−平面AED的一个法向量为()1,0,1n=−，然后利用公式sincos,nPDnPDnPD==，即可求得本题答案.【小问1详解】作CF

AD⊥，垂足为F，易证，四边形ABCF为正方形.所以1CFAFDF===，222CDCFDF=+=.又222ACABBC=+=，因为222ACCDAD+=，所以ACCD⊥.因PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD⊥.又ACPAA=，AC平面PAC，PA平

面PAC，所以CD⊥平面PAC.【小问2详解】以点A为坐标原点，以,,ABADAP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，为则()0,0,0A，()0,0,1P，()1,1,0C，()0,2,0D，111,,222E

.则(0,2,0)AD=，(0,2,1)PD=−，111(,,)222AE=.设平面AED的法向量为(),,nxyz=，由00nAEnAD==，得11102220xyzy++==，令1z=，可得平面AED的一个法向量为()1,0,1n=−.设PD与平面

AED所成角为，则110sincos,1025nPDnPDnPD−====.19.为保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生的

每周阅读时间x(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图：（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x和样本方差2s(同一组的数据用该组区间中点值代表)；（2）由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x大致服从正态

分布()2,N，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差2s.①一般正态分布(),N的概率都可以转化为标准正态分布()0,1N的概率进行计算：若()2~,XN，令XY−=，则()~0,1Y

N，且()aPXaPY−=利用直方图得到的正态分布，求()10PX；②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求Z的均值.参考数据：401783，若()~0,1YN，则()0.750.7734PY

=.【答案】（1）9x=，21.78s=；（2）①0.7734；②4.532.【解析】【分析】(1)利用频率分布直方图计算平均数和方差的方法直接计算作答.(2)①利用给定公式直接计算()10PX；②利用①的结论结合二项分布的期望公式计算作答.【小问1

详解】根据频率分布直方图知，阅读时间在区间[5.5,6.5),[6.5,7.5),[7.5,8.5),[8.5,9.5),[9.5,10,5),[10.5,11.5),[11.5,12.5]内的频率分别为0.03,0.1,0.2,0.35,0.19,0.09,0

.04，60.0370.180.290.35100.19110.09120.049x=++++++=，222222(69)0.03(79)0.1(89)0.2(99)0.35(109)0.19

s−+−+−+−=+−22(119)0.09(129)0.041.78+−+−=，所以样本平均数x和样本方差2s分别为9，1.78.【小问2详解】①由题意知9=，21.78=，则有(9,1.78)XN，17841.7810

3==，109(10)()(0.75)0.773443PXPYPY−===，②由①知(10)1(10)0.2266PXPX=−=，可得(20,0.2266)ZB，所以Z的均值()200.22664.532EZ==.20.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的右焦点为F，

点P，Q在椭圆C上运动，且PF的最小值为63−；当点P不在x轴上时点P与椭圆C的左、右顶点连线的斜率之积为12−.（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线:20lxy−=与椭圆C在第一象限交于点A，若PAQ的内角平分线的斜率不存

在.探究：直线PQ的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是.请说明理由.【答案】（1）22163xy+=（2）直线PQ的斜率为定值1，理由见解析【解析】【分析】（1）设()11,Pxy，椭圆C的左、右顶点坐标分别为(),0

a−，(),0a，即可得到2212ba−=−，再根据63ac−=−及222cab=−求出a、b，即可得解；（2）首先求出A点坐标，设直线AP的斜率为k，则直线AQ的斜率为k−，()11,Pxy，()22,Qxy，表示出AP的方程，联立求

出1x，把k换为k−得2x，即可求出21xx−、21yy−，从而求出直线PQ的斜率，即可得解.【小问1详解】设()11,Pxy，椭圆C的左、右顶点坐标分别为(),0a−，(),0a，故22122211122

2221111112xbayyybxaxaxaxaa−===−=−−+−−，即222ab=，则2222cabb=−=，又63ac−=−，即263bb−=−，解得3b=，所以6a=，即椭圆C的方程为22163xy+=.【小问2详解】

联立2216312xyyx+==，解得21xy==或21xy=−=−，又A在第一象限，所以()2,1A，由题意知PAQ的内角平分线的斜率不存在，即该角平分线与x轴垂直，设直线AP的斜率为k，则直线AQ的斜率为k−，设()11,Pxy，()22,Qxy，直线AP的方程为

()12ykx−=−，即12ykxk=+−，由2212163ykxkxy=+−+=消去y得()()222214128840kxkkxkk++−+−−=，因为P、A为直线AP与椭圆的交点，所以212884221kkxk−−=+，即21244221kkxk−−=+，把k换为

k−得22244221kkxk+−=+，所以212821kxxk−=+，所以()()()212112281212421kyykxkkxkkxxk−=−++−+−=−+=+，所以直线PQ的斜率21211yykxx−==−，即直线PQ的斜率为定值1.21.已知函数()()()()e0=+

−xfxxbab在()()1,1f−−处的切线方程为()e1ee10xy−++−=．（1）求a，b的值；（2）若方程()fxm=有两个实数根12,xx，①证明：12m−；②当0m时，2121xxm−+是否成立？如果成立，请简要说明理由．【答案】（1）1a=，1b=（2）①证明见解析，②成

立，理由见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，再根据导数的几何意义及切点即在切线上又再曲线上，解出方程，解之即可；（2）①，由（1）求得函数的解析式及导数，利用导数求出函数()fx的单调区间，从而可求得函数

()fx的最值，再根据方程()fxm=有两个实数根12,xx，可得函数()fx的最值m的关系，即可得证；②，分别求出当直线过()1,0−，()()00,xfx时和直线过()0,0，()()00,xfx时割线方程，从而得

1243xxxx−−结合①即可得出结论.【小问1详解】解：()()1exfxxba=++−，因为函数()fx在()()1,1f−−处的切线方程为()e1ee10xy−++−=，所以()111eebfa−=−=−，()()1110efba

−=−−=，∴1a=，1b=或1e=a，2eb=−（舍），所以1a=，1b=；【小问2详解】①证明：由（1）可知()()()1e1xfxx=+−，()()2e1xfxx=+−，令()()()2e1xgxfxx==+

−，则()()3exgxx=+，令()0gx=，得3x=−，所以函数()gx在(),3−−上递减，在()3,−+上递增，所以()()min3gxg=−，即()()3min3e10fxf−=−=−−，

又x→+，()fx→+，3x−，()0fx，且()010f=，()1110ef−=−，∴()01,0x−，使得()00fx=，即()002e10xx+−=，即001e2xx=+，当0xx时，()0fx，当0xx时，()0fx¢>，所以函数()fx在()0,x−

上递减，在()0,x+上递增，所以()()()()()0000min011e1112xfxfxxxx==+−=+−+()()()()()22000000211122222xxxxxx+−+=−=

−=−++−+++，∵()01,0x−，∴()021,2x+，令()()1,1,2hxxxx=+，则()()2110,1,2hxxx=−，所以函数()hx在()1,2上递增，故()001522,22xx+++

，所以()001122,022xx−++−−+，即()min12fx−，∴12m−；②解：成立，理由如下：当直线过()1,0−，()()00,xfx时割线方程为()()()00112xyxmx+=−+=+，得()()030211mxxx−+

=−+，当直线过()0,0，()()00,xfx时割线方程为()()200012xyxmxx−+==+，得()()0042021mxxxx−+=+，∴()()()0124320002112111222mxmxxxx

mxxx+−−=+=+++++−+.【点睛】本题考查了导数得几何意义，考查了利用导数解决方程的根的问题，考查了不等式的证明问题，，考查了数据分析和处理能力，考查了转化思想，计算量比较大，属于难题.（二）选考

题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22.下图所示形如花瓣的曲线G称为四叶玫瑰线，并在极坐标系中，其极坐标方程为2cos2=．（1）若射线l：6=与G相交于异于极点O的点P，G与极轴的

交点为Q，求PQ；（2）若A，B为G上的两点，且23AOB=，求AOB面积S的最大值．【答案】（1）523−（2）334【解析】【分析】（1）根据已知得到P、Q两点的极坐标，代入距离公式即可；（2）设()(),0AA，2,3B

B+，根据极坐标方程求出A、B，将三角形面积表示为的三角函数，根据三角恒等变换求三角函数的最大值.【小问1详解】将6=代入方程2cos2=，得，2cos13P==，则P的极坐标为1,6.又G与极轴的交点为Q的极坐标为()2,0.则

2212212cos5236PQ=+−=−.【小问2详解】不妨设()(),0AA，2,3BB+，则2cos2A=，42cos23B=+所以，AOB的面积123sin234ABABS==34134co

s2cos23cos2cos2sin24322=+=−+()23333cos2sin2cos21cos4sin42244=−+=−++333sin41cos42sin41446=−−=−−所以，当3462−=，即512

=时，max334S=.所以，AOB面积S最大值为334.[选修4-5：不等式选讲]23.设函数()2221fxxx=−++．（1）解不等式()4fxx+；（2）令()fx的最小值为T，正数a，b，c满足abcT++=，证明：322abac+．【答案】（1）35,53−

（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将函数写成分段函数，再分类讨论，分别求出不等式的解集，从而得解；（2）由（1）可得函数图象，即可求出函数的最小值，再利用基本不等式证明即可.【小问1详解】解：因为()

41,1122213,12114,2xxfxxxxxx−=−++=−−−，所以不等式()4fxx+，即1414xxx−+或11234xx−+或12144xxx−−+，解得513x

或112x−或3152x−−，综上可得原不等式的解集为35,53−.【小问2详解】解：由（1）可得函数()fx的图象如下所示：所以()min3fx=，即3T=，所以3abc++=，又0a，0b，0c，所以()112112322222222

2abacabacabacabc+=++++=++=，当且仅当1324bca===时取等号，所以322abac+.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com