【文档说明】天津市耀华中学2020届高三上学期第一次月考数学试题含解析【精准解析】.doc，共(20)页，1.758 MB，由小赞的店铺上传

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天津市耀华中学2019年高三年级第一学期一月考数学试卷一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|320}Axxx=+−，2{|log(21)0}Bxx=−，则AB=（）A.21,3−

B.2,13C.1,12D.12,23【答案】D【解析】因为2320xx+−21253612x+2125636x+，515666x−+，213x−，所以2|13Axx=−，因为()22log21l

og1211xx−−且121012xx−，所以1|12Bxx=，12|23ABxx=，故选D.2.下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为()A.cos2yx=，x

RB.2logyx=，xR且x≠0C.2xxeey−−=,xRD.3+1yx=，xR【答案】B【解析】【详解】首先判断奇偶性：A,B为偶函数，C为奇函数，D既不是奇函数也不是偶函数,所以排除C、D，对于先减后增，排除A，故选B.考点：函数的奇偶性、单调性.【此处有视频，请去附

件查看】3.设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则()．A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c【答案】D【解析】试题分析：，，；且；.考点：对数函数的单调性.【此处有视频，请去附件查看】4.“

1sin2x=”是“2()6xkkZ=+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】1sin2x=2()6xkkZ=+或52()6xkkZ=+，从而明确充分性与必要性.【详解

】，由1sin2x=可得：2()6xkkZ=+或52()6xkkZ=+，即2()6xkkZ=+能推出1sin2x=，但1sin2x=推不出2()6xkkZ=+∴“1sin2x=”是“2()6xkkZ=+”的必要不充分条件故

选B【点睛】本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.5.已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足232coscosBacbA−=，且5sinbB=，则a=（）A.53B.23C.35D.253【答案】A【解析】【分析】利用正

弦定理化边为角可得2sin3sin2sincoscosACBAB−=,整理后可求得2cos3A=,则5sin3A=,再利用正弦定理5sinsinabAB==求解即可【详解】由题,利用正弦定理可得2sin3sin2sincoscosACBAB−=,即

2sincos3sincos2sincosABCABA=−,则()2sincossincos3sincosABBACA+=,所以()2sin3sincosABCA+=,即2sin3sincosCCA=,因为

在ABC中,sin0C,所以2cos3A=,则5sin3A=,又因为5sinbB=,所以5sinsinabAB==,所以53a=,故选：A【点睛】本题考查利用正弦定理化边为角,考查利用正弦定理解三角形6.已知0x是函数()121xfxx=+−的一个零点，若()()10201

,,xxxx+，则（）A.()10fx,()20fxB.()10fx,()20fxC.()10fx,()20fxD.()10fx,()20fx【答案】B【解析】【分析】转化0x是函数()121xfxx=

+−的一个零点为0x是函数2xy=与11yx=−的交点的横坐标,画出函数图像,利用图像判断即可【详解】因为0x是函数()121xfxx=+−的一个零点,则0x是函数2xy=与11yx=−的交点的横坐标,画出函数图像,如图所示,则当()1

01,xx时,2xy=在11yx=−下方,即()10fx；当()20,xx+时,2xy=在11yx=−上方,即()20fx,故选：B【点睛】本题考查函数的零点问题,考查数形结合思想与转化思想7.已知函数()()sin0,2fxx=+

的最小正周期是，若其图像向右平移3个单位后得到的函数为奇函数，则函数()fx的图像（）A.关于点,012对称B.关于直线12x=对称C.关于点5,012对称D.关于直线512x=对称【答案】D【解析】【分析】由最小正周期为可得2=,平移后的函数为2s

in23yx=−+,利用奇偶性得到()23kkZ−+=,即可得到3=−,则()sin23πfxx=−,进而判断其对称性即可【详解】由题,因为最小正周期为,所以22==,则平移后的图像的

解析式为2sin2sin233yxx=−+=−+,此时函数是奇函数,所以()23kkZ−+=,则()23kkZ=+,因为2,当1k=−时,3=−,所以()sin23πfxx=−,令()23xkkZ−=

,则()62kxkZ=+,即对称点为,062k+；令()232xkkZ−=+,则对称轴为()5122kxkZ=+,当0k=时,512x=，故选：D【点睛】本题考查图象变换后的解析式,考查正弦型三角函数的对称性

8.若函数()(sincos)xfxexax=+在(,)42上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.(,1]−B.(,1)−C.[1,)+D.(1,)+【答案】A【解析】∵f（x）=ex（sinx+acosx）在,42上单调递增，∴f′（x）=ex[（1-a

）sinx+（1+a）cosx]≥0在,42上恒成立，∵ex＞0在,42上恒成立，∴（1-a）sinx+（1+a）cosx≥0在,42上恒成立，∴a（sinx-cosx）≤sinx+c

osx在,42上恒成立∴sincossincosxxaxx+−，设g（x）=sincossincosxxxx+−∴g′（x）在,42上恒成立，∴g（x）在,42上单调递减，∴g（x）＞()2g=1，∴a≤1，故选A．点睛：本题考查了导数和

函数的单调性和最值得关系，利用导数研究函数的单调性，关键是分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值，属于中档题，正确的构造函数和利用导数是解决问题的关键.9.已知菱形ABCD的边长为2，0120BAD=，点,EF分别在边,BCDC上，BEBC=,DFDC

=.若21,3AEAFCECF==−，则+等于()A.12B.23C.56D.712【答案】C【解析】试题分析：，，即①，同理可得②，①+②得，故选C．考点：1．平面向量共线充要条件；2．向量的数量积运算

．【此处有视频，请去附件查看】二、填空题10.若复数()111izmii+=+−−（i为虚数单位）为纯虚数，则实数m的值为______【答案】0【解析】【分析】先将z整理为abi+的形式,再令实部为0,虚部不为0求解即可【详解】由题,()()()()()()2

1121111112iiizmimimmimmiiii++=+−=+−=+−=+−−−+,因为z是纯虚数,所以0m=,故答案为：0【点睛】本题考查已知复数类型求参数,考查复数的除法法则的应用11.4(2)xx

+的展开式中3x的系数是__________．【答案】24【解析】由题得()42xx+的展开式的通项公式为111444442221444(2)()22rrrrrrrrrrrTCxxCxxCx−−−−−+===令14322rr−==，故3324Tx=，故()42xx+

的展开式中3x的系数是24,故填24.12.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，E为棱1DD上的点，F为AB的中点，则三棱锥1BBFE−的体积为.【答案】【解析】试题分析：.考点：1.三棱锥的体积；2.等体积转化法.13.数列na中，已知()*12121,2,nnnaa

aaanN++===+，则2020a=______【答案】-1【解析】【分析】由递推公式可得数列na具有周期性,6T=,则20204aa=,进而求得4a即可【详解】由题,21nnnaaa++=−

,所以32111nnnnnnnaaaaaaa+++++=−=−−=−；()63nnnnaaaa++=−=−−=,所以数列na具有周期性,6T=,因为202063364=+,则20204aa=,当1n=时,411aa=−=−,所以20201a=−,故答案为：1−【点睛】本题考查

数列的周期性的应用,考查赋值法的应用14.不等式()22xxyaxy++对任意正数x、y恒成立，则正数a的最小值是______【答案】2【解析】【分析】将条件转化为max22xxyaxy++

对任意正数x、y恒成立,利用均值定理求解max22xxyxy++即可【详解】由题,则max22xxyaxy++对任意正数x、y恒成立,因为22222xyxyxy=+,所以2222xxyxxyxyxy+++=++,当且仅当2xy=时,等号成立

,所以max222xxyxy+=+,即2a,故答案为：2【点睛】本题考查不等式的恒成立问题,考查利用均值定理求最值,考查转化思想15.设()(),fxgx是定义在R上的两个函数，()fx满足()()2fxfx+=−，()gx满足()()2gxgx+=，且当(0,2x时，()

22fxxx=−+，()()2,011,122kxxgxx+=−.若在区间0,11上，关于x的方程()()fxgx=有8个不同的实数根，则k的取值范围是______【答案】2112,,4334−−【解析】【

分析】由题可得()fx是周期为4的函数,()gx是周期为2的函数,转化方程有8个不同的实数根为()fx与()gx在0,11内有8个交点,利用函数图像求解即可【详解】由题,()()()()42fxfxfxfx+=−+=−−=,所以()fx的周期为4；因为()()2gxgx+=,则

()gx的周期为2；当(0,2x时,()()22211fxxxx=−+=−−+,则()fx的图像为以()1,0为圆心,半径为1的在x轴上方的半圆；由()()2fxfx+=−,则当(2,4x时,是以()3,0为圆心,半径为1的在x轴下方的半圆,由周期性画出部分图像,如图所示,即()12gx=

−时与()fx在0,11内有2个交点,因为关于x的方程()()fxgx=有8个不同的实数根,则()()2gxkx=+时与()fx在0,11内需有6个交点,则①令()()2gxkx=+与圆()2211xy−+=相切,此时有一个交点,则2311kdk=

=+,则24k=（与上半圆相切）或24k=−（与下半圆相切）；②令()()2gxkx=+过()1,1,此时有2个交点,则13k=；令()()2gxkx=+过()1,1−,此时有2个交点,则13k=−；假设在(0,1x时有2个交点,即()()2gxkx

=+与圆()2211xy−+=的上半圆有2个交点,则12,34k,由函数的周期性,则在0,11内有6个交点；当(2,3x时,图像为圆()2211xy−+=的下半圆向右平移2个单位得到,则当21,43k−−时,()()2gxkx=+与圆()2211xy−

+=的下半圆有2个交点,由()gx的周期为2,则当21,43k−−时,与()fx也有2个交点,同理,则在0,11内有6个交点；综上,2112,,4334k−−

故答案为：2112,,4334−−【点睛】本题考查已知零点个数求参数范围问题,考查函数周期性的应用,考查数形结合思想三、解答题：解答时应写出文字说明、演算步骤或证明过程16.

某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛，经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分，假设甲队中每人答对的概率均为34，乙队中3人答对的概率分別为432,,543，且各人回答正确与否相互之

间没有影响，用表示乙队的总得分．（1）求的分布列；（2）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．【答案】（1）分布列见解析；（2）．【解析】【详解】试题分析：（1）由题意知，的可能取值为，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列；（2）由表示“甲队得分等于乙队得分等于”，

表示“甲队得分等于乙队得分等于”，可知、互斥．利用互斥事件的概率计算公式即可得出甲、乙两队总得分之和等于分且甲队获胜的概率．试题解析：（1）由题意知,的可能取值为由于乙队人答对的概率分别为,,43243243293(10)11111154354

35436020P==−−+−−+−−==,4324324322613(20)1115435435436030P==−+−+−==,,的分布列为

:（2）由表示“甲队得分等于乙队得分等于”,表示“甲队得分等于乙队得分等于”,可知互斥,又,则甲、乙两队总得分之和等于分且甲队获胜的概率为．考点：古典概型；离散型随机变量的分布列．17.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中//ADBC

，ABAD⊥，122ABADBC===，4PA=，E为棱BC上的点，且14BEBC=．（1）求证：DE⊥平面PAC；（2）求二面角APCD−−的余弦值；（3）设Q为棱CP上的点（不与C，P重合），且直线QE与平面P

AC所成角的正弦值为55，求CQCP的值．【答案】（1）见解析；（2）255；（3）23CQCP=【解析】【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，确定各点坐标，得到0DEAC=，0DEAP=，根据线面垂直的判定定理，即可证明.（2）由（1）可知，平面PAC的法向量()2,

1,0m=−，确定平面PCD的法向量()2,2,1n=−r，根据cos,mnmnmn=，求解即可.（3）设()01CQCP=，确定()22,44,4Q=−−，()2,43,4QE=−−，根据直线QE与平面PAC所成角的正弦值为55，求解，即可.【详解】（1）因为PA⊥平

面ABCD，ABÌ平面ABCD，AD平面ABCD所以PAAB⊥，PAAD⊥因为ABAD⊥则以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得()0,0,0A，()2,0,0B，()2,4,0C，()0,2,0D，()0,0,4P，()2,1,0E.所

以()2,1,0DE=−，()2,4,0AC=，()0,0,4AP=.因为221400DEAC=−+=，0DEAP=.所以DEAC⊥，DEAP⊥又APACA=，AP平面PAC，AC平面PAC.所以DE⊥平面PAC．（2）设平面PAC的法向量m，由（1）可知，()2,1,0mDE

==−设平面PCD的法向量(),,nxyz=因为()0,2,4PD=−，()2,4,4PC=−.所以00nPDnPC==，即2402440yzxyz−=+−=不妨设1z=，得()2,2,1n=−r．()()()()222

22212025cos,521221mnmnmn−+−+===−+−−++所以二面角APCD−−的余弦值为255．（3）设()01CQCP=，即()2,4,4CQCP==−−.所以()22,44,4Q=−−，即()2,43,4QE=−−.因为直线QE与平面P

AC所成角的正弦值为55所以()()()()()22222224305cos,5212434QEmQEmQEm−−+===+−+−+−即2362493−+=解得23=即23CQCP=．【点睛】本题考查空间向量在立体几何中的应用，属于较难题.18.正项等比数列

na的前n项和记为nS，131,13aS==（1）求数列na的通项公式；（2）等差数列nb的各项为正，且25b=，又112233,,ababab+++成等比数列，设12nnnnbca+=，求数列nc的前n项和nT.【答案】

（1）13−=nna；（2）()28424843nnTn=−+【解析】【分析】（1）利用3123Saaa=++求得q,进而求得通项公式；（2）利用等比中项可得()()()2113322ababab++=+,设135,5

bdbd=−=+,代入可得2d=,则()12843nncn−=+,进而利用错位相减法求解即可【详解】（1）设公比q,则23123113Saaaqq=++=++=,得3q=或4q=−,0na,3q=1113nnnaaq−−==；（

2）设nb的公差为d,25b=,可设135,5bdbd=−=+,又由（1）,1231,3,9aaa===,()()()2113322ababab++=+,()()()2515953dd−+++=+,解得2d=或1

0−,等差数列nb的各项为正,0,2,dd=()52221nbnn=+−=+,()()11121228433nnnnncn−+−+==+,()01212222122028843333nnTn−

=+++++,()123222221220288433333nnTn=+++++,()12112222128

8433333nnnTn−=++++−+()()12281332212842882823313nnnnn−−=+−+=−+−，()28424843nnTn=−+

【点睛】本题考查等比数列的通项公式,考查等比中项的应用,考查错位相减法求数列的和19.设椭圆()2222:10xyMabab+=的左、右焦点分别为12FF、，左顶点为A，左焦点到左顶点的距离为1，离心率为1

2.（1）求椭圆M的方程；（2）过点A作斜率为k的直线与椭圆M交于另一点B，连接2BF并延长交椭圆M于点C.若1FCAB⊥，求k的值.【答案】（1）22143xy+=；（2）612k=【解析】【分析

】（1）由题可得1,12ceaca==−=,解得2,1ac==,进而求得椭圆方程即可；（2）联立直线AB与椭圆,可得点2228612,3434kkBkk−+++,进而得到直线2BF,联立直线2BF与直线1CF可得()281,8Ckk−−,将点C坐标代入椭圆方

程中,即可解得k的值【详解】（1）设椭圆左焦点()1,0Fc−,依题意,1,12ceaca==−=,解得2,1ac==,2223bac=−=,则椭圆方程为：22143xy+=；（2）由（1）得,()2,0A−,由题0k，则

直线AB的方程为()2ykx=+,联立()222143ykxxy=++=,消去y,得()2222341616120kxkxk+++−=,设(,)BBBxy,221612234Bkxk−−=+,即2228612,3434kkBkk−+++,由（1）得,

()()121,0,1,0FF−,22222124348614134BFkkkkkkk+==−+−−+,11CFkk=−,直线()224:114kBFyxk=−−,直线()11:1CFyxk=−+,联立()()2411411kyxkyxk=−−=−+，解得()2

81,8Ckk−−,代入22143xy+=,得4219220890kk+−=，解得2124k=,即612k=【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查椭圆与直线的位置关系的应用,考查运算能力20.已知0,1aa，函数()()21,lnxfxagxxxa=−=

−+.（1）若1a，证明：函数()()()hxfxgx=−在区间()0,+上是单调增函数；（2）求函数()()()hxfxgx=−在区间1,1−上的最大值；（3）若函数()Fx的图像过原点，且()Fx的导数()()Fxgx=，当103ae时，函数()Fx过点(1,)Am的切线至少有

2条，求实数m的值.【答案】（1）证明见解析；（2）当1a时,最大值为()11lnhaa−=+；当01a时,最大值为()11lnhaa−=+（3）43【解析】【分析】（1）由题()()()21lnxhxfxgxaxxa=−=−+−,利用导函数

求单调区间即可；（2）利用导数可以推导得到()hx在区间)1,0−上是减函数,在区间(0,1上是增函数,则当11x−时,()hx的最大值为()1h−和()1h中的最大值,作差可得()()()1111lnln2lnhhaaaaaaa−−=−−+=−−

,设()12ln,0Gaaaaa=−−,再次利用导数推导()Ga的单调性,进而得到1,1−上的最大值；（3）由题可得()3211ln32Fxxxa=−+,设切点为3200011,ln32Bxxxa−+

,则B处的切线方程为：()()3220000011lnln32yxxaxxaxx−−+=−+−,将(1,)Am代入可得32000211lnln32mxaxxa=−++,则将原命题等价为关于0x的

方程至少有2个不同的解,设()32211lnln32xxaxxa=−++,进而利用导函数判断()x的单调性,从而求解即可【详解】（1）证明：()()()21lnxhxfxgxaxxa=−=−+−,则()()1ln2xhxaax=−+,1

,a当0x时,10,ln0xaa−,()0hx,即此时函数()hx在区间()0,+上是单调增函数.（2）由（1）知,当1a时,函数()hx在区间()0,+上是单调增函数,当0x时,10xa−,则()1ln0xaa−,()0hx,则

()hx在区间(),0−上是单调减函数；同理,当01a时,()hx在区间()0,+上是单调增函数,在区间(),0−上是单调减函数；即当0a,且1a时,()hx在区间)1,0−上是减函数,在区间(0,1上是增函数,则当11x−时,()hx的最大值为()

1h−和()1h中的最大值，()()()1111lnln2lnhhaaaaaaa−−=−−+=−−,令()12ln,0Gaaaaa=−−,则()22121110Gaaaa=+−=−,()12lnGaaaa=−−在()0,+上为增函数,()1112l

n10G=−−=,当1a时,()0Ga,即()()11hh−,此时最大值为()1lnhaa=−；当01a时,()0Ga,即()()11hh−,此时最大值为()11lnhaa−=+.（3）

()()2glnFxxxxa==−+,()3211ln32Fxxxac=−++,()Fx的图像过原点,()00F=,即0c=,则()3211ln32Fxxxa=−+,设切点为3200011,ln32Bxxxa−+,则B处的切线方程为：()()3220000011lnln32yxx

axxaxx−−+=−+−,将(1,)Am代入得()()3220000011lnxln132mxxaxax−−+=−+−,即32000211lnln32mxaxxa=−++（※）,则

原命题等价为关于0x的方程（※）至少有2个不同的解,设()32211lnln32xxaxxa=−++,则()()()()222lnln12lnxxaxaxxa=−++=−−,令()0x=,12ln1,2axx==,103ln5,123aae,当(),1x−和l

n,2a+时,()0x,此时函数()x为增函数；当ln1,2ax时,()0x,此时函数()x减函数,()x的极大值为()211111lnlnln3223aaa=−−+=−,()x的极小值为322321111111lnlnln1lnln

lnln212422244aaaaaaa=−++=−+,设lnta=,则103t,则原命题等价为321111lnlnln24423aama−+−,即32111124423tmtt−+−对103t恒成立,由1123mt

−得43m,设()3211244sttt=−+,则()2111118224sttttt=−+=−−,令()0st=,则10t=,24t=,当10,43t时,()0st；当()4t,+时,()0st,即()st在10,43上单调

递增,在()4,+上单调递减,()st的最大值为()443s=,43m,故43m=,综上所述,当103ae时,函数()Fx过点()1,Am的切线至少有2条,此时实数m的值为43【点睛】本题考查利用导函数证明函数的单调性,考查利用导函数求最值,考查导数的几何意义的应用,考查

运算能力,考查分类讨论思想和转化思想