【文档说明】期末模拟冲刺试卷（二）（解析版）-期末复习全掌握之2020-2021学年七年级下学期数学（人教版）.docx，共(19)页，167.934 KB，由管理员店铺上传

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2021七年级下学期期末模拟试卷（二）（时间：120分钟总分：150）班级姓名得分一、单项选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1.已知二元一次方程组{5𝑚+4𝑛=20①4𝑚−5𝑛=8②，如果

用加减法消去n，则下列方法可行的是()A.①×4+②×5B.①×5+②×4C.①×5−②×4D.①×4−②×5【答案】B【知识点】解二元一次方程组-加减消元法【解析】解：已知二元一次方程组{5𝑚+4𝑛

=20①4𝑚−5𝑛=8②，如果用加减法消去n，则下列方法可行的是①×5+②×4，故选：B．利用加减消元法消去n即可．此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．2.下列哪个

数是不等式2(𝑥−1)+3<0的一个解？()A.−3B.−12C.13D.2【答案】A【知识点】不等式(组)的解集【解析】【分析】此题考查不等式解集的意义．解题的关键是掌握不等式的基本性质，会解简单的不等式．解不等式要依据不等式的基本性质：(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方

向不变；(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．首先求出不等式的解集，然后判断哪个数在其解集范围之内即可．【解答】解：根据不等

式的性质解不等式2(𝑥−1)+3<0，得𝑥<−12，因为只有−3<−12，所以只有−3是不等式2(𝑥−1)+3<0的一个解，故选：A．3.关于√8的叙述正确的是()A.在数轴上不存在表示√8的点B.√8=√2+√6

C.√8=±2√2D.与√8最接近的整数是3【答案】D【知识点】算术平方根、实数与数轴、实数的概念【解析】解：A、在数轴上存在表示√8的点，故选项错误；B、√8≠√2+√6，故选项错误；C、√8=2√2，故选项错误；D、与√8最接近的整数是3，故选项正确．故选：D．根据数轴上的点与实数是一一对应

的关系，实数的加法法则，算术平方根的计算法则计算即可求解．本题考查了实数与数轴，实数的加法，算术平方根，关键是熟练掌握计算法则计算即可求解．4.如图，能判定𝐸𝐵//𝐴𝐶的条件是()A.∠𝐶=∠𝐴𝐵𝐸B.∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐸𝐵𝐷C.∠�

�𝐵𝐶=∠𝐵𝐴𝐸D.∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐴𝐵𝐸【答案】D【知识点】平行线的判定【解析】【分析】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相

等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线，再根据平行线的判定定理解答．【解答】解：A、∠𝐶=∠𝐴𝐵𝐸不能判

断出𝐸𝐵//𝐴𝐶，故本选项错误；B、∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐸𝐵𝐷不能判断出𝐸𝐵//𝐴𝐶，故本选项错误；C、∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐴𝐸只能判断出𝐸𝐴//𝐶𝐷，不能判断出𝐸𝐵//𝐴

𝐶，故本选项错误；D、∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐴𝐵𝐸，根据内错角相等，两直线平行，可以得出𝐸𝐵//𝐴𝐶，故本选项正确．故选：D．5.如图的围棋盘放置在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为(5,2)，白棋④的坐标为(

6,−2)，那么黑棋①的坐标应该是()A.(9,3)B.(−1,−1)C.(−1,3)D.(9,−1)【答案】D【知识点】坐标确定位置【解析】解：如图所示：黑棋①的坐标为(9,−1)，故选：D．首先建立坐标系，然后

再确定黑棋①的坐标即可．此题主要考查了坐标确定位置，关键是正确建立坐标系．6.已知方程组{2𝑥+𝑦=3𝑥−2𝑦=5，则2𝑥+6𝑦的值是()A.−2B.2C.−4D.4【答案】C【知识点】解二元一次方

程组-加减消元法、代数式求值【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组，对原方程组进行变形是解题的关键．两式相减，得𝑥+3𝑦=−2，所以2(𝑥+3𝑦)=−4，即2𝑥+6𝑦=−4．【解答】解：两式相减，得𝑥+3𝑦=−2，∴2(𝑥+3𝑦)

=−4，即2𝑥+6𝑦=−4，故选：C．7.若3𝑥>−3𝑦，则下列不等式中一定成立的是()A.𝑥+𝑦>0B.𝑥−𝑦>0C.𝑥+𝑦<0D.𝑥−𝑦<0【答案】A【知识点】不等式的基本性质【解析】解：两边都除以3，得𝑥>−𝑦，两边都加y，得𝑥+𝑦>0，故选：A．根据不等

式的性质，可得答案．本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质并根据不等式的性质求解是解题关键．8.如图，下列条件中，不能判定𝐴𝐵//𝐶𝐷的是()A.∠𝐷+∠𝐵𝐴𝐷=180°B.∠1=∠2C.∠3=∠4D.∠𝐵=∠𝐷𝐶𝐸【答案】C【知识点】

平行线的判定【解析】【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定进行判断即可．【解答】解：根据∠𝐷+∠𝐵𝐴𝐷=18

0°，可得𝐴𝐵//𝐶𝐷；根据∠1=∠2，可得𝐴𝐵//𝐶𝐷；根据∠3=∠4，可得𝐵𝐶//𝐴𝐷，不能判定𝐴𝐵//𝐶𝐷；根据∠𝐵=∠𝐷𝐶𝐸，可得𝐴𝐵//𝐶𝐷；故选C．9.小米家位于公园的正东100米处，从小米家出发向北走250米就到小华

家，若选取小华家为原点，分别以正东，正北方向为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，则公园的坐标是A.(−250,−100)B.(100,250)C.(−100,−250)D.(250,100)【答案】C【知识

点】坐标确定位置【解析】【分析】主要考查了直角坐标系的建立和运用，解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．由题意可知，小米家在小华家正南

250米，公园在小米家正西100米，根据已知的坐标系，即可确定公园的坐标．【解答】解：小华家为原点，分别以正东、正北方向为x，y轴正方向建立平面直角坐标系，所以小华家的坐标是(0,0)，小米家的坐标是(

0,−250)，公园的坐标是(−100,−250).故选C．10.如图，已知𝐴𝐵//𝐷𝐸，∠1=30°，∠2=35°，则∠𝐵𝐶𝐸的度数为()A.70°B.65°C.35°D.5°【答案】B【解析】略二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分）11.下面3

个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为______．【答案】10【知识点】二元一次方程组的应用【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设“△”的质量为x，“□”的质量为y，根据前两个天平中的等量关系列方程组求出x，y的值，然后再代入2𝑥+𝑦

进行计算即可．【解答】解：设“△”的质量为x，“□”的质量为y，由题意得：{𝑥+𝑦=6𝑥+2𝑦=8，解得：{𝑥=4𝑦=2，∴第三个天平右盘中砝码的质量=2𝑥+𝑦=2×4+2=10；故答案为10．12.用不等式表示“x

的相反数与3的差是一个非负数”：________．【答案】−𝑥−3≥0【知识点】由实际问题抽象出一元一次不等式【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用

数学符号表示的不等式，x的相反数为−𝑥，非负数即≥0，据此列不等式．【解答】解：由题意得，−𝑥−3≥0，故答案为−𝑥−3≥0．13.已知√13的整数部分为m，小数部分为n，则代数式𝑚2−𝑚−𝑛的值为_______．【答

案】9−√13【知识点】估算无理数的大小、代数式求值【解析】【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用3<√13<4，得出m，n的值是解题关键．根据3<√13<4，可得m，n的值，根据代数式求值，可得答案．【解答】解：∵3<√13<4，得𝑚=3，𝑛

=√13−3，∴𝑚2−𝑚−𝑛=32−3−(√13−3)=9−√13．故答案为9−√13．14.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(−1,3)，线段𝐴𝐵//𝑦轴，且𝐴𝐵=4，则点B的坐标为_____________________．【答案】(−1,−1)或

(−1,7)【知识点】坐标与图形性质【解析】【分析】本题考查了平行于y轴的直线上的点横坐标相等，再根据两点相对的位置及两点距离确定点的坐标．线段𝐴𝐵//𝑦轴，A、B两点纵坐标相等，又𝐴𝐵=4，B点可能在A点

上边或者下边，根据距离确定B点坐标．【解答】解：∵𝐴𝐵//𝑦轴，∴𝐴、B两点横坐标都为−1，又∵𝐴𝐵=4，∴当B点在A点上边时，𝐵(−1,7)，当B点在A点下边时，𝐵(−1,−1)；故答案为(−1,−1)或(−1,7)．15.如图，直线AB、CD相交于点O，𝑂𝐸⊥

𝐴𝐵，垂足为点O，∠𝐶𝑂𝐸：∠𝐵𝑂𝐷=2：3，则∠𝐴𝑂𝐷=______．【答案】126°【知识点】垂线的相关概念及表示、对顶角、邻补角【解析】【分析】此题主要考查了垂线以及邻补角等知识，正确得出∠𝐵𝑂�

�的度数是解题关键．利用垂直的定义结合∠𝐶𝑂𝐸：∠𝐵𝑂𝐷=2：3可求∠𝐵𝑂𝐷，再根据邻补角的定义得出答案．【解答】解：∵𝑂𝐸⊥𝐴𝐵，∴∠𝐵𝑂𝐸=90°，∴∠𝐶𝑂𝐸+∠𝐵𝑂𝐷=90°，∵∠𝐶𝑂�

�：∠𝐵𝑂𝐷=2：3，∴∠𝐵𝑂𝐷=54°，∴∠𝐴𝑂𝐷=126°．故答案为：126°．16.关于x的方程组{3𝑥+2𝑦=2𝑚+12𝑥+3𝑦=𝑚−1的解满足𝑥>𝑦，则m的取值范围是______．【答案】𝑚>−2【知

识点】一元一次不等式的解法、二元一次方程组的解【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元一次不等式，解答此题的关键是整体构造𝑥−𝑦，解答此题可将两个方程相减可将𝑥−𝑦用含m的代数式表示，然后根据𝑥>𝑦，即𝑥−𝑦>0可得关于m的不等式，解之即可求出m的取值

范围．【解答】解：{3𝑥+2𝑦=2𝑚+1①2𝑥+3𝑦=𝑚−1②,①−②得：𝑥−𝑦=𝑚+2，∵𝑥>𝑦，∴𝑥−𝑦>0，即𝑚+2>0，解得：𝑚>−2．故答案为𝑚>−2．17.将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对(𝑛,𝑚)表示第n排，从左到右第m个数，如(

4,2)表示实数9，则表示实数17的有序实数对是______．【答案】(6,5)【知识点】有序数对、平面直角坐标系中点的坐标【解析】解：观察图表可知：每排的数字个数就是排数；且奇数排从左到右，从小到大，而偶数排从左到右，从大到小．实数15=1+2+3+4+5，则17在第6排，第5个位置，即其坐

标为(6,5)．故答案为：(6,5)．寻找规律，然后解答．每排的数字个数就是排数；且奇数排从左到右，从小到大，而偶数排从左到右，从大到小．考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．分析图形，寻找规律是关键．18.

如图，将一个正方形，第1次向右平移一下，平移的距离等于对角线长的一半，即其中一个正方形的顶点与另一个正方形的中心重合，并把重叠部分涂上颜色；第2次向右平移连续平移两次，每次平移的距离与第一次平移的距离相同，并且每平移一次把重叠部分涂上颜色，……

，则第n次平移后所得到的图案中所有正方形的个数是__________．【答案】4𝑛−1【知识点】平移的基本性质、图形规律问题【解析】【分析】本题考查了平移的性质和图形的变化规律．要根据平移的性质，根据前三次

平移的情况，总结出规律，得出第n次平移后所得到的图案中正方形的个数．【解答】解：第一次平移形成三个正方形，第二次平移写出七个正方形，第三次平移11个正方形，则分析这几次平移，得出规律，第n次平移后所得到的图案中正方形

的个数是4𝑛−1．故答案为4𝑛−1．三、解答题：（本题共9小题，共96分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19.计算(1)√0.04+√−83−√14；(2)√102−82+√2(1+√2)−|1−√2|．【答案】解：(1)原式=0.2−2−12=−2

.3；(2)原式=6+√2+2−√2+1=9．【知识点】实数的运算【解析】(1)直接利用立方根以及二次根式的性质分别化简得出答案；(2)直接利用绝对值的性质和二次根式的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.求下列各式的x的值

(1)4𝑥2=121；(2)(𝑥−2)3=−8【答案】解：(1)∵4𝑥2=121，∴𝑥2=1214，∴𝑥=±112；(2)∵(𝑥−2)3=−8，∴𝑥−2=−2，∴𝑥=0；【知识点】平方根、立方根【解析】(1)根据平

方根的定义即可求出答案；(2)根据立方根的定义即可求出答案．本题考查立方根与平方根，解题的关键是正确理解立方根与平方根的定义，本题属于基础题型．21.若方程组{𝑎𝑥−𝑏𝑦=74𝑥−5𝑦=3与{𝑎

𝑥+𝑏𝑦=32𝑥+3𝑦=7有相同的解，求a和b的值．【答案】解：∵方程组{𝑎𝑥−𝑏𝑦=74𝑥−5𝑦=3与{𝑎𝑥+𝑏𝑦=32𝑥+3𝑦=7有相同的解，∴{4𝑥−5𝑦=32𝑥+3𝑦=7，解得{𝑥=2𝑦=1，代入其他两个方程得{2𝑎−𝑏=72𝑎+

𝑏=3，解得{𝑎=2.5𝑏=−2．【知识点】方程组的解、解二元一次方程【解析】由于方程组{𝑎𝑥−𝑏𝑦=74𝑥−5𝑦=3与{𝑎𝑥+𝑏𝑦=32𝑥+3𝑦=7有相同的解，所以把4𝑥−5𝑦=

3和2𝑥+3𝑦=7联立求出x、y，再代入其他两个方程即可得到关于a、b的方程组，解方程组即可求解．此题主要考查了二元一次方程的解及二元一次方程组的解法，解题时首先正确理解题意，然后根据题意得到关于待定系数的方程组，解方程组即可求解．22.解不等式组{−3𝑥

≤9①𝑥>−2②2(𝑥+1)<𝑥+3③．请结合题意，完成本题的解答．(1)解不等式①，得______．(2)解不等式③，得______．(3)把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来．(4)从图中

可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集______．【答案】𝑥≥−3𝑥<1−2<𝑥<1【知识点】在数轴上表示不等式的解集【解析】解：(1)解不等式①，得𝑥≥−3，依据是：不等式的基本性质．(2)解不等式③，得𝑥<1．(3)把不等式①，②

和③的解集在数轴上表示出来．(4)从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为：−3≤𝑥<1，故答案为：(1)𝑥≥−3；(2)𝑥<1；(4)−2<𝑥<1．分别求出每一个不等式的解集，根据各不等式解集在数轴上的表示

，确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．23.为了解某市市民“绿色出行”方式的情况，某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了某市部分出

行市民的主要出行方式(参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类)，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．种类ABCDE出行方式共享单车步行公交车的士私家车根据以上信息，回答下列问题：(1)参与本次问卷调查的市民共有______人，其中选择B类的人数有______人；(2)在扇形统计图中，求A

类对应扇形圆心角𝛼的度数，并补全条形统计图；(3)该市约有12万人出行，若将A，B，C这三类出行方式均视为“绿色出行”方式，请估计该市“绿色出行”方式的人数．【答案】解：(1)800240(2)∵𝐴类人数所占百分比为1−(30%

+25%+14%+6%)=25%，∴𝐴类对应扇形圆心角𝛼的度数为360°×25%=90°，A类的人数为800×25%=200(人)，补全条形图如下：(3)12×(25%+30%+25%)=9.6(万人)，答：估计该市“绿色出行”方式的人数约为9.6

万人．【知识点】扇形统计图、用样本估计总体、条形统计图【解析】解：(1)本次调查的市民有200÷25%=800(人)，∴𝐵类别的人数为800×30%=240(人)，故答案为：800，240；(2)(3)见答案【分析】(1)由C类别人数及其百分比可得总人数，总人

数乘以B类别百分比即可得；(2)根据百分比之和为1求得A类别百分比，再乘以360°和总人数可分别求得；(3)总人数乘以样本中A、B、C三类别百分比之和可得答案．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关

键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体的思想．24.看图填空．(1)∵∠1=___________(已知)，∴𝐴𝐶//𝐸𝐷(同位角相等，两直线平行)；(2)∵∠2=___________(已知)，∴

𝐴𝐵//𝐹𝐷(内错角相等，两直线平行)；(3)∵∠2+___________=180°(已知)，∴𝐴𝐶//𝐸𝐷(同旁内角互补，两直线平行)．【答案】(1)∠𝐶(2)∠𝐵𝐸𝐷(3)∠𝐴𝐹𝐷【知识点

】平行线的判定【解析】略25.对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：𝑎⊗𝑏=2𝑎+𝑏.例如3⊗4=2×3+4=10．(1)求2⊗(−5)的值；(2)若𝑥⊗(−𝑦)=2，且2𝑦⊗𝑥=−1，求𝑥+𝑦的值．【答案】解：(1)∵𝑎⊗𝑏=2𝑎+𝑏，∴2⊗

(−5)=2×2+(−5)=4−5=−1；(2)∵𝑥⊗(−𝑦)=2，且2𝑦⊗𝑥=−1，∴{2𝑥−𝑦=24𝑦+𝑥=−1，解得{𝑥=79𝑦=−49，∴𝑥+𝑦=79−49=13．【知识点】有理数的混合运算、实数的运算、解二元一次方程组-代入

消元法、新定义型【解析】本题主要考查解一元一次方程组以及有理数的混合运算的运用，根据题意列出方程组是解题的关键．(1)依据关于“⊗”的一种运算：𝑎⊗𝑏=2𝑎+𝑏，即可得到2⊗(−5)的值；(2)依据𝑥⊗(−𝑦)=2，且2𝑦⊗𝑥=−1，

可得方程组{2𝑥−𝑦=24𝑦+𝑥=−1，即可得到𝑥+𝑦的值．26.为极大地满足人民生活的需求，丰富市场供应，某区农村温棚设施农业迅速发展，温棚种植面积在不断扩大．在耕地上培成一行一行的长方形土埂，按顺序间隔种植不同农作物的方法叫分垄间隔套种．科学研究表明：在塑

料温棚中分垄间隔套种高、矮不同的蔬菜和水果(同一种紧挨在一起种植不超过两垄)，可增加它们的光合作用，提高单位面积的产量和经济效益．现有一个种植总面积为540𝑚2的长方形塑料温棚，分垄间隔套种草莓和西红柿共24垄，种植

的草莓或西红柿单种农作物的总垄数不低于10垄，又不超过14垄(垄数为正整数)，它们的占地面积、产量、利润分别如下：占地面积(𝑚2/垄)产量(千克/垄)利润(元/千克)西红柿301601.1草莓15501.6(1)若设草莓共种植了x垄，通过

计算说明共有几种种植方案，分别是哪几种；(2)在这几种种植方案中，哪种方案获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】解：(1)根据题意可知西红柿种了(24−𝑥)垄，则15𝑥+30(24−𝑥)≤540，解得𝑥≥12．又因为𝑥≤14，且x是正整数，所以𝑥=12，13，1

4．故共有三种种植方案，分别是：方案一：草莓种植12垄，西红柿种植12垄；方案二：草莓种植13垄，西红柿种植11垄；方案三：草莓种植14垄，西红柿种植10垄．(2)方案一获得的利润：12×50×1.6+12×160×1.1=3072(元)，方案二获得的利润：13×50×1.6+

11×160×1.1=2976(元)，方案三获得的利润：14×50×1.6+10×160×1.1=2880(元)．由计算可知，方案一即种植西红柿和草莓各12垄，获得的利润最大，最大利润是3072元．【知识点】一元一次不等式组的应用【解析】本

题考查了一元一次不等式的应用，解决这类获得的利润最大问题，首先确定取值范围，再求解．(1)列出一元一次不等式，求出草莓种植垄数的取值范围，就可以找出方案；(2)代入方案中的数据，进行比较，可以找出答案．27.如图，已知𝐴𝐵//𝐶𝐷，现将

一直角三角形PMN放入图中，其中∠𝑃=90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．(1)当△𝑃𝑀𝑁所放位置如图①所示时，则∠𝑃𝐹𝐷与∠𝐴𝐸𝑀的数量关系为______．(2)当△𝑃𝑀𝑁所放位置如图②所示时，请猜想∠𝑃𝐹𝐷与

∠𝐴𝐸𝑀的数量关系并证明．(3)在(2)的条件下，若MN与CD交于点O，且∠𝐷𝑂𝑁=20°，∠𝑃𝐸𝐵=15°，求∠𝑁的度数．【答案】∠𝑃𝐹𝐷+∠𝐴𝐸𝑀=90°【知识点】三角形综合、平行线的性质、对顶角、邻补角【解析】解：(1)如图①，作𝑃𝐻/

/𝐴𝐵，则∠𝐴𝐸𝑀=∠𝐻𝑃𝑀，∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝑃𝐻//𝐴𝐵，∴𝑃𝐻//𝐶𝐷，∴∠𝑃𝐹𝐷=∠𝐻𝑃𝑁，∵∠𝑀𝑃𝑁=90°，∴∠𝑃𝐹𝐷+∠𝐴𝐸𝑀=90°，故答案为：∠𝑃𝐹𝐷+∠𝐴𝐸𝑀

=90°；(2)猜想：∠𝑃𝐹𝐷−∠𝐴𝐸𝑀=90°；理由如下：∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，∴∠𝑃𝐹𝐷+∠𝐵𝐻𝑁=180°，∵∠𝐵𝐻𝑁=∠𝑃𝐻𝐸，∴∠𝑃𝐹𝐷+∠𝑃𝐻𝐸=180°，∵∠𝑃=90°，∴∠𝑃𝐻𝐸+∠𝑃𝐸𝐵=90°，

∵∠𝑃𝐸𝐵=∠𝐴𝐸𝑀，∴∠𝑃𝐻𝐸+∠𝐴𝐸𝑀=90°，∴∠𝑃𝐹𝐷−∠𝐴𝐸𝑀=90°；(3)如图②，∵∠𝑃=90°，∠𝑃𝐸𝐵=15°，∴∠𝑃𝐻𝐸=∠𝑃−∠𝑃𝐸𝐵=90°−15°=75°，∴∠𝐵

𝐻𝐹=∠𝑃𝐻𝐸=75°，∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，∴∠𝐷𝐹𝐻+∠𝐵𝐻𝐹=180°，∴∠𝐷𝐹𝐻=180°−∠𝐵𝐻𝐹=105°，∴∠𝑂𝐹𝑁=∠𝐷𝐹𝐻=105°，∵∠𝐷𝑂𝑁=20°，∴∠𝑁=180°−

∠𝐷𝑂𝑁−∠𝑂𝐹𝑁=55°．(1)作𝑃𝐻//𝐴𝐵，根据平行线的性质得到∠𝐴𝐸𝑀=∠𝐻𝑃𝑀，∠𝑃𝐹𝐷=∠𝐻𝑃𝑁，根据∠𝑀𝑃𝑁=90°解答；(2)根据平行线的性质得到∠𝑃𝐹𝐷+∠𝐵𝐻𝑁=18

0°，根据∠𝑃=90°解答；(3)根据平行线的性质、对顶角相等计算．本题考查的是平行线的性质、对顶角相等、角的计算，掌握平行线的性质定理是解题的关键．28.在平面直角坐标系中，我们规定：点𝑃(𝑎,𝑏)关于“k的衍生点”𝑃′(𝑎+𝑘�

�,𝑎+𝑏−𝑘𝑎)，其中k为常数且𝑘≠0，如：点𝑄(1,4)关于“5的衍生点”𝑄′(1+5×4,1+4−5×1)，即𝑄′(21,0)．(1)求点𝑀(3,4)关于“2的衍生点”M的坐标；(2)若点N关于“3的衍生点”𝑁′(4,−1)，求点N的坐标；(

3)若点P在x轴的正半轴上，点P关于“k的衍生点”𝑃1，点𝑃1关于“−1的衍生点”P2，且线段𝑃𝑃1的长度不超过线段OP长度的一半，请问：是否存在k值使得𝑃2到x轴的距离是𝑃1到x轴距离的2倍？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由

．【答案】解：(1)点𝑀(3,4)关于“2的衍生点”𝑀′的坐标为：(3+2×4,3+4−2×3)，即𝑀′(11,1)；(2)设𝑁(𝑥,𝑦)，∵点N关于“3的衍生点”𝑁′(4,−1)，∴{4=𝑥+3𝑦−1=𝑥+𝑦−3𝑥，解得：{𝑥=1𝑦=1

，∴点N的坐标为(1,1)；(3)∵点P在x轴的正半轴上，∴设𝑃(𝑥,0)，点P关于“k的衍生点”𝑃1，则𝑃1(𝑥+0𝑘,𝑥+0−𝑘𝑥)，即𝑃1(𝑥,𝑥−𝑘𝑥)，点𝑃1关于“−1的衍生点”P2，则𝑃2(𝑥−𝑥+𝑘𝑥,𝑥+𝑥−𝑘𝑥+�

�)，即𝑃2(𝑘𝑥,3𝑥−𝑘𝑥)，∵线段𝑃𝑃1的长度不超过线段OP长度的一半，∴|𝑥−𝑘𝑥|≤𝑥2，∵𝑥>0，∴|1−𝑘|≤12，∴12≤𝑘≤32，𝑃2到x轴的距离是𝑃1到x轴距离的2倍

，即3𝑥−𝑘𝑥−𝑥+𝑘𝑥=2，∴2𝑥=2，∴𝑥=1，∴𝑃2到x轴的距离是𝑃1到x轴距离的2倍与k没关系，∴12≤𝑘≤32．【知识点】坐标与图形性质、三角形【解析】(1)由衍生点的定义

即可得出结果；(2)设𝑁(𝑥,𝑦)，由点N关于“3的衍生点”𝑁′(4,−1)，得出{4=𝑥+3𝑦−1=𝑥+𝑦−3𝑥，解方程即可得出结果；(3)设𝑃(𝑥,0)，求出𝑃1(𝑥,𝑥−𝑘�

�)，𝑃2(𝑘𝑥,3𝑥−𝑘𝑥)，由线段𝑃𝑃1的长度不超过线段OP长度的一半，得出|𝑥−𝑘𝑥|≤𝑥2，∵𝑥>0，解得12≤𝑘≤32，由𝑃2到x轴的距离是𝑃1到x轴距离的2倍，即3𝑥−𝑘

𝑥−𝑥+𝑘𝑥=2，得出𝑥=1，𝑃2到x轴的距离是𝑃1到x轴距离的2倍与k没关系，即12≤𝑘≤32．本题是三角形综合题，主要考查了图形与坐标的性质、新概念衍生点、解二元一次方程组、一元一次不等式等知识，熟练掌握衍生点的定义是解题的关键．