【文档说明】江西省南昌市第二中学2020届高三第一次模拟测试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(21)页，1.698 MB，由小赞的店铺上传

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江西省南昌市第二中学2020届高三第一次模拟测试卷理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分．考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码；2．作答选择题时，选出每小题答案后，用

2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效；4．考生必须保证答题卡整洁．考

试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={y|y=|x|﹣1，x∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（）A.﹣3∈AB.3

BC.A∩B=BD.A∪B=B【答案】C【解析】试题分析：集合|1Ayy=−ABBBA=考点：集合间的关系2.已知复数168iz=−，2iz=−，则12zz=（）A.86i−B.86i+C.8

6i−+D.86i−−【答案】B【解析】分析：利用21i=−的恒等式，将分子、分母同时乘以i，化简整理得1286ziz=+详解：2122686886ziiiizii−−===+−−，故选B点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分

类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数以及复数的乘除运算，在运算时注意21i=−符号的正、负问题.3.已知命题:p若1a，则21a，则下列说法正确的是（）A.命题p是真命题B.命题p的逆命题是真命

题C.命题p的否命题是“若1a，则21a”D.命题p的逆否命题是“若21a，则1a”【答案】B【解析】【分析】解不等式，可判断A选项的正误；写出原命题的逆命题并判断其真假，可判断B选项的正误；利用原命题与否命题、逆否命题的关系可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.【详

解】解不等式21a，解得11a−，则命题p为假命题，A选项错误；命题p的逆命题是“若21a，则1a”，该命题为真命题，B选项正确；命题p的否命题是“若1a，则21a”，C选项错误；命题p的逆否命题是“若21a，则1a”，D选项错误．故选：B．【

点睛】本题考查四种命题的关系，考查推理能力，属于基础题.4.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ＋45°(k∈Z)B.k·360°＋π(k∈Z)C.k·360°－315°(k∈Z)D.kπ

＋(k∈Z)【答案】C【解析】【分析】利用终边相同的角的公式判断即得正确答案.【详解】与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.故答案为C【点睛】（1）本题主要考

查终边相同的角的公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)与终边相同的角=0360k+其中kz.5.已知函数log()ayxc=+（a，c是常数，其中0a且1a）的大致图象如图所示，下列关于a，c的表述正确的是（）A.1a，1cB.1a，01c

C.01a，1cD.01a，01c【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项.【详解】从题设中提供的图像可以看出()01,log0,log10aaacc+，故得01,01ca

，故选：D．【点睛】本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题.6.已知函数()()2,211,22xaxxfxx−=−，满足对任意的实数12xx，都有()()12120fxfxxx−−成立，则实数a的取值范围为（）A.(

)1,+B.13,8−C.13,8−D.13,8+【答案】B【解析】【分析】由题意可知函数()yfx=为R上为减函数，可知函数()2yax=−为减函数，且()212212a−−，由此可解得实数a的取值范围.【详

解】由题意知函数()yfx=是R上的减函数，于是有()22012212aa−−−，解得138a，因此，实数a的取值范围是13,8−．故选：B.【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数，一般要分析每支函数的单调性，同时还要考虑分段点处函

数值的大小关系，考查运算求解能力，属于中等题.7.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A.B.C.D.【答案】A

【解析】【详解】详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形故俯视图为故选A.点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题．8.《周易》历来被人们视作

儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“-”当作数字“1”，把阴爻“--”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符

号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A.18B.17C.16D.15【答案】B【解析】【分析】由题意可知“屯”卦符号“

”表示二进制数字010001，将其转化为十进制数即可.【详解】由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示二进制数字010001，转化为十进制数的计算为1×20+1×24=17．故选B．【点睛】本题主要考查数制是转化，新定

义知识的应用等，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.若x、y满足约束条件220100xyxyy−−−+，则32zxy=+的最大值为（）A.5B.9C.6D.12【答案】C【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直

线32zxy=+，找出直线在y轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可.【详解】作出满足约束条件220100xyxyy−−−+的可行域如图阴影部分（包括边界）所示．由32zxy=+，得322zyx=−+，平移直线322zyx=−+，当直线322zy

x=−+经过点()2,0时，该直线在y轴上的截距最大，此时z取最大值，即max32206z=+=.故选：C.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.10.斜率

为1的直线l与椭圆22xy14+=相交于A、B两点，则AB的最大值为()A.2B.455C.4105D.8105【答案】C【解析】【分析】设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y，根据判别式大于0求得t的范围，进而利用弦长公式求得|AB|的

表达式，利用t的范围求得|AB|的最大值．【详解】解：设直线l的方程为y＝x+t，代入24x+y2＝1，消去y得54x2+2tx+t2﹣1＝0，由题意得△＝（2t）2﹣5（t2﹣1）＞0，即t2＜5．弦长|AB|＝4

25410255t−．故选：C．【点睛】本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系．常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口．11.若函数f(x)＝13x3＋x2－23在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是A.[－5，0)B.(－5，0)C

.[－3，0)D.(－3，0)【答案】C【解析】【分析】求函数导数，分析函数单调性得到函数的简图，得到a满足的不等式组，从而得解.【详解】由题意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，

＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示．令13x3＋x2－23＝－23，得x＝0或x＝－3，则结合图象可知，3050aa−+解得a∈[－3，0)，故选C.【点睛】本题主要考查了利用函数导数研究函数的

单调性，进而研究函数的最值，属于常考题型.12.记M的最大值和最小值分别为maxM和minM．若平面向量a、b、c，满足()222ababcabc===+−=，则（）A.max372ac+−=B.max372ac−+=C.min372ac+

−=D.min372ac−+=【答案】A【解析】【分析】设为a、b的夹角，根据题意求得3=，然后建立平面直角坐标系，设()2,0aOA==，()1,3bOB==，(),cOCxy==，根据平面向量数量积的坐标运算得出点C的轨迹方程，将ac−和ac+转化为圆上的点到定点距离，利用数形结合思想

可得出结果.【详解】由已知可得cos2abab==，则1cos=2，0Q，3=，建立平面直角坐标系，设()2,0aOA==，()1,3bOB==，(),cOCxy==，由()222cabc+

−=，可得()(),42,2322xyxy−−=，即22422322xxyy−+−=，化简得点C的轨迹方程为()2233124xy−+−=，则()222acxy−=−+，则ac−转化为圆()2233124xy−+−=

上的点与点()2,0的距离，22max33371222ac+=++=−，22min33731222ac−=+−=−，()222acxy+=++，ac+转化为圆()2233124xy

−+−=上的点与点()2,0−的距离，22max333222393ac+=++=+，22m333922233imac−=+−=+.故选：A.【点睛】本题考查和向量与差向量模最值的求解，将向量坐标化，将问题转化为圆上的点到

定点距离的最值问题是解答的关键，考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数()sinyAxb=++，则这段曲线的函数

解析式为______________．【答案】310sin2084yx=++，6,14x【解析】【分析】根据图象得出该函数的最大值和最小值，可得maxmin2yyA−=，maxm

in2yyb+=，结合图象求得该函数的最小正周期T，可得出2T=，再将点()10,20代入函数解析式，求出的值，即可求得该函数的解析式.【详解】由图象可知，max30y=，min10y=，maxmin102yyA−==，maxmin202yyb+==，从题图中可以看出，从

614时是函数()sinyAxb=++的半个周期，则()214616T=−=，28T==.又10228k+=+，kZ，得()324kkZ=+，取34=，所以310sin2084yx=++，6,14

x．故答案为：310sin2084yx=++，6,14x．【点睛】本题考查由图象求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.14.设aR，若函数,xyeaxxR=+有大于零的极值点，则实数a的取值范围是_____【答案】1a−【解析】【分

析】先求导数，求解导数为零的根，结合根的分布求解.【详解】因为exyax=+，所以exya=+，令0y=得exa=−，因为函数exyax=+有大于0的极值点，所以e1x，即e1xa=−−.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值点问题，极值

点为导数的变号零点，侧重考查转化化归思想.15.已知()1,1P为椭圆22+=142xy内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________________．【答案】230xy+−=【解析】【分析】设弦所在的直线与椭圆相交于

()11,Axy、()22,Bxy两点，利用点差法可求得直线AB的斜率，进而可求得直线的点斜式方程，化为一般式即可.【详解】设弦所在的直线与椭圆相交于()11,Axy、()22,Bxy两点，由于点P为弦的中点，则12121212xxyy+=

+=，得121222xxyy+=+=，由题意得22112222142142xyxy+=+=，两式相减得()()()()12121212042xxxxyyyy−+−++=，所以，直线AB的斜率为()()1212

121222214422xxyyxxyy+−=−=−=−−+，所以，弦所在的直线方程为()1112yx−=−−，即230xy+−=.故答案为：230xy+−=.【点睛】本题考查利用弦的中点求弦所在直线的方程，一般利用点差法，也可以利用韦达定理设而不求法来解答，考查计算能力，属于中等题.1

6.如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则()PAPBPC+的最小值为.【答案】92−.【解析】()2239222()2()222POPCPAPBPCPOPCPOPC++==−−=−=−.三、解答题：共70分

．解答应写出文字说明、证明过程或演算步第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17.已知函数()()sin0,0,22fxAxA=+

−的最小正周期是，且当6x=时，()fx取得最大值2．（1）求()fx的解析式；（2）作出()fx在0,上的图象（要列表）．【答案】（1）()2sin26fxx=+；（2）见解析.【解析】【分析】（1）

根据函数()yfx=的最小正周期可求出的值，由该函数的最大值可得出A的值，再由26f=，结合的取值范围可求得的值，由此可得出函数()yfx=的解析式；（2）由0,x计算出26x+的取值范围，据此列表、描点、连线可得出函数

()yfx=在区间0,上的图象.【详解】（1）因为函数()yfx=的最小正周期是，所以22==．又因为当6x=时，函数()yfx=取得最大值2，所以2A=，同时()2262kk+=+Z，得()26kk=+Z，因为22−，所以6π=，所以(

)2sin26fxx=+；（2）因为0,x，所以132,666x+，列表如下：26x+62322136x06512231112()fx1202−01描点、连线得图象：【点睛】本题考查正弦函数解析式的

求解，同时也考查了利用五点作图法作图，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.18.如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD

上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明EFAB∥，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得BC⊥平面ABD，则BC⊥

AD，再由AB⊥AD及线面垂直判定定理得AD⊥平面ABC，即可得AD⊥AC．试题解析：证明：（1）在平面ABD内，因为AB⊥AD，EFAD⊥，所以EFAB.又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF∥平面ABC.（2）因为平面ABD⊥平面BCD，平面

ABD平面BCD=BD，BC平面BCD，BCBD⊥，所以BC⊥平面ABD.因为AD平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BCABB=，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD⊥平面ABC，又因为AC平面ABC，所以AD⊥AC.点睛:垂

直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．19.已知2件次品和3件正品混

放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所

需要的检测费用（单位：元），求X的分布列．【答案】（1）310；（2）见解析.【解析】【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式可计算出所求事件的概率；（2）由题意可知随机变量X的可能取值有200、300

、400，计算出随机变量X在不同取值下的概率，由此可得出随机变量X的分布列.【详解】（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则()2335410PA==；（2）由题意可知，随机变量X的可能取值为200、300、400．则()22

25120010APXA===，()3112323235331000ACCAAPX=+==，()()31331105(400)21100000PXPXPX==−=−==−−=．故X的分布列为X200300400P11031035【点睛】本题考查概率

的计算，同时也考查了随机变量分布列，考查计算能力，属于基础题.20.已知椭圆:22221xyab+=（0ab）的半焦距为c，原点到经过两点(),0c，()0,b的直线的距离为12c．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆:()()225212xy++−=的一条直径，若椭圆经过，

两点，求椭圆的方程．【答案】（Ⅰ）32；（Ⅱ）221123xy+=．【解析】试题分析：（1）依题意，由点到直线的距离公式可得bcda=，又有12dc=，联立可求离心率；（2）由（1）设椭圆方程，再设直线AB方程，与椭圆方程联立，求得AB，令10AB=，可得b，即得椭圆方程.

试题解析：（Ⅰ）过点()(),0,0,cb的直线方程为0bxcybc+−=，则原点O到直线的距离22bcbcdabc==+，由12dc=，得2222abac==−，解得离心率32cea==.（Ⅱ）由（1）知，椭圆E的方程为22244xy

b+=.依题意，圆心()2,1M−是线段AB的中点，且10AB=.易知，AB不与x轴垂直.设其直线方程为()21ykx=++，代入（1）得()()()22221482142140kxkkxkb+++++−

=.设()()1122,,,AxyBxy，则()12282114kkxxk++=−+，()22122421414kbxxk+−=−+.由124xx+=−，得()2821=414kkk+−−+，解得12k=.从而21282xxb=−.于是()()222

121212151410222ABxxxxxxb=+−=+−=−.由10AB=，得()210210b−=，解得23b=.故椭圆E的方程为221123xy+=.21.已知函数()()20xaxbxcfxae+

+=的导函数()yfx=的两个零点为3−和0．（1）求()fx的单调区间；（2）若()fx的极小值为3e−，求()fx在区间)5,−+上的最大值．【答案】（1）单调递增区间是()3,0−，单调递减区间是(),3−−和()0,+；（2）最大值是55e．【解

析】【分析】（1）求得()()22xaxabxbcfxe−+−+−=，由题意可知3−和0是函数()()22gxaxabxbc=−+−+−的两个零点，根据函数()ygx=的符号变化可得出()yfx=的符号变化，进而可得出函数()yfx=的单调递增区间和递减区间；（

2）由（1）中的结论知，函数()yfx=的极小值为()3f−，进而得出()()()330030fegg−=−=−=，解出a、b、c的值，然后利用导数可求得函数()yfx=在区间)5,−+上的最大值.【详解】（1）()()()()()()22222xxxxaxbeaxbxce

axabxbcfxee+−++−+−+−==，令()()22gxaxabxbc=−+−+−，因为0xe，所以()yfx=的零点就是()()22gxaxabxbc=−+−+−的零点，且()fx与()gx符号相同．又因为0

a，所以当30x−时，()0gx，即()0fx′；当3x−或0x时，()0gx，即()0fx′.所以，函数()yfx=的单调递增区间是()3,0−，单调递减区间是(),3−−和()0,+；（2）由（1）知，3x=−是()fx的极小值点，

所以有()()()()339330039320abcfeegbcgaabbc−−+−==−=−=−=−−−+−=，解得1a=，5b=，5c=，所以()255xxxfxe++=．因为函数()yfx=的单调递增区间是()3,0−，单调递减区间是(),3−−和()0,+.所以()0

5f=为函数()yfx=的极大值，故()yfx=在区间)5,−+上的最大值取()5f−和()0f中的最大者，而()()5555550fefe−−===，所以函数()yfx=在区间)5,−+上的最大值是55e．【点睛】本题考

查利用导数求函数的单调区间与最值，考查计算能力，属于中等题.（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则技所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22.在极坐标系中，已知曲线1:cos3s

in10C−−=，2:2cosC=．（1）求曲线1C、2C的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；（2）若曲线1C、2C交于A、B两点，求两交点间的距离．【答案】（1）1:310Cxy−−=表示一条直线，()222:11Cxy−+=

是圆心为()1,0，半径为1的圆；（2）2.【解析】【分析】（1）直接利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可将曲线1C的方程化为直角坐标方程，进而可判断出曲线1C的形状，在曲线2C的方程两边同时乘以得22cos=，由222cosxyx=+=可

将曲线2C的方程化为直角坐标方程，由此可判断出曲线2C的形状；（2）由直线1C过圆2C的圆心，可得出AB为圆2C的一条直径，进而可得出AB.【详解】（1）1:cos3sin10C−−=，则曲线1C的普通方程为310xy−−=，曲线1C表示一条

直线；由2:2cosC=，得22cos=，则曲线2C的直角坐标方程为222xyx+=，即()2211xy−+=．所以，曲线2C是圆心为()1,0，半径为1的圆；（2）由（1）知，点()1,0在直线310xy−−=上，直线1C

过圆2C的圆心．因此，AB是圆2C的直径，212AB==．【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算，考查计算能力，属于基础题.选修4-5：不等式选讲23.设函

数()fxxp=−．（1）当2p=时，解不等式()41fxx−−；（2）若()1fx的解集为(),02,−+，()120,01pmnmn+=−，求证：211mn+．【答案】（1）17,,22−−+

；（2）见解析.【解析】【分析】（1）当2p=时，将所求不等式变形为214xx−+−，然后分1x、12x、2x三段解不等式214xx−+−，综合可得出原不等式的解集；（2）先由不等式()1fx的解集求得实

数1p=，可得出1211mn+=−，将代数式2mn+变形为()212mn+−+，将()21mn+−与121mn+−相乘，展开后利用基本不等式可求得()21mn+−的最小值，进而可证得结论.【详解】（1）当2p=时，不等式为214xx−+−，且23,2211

,1232,1xxxxxxx−−+−=−.当1x时，由214xx−+−得324x−，解得12x−，此时12x−；当12x时，由214xx−+−得14，该不等式不成立，此时x

；当2x时，由214xx−+−得234x−，解得72x，此时72x.综上所述，不等式()41fxx−−的解集为17,,22−−+；（2）由()1fx，得1xp−，即1

xp−或1xp+，不等式()1fx的解集为(),02,−+，故1012pp−=+=，解得1p=，1211mn+=−，0m，0n，()()()()212112222121552

9111nnmmmnmnmnnmnm−−+−=+−+=+++=−−−，当且仅当3m=，4m=时取等号，()22129211mnmn+=+−++=．【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.