【文档说明】广东省揭阳第一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题含答案.docx，共(14)页，1.065 MB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1高二数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，

将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．本试卷主要考试内容：人教A版必修5，选修2—1，选修2—2，选修2—3第一章占70%，必修1，2，3，4占30%。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合1Axx=，()()3230Bxxx=+−，则AB=（）A．()1,3B．()3,+C．31,2D．2,3−+2．已知复数122izi+=+

，则z=（）A．5B．25C．1D．53．荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的

（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．饺子源于古代的角子，又称水饺，是深受人们喜爱的中国传统食品现盘子中有16个饺子，其中肉馅的有6个，素馅的有10个．从外观无法分辨是肉馅还是素馅，现用筷子从中随机夹出2个，则夹到的2个饺子恰好1个是肉馅，另1

个是素馅的概率是（）A．16B．15C．38D．125．已知曲线exyx=在点()1,e处的切线与曲线ln2yax=+在点()1,2处的切线平行，则a=（）A．1B．2C．eD．2e6．永定土楼，位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中

国古建筑的一朵奇葩2008年7月，永定土楼成功列入世界遗产名录．它历史悠久、风格独特，规模宏大、结构精巧．土楼具体有圆形、方形、五角形、八角形、日字形、回字形、吊脚楼等类型．现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼进行调查研究．要求调查顺

序中，圆形要排在第一个，五角形、八角形不能相邻，则不同的排法种数共有（）2A．480B．240C．384D．14407．521xx++展开式中的常数项为（）A．120B．161C．180D．1568．已知椭圆C：2222111xyab+=()110ab与双曲线D

：2222221xyab−=（20a，20b）具有共同的焦点1F，2F，离心率分别为1e，2e，且213ee=．点P是椭圆C和双曲线D的一个交点，且12PFPF⊥，则2=e（）A．423B．62C．2D．334二、选择题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数()fx在()0,1上单调递减，在)1,+上单调递增，则必有（）A

．()()23log3log2ffB．()()332.22.1ffC．()()2.22.10.20.2ffD．()()sin1cos1ff10．已知向量()1,ax=，(),4bx=，则（）A．当2x=时，//

abB．()aab+的最小值为5−C．当0x=时，,2ab=D．当2a=时，32b=11．若()()()22012111nnnxxxaaxaxax++++++=++++，且121253naaan−+++=−，则（）A．7n=B

．06a=C．0121254nnaaaaa−+++++=D．12323769naaana++++=312．已知函数()2131,0,32ln,0,axxxfxxxxx+++=+若关于x的方程()()0fxfx+−

=有4个不同的实数根，则实数a的取值可以为（）A．12−B．13−C．0D．1第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．写出一个定义在R上的函数()fx，使得()fx的值域为1,3−；且最

小正周期为，则()fx=______．14．如图，某几何体为四分之三个球，球的半径为20cm．若在该几何体的表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，则给100个这样的几何体涂上涂料需要______kg的涂料．

15．2020年11月15日，东盟十国及中国、日本韩国、澳大利亚新西兰正式签署了区域全面经济伙伴关系协定．某自媒体准备从这15个国家中选取4个国家介绍其经济贸易情况，则东盟国家及非东盟国家至少各有1个被选取的方法数为______．16．抛物线C：22ypx=()0p的

准线为l，过焦点F的直线与C相交于A，B两点，分别过A，B作准线l的垂线，垂足分别为A，B，AFA△与BFB△的面积分别为1S，2S，且124SS=，则AFB△的面积为______．四、解答题：本大题共6

小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列na的前n项和为nS，且540S=，25a=．（1）求na的通项公式；（2）若数列nSkn+的前20项和为365，求常数k的值．18．在ABC△中，90ACB=，30ABC=，2

AC=，D为BC的中点，E在线段AB上（1）若BDE△的面积为34，求cosCED；（2）当CDE△的周长最小时，求AEBE．419．2020年，面对突如其来的新冠肺炎疫情冲击，在党中央领导下，各地区各部门统筹疫情防控和经济社会发展取得显著成效，商业模式创新发展，消费结构升级

持续发展．某主打线上零售产品的企业随机抽取了50名销售员，统计了其2020年的月均销售额（单位：万元），将数据按照)12,14，)14,16，…，22,24分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．已知)14,16组的频

数比)12,14组多4．（1）求频率分布直方图中a和b的值；（2）该企业为了挖掘销售员的工作潜力，对销售员实行冲刺目标管理，即给销售员确定一个具体的冲刺目标，完成这个冲刺目标，则给予额外的奖励．若公司希望恰有20%的销售人员能够获得额外奖励，求该企业应该制定的月销售冲刺目标值．20．如

图，在五棱锥SABCDE−中，SD⊥底面ABCDE，//SDBG，S，G在底面的同侧．在五边形ABCDE中，//ABCD，ABAD⊥，22SDCDADAB====，2DEAE=，AD是ADE△外接圆的直径．（1）证明：//GC平面SED．（2）若二面角SACG−−的余弦值为13，求BG

．21．如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆C：22221xyab+=()0ab的左、右焦点分别为1F，2F，左、右顶点分别为

A，B，一光线从点()11,0F−射入经椭圆C上P点反射，法线（与椭圆C在P处的切线垂直的直线）与x轴交于点Q，5已知11PF=，112FQ=．（1）求椭圆C的方程．（2）过2F的直线与椭圆C交于M，N两点（均不与A，B重合），直线MB与

直线4x=交于G点，证明：A，N，G三点共线．22．已知函数()22ln3fxxaxx=−+−．（1）讨论()fx的单调性．（2）若对任意的1,2a，总存在1x，2x，使得()()120fxfx+=，证明：124xx+．高二数学参考答案1．A因为2,33B=−，所以

()1,3AB=．2．C因为()()()()122124322255iiiziiii+−+===+++−，所以1z=．3．B荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，故“积跬步”是“至

千里”的必要不充分条件．4．D所求概11106216CC1C2P==．5．D由exyx=，得()e1xyx=+，所以该曲线在点()1,e处的切线斜率为2ek=．由ln2yax=+，得ayx=，所以该曲线在点()1,2处的切线斜率为ka=．因

为两切线平行，所以2ea=．6．A因为圆形排在第一个，五角形、八角形不能相邻，所以采用插空法．其他四个图形全排列有44A24=种排法，然后把五角形、八角形进行插空，有25A20=种不同的排法，则共有64245AA480=种不同的排法．7．B可视为5个21xx++相乘，求其常数项，按照

分类加法和分多乘法原理进行求解．情形一：该5个代数式都提供1，则此时常数项为555C11=；情形二：该5个代数式中1个提供x，1个提供2x，3个提供1，此时常数项为1111335432CCC140xx=；情形三：该5个代数式中2个提供x，2个提供2x，1个提供1，此时常数项为222

2115312CCC120xxx=．综合三种情形可知，其常数项为140120161++=．8．C设11PFr=，22PFr=．在椭圆C中，()()()222221212121122222crrrrrrarr=+=+−=−，所以22212112444rracb=−

=．在双曲线D中，()()()222221212122122222crrrrrrarr=+=−+=+，所以22212222444rrcab=−=，所以2221bb=，即222221acca−=−，得222212aac+=，即2221112ee+=．因为213ee=，所以22

22132ee+=，解得22e=．9．BC因为23log31log20，所以()()23log3log2ff未必成立．因为332.22.11，2.22.100.20.21，1sin1cos

10，所以()()332.22.1ff，()()2.22.10.20.2ff，()()sin1cos1ff．10．AC易知，当2x=时a、b同向，所以A正确．因为()225212151244aabxxx+=++=+−−，所以B错误．当0x=时，0ab=，则

,2ab=，所以C正确．当2a=时，23x=则19b=，所以D错误．711．AD令1x=，可得()231012121222222212nnnnnaaaaa+−−+++++=++++==−−，①令0x=，得0an=．②因为()1nx+的展开式中nx的系数为C1nn=，所

以1na=．③由①，②，③，得1122123nnnn++−−−=−−．因为121253naaan−+++=−，所以123253nnn+−−=−，得7n=．故A正确．因为07a=，所以B错误因为所有项系数和为8

22254−=，所以C正确．因为()()()()267267012671111xxxxaaxaxaxax++++++++=+++++，所以()()()()256256123671213161712367xxxxaaxaxaxax+++++++++=+++++，令1x=，则2

56123671223262722367769aaaaa+++++=+++++=，故D正确．12．AB构造函数()()()gxfxfx=+−，题可知()gx的定义域为()(),00,−+，且()()gxgx=

−，即()gx是偶函数，故关于x的方程()()0fxfx+−=有4个不同的实数根等价于()gx在()0,+上有两个零点．当0x时，()212ln213agxxxxx=+−−+，则()0gx=等价于2212ln23axxxxx=+−+，令()2312ln23hxxxxx

x=−++，则()22ln43hxxxx=−++．令()22ln43xxxx=−++，则()2xx=240x+−，故()x在区间()0,+上单调递增．又()10=，所以()hx在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+上单调递增，即()hx在1x=处

取得极小值且()213h=−．当0x→时，()0hx→；当x→+时，()hx→+，故当203a−时，关于x的方程()hxa=在区间()0,+上有两个不同的实数根，即关于x的方程()()0fxfx+−=有4个不

同的实数根．13．12sin2x+（答案不唯一）一般地，形如()12sin2x+，()12cos2x+都可以．814．8因为该几何体的表面积()2223420201600cm4S=+=，所以100个这样的几何体的表面积为216m，故共需要涂料8kg

．15．1150从15个国家中选取4个国家，选取的4个国家中，东盟国家及非东盟国家至少各有1个被选取的方法数为132231105105105CCCCCC1150++=．16．4如图，设AAF=，AFa=，BFb=，则AAa=，BBb=．因为18021802180AFABFB−+

−=，所以90AFABFB+=，所以AFBF⊥．由余定理得()2221cosAFa=−，()2221cosBFb=+．因为211sin2Sa=，221sin2Sb=，所以2211sinsin42

2ab=，即222sin16ab=，所以()2222221sin164AFBSAFBFab===△，故AFB△的面积为4．17．解：（1）设na的公差为d，由题意可得1151040,5,adad+=+=解得12a=，3d=，故

()23131nann=+−=−．（2）由（1）知，()()2313122nnnnnS+−+==，9所以312nSnn+=，所以数列nSkn+的前20项和为()20432011203252036522kk+++=+=，解得2k=．18．解：（1）在ABC△中，

因为90ACB=，30ABC=，2AC=，所以4AB=，3BDDC==．因为13sin3024BDESBDBE==△，所以1BE=．因为2222cos301DEBDBEBDBE=+−=，所以1BE=．因为222

2cos307CEBCBEBCBE=+−=，所以7CE=．在CDE△中，由余弦定理得22257cos214CEDECDCEDCEDE+−==．（2）过C作AB的垂线，垂足为H，并延长使HFCH=，连接DF交AB于E，此时CEDE

+取得最小值DF，即CDE△的周长最小．在ABC△中，因为3CH=，所以23CF=．在CDF△中，因为2222cos609DFCFCDCFCD=+−=，所以3DF=．10因为222CDDFCF+=，所以DFBC⊥，所以//DEAC．因

为D为BC的中点，所以E为AB的中点，故1AEBE=19．解：（1）由题意得()0.120.140.100.0421,5025024,abba+++++=−=解得0.03a=，0.07b=．（2）设应该制定的月销售冲目标值为x万元，则在频率分布直方图中x右边的面积为1

0.80.2−=．最后一组的面积是042008=0．．，最后两组的面积之和为010200420.28+=．.．因为0.080.20.28，所以x位于倒数第二组，则()220.100.080.

2x−+=，解得208x=．．所以该企业的月销售冲刺目标值应该定为20.8万元．20．（1）证明：过点E作EFAD⊥，垂足为F．因为AD是ADE△外接圆的直径，所以90AED=．因为2DEAE=，22SDCDADAB====，所以45ED=，25AE

=，45EF=，85FD=，25FA=．由题意，可知DA，DC，DS两两垂直．如图，以D为原点，以DA的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz−，则()2,1,0B，()0,2,0C，84,,055E−，11所以()2,1,0C

B=−，84,,055DE=−，所以45DECB=，所以//DECB因为//SDBG，CBBGB=，所以平面//BCG∥平面SED．因为GC平面BCG，所以//GC平面SED．另外，本题还可取CD的中点M，连接BM，AM，通过证明1tantan2EDADAM==，得

到//DEAM，而//AMBC，所以//DEBC．又//SDBG，BGBCB=，则平面//BCG平面SED，而GC平面BCG，故//GC平面SED．（2）解：设BGt=，由（1）知()2,0,0A，()0,2,0C，()2,1,G

t，()0,0,2S，()2,2,0AC=−，()0,1,AGt=，()2,0,2AS=−．设平面AGC的法向量为()111,,mxyz=，则1111220,0,ACmxyAGmytz=−+==+=令11

z=，得(),,1mtt=−−．取平面ASC的一个法向量()1,1,1n=，则2121cos,311121mntmnmnt−===+++，解得15t=或1t=．当15t=时，二面角SACG−−为钝角，舍去，所以1t=即1BG=．21

．（1）解：由椭圆的定义知122PFPFa+=，则221PFa=−．由光学性质可知PQ是12FPF的角平分线，所以1212PFPFFQFQ=．因为1c=，所以12111222a−=−，得2a=，从而3b=，12故椭圆C的方程为22143xy+=．（2）证明：设直线MN

的方程为1xmy=+，()11,Mxy，()22,Nxy，联立方程组221,1,43xmyxy=++=得()2234690mymy++−=，则122634myym+=−+，122934yym=−+

．因为直线MB的方程为()1122yyxx=−−，所以令4x=，得1124,2yGx−．因为()222,ANxy=+，1126,2yAGx=−，所以()()()()211212121221116123462622

11ymyymymyyyyyyxxmymy−−+−+−+==−−−2219646343401mmmmmy−−−++==−，所以//ANAG．因为AN与AG有一个公共点A，所以A，N，G三点共线．2

2．（1）解：()22222xaxfxxaxx−+=−+=．当2160a=−，即44a−时，()0fx，所以()fx在()0,+上单调递增．当2160a=−，即4a−或4a时，令2220x

ax−+=，得2164aax−=，当4a−时，两根均为负数，则()0fx，13所以()fx在()0,+上单调递增；当4a时，两根均为正数，所以()fx在2160,4aa−−，216,4aa+−+上单调递增，在221

616,44aaaa−−+−上单调递减．综上所述，当4a时，()fx在()0,+上单调递增；当4a时，()fx在2160,4aa−−，216,4aa+−+

上单调增，在221616,44aaaa−−+−上单调递减．（2）证明：因为()()120fxfx+=，所以221112222ln32ln30xaxxxaxx−+−+−+−=，整理得()221212122ln2ln60xxaxx

xx+−+++−=．即()()()212121212622lnxxaxxxxxx+−+−=−．令()22lngxxx=−，则()()2122xgxxx−=−=，所以()gx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，所以()()1

2gxg=，即()121222ln2xxxx−．因为()()2121262xxaxx+−+−，所以()()2121280xxaxx+−+−．因为()()()212128haxxaxx=+−+−在1,2a上单调递减，所以()()()212122280hxxxx

=+−+−，即()()1212420xxxx+−++．因为1x，20x，所以124xx+．14