【文档说明】新人教版高中数学教材例题课后习题 必修二 6-2-4 向量的数量积 Word版含解析.docx，共(9)页，400.587 KB，由小赞的店铺上传

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6.2.4向量的数量积例9已知5a=，4b=，a与b夹角23=，求ab．解：cosabab=254cos3=1542=−10=−．例10设12a=，9b=，542ab=−，求a与b的夹角．解：由cosabab=，得54

22cos1292abab−===−．因为0,，所以34=．练习1.已知8p=，6q=，p和q的夹角是60°，求pq．【答案】24【解析】【分析】由||||cospqpq=运算即可得解.【详解】解：

1||||cos6086242pqpq===．【点睛】本题考查了向量数量积的运算，属基础题.2.已知ABC中，ABa=，ACb=，当0ab或0ab=时，试判断ABC的形状．【答案】钝角三

角形或直角三角形．【解析】的【分析】由平面向量数量积公式，结合向量夹角的余弦值的符号判断即可得解.【详解】解：当0ab时，有||||cos0ABACABACBAC=，即cos0BAC，所以BAC为钝角，ABC为钝角三角形；当0ab=时，有0ABAC=，即ABA

C⊥，ABC为直角三角形．故ABC为钝角三角形或直角三角形．【点睛】本题考查了平面向量数量积公式，重点考查了向量夹角的运算，属基础题.3.已知||6a=，e为单位向量，当向量a，e的夹角分别等于45°，90°，135°时，求向量a在向量e上的投影向量．【答案】见解析【解析】【分析】由a在e上

的投影向量为||cosae，再将已知条件代入运算即可得解.【详解】解：当45=时，a在e上的投影向量为2||cos456322aeee==，当90=时，a在e上的投影向量为||cos90600aee==，当135

=时，a在e上的投影向量为2||cos1356322aeee=−=−．【点睛】本题考查了向量的投影的运算，重点考查了运算能力，属基础题.例11我们知道，对任意,abR，恒有()2222abaabb+=++，()()22ababab+−=−．对任意向量a，b，是否也

有下面类似的结论？（1）()2222abaabb+=++；（2）()()22ababab+−=−．解：（1）()()()2ababab+=++aaabbabb=+++222aabb=++；（2）()()ababaaabbbba+−=−+−

22ab=−．因此，上述结论是成立的．例12已知6a=，4b=，a与b的夹角为60°，求()()23abab+−．解：()()23abab+−263aaaabbbb+−=−226baab=−−22cos6abba=−−

22664cos6064=−−72=−．例13已知3a=，4b=，且a与b不共线．当k为何值时，向量akb+与akb−相垂直？解：akb+与akb−互相垂直的充要条件是()()0akbakb−=+，222akb0−=．因为2239a==

，22416b==，所以29160k−=．解得34k=．也就说，当34k=时，akb+与akb−互相垂直．练习是4.已知1a=，||2b=，||3=c，向量a与b的夹角为6，向量b与c的夹角为4，计算：（1）()ab

c；（2）()abc．【答案】（1）3c（2）32a【解析】【分析】（1）由平面向量的数量积运算及向量的数乘运算即可得解；（2）由平面向量的数量积运算及向量的数乘运算即可得解.【详解】解：（1）()abc3||||cos12362ab

ccc===；（2）()abc2||||cos233242abcaa===．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算及向量的数乘运算，属基础题.5.已知2a=，1b=，且ab−与2ab+互相垂直，求证：ab⊥.【答案】证明见解析【解析】【

分析】根据ab−与2ab+互相垂直，可得()()20abab−+=，结合题设条件，即可证明.【详解】因为ab−与2ab+互相垂直，所以()()20abab−+=，即2220aabb+−=，因为2a=，1b=，所以22a=，21b=，所以220ab=−=，因为a，b是非零向量，所以ab⊥.6.

求证：22()()4ababab+−−=．【答案】证明见解析【解析】【分析】由平面向量的运算性质即可得证.【详解】证明：由左边()2222224aabbabbaba=++−−+==右边，故等式成立．【点睛】本题考查了平面向量的运算性质，属基础题.变式练习题7.已知

向量a与b的夹角为，5a=，4b=，分别求在下列条件下的ab：（1）120=?；（2）//ab；（3）ab⊥rr．【答案】（1）10−（2）20或20−（3）0【解析】【分析】（1）根据=cosabab，代入数值，即可求出结果；（2）因为

//ab，所以0=或180，再根据=cosabab即可求出结果；（3）因为ab⊥rr，所以90=，再根据=cosabab即可求出结果.【小问1详解】解：因为5a=，4b=，120=?，所以1=cos54102ab

ab=−=−；【小问2详解】解：因为//ab，所以0=或180，当0=时，=cos054120abab==；当180=时，()=cos18054120abab=

−=−；所以ab的值为20或20−.【小问3详解】解：因为ab⊥rr，所以90=，所以=cos905400abab==.8.已知12a=，9b=，542ab=，求a与b的夹角．【

答案】π4【解析】【分析】利用向量的夹角公式即可求解.【详解】因为cosabab=，所以5422cos1292abab===，因为0,π，所以π4=.9.已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝2，|b|＝3，求：（1）(a＋b)·(a－b)；（2）|a－b|．【答案

】（1）－5.（2）19.【解析】【分析】（1）根据向量的数量积运算得(a＋b)·(a－b)＝a2－b2可求得答案；（2）根据向量数量积的定义求得ab，再根据向量数量积的运算律求得|a－b|2，由此可求得答案.【小问1详解】解：因为向量a与b的夹角为120°，

|a|＝2，|b|＝3，所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝2223−=－5．【小问2详解】解：因为向量a与b的夹角为120°，|a|＝2，|b|＝3，所以cos,23cos1203ababab===−，所以|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b

＋b2＝()22223+3−−=19，所以|a－b|＝19．10.在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，则向量BDuuur在BA上的投影向量为（）A.3BA2B.3BA4C.3BA2D.34BA【答案】B【解析】【分析】首先画出图形，根据投影的几何意义

，计算结果.【详解】由余弦定理可知2222cos1201113BCABACABAC=+−=++=，3BC=，30ABC=，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，ABC是等腰三角形，D∴是BC中点，32BD=，由图可知向量BDuuur在BA上的投影向量为BE3cos304

BEBD==34BEBA=，34BEBA=.故选：B【点睛】本题考查向量的投影，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型.11.已知5a=，4b=，a与b的夹角为60，问：当k为何值时，()()2kabab−⊥+？【答案】1415.【解析】【分析】根据数量积的定义可得ab的值，

再利用数量积的定义和性质计算()()20kabab−+=即可求解.【详解】因为5a=，4b=，a与b的夹角为60，所以1cos6054102abab===，若()()2kabab−⊥+，则()()20kabab−+=，即()222120kaka

bb+−−=，所以()222120kakabb+−−=，所以()2521102160kk+−−=，可得：1415k=.12.已知2a=，1b=，且ab−与2ab+互相垂直，求证：ab⊥rr．【答案】证明见

解析【解析】【分析】因为ab−与2ab+互相垂直，所以()()20abab−+=，整理化简，可得0ab=，由此即可证明结果.【详解】证明：因为ab−与2ab+互相垂直，所以()()20abab−+=，即2220aabb+−=．又因为222

22,1aabb====，所以2222120abba=−=−=．因为,ab是非零向量，所以ab⊥rr．13.用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形ABCD是菱形，AC，BD是其对角线．求证：ACBD⊥．【答案】证明见解析【解析】【分析】设ABa=，ADb=

，则ab＝且,ACabBDba+==−，即可求得0ACBD=，由此即可证明结果.【详解】证明：设ABa=，ADb=．因为四边形ABCD为菱形，所以ab＝，又,ADCabBABADAABDba=+=−+==−则()()2222·0ACBDabbababa

=+−=−=−=，故ACBD⊥．所以ACBD⊥.14.设⊙C半径为r，若A，B两点都是⊙C上的动点，求ABACuuuruuur的最大值．【答案】2r2【解析】【分析】根据数量积公式，结合圆的性质，即

可得答案.【详解】若AB恰为⊙C直径，易知22cos02ABACrrr==；若AB不是⊙C直径，则2cos22ABACABACCABrrr==