【文档说明】湖北省孝感市重点高中教科研协作体2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题 word版含答案.docx，共(21)页，392.603 KB，由envi的店铺上传

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2022年湖北省孝感市重点高中教科研协作体高二上学期期中考试题号一二三四总分得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.设�

�为虚数单位，复数𝑧满足𝑧(1+𝑖)=1−3𝑖，则𝑧=()A.−1−2𝑖B.−1+2𝑖C.1−2𝑖D.1+2𝑖2.已知𝑎<0，若直线𝑙1:2𝑥+𝑎𝑦−1=0与直线𝑙2:(𝑎+1)𝑥+𝑦−4=0平行，则它们

之间的距离为()A.9√24B.3√55C.5√22D.3√55或9√243.𝐴地的天气预报显示，𝐴地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的

概率，先利用计算器产生0−9之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：102798391925173845812

529769683231307592027516588730113977539则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为()A.14B.25C.710D.154.已知直线𝑙过点𝑃(1,3,1)，且方向向量为𝑚⃗⃗⃗=(1,0,−1)，则点𝐴(1,−1,−1)到𝑙的距

离为()A.3√2B.4C.2√5D.35.从空中某个角度俯视北京冬奥会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图如图，在平面直角坐标系中，下列直线系方程(其中𝜃为参数，𝜃∈𝑅)能形成这种效果的是()A.𝑥+𝑦sin𝜃−3=0B.𝑥cos�

�+𝑦+3sin𝜃=0C.𝑥cos𝜃+𝑦sin𝜃−3=0D.𝑥cos𝜃+𝑦−3=06.设向量𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(1,−2)，𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑎,−1)，𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(−𝑏,0)，其

中𝑂为坐标原点，𝑎>0，𝑏>0，若𝐴，𝐵，𝐶三点共线，则2𝑎+1𝑏的最小值为()A.4B.6C.8D.97.如图，正四棱台𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，点𝐸，𝐹，𝐺分别是棱𝐶1𝐷1，𝐷1𝐴1，𝐴1𝐵1

的中点，则下列判断中，不正确的是()A.𝐵，𝐷，𝐹，𝐺共面B.𝐹∈平面𝐴𝐶𝐸C.𝐹𝐺⊥平面𝐴𝐶𝐸D.𝐴1𝐶1//平面𝐴𝐶𝐸8.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积.当我们垂直地缩小一个圆

时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率𝜋与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的面积为6𝜋，两个焦点分别为𝐹1，𝐹2，点𝑃为椭圆𝐶的上顶点.直线𝑦=𝑘与椭圆�

�交于𝐴，𝐵两点，若𝑃𝐴，𝑃𝐵的斜率之积为−49，则椭圆𝐶的短轴长为()A.2B.4C.3D.6二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.随机投掷一枚质地

均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数.设事件𝐴=“第一次为偶数”，𝐵=“第二次为奇数”，𝐶=“两次点数之和为偶数”，则()A.𝐴与𝐵互斥B.𝑃(𝐴)=𝑃(𝐵)C.𝐴与𝐶相互独立D.𝑃(𝐴∪

𝐵)=3410.圆𝐶:𝑥2+𝑦2−2𝑥=0和圆𝐷:𝑥2+𝑦2+2𝑥−4𝑦=0的交点为𝐴，𝐵，则有()A.公共弦𝐴𝐵所在直线方程为𝑥−𝑦=0B.过𝐴𝐵上任意一点𝑃作圆�

�:(𝑥+3)2+(𝑦−1)2=1的切线，则切线长的最小值为√7C.公共弦𝐴𝐵的长为√22D.圆𝑁:(𝑥+1)2+(𝑦−2)2=1与圆𝐶关于直线𝑥−𝑦+1=0对称11.已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左，右两焦点分别是𝐹1，𝐹2

，其中|𝐹1𝐹2|=2𝑐.直线𝑙:𝑦=𝑘(𝑥+𝑐)(𝑘∈𝑅)与椭圆交于𝐴，𝐵两点.则下列说法中正确的有()A.若|𝐴𝐹2|+|𝐵𝐹2|=𝑚，则|𝐴𝐵|=4𝑎−2𝑚B.若𝐴𝐵的中点为𝑀，则𝑘𝑂𝑀⋅𝑘=−𝑏2𝑎2

C.|𝐴𝐵|的最小值为2𝑏2𝑎D.若𝐴𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3𝑐2，则椭圆的离心率的取值范围是[√55,12]12.正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的棱长为2，动点𝑃，𝑄分别在棱𝐵𝐶，𝐶𝐶1上，将过点𝐴，�

�，𝑄的平面截该正方体所得的截面记为𝑆，设𝐵𝑃=𝑥，𝐶𝑄=𝑦，其中𝑥，𝑦∈[0,2]，下列命题正确的是()A.当𝑥=𝑦=1时，𝑆的面积为94B.当𝑥+𝑦=2，𝑥∈(12,32

)时，𝑠为等腰梯形C.当𝑦=2时，以𝐵1为顶点，𝑆为底面的棱锥的体积为定值83D.当𝑥=0时，𝑆为矩形，其面积最大值为4√2第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量𝑚⃗⃗⃗=(𝑥,𝑥+2)，𝑛⃗⃗=(𝑥+2

,4)，且𝑛⃗⃗⊥(𝑚⃗⃗⃗−𝑛⃗⃗)，则|𝑚⃗⃗⃗|=．14.函数𝑦=𝑥−𝑚的图象与函数𝑦=√1−𝑥2的图象有两个交点，则实数𝑚的取值范围是．15.排球比赛的规则是5局3胜制，在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率均为34，若前2局结束后乙队以2:0领先，

则最后乙队获胜的概率是．16.已知正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的所有顶点均在体积为4√3𝜋的球𝑂上，则该正方体的棱长为，若动点𝑃在四边形𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1内运动，且满足直线𝐶𝐶1与直线𝐴𝑃所成角的正弦值为13

，则|𝑂𝑃|的最小值为四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)如图，在空间四边形𝑂𝐴𝐵𝐶中，已知𝐸是线段𝐵𝐶的中点，𝐺在𝐴𝐸上，且𝐴𝐺=2𝐺𝐸．(1)试用𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗，�

�𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗表示向量𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗;(2)若𝑂𝐴=4，𝑂𝐵=6，𝑂𝐶=8，∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐵𝑂𝐶=60∘，∠𝐴𝑂𝐵=90∘，求𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗的值．18.(本小题12.0分)已知圆𝐶的

圆心为(1,0)，直线𝑥−𝑦+1=0与圆𝐶相切．(1)求圆𝐶的方程;(2)若直线𝑙过点(2,2)，被圆𝐶所截得的弦长为2，求直线𝑙的方程．19.(本小题12.0分)文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主

要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)[50，60)，⋯，[90

,100]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中𝑎的值，并求样本成绩的第80百分位数和平均数;(2)已知落在[50,60)的平均成绩是56，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均

数𝑧和总方差𝑠2．20.(本小题12.0分)已知△𝐴𝐵𝐶的三个内角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分别为𝑎，𝑏，𝑐，若𝑎=√2，△𝐴𝐵𝐶的面积𝑆=√22(𝑐sin𝐶+𝑏sin𝐵−𝑎sin𝐴

)．(1)求𝐴;(2)求△𝐴𝐵𝐶周长的取值范围．21.(本小题12.0分)如图在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，侧面𝑃𝐴𝐷⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，侧棱𝑃𝐴=𝑃𝐷=2√2，底面𝐴𝐵𝐶𝐷为直角梯形，其中

𝐵𝐶//𝐴𝐷，𝐴𝐵⊥𝐴𝐷，𝐴𝐷=2𝐴𝐵=2𝐵𝐶=4，𝑂为𝐴𝐷的中点．(1)求证：𝑃𝑂⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷;(2)求平面𝑃𝐶𝐷与平面𝑃𝐴𝐷夹角的正弦值;(3)线

段𝐴𝐷上是否存在𝑄，使得它到平面𝑃𝐶𝐷的距离为√3?若存在，求出𝐴𝑄𝑄𝐷的值;若不存在，说明理由．22.(本小题12.0分)生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现

椭圆𝐶的焦点在𝑥轴上，中心在坐标原点，从左焦点𝐹1射出的光线经过椭圆镜面反射到右焦点𝐹2，这束光线的总长度为4，且椭圆的离心率为√32，左顶点和上顶点分别为𝐴、𝐵．(1)求椭圆𝐶的方程;(2)点𝑃在椭圆上，求线段𝐵𝑃的长度|𝐵𝑃|的最大值及取最大值时点𝑃的坐标;(3)

不过点𝐴的直线𝑙交椭圆𝐶于𝑀，𝑁两点，记直线𝑙，𝐴𝑀，𝐴𝑁的斜率分别为𝑘，𝑘1，𝑘2，若𝑘(𝑘1+𝑘2)=1.证明：直线𝑙过定点，并求出定点的坐标．答案和解析1.【答案】𝐵【解析】【分析】本题考查了共轭复数的求法，属于基础题．【解答】解：因为𝑧(1+𝑖)=

1−3𝑖，所以𝑧=1−3𝑖1+𝑖=(1−3𝑖)(1−𝑖)(1+𝑖)(1−𝑖)=−2−4𝑖2=−1−2𝑖，所以𝑧=−1+2𝑖．2.【答案】𝐴【解析】【分析】本题考查了两条直线平行的判定及应用

与两条平行直线间的距离，属于基础题。【解答】解：∵𝑙1:2𝑥+𝑎𝑦−1=0与直线𝑙2:(𝑎+1)𝑥+𝑦−4=0平行，∴{𝑎(𝑎+1)=22·(−4)≠−(𝑎+1),解得𝑎=1(舍去)或𝑎=−2，故𝑙2：𝑥−𝑦+4=0，则两平行线间距离𝑑=|8−(−1)|√22+

(−2)2=9√243.【答案】𝐷【解析】【分析】本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．属于基础题．【解答】解：在20组随机数中表示三天中至少有两天有强浓雾的有798、769、588、977，所求概率近似为𝑝=42

0=15．4.【答案】𝐴【解析】【分析】本题考查了点线距离的向量求法，属于基础题．根据直线𝑙一个方向向量为𝑚⃗⃗⃗，取直线1的一个单位方向向量为𝜇⃗⃗=𝑚|𝑚|，计算𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗，代入点到

直线的距离公式𝑑=√𝑃𝐴2−(𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝜇)2计算即可．【解答】解：∵直线𝑙的一个方向向量为𝑚⃗⃗⃗=(1,0,−1)，取直线𝑙一个单位方向向量为𝜇⃗⃗=𝑚|𝑚|=√22(1,0,−1)=(√22,0,−√22)，又𝐴(1,−1,−1)为

直线外一点，且直线𝑙过点𝑃(1,3,1)，∴𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(0,−4,−2)，∴𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝜇⃗⃗=(0,−4,−2)⋅(√22,0,−√22)=√2，|𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|=2√5∴点𝐴到直线𝑙的距离为𝑑=√𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗2−(𝐴𝑃

⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝜇⃗⃗)2=√20−2=3√2．5.【答案】𝐶【解析】【分析】本题主要考查对给定图形的分析推理，以及点到直线距离公式，转化思想，属中档题．由图形分析知转化为：原点到各圆周切线的距离为定值，再利用点到直线的距离公式即可．【解

答】解：由图形分析知转化为：原点到各圆周切线的距离为定值．对𝐴：𝑑=3√1+𝑠𝑖𝑛2𝜃，此时𝑑不是固定值，故舍去；对𝐵：𝑑=|3sin𝜃|√1+𝑐𝑜𝑠2𝜃，此时𝑑不是固定值，故舍去；

对𝐶：𝑑=3√cos²𝜃+sin²𝜃=3为定值；对𝐷：𝑑=3√1+cos2𝜃，此时𝑑不是固定值，故舍去．故选C．6.【答案】𝐷【解析】【分析】本题主要考查三点共线定理，基本不等式求最值，属

于基础题．【解答】解：∵𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(1,−2)，𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑎,−1)，𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(−𝑏,0)，∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑎−1,1),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(−𝑏−1,2)，∵𝐴，

𝐵，𝐶三点共线，且𝑎>0，𝑏>0，∴𝑎−1−𝑏−1=12，整理得2𝑎+𝑏=1，∴2𝑎+1𝑏=(2𝑎+1𝑏)·(2𝑎+𝑏)=5+2𝑏𝑎+2𝑎𝑏⩾9，当且仅当𝑎=𝑏=13时等号成立．7.【答案】𝐶【解析】【分

析】本题考查了空间直线与平面的位置关系，属于中档题．【解答】解：延长正四棱台𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的侧棱相交于𝑠，则三棱锥𝑆−𝐴𝐵𝐶𝐷为正四棱锥，连接𝐵𝐷，𝐵，𝐵1，𝐷1，𝐷都在平

面𝑆𝐵𝐷内，因为平面𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1//平面𝐴𝐵𝐶𝐷，平面𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1∩平面𝑆𝐵𝐷=𝐵1𝐷1平面𝐴𝐵𝐶𝐷∩平面𝑆𝐵𝐷=𝐵𝐷，所以𝐵1𝐷1//𝐵𝐷，因为𝐺，𝐹分别是棱𝐴1𝐵1，𝐴1𝐷1的中点，

所以𝐹𝐺//𝐵1𝐷1，即𝐹𝐺//𝐵𝐷，所以𝐵，𝐷，𝐹，𝐺共面，故A正确因为𝐸，𝐹分别是棱𝐶1𝐷1，𝐷1𝐴1的中点，所以𝐸𝐹//𝐴1𝐶1，由正棱锥的性质可知𝐴𝐶//𝐴1𝐶1，所以𝐸𝐹//𝐴𝐶，即𝐹∈平面𝐴𝐶𝐸，故B正确;因为点𝐸，

𝐺分别是棱𝐶1𝐷1，𝐴1𝐵1的中点，所以𝐸𝐺//𝐷1𝐵1，𝐸𝐺⊥𝐴1𝐶1，设𝐴1𝐵1∩𝐶1𝐷1=𝑂，则𝑠𝑜⊥平面𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1，𝐸𝐺⊂平面𝐴1𝐵

1𝐶1𝐷1，∴𝑆𝑂⊥𝐸𝐺，𝑆𝑂∩𝐴1𝐶1=𝑂，𝑆𝑂⊂平面𝑆𝐴𝐶，𝐴1𝐶1⊂平面𝑆𝐴𝐶，∴𝐸𝐺⊥平面𝑆𝐴𝐶，显然平面𝑆𝐴𝐶与平面𝐴𝐶𝐸不平行，故C错误;

因为𝐴𝐶//𝐴1𝐶1，𝐴𝐶⊂平面𝐴𝐶𝐸，𝐴1𝐶1⊄平面𝐴𝐶𝐸，所以𝐴1𝐶1//平面𝐴𝐶𝐸，故D正确．8.【答案】𝐵【解析】【分析】本题考查椭圆的几何性质，属于一般题．设直线𝑦=𝑘𝑥，与椭圆

𝑐交于左右顶点，即可联立𝑎𝑏的方程，即可求出𝑏的值，即可得到答案．【解答】由题意得𝜋𝑎𝑏=6𝜋，即𝑎𝑏=6，对直线𝑦=𝑘𝑥，令𝑘=0，则直线与椭圆𝐶交于左右顶点，故上顶点�

�(0,𝑏)，𝐴(−𝑎,0)，𝐵(𝑎,0)，即𝑘𝑃𝐵·𝑘𝑃𝐴=−𝑏𝑎·𝑏𝑎=−𝑏2𝑎2=−49，联立{𝑎𝑏=6𝑏2𝑎2=49⇒{𝑎=3𝑏=2故长轴为2𝑏=4．9.【答案】�

�𝐶𝐷【解析】【分析】本题考查古典概型的计算，涉及互斥事件和相互独立事件的定义，属于基础题．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于𝐴，事件𝐴发生的同时事件𝐵也有可能发生，故A错误；对于𝐵，𝑃(𝐴)=36=12，𝑃(𝐵)=36=12，则有𝑃(𝐴)=𝑃(�

�)，A正确；若𝐴∩𝐵发生，即第一次和第二次都是奇数，则两次点数之和为偶数，反之若两次点数之和为奇数，则第一次和第二次的点数为一次奇数、一次偶数，故A∩𝐵与𝐶互斥，B正确；对于𝐶，𝐴发生与𝐶是否发生没有关系，即𝐴与𝐶相互独立，C正确；对于𝐷，

𝐴发生与𝐵是否发生没有关系，即𝐴与𝐵相互独立，则𝑃(𝐴∪𝐵)=1−12×12==14，D正确．10.【答案】𝐴𝐵𝐷【解析】【分析】本题考查求相交圆的公共弦方程，两圆的公共弦长，切线，与

对称，属于中档题．【解答】解：对于𝐴，两圆方程相减得𝑥−𝑦=0，即公共弦方程为𝑥−𝑦=0，故A正确，对于𝐵，设𝑃(𝑎,𝑎)，圆𝑀:(𝑥+3)2+(𝑦−1)2=1的圆心为𝑄(−3,1)，半径为𝑟2=1，过𝑃的直线与圆𝑀相切与𝐻点，因为�

�𝑄=√(−3−𝑎)2+(1−𝑎)2，所以𝑃𝐻2=𝑃𝑄2−𝑟22=2𝑎2+4𝑎+9=2(𝑎+1)2+7⩾7，则切线长的最小值为√7，故B正确，对于𝐶，圆𝑂1:𝑥2+𝑦2−2𝑥=0，圆心𝑂1(1,0)到𝑥−𝑦

=0的距高为𝑑=|1−0|√12+(−1)2=√22，半径𝑟=1，所以|𝐴𝐵|=2√1−(√22)2=√2，故C错误，对于𝐷，圆𝑁:(𝑥+1)2+(𝑦−2)2=1，圆心𝑁(−1,2)，半径𝑅=1，圆𝐶𝑥2+𝑦2−2𝑥=0，圆心𝑂1(1,0)，半径𝑟=1，因

为𝑘𝑁𝑂1=−1即过𝑁𝑂1的直线与直线𝑥−𝑦+1=0垂直，又因为𝑁𝑂1的中点在直线𝑥−𝑦+1=0上，所以点𝑁与𝑂1关于𝑥−𝑦+1对称，所以圆𝑁:(𝑥+1)2+(𝑦−2)2=1与圆𝐶关于直线𝑥−𝑦+1=0对称，故D正确．11.【答案】�

�𝐷【解析】【分析】本题考查了求椭圆的离心率(或取值范围)，椭圆的中点弦问题与椭圆的弦长的问题，属于中档题。【解答】解：𝐴:直线𝑙:𝑦=𝑘(𝑥+𝑐)(𝑘∈𝑅)恒过(−𝑐,0)点，即左焦点，由椭圆的定义可知：△𝐴𝐵𝐹2的周长为：𝐴�

�+𝐴𝐹2+𝐵𝐹2=𝐴𝐹1+𝐵𝐹1+𝐴𝐹2+𝐵𝐹2=𝐴𝐹1+𝐴𝐹2+𝐵𝐹1+𝐵𝐹2=2𝑎+2𝑎=4𝑎，∴|𝐴𝐵|=4𝑎−𝑚所以：𝐴不正确𝐵:设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵

(𝑥2,𝑦2)，所以有{𝑥12𝑎2+𝑦12𝑏2=1(1)𝑥22𝑎2+𝑦22𝑏2=1(2)(1)−(2)⇒𝑥12−𝑥22𝑎2=𝑦12−𝑦22𝑏2⇒𝑦12−𝑦22𝑥12−𝑥

22=𝑏2𝑎2设𝑀(𝑥0,𝑦0)，因为𝐴𝐵的中点为𝑀，所以𝑥0=𝑥1+𝑥22，𝑦0=𝑦1+𝑦22，因此𝑘𝑂𝑀⋅𝑘=𝑦0𝑥0．𝑦1−𝑦2𝑥1−𝑥2=𝑦1+𝑦22𝑥1+𝑥22𝑦1−𝑦2𝑥1−𝑥2=𝑦12−𝑦22𝑥12−𝑥2

2=−𝑏2𝑎2，所以B正确：𝐶:因为直线𝑙:𝑦=𝑘(𝑥+𝑐)(𝑘∈𝑅)过定点(−𝑐,0)，但是不包括直线𝑥=−𝑐，因为只有当𝑥=−𝑐时，𝐴𝐵才有最小值，所以𝐶不正确：𝐷:⋅𝐴𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐴𝐹2⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗=(−𝑐−𝑥1,𝑦1)⋅(𝑐−𝑥1,𝑦1)=𝑥12+𝑦12−𝑐2=3𝑐2⇒𝑥12+𝑦12=4𝑐2，而𝑥12𝑎2+𝑦12𝑏2=1⇒𝑦12=𝑏2(1−𝑥12𝑎2)，所以有𝑥12+𝑏2(1−𝑥12𝑎2)=4𝑐2⇒�

�12=𝑎2(4𝑐2−𝑏2)𝑐2，显然4𝑐2−𝑏2≥0⇒4𝑐2−𝑎2+𝑐2≥0⇒𝑒≥√55而𝑎2(4𝑐2−𝑏2)𝑐2≤𝑎2⇒4𝑐2−𝑎2+𝑐2≤𝑐2⇒4𝑐2≤𝑎2⇒𝑒≤12，所以√55≤𝑒≤12，故本选项说法正

确．12.【答案】𝐵𝐶𝐷【解析】【分析】本题主要考查立体几何中的截面问题，棱锥的体积，属于中档题．【解答】解：对于𝐴，当𝑥=2，𝑦=2时，𝑃𝑄为△𝐵𝐶𝐶1的中位线，𝑃𝑄//𝐵𝐶1，∵𝐵𝐶1//𝐴𝐷1，∴𝐴𝐷1//𝑃𝑄，

∴𝑆为等腰梯形𝐴𝑃𝑄𝐷1，过𝑃作𝑃𝐸⊥𝐴𝐷1于𝐸，如图，∴𝑃𝑄=√2，𝐴𝐷1=2√2，∴𝐴𝐸=√22，𝐴𝑃=√5，∴𝑃𝐸=3√22，∴𝑆梯形𝐴𝑃𝑄𝐷1=12×3√2×3√22=92，故A不正确;对于𝐵，当𝑥+𝑦=2

，𝑥∈(12,32)时，𝐶𝑃=2−𝑥=𝑦=𝐶𝑄，即𝐶𝑃𝐶𝐵=𝐶𝑄𝐶𝐶1，∵𝐵𝐶1//𝐴𝐷1，∴𝐴𝐷1//𝑃𝑄，∴𝑆为等腰梯形𝐴𝑃𝑄𝐷1，故B正确;对于𝐶，当𝑦=2时，以𝐵1为顶点，�

�为底面的棱锥为𝐵1−𝐴𝑃𝐶1𝐻当𝑦=2时，以𝐵1为定点，𝑆为底面的棱锥为𝐵1−𝐴𝑃𝐶1𝐻，如图，𝑉𝐵1−𝐴𝑃𝐶1𝐻=2𝑉𝑃−𝐵1𝐶1𝐻=2×13×12×2×2×2=83，故C正确．对于𝐷，当𝑥=0时，点𝑃与点�

�重合，∴𝐴𝐵⊥𝑃𝑄，如图，此时𝑆为矩形，当点𝑄与点𝐶1重合时，𝑆的面积最大，𝑆=2×2√2=4√2，故D正确;13.【答案】10【解析】【分析】本题考查了利用向量的数量积求向量的模，属于基础题．【解答】解：因为𝑚⃗⃗⃗=(𝑥,�

�+2)，𝑛⃗⃗=(𝑥+2,4)，所以𝑚⃗⃗⃗−𝑛⃗⃗=(−2,𝑥−2)又因为𝑛⃗⃗⊥(𝑚⃗⃗⃗−𝑛⃗⃗)，所以𝑛⃗⃗·(𝑚⃗⃗⃗−𝑛⃗⃗)=0，解得𝑥=6，𝑚⃗⃗⃗=(6,8)，则|𝑚⃗⃗⃗|=10．14.【答案】(−√2,−1]【解析】【

分析】本题考查了直线与圆的位置关系的判断及求参，属于中档题。【解答】曲线𝑦=√1−𝑥2转化为：𝑥2+𝑦2=1(𝑦≥0)表示一个半圆，如图所示．直线𝑦=𝑥−𝑚和半圆𝑦=√1−𝑥2相切时，𝑚=−√2直

线𝑦=𝑥−𝑚和半圆𝑦=√1−𝑥2有两个不同的交点如图所示：故答案为：−√2<𝑚⩽−115.【答案】3764【解析】【分析】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．【解答】解：若乙队以3：0获胜，概率为14，若乙队以3：1获胜

，概率为34×14=316，若乙队以3：2获胜，概率为34×34×14=964，故最后乙队获胜的概率是14+316+964=3764，16.【答案】2√62【解析】【分析】本题考查了多面体棱长，多面体上最短距离问题，属于拔高题．【解答】解：设正方

体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的棱长为𝑎则球𝑂的半径为√3𝑎2，∴𝑉𝑤𝑜=43𝜋(√3𝑎2)3=4√3𝜋，∴𝑎=2，即正方体的棱长为2，∵𝐶𝐶1//𝐴𝐴1∴直

线𝐴𝐴1与直线𝐴𝑃所成角的正弦值也是13即𝐴1𝑃√22+𝐴1𝑃2=13，得𝐴1𝑃=√22，故点𝑃的轨迹是以点𝐴1为圆心，√22为半径的圆的14，如图所示：设正方形𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的中心为𝑂1连接𝑂1𝑃，𝑂𝑂1，∵

𝑂1𝐴1=12𝐴1𝐶1=12√22+22=√2，∴𝑂1𝑃min=𝑂1𝐴1−𝐴1𝑃=√2−√22=√22，则𝑂𝑃min=√𝑂𝑂12+𝑂1𝑃min2=√12+(√22)2=√62．17.【答案】(1)解：∵𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐺�

�⃗⃗⃗⃗⃗，∴𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐴=2(𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗)，∴3𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗又2𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗∴𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+13𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+13𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗(2)解：由(1)可得知𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(13𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+13𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+13𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(𝑂𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗)=13𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗−13𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗2+13𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−13𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+13𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗−13𝑂

𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=−13𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗2+13𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+13𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗−13𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=−13×42+13×62+13×6×8×12−13×4×8×12=28

3【解析】本题考查了空间向量的线性运算与空间向量的数量积运算，属于基础题。18.【答案】解：(1)因为直线𝑥−𝑦+1=0与圆𝐶相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即圆心(1,0)到直线𝑥−𝑦+1=0的距离为𝑑=|1+1|√2=√2=𝑟∴圆𝐶的方程为：(𝑥−1)2+�

�2=2;(2)当𝑙斜率不存在时，𝑙的方程为𝑥=2，易知此时被圆𝐶截得的弦长为2，符合题意，所以𝑥=2;当𝑙斜率存在时，设𝑙的方程为𝑦−2=𝑘(𝑥−2)⇒𝑘𝑥−𝑦+2−2𝑘=0，则𝑑=|2−𝑘|√𝑘2+1．又直线𝑙被圆𝐶所截得的弦长为2

，所以2=2√𝑟2−𝑑2=2√2−𝑑2，则𝑑=1，所以|2−𝑘|√𝑘2+1=1，解得𝑘=34，所以直线𝑙的方程为𝑦−2=34(𝑥−2)⇒3𝑥−4𝑦+2=0．综上：𝑙的方程为𝑥=2或3𝑥−4𝑦+2=0【解析】本题主要考查直线与圆的位置

关系，圆的标准方程，属于基础题．19.【答案】(1)解：∵每组小矩形的面积之和为1，∴(0.005+0.010+0.020+𝑎+0.025+0.010)×10=1∴𝑎=0.030成绩落在[40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65．落在[40,

90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)𝑥10=0.9．设第80百分位数为𝑚由0.65+(𝑚−80)×0.025=0.80，得𝑚=86，故第80百分位数为86平均数

𝑥=10×(45×0.005+55×0.010+65×0.020+75×0.030+85×0.025+95×0.010)=2.25+5.5+13+22.5+21.25+9.5=74(2)解：由图可知，成绩在[50,60)的市民人数为100×0.1=

10，成绩在[60,70)的市民人数为100×0.2=20．故𝑧=10×56+65×2010+20=62𝑠2=110+20[10×(56−62)2+10×7+20×(65−62)2+20×4]=23

所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是23．附：方差也可这样求解：设成绩在[50,60)中10人的分数分别为𝑥1，𝑥2，𝑥3，⋯，𝑥10;成绩在[60,70)中20人的分数分别为𝑦1，𝑦2

，𝑦3，⋯，𝑦20，则由题意可得，所以𝑥12+𝑥22+⋯+𝑥102=31430，𝑦12+𝑦22+⋯+𝑦202=84580所以𝑠2=110+20(𝑥12+𝑥22+⋯+𝑥102+𝑦12+𝑦22+⋯+𝑦202)−𝑧2=130(231430+84580)−622=23

【解析】本题考查了百分位数、平均数、方差，属于中档题．20.【答案】解析(1)解：12𝑎𝑐sin𝐵=√22(𝑐sin𝐶+𝑏sin𝐵−𝑎sin𝐴)，两边同时乘以2𝑅，得12𝑎𝑏𝑐=√22(𝑐2+𝑏2−

𝑎2)，根据余弦定理可知𝑐2+𝑏2−𝑎2=2𝑏𝑐cos𝐴，又𝑎=√2所以12𝑎𝑏𝑐=√2𝑏𝑐cos𝐴，得cos𝐴=12，因为𝐴∈(0,𝜋)，所以𝐴=𝜋3;(2)方法一：𝑎2=𝑐2+𝑏2−2𝑏𝑐cos𝐴=𝑏2+𝑐2

−𝑏𝑐=(𝑏+𝑐)2−3𝑏𝑐=2，因为𝑏𝑐≤(𝑏+𝑐)24，所以(𝑏+𝑐)24≤2，𝑏+𝑐≤2√2又𝑏+𝑐>𝑎=√2，所以√2<𝑏+𝑐≤2√2，所以2√2<𝑎+𝑏+𝑐≤3√2，综上，△𝐴𝐵𝐶周长的取值范围(2√2,3√2].方法

二：由正弦定理𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶．∴𝑏=2√63sin𝐵，𝑐=2√63sin𝐶，又𝐵+𝐶=2𝜋3∴𝑎+𝑏+𝑐=2√63sin𝐵+2√63sin𝐶+√2=2√63(sin𝐵+sin(2𝜋3−𝐵))+√2=2√63(32s

in𝐵+√32cos𝐵)+√2=2√2sin(𝐵+𝜋6)+√2∵𝐵∈(0,2𝜋3)，∴𝐵+𝜋6∈(𝜋6,5𝜋6)∴sin(𝐵+𝜋6)∈(12,1]，∴2√2sin(𝐵+𝜋6)∈(√2,2√2]，∴2√2sin(𝐵+𝜋6)+√2∈(2√23√2]综上，△𝐴𝐵𝐶

周长的取值范围(2√2,3√2].【解析】本题考查了利用正弦定理、余弦定理解决角度问题和解三角形中周长范围的求法，属于中档题。21.【答案】解：(1)∵𝑃𝐴=𝑃𝐷，𝑂为𝐴𝐷的中点，∴𝑃𝑂⊥𝐴𝐷，∵侧面𝑃𝐴𝐷⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，侧面𝑃𝐴𝐷∩底面

𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐷，𝑃𝑂⊂平面𝑃𝐴𝐷，∴𝑃𝑂⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷;(2)∵底面𝐴𝐵𝐶𝐷为直角梯形，其中𝐵𝐶//𝐴𝐷，𝐴𝐵⊥𝐴𝐷，𝐴𝐷=2𝐴𝐵=2𝐵𝐶=4，∴𝑂𝐶⊥𝐴𝐷，又𝑃

𝑂⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，∴以𝑂为原点，𝑂𝐶所在直线为𝑥轴，𝑂𝐷所在直线为𝑦轴，𝑂𝑃所在直线为𝑧轴，建立空间直角坐标系，𝐶(2,0,0)，𝐷(0,2,0)，𝑃(0,0,2)，𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0,−2)，𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(

0,2,−2)，易得平面𝑃𝐴𝐷的法向量𝑚⃗⃗⃗=(1,0,0)设平面𝑃𝐶𝐷{的法向量𝑛⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则{𝑛⃗⃗⋅𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑥−2𝑧=0𝑛⃗⃗⋅𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑦−2𝑧=0，取𝑥=1，得𝑛⃗⃗=(1,1,1)，设二面角

𝐶−𝑃𝐷−𝐴夹角为𝜃，则cos𝜃=|𝑚⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗||𝑚⃗⃗⃗|⋅|𝑛⃗⃗|=1√3，则sin𝜃=√1−(1√3)2=√63，∴两平面夹角的正弦值为√63;(3)设线段𝐴𝐷上存在𝑄(0,𝑚,0)，𝑚∈[−

2,2]，使得它到平面𝑃𝐶𝐷的距离为√3，𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=(0,𝑚,−2)，∴𝑄到平面𝑃𝐶𝐷的距离𝑑=|𝑃𝑄⋅𝑛⃗⃗|𝑛⃗⃗|=|𝑚−2|√3=√3，解得𝑚=−1或𝑚=5(舍去)则𝑄(

0,−1,0)，则𝐴𝑄𝑄𝐷=13．方法二(几何法)(2)取𝑃𝐷中点𝑀，连𝑂𝑀，𝑀𝐶，𝑂𝐶，∵𝑃𝐷=𝑃𝐴=2√2，𝐴𝐷=4∴𝛥𝑃𝐴𝐷为直角三角形．又∵𝑂为𝐴𝐷中点∴𝑂𝑀⊥𝑃𝐷由(1)𝑃𝑂⊥平

面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑂𝐶⊂平面𝐴𝐵𝐶𝐷∴𝑂𝑃⊥𝑂𝐶∵𝑂𝐶∩𝑂𝑀=𝑂∴𝑃𝐷⊥平面𝑂𝐶𝑀∴𝑃𝐷⊥𝑀𝐶∴∠𝑂𝑀𝐶为两平面夹角．在𝑅𝑡𝑂𝑀𝐶中𝑂𝑀=√2，𝑂𝐶=2∴𝐶𝑀=√

6∴sin∠𝑂𝑀𝐶=2√6=√63．∴两平面夹角正弦值为√63．(3)过𝑂作𝑂𝐻⊥𝐶𝑀交𝐶𝑀于𝐻．即知𝑂𝐻即为𝑂到平面𝑃𝐶𝐷的距离．在𝑅𝑡△𝑂𝑀𝐶中，𝑂𝐻=𝑂𝐶⋅𝑂𝑀𝐶𝑀=2√2√6=2√33记𝑄到平面𝑃𝐶𝐷的距离为ℎ．则�

�𝐷𝑄𝐷=ℎ𝑂𝐻∴𝑄𝐷=3∴𝐴𝐷𝑄𝐷=13【解析】本题主要考查线面垂直的判定，利用空间向量求面与面的夹角，点到面的距离，属于中档题．22.【答案】(1)解：由题意可知𝑎=2，则𝑒=𝑐2=√32，所以𝑐=√3，所以𝑏=1𝐶:𝑥24+𝑦

2=1(2)由(1)得椭圆𝐶的方程为𝑥24+𝑦2=1，则𝐵(0,1)，设𝑃(𝑥,𝑦)，则|𝐵𝑃|=√𝑥2+(𝑦−1)2，因为点𝑃在椭圆上，所以𝑥24+𝑦2=1，则𝑥2=4−4𝑦2(𝑦∈[−1,1])，则|𝐵𝑃|=√𝑥2+(𝑦−1)2=√−3𝑦2−

2𝑦+5=√−3(𝑦+13)2+163，所以当𝑦=−13时，|𝐵𝑃|max=4√33，此时𝑥=±4√23，所以𝑃(±4√23,−13);(3)证明：𝐴(−2,0)，设直线𝑙的方程为𝑦=𝑘𝑥+𝑚

，𝑀(𝑥1,𝑦1)，𝑁(𝑥2,𝑦2)，联立{𝑦=𝑘𝑥+𝑚𝑥24+𝑦2=1，消𝑦得(1+4𝑘2)𝑥2+8𝑘𝑚𝑥+4𝑚2−4=0，则𝑥1+𝑥2=−8𝑘𝑚1+4𝑘2，𝑥1𝑥2=4𝑚2−

41+4𝑘2，则𝑘1+𝑘2=𝑦1𝑥1+2+𝑦2𝑥2+2=𝑘𝑥1+𝑚𝑥1+2+𝑘𝑥2+𝑚𝑥2+2=(𝑘𝑥1+𝑚)(𝑥2+2)+(𝑘𝑥2+𝑚)(𝑥1+2)(𝑥1+2)(𝑥2+2)因为𝑘(𝑘1+𝑘2)=1，则𝑘⋅(𝑘𝑥

1+𝑚)(𝑥2+2)+(𝑘𝑥2+𝑚)(𝑥1+2)(𝑥1+2)(𝑥2+2)=1，即2𝑘2𝑥1𝑥2+(2𝑘+𝑚)(𝑥1+𝑥2)+4𝑚𝑘=𝑥1𝑥2+2(𝑥1+𝑥2)+4，即(2𝑘2−1)𝑥1𝑥2+(2𝑘+𝑚−2)(

𝑥1+𝑥2)+4𝑚𝑘−4=0，即(2𝑘2−1)⋅4𝑚2−41+4𝑘2+(2𝑘+𝑚−2)−8𝑘𝑚1+4𝑘2+4𝑚𝑘−4=0，即(2𝑘2−1)(4𝑚2−4)+(2𝑘+𝑚−2)(8𝑘𝑚)+(4𝑚

𝑘−4)(1+4𝑘2)=0，化简得6𝑘2−5𝑘𝑚+𝑚2=0，解得𝑚=2𝑘或𝑚=3𝑘，𝑚=2𝑘时𝑦=𝑘(𝑥+2)过点𝐴，舍去所以𝑚=3𝑘，所以直线𝑙得方程为𝑦=𝑘𝑥+3𝑘=𝑘(𝑥+3)，所以直线𝑙过定点(−3,0)【解析】本题

考查了求椭圆的方程，椭圆上点到点距离最值，直线过定点的证明，属于拔高题．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com