【文档说明】2023届高考一轮复习课后习题 人教A版数学（适用于新高考新教材）第二章一元二次函数、方程和不等式 课时规范练4　基本不等式含解析【高考】.docx，共(5)页，41.763 KB，由小赞的店铺上传

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1课时规范练4基本不等式基础巩固组1.下列不等式正确的是()A.x-1+1𝑥-1≥2(x>0)B.(a+4)1𝑎+1≥8(a>0)C.lgx·lgy≤[lg(𝑥𝑦)]24(x>1,y>1)D.lg(a2+1)>lg|2a|(a

≠0)2.(2021河北邯郸高三月考)函数y=4x2(6-x2)的最大值为()A.36B.6C.9D.183.(2021广东惠州高三期末)若a<1则a+1𝑎-1的最大值是()A.3B.aC.-1D.

2√𝑎𝑎-14.(2021北京西城高三月考)设正实数a,b满足a+b=1,则下列说法错误的是()A.√𝑎𝑏有最大值12B.1𝑎+2𝑏+12𝑎+𝑏有最小值3C.a2+b2有最小值12D.√𝑎+√𝑏有最大值√25.(

2021浙江丽水高三模拟)设x,y>1,z>0,z为x与y的等比中项,则lg𝑧2lg𝑥+lg𝑧4lg𝑦的最小值为()A.38+√24B.2√2+12C.43+√22D.2√26.(多选)(2021山东日照高三月考)下列不等式一定成立的有()A.x+1𝑥≥2B.2x(1

-x)≤14C.x2+3𝑥2+1≥2√3-12D.√𝑥+1√𝑥≥27.(多选)(2021江苏无锡高三期中)若非负实数a,b满足a+b2=1,则下列不等式成立的有()A.ab2≤14B.a2+b4

≥12C.√𝑎+b≥√2D.a2+b2≥348.(多选)(2021湖南师大附中高三模拟)已知x>0,y>0,且x2+xy-x+5y=30,则()A.xy的最大值为9B.1𝑥+1𝑦的最小值为1C.x-1

𝑦的最大值为4D.x2+y2的最小值为209.(2021湖北黄冈高三期中)当x>1时不等式𝑥2+3𝑥-1>m2+1恒成立,则实数m的取值范围是.10.(2021天津耀华中学高三二模)如果a>b>0,那么𝑎4+1𝑏(𝑎-𝑏)的最小

值是.综合提升组11.(2021天津高三一模)已知a>0,b>0,且ab=a+b+3,则a+b的最小值为()A.4B.8C.7D.612.(2021贵州贵阳高三月考)若圆x2+y2-4x+2y+1=0被直线ax-2by-2=

0(a>0,b>0)截得的弦长为4,则1𝑎+1𝑏的最小值是()A.9B.4C.12D.1413.(2021浙江镇海中学高三模拟)已知a,b,c是不同时为0的实数,则2𝑎𝑏+𝑏𝑐𝑎2+4𝑏2+𝑐2的最大值为.创新应用组14.(20

21江苏南京高三期中)已知α,β∈0,π2,sin(2α+β)=2sinβ,则tanβ的最大值为()A.√33B.23C.1D.√323课时规范练4基本不等式1.C解析当x>1,y>1时,lgx>0,lgy>0,所以lgx·lgy≤lg𝑥+lg𝑦22=lg(𝑥𝑦)22=[l

g(𝑥𝑦)]24,当且仅当x=y时,不等式中的等号成立,故C正确.2.A解析由基本不等式可得y=4x2(6-x2)≤4·𝑥2+6-𝑥222=36,当且仅当x2=6-x2,即x=±√3时,等号成立,函数取得最大值36.3.C

解析因为a<1,所以a-1<0,因此a+1𝑎-1=a-1+1𝑎-1+1≤-2√(1-𝑎)·11-𝑎+1=-1,当且仅当1-a=11-𝑎,即a=0时,等号成立,故a+1𝑎-1(a<1)的最大值是-1,故选C.4.B解析对于A,由基本不等式可得√�

�𝑏≤𝑎+𝑏2=12,当且仅当a=b=12时,等号成立,故A正确;对于B,由基本不等式可得1𝑎+2𝑏+12𝑎+𝑏=13[(a+2b)+(2a+b)]1𝑎+2𝑏+12𝑎+𝑏=132+2𝑎+�

�𝑎+2𝑏+𝑎+2𝑏2𝑎+𝑏≥132+2√𝑎+2𝑏2𝑎+𝑏·2𝑎+𝑏𝑎+2𝑏=43,当且仅当a=b=12时,等号成立,故B错误;对于C,因为1=(a+b)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2),所以

a2+b2≥12,当且仅当a=b=12时,等号成立,故C正确;对于D,(√𝑎+√𝑏)2=a+b+2√𝑎𝑏≤2(a+b)=2,则√𝑎+√𝑏≤√2,当且仅当a=b=12时,等号成立,故D正确.故选B.5.A解析因为x,y>

1,z>0,且z为x和y的等比中项,所以z2=xy,lg𝑧2lg𝑥+lg𝑧4lg𝑦=12lg(𝑥𝑦)2lg𝑥+12lg(𝑥𝑦)4lg𝑦=lg𝑥+lg𝑦4lg𝑥+lg𝑥+lg𝑦8lg𝑦=38+lg𝑦4lg𝑥+lg𝑥8lg𝑦≥38+2√lg𝑦4lg𝑥·l

g𝑥8lg𝑦=38+√24当且仅当lg𝑦4lg𝑥=lg𝑥8lg𝑦,即lgx=√2lgy时,等号成立,故选A.6.CD解析对于A,当x<0时,x+1𝑥<0,故A错误;对于B,2x(1-x)=-2x2+2x=-

2x-122+12≤12,故B错误;对于C,x2+3𝑥2+1=x2+1+3𝑥2+1-1≥2√(𝑥2+1)·3𝑥2+1-1=2√3-1,当且仅当x2=√3-1时,等号成立,故C正确;对于D,√𝑥+1√𝑥≥2√√𝑥·1√𝑥=2,当且仅当x=1时,等号成立,故D正确.故选CD.

47.ABD解析对于A,利用基本不等式可得ab2≤𝑎+𝑏222=14,当且仅当a=b2=12时,等号成立,故A正确;对于B,1=(a+b2)2=a2+b4+2ab2≤2(a2+b4),所以a2+b4≥12,当且仅当a=b2=12时,等号成

立,故B正确;对于C,(√𝑎+b)2=a+b2+2√𝑎𝑏2≤2(a+b2)=2,即√𝑎+b≤√2,当且仅当a=b2=12时,等号成立,故C错误;对于D,因为a+b2=1≥a,又a≥0,所以0≤a≤1,所以a2+b2=a2+1-a=a-122+34≥34,当且

仅当a=12时,等号成立,故D正确.故选ABD.8.AC解析由题可得(x2-x-30)+(xy+5y)=0,整理得(x+5)·(x+y-6)=0,因为x>0,所以x+y=6.对于A,x+y≥2√𝑥𝑦,所以xy≤9,当且仅当x=y=3时,等号成立,故A正确;对于B,1𝑥+1𝑦=16(x

+y)1𝑥+1𝑦=162+𝑦𝑥+𝑥𝑦≥23,当且仅当x=y=3时,等号成立,故B错误;对于C,x-1𝑦=6-y-1𝑦=6-y+1𝑦≤6-2=4,当且仅当x=5,y=1时,等号成立,故C正确;对于D,x2+y2=(x+y)2-2xy

=36-2xy≥36-2𝑥+𝑦22=18,当且仅当x=y=3时,等号成立,故D错误.故选AC.9.(-√5,√5)解析因为𝑥2+3𝑥-1=(𝑥-1)2+2(𝑥-1)+4𝑥-1=(x-1)+4𝑥-1+2≥2√4+2=6,当且仅当x=3时,等号成立,所以要使不等式恒成立,应有m2+

1<6,解得-√5<m<√5.10.8解析因为a>b>0,所以a-b>0,所以b(a-b)≤𝑏+𝑎-𝑏22=𝑎24,当且仅当b=a-b,即a=2b时,等号成立.所以𝑎4+1𝑏(𝑎-𝑏)≥4

(𝑎4+1)𝑎2=4a2+1𝑎2≥8,当且仅当a=1,b=12时,等号成立.故𝑎4+1𝑏(𝑎-𝑏)的最小值是8.11.D解析∵ab=a+b+3,a>0,b>0,∴a+b+3≤𝑎+𝑏22,当且仅当a=b,即a=b=3时,等号成立,解得a+b≥6或a+b≤-2(舍去

),∴a+b的最小值为6,故选D.12.B解析圆x2+y2-4x+2y+1=0的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4,它表示以(2,-1)为圆心,以2为半径的圆.设弦心距为d,由题意可得22+d2=4,求得d=0,可得直

线经过圆心,故有2a+2b=2,即a+b=1.再由a>0,b>0,可得1𝑎+1𝑏=1𝑎+1𝑏(a+b)=2+𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2+2√𝑏𝑎·𝑎𝑏=4,当且仅当a=b=12时,等号成立,故1𝑎+1𝑏的最小值是4

,故选B.13.√54解析由于a2+4b2+c2=a2+165b2+c2+45b2,又a2+165b2≥2a×4√5b=8√55ab,当且仅当a=4√5b时,等号成立,c2+45b2≥2c×2𝑏√5=4√55

bc,当且仅当c=2√5b时,等号成立,所以5a2+4b2+c2≥8√55ab+4√55bc=4√55(2ab+bc),当且仅当a=2c=4√5b时,等号成立,所以2𝑎𝑏+𝑏𝑐𝑎2+4𝑏2+𝑐2≤2𝑎𝑏+𝑏𝑐4√

55(2𝑎𝑏+𝑏𝑐)=√54,当且仅当a=2c=4√5b时,等号成立.14.A解析∵sin(2α+β)=sin2αcosβ+cos2αsinβ,∴sin2αcosβ=2sinβ-cos2αsinβ=sinβ(1+2sin

2α).∵α,β∈0,π2,∴tanβ=sin2𝛼1+2sin2𝛼=2sin𝛼cos𝛼cos2𝛼+3sin2𝛼=2tan𝛼1+3tan2𝛼=21tan𝛼+3tan𝛼,且tanα∈(0,+∞),∴tanβ=21tan𝛼+3tan�

�≤22√1tan𝛼·3tan𝛼=√33,当且仅当tanα=√33时,等号成立,故选A.